Post on 24-Feb-2021
1 MAPLima
FI001 Aula 25 Aprendemos a rodar kets e componentes de vetores (operadores vetoriais)
|↵i �! D(R)|↵i =) h↵|D†(R)ViD(R)|↵i =X
j
Rijh↵|Vj |↵i
| {z }roda como vetores classicos
Como vale para qualquer |↵i, temos: D†(R)ViD(R) =X
j
RijVj e com
auxılio de D(R) = 1� i✏J.n
~ , e possıvel obter: [Vi, Jj ] = i✏ijk~Vk ! para
isso, seguiremos passos semelhantes ao que foi feito para [Ji, Jj ] = i✏ijk~Jk.Podemos escrever a equacao da caixa azul com auxılio da equacao da caixa
vermelha, por (ate primeira ordem em ✏) :
Vi +✏
i~ [Vi,J.n] =X
j
Rij(n; ✏)Vj
Tomemos o caso particular n = z ) R(z, ✏) =
0
@1 �✏ 0✏ 1 00 0 1
1
A
Operadores Tensoriais
lousa
2 MAPLima
FI001 Aula 25
Operadores Tensoriais
Neste caso, temos
8><
>:
i = 1 : Vx +✏i~ [Vx, Jz] = Vx � ✏Vy
i = 2 : Vy +✏i~ [Vy, Jz] = ✏Vx + Vy
i = 3 : Vz +✏i~ [Vz, Jz] = Vz
) [Vi, J3] = i✏i3k~Vk
Com R(x, ✏) e R(y, ✏), obtemos a formula geral da caixa amarela do slide 1.
O comportamento de V sob rotacao finita e completamente definido pelas
regras de comutacao acima, usando:
exp� iJj�
~�Vi exp
�� iJj�
~�se soubermos [Jj , [Jj , [...[Jj , Vi]...]]].
E possıvel generalizar Vi !X
j
RijVj e definir um tensor por:
T. . . ijk. . . !X
. . . i0j0k0. . .
. . . Rii0Rjj0Rkk0 . . . T. . . i0j0k0. . .
com ajuda da matriz ortogonal de rotacao R(3⇥ 3). O numero de ındices
e chamado de “rank” do tensor. E o tensor definido desta forma e conhecido
como tensor cartesiano.
Exemplo simples: Tij = UiVj onde Ui e Vj sao componentes de operadores
vetoriais que podem ou nao comutar entre si. Note 9 pares possıveis.
Verifique que sabemos calcular isso
Brinque com a fórmula. Tome V=p e x e J=L
3 MAPLima
FI001 Aula 25
Operadores Tensoriais Explorando o exemplo simples:
UiVj =U.V
3�ij
| {z }+
UiVj � UjVi
2| {z }+�UiVj + UjVi
2� U.V
3�ij
�
| {z }um
escalar#
vetor(U⇥V )k✏ijk
#
matriz simetricatraco zero
#
Transforma como: Y 00 Y m
1 Y m2| {z }
Tensores esfericos irredutıveis,
onde:
8><
>:
Y 00 ! tem 1 componente independente
Y m1 ! tem 3 componentes independentes
Y m2 ! tem 5 componentes independentes.
Definicao de um tensor esferico:
Comece com Y m` (✓,') = Y m
` (n) e troque
8>>>>>><
>>>>>>:
n por V = (Vx, Vy, Vz)
` por k (ordem)
m por q�momento quantico
magnetico
�
e obtenha T (k)q = Y m=q
`=k (V)
lousa
4 MAPLima
FI001 Aula 25 <latexit sha1_base64="OcWl5QTOVK52W6WelyiYTLyUW5Q=">AAAJynicrVZLb9NAEJ62PJLwSuHIxaKiSqSqst0CVSWkoiKBUA9FatOiOlTrzSax6hfrTdvUyo1fyI0jJ678BMZjt4kThzaArV3Pzs7jm9nZke3QdSKl69/n5hdu3b5zt1Su3Lv/4OGj6uLjRhT0JBf7PHADeWizSLiOL/aVo1xxGErBPNsVB/bJdrJ/cCpk5AT+nuqHoumxju+0Hc4UsoLFhV+wDBYoEHCOcwxvIMLXAQ9WQAMOAfi0bqGExLGJ3AHKWWBDG+cuMNTTUGoAr6GG32O0tELffva9gDrtWaghUZ6j/jlZkTiv5Pj9KfyLK34d+TuEq4NrB+cuImBIS+SeIZYaNDIUjQxFI0Nh4bsMlVzE26jl4YrjSCP2KMZPqGPAZ9ARu4U5+IL2FUU+RLVGqNaRFyKSAb4WWYhITiEyQdgGM9ooivu6qPcQr454Y4zfwFhn85lmqCg/H+BHLh8xaSU5MjIfHq61a3xt5OJLKsqfyJHIWXeQOqUIQ5Rx/rOvWu6k8n5GEQy18zJ1QpNm66a4pp3xNIyzIszrTkM+yDxe4jSJ93cx2FSJ4zd7iK5f6E2O6F7eSe0Kf9Jl2hi3pPto4ahQbefrbrzOZ8Veye2n/WKIO+0bxZkquiNvCWuK2kObGmoJ6ioudUifZJOOGmDcivaSk90csZfcLzN3A8w/3mEDXhDCNZQrrqva2FnU0bqZ9ZOUuklPyeNJ825e01+KsVWuOvN4plNkRZlto8WfWUXbyO1kVc2Rl+Q4IrvFufu36CyqvXSetG/MbN+Yan8Uv35ju/qEPYE6rfHcHFeX9FWdHm2SMDJiCbJn97j6zWoFvOcJX3GXRdGRoYeqGTOpHO6KQcXqRSJk/IR1xBGSPvNE1IzpV2SgPUdOS2sHEoevNOKOasTMi6K+Z6Okx1Q3Gt9LmEV7Rz3V3mjGjh/2lPB56qjdczUVaMl/jdZypODK7SPBuHQQq8a7TDKu8O8nSYIxHvIk0TBXjZer5sf1pS0zS0cJnsIzajSvYAvewy7sAy+9K3ml09JZeacsy/1ynIrOz2U6TyD3lL/+BvR3C4k=</latexit>
Assim, considere: n = (nx, ny, nz) = (x
r,y
r,z
r) =) (Vx, Vy, Vz)
Comece com Y 01 =
r3
4⇡cos ✓ =
r3
4⇡
z
r=) T (1)
0 =
r3
4⇡Vz
Ja Y ±11 = ⌥
r3
8⇡sin ✓e±i' = ⌥
r3
8⇡sin ✓(cos'± i sin') =
= ⌥r
3
4⇡
sin ✓ cos'± i sin ✓ sin'p2
= ⌥r
3
4⇡
�x± iyp2r
�
) T (1)±1 = ⌥
r3
4⇡
Vx ± iVyp2
De forma semelhante, obtemos:
Y ±22 =
r15
32⇡
(x± iy)2
r2=) T (2)
±2 =
r15
32⇡(Vx ± iVy)
2
faca
8>>>>>><
>>>>>>:
Y ±22 =) T (2)
±2
Y ±12 =) T (2)
±1
Y 02 =) T (2)
0
Operadores Tensoriais
Voluntário?
5 MAPLima
FI001 Aula 25 Revisando Y m
` (✓,') sob rotacoes
|ni =) D(R)|ni ⌘ |n0iLembre que Y m
` (n0) = hn0|`mi e escreva Y m` (n0) em funcao dos Y m
` (n). Como?
D(R�1)|`mi =X
m0
|`m0ih`m0|D(R�1)|`mi =X
m0
|`m0iD`m0m(R�1) multiplique
pela esquerda por: hn| e obtenha hn|D(R�1)|`mi = hn0|`mi =
=X
m0
hn|`m0iD`m0m(R�1) onde usamos que hn0| = hn|D†(R) = hn|D(R�1)
ou seja Y m` (n0) =
X
m0
Y m0
` (n)D`⇤
mm0(R)
Um operador que age como um Y m` (V) deve respeitar:
D†(R)Y m` (V)D(R) = “Y m
` (V0)” =X
m0
Y m0
` (V)D`⇤
mm0(R).
Isso permite definir o tensor esferico:
D†(R)T (k)q D(R) =
kX
q0=�k
D(k)⇤
qq0 (R)T (k)q0 ou de forma
equivalente (troque R por R�1) D(R)T (k)q D†(R) =
kX
q0=�k
D(k)q0q (R)T (k)
q0
<latexit sha1_base64="x93uRYpmN9ueJd6W8Jf0YnQuoV8=">AAAOonicxVddbxtFFL0tUIrBJoVHHhgRIA4Cy64qAZUiKhUkQBW0JUmL4iSM17PO4v3KzjgQOf6TvPHMA+IH8M6Zu+tkv+y6SVFtze7s7J1z75xz987uIPY9bbrdP69df+XV1268fvONxptvNVtvr916Z1dHk8RRO07kR8nTgdTK90K1Yzzjq6dxomQw8NWTwfi+vf/kRCXai8Jtcxqr/UCOQs/1HGkwFN260aePqU+GFP2O45Qeo3dCHmmSFNKQIhI0o5/pEFaKfPwPKKA2zznCiIHdp7g6wTmhGGMebWJOHlMALaIBzgnOdsbf9C/uaiD3yUbQoDPY9WHj4ngECwPrkO8nHMkInhWuHgDBXiXwM4KlYb8W9zf2GvBcG4X1/DUQ2ljT5sr4io5pgtknuF8/Z6NmVrqG/JofoBdgboKzYEy1gMm5D1HxsklbGPNznsQS67NzXAHcYoRlPRQ3TQ7HZ7V7/tiqmAGOLlYaQt+/OHNs/ujnwrbInRLyfaAEaF/l8mWR0gfof0Y9xskzUuXEcqsRbYDIpjhWOdyo6OyXOM3bnr2UmPI57+DsZ37n8wP0D84RytEUeQ7g2Uffw3Ps45hm7Zzzot4xI8osj1LLBHrbkRhaJXSXdV+Uv0XNz2oz1NYMOxayrUVrlPAWob0YJZ4deVmfepw0Y+u0XZWd/y8DyrxHXPUt6oT3gCB7gi8q2Oq8iBVZnOtf1czGbXNqhL/Nr7SWXxW1+hRU63eE9dp9S9GvWe5ZLLGkjtVX77Lixfnz0XqUuT6L1U1nH/DsOeYn53te3bp2uEpH/PzaLBrys3qhr2SmBXylNVdw/M+q4Lu1uTTkvUXxvm+rhPXpZTv23UItF1dsq2bOsjXMV7H4HWKLfsF/OQ+p8h9cSvs8j5fVvFOr+neIRbOaqe4Br01lGrm4CtESzgyR1VydZYZVzqV/+I3LZsWLVe4qam6DkWNmok1jXM+WapfX4xgcbuH5HzP2mNVfzPkx289ynvKMb58jzgqxFBUQWUVJa6vL3Fp/aV0pv4VfvIVKrnBhplYbZ/uue1GNH5e8xJlqFrda6dO2+O1pVU4X1+XLc7yBVmRwKb+Ha+vdTpd/otrpZZ11yn4PD9f+6A8jZxKo0Di+1Hqv143N/lQmxnN8NWv0J1rF0hnLkdpDN5SB0vtT/sSaiY8wMhRulKCFRvBofsZUBlqfBgNYBtIc6fI9O1h3b29i3C/2p14YT4wKndSRO/GFiYT9XhNDL1GO8U/RkU7iIVbhHMlEOgZfdQ2Q0CsvudrZvd3p3el8+ejO+r3bGR036T0UqTZS43O6R9/SQ2wMTvP95jfNH5o/tj5sfd961PopNb1+LZvzLhV+rf5/i4jV7A==</latexit>
Operadores Tensoriais
lousa
Caixa azul do slide 1: voluntário?
6 MAPLima
FI001 Aula 25
Operadores Tensoriais
Para rotacoes infinitesimais a expressao D†(R)T (k)
q D(R) =
kX
q0=�k
D(k)⇤
qq0 (R)T (k)q0
fica:
�1 + i✏
J.n
~�T (k)q
�1� i✏
J.n
~�=
kX
q0=�k
D(k)⇤
qq0 (R)T (k)q0 =
kX
q0=�k
T (k)q0 hkq0|1 + i✏
J.n
~ |kqi
O termo de primeira ordem, fornece:
[J.n, T (k)q ] =
kX
q0=�k
T (k)q0 hkq0|J.n|kqi
Se
8><
>:
n = z =) [Jz, T(k)q ] = ~qT (k)
q
n = x± iy (faca em casa) =) [J±, T(k)q ] = ~
p(k ⌥ q)(k ± q + 1)T (k)
q±1
7 MAPLima
FI001 Aula 25
Produtos de Tensores
Comece por: T (0)0 = �U.V
3= �
✓UxVx + UyVy + UzVz
3
◆com auxılio
da definicao U±1 ⌘ ⌥✓Ux ± iUyp
2
◆, temos: U±1 =
⌥Ux � iUyp2
, que pode ser
invertido:
(Ux = U�1�U+1p
2
Uy = U�1+U+1
�ip2
e ao definir U0 ⌘ Uz, podemos escrever:
T (0)0 = �1
3
✓(U�1 � U+1)(V�1 � V+1)
2� (U�1 + U+1)(V�1 + V+1)
2+ U0V0
◆=
= �1
3
⇣U+1V+1
2� U+1V+1
2� U+1V�1
2� U+1V�1
2� U�1V+1
2� U+1V�1
2+
+U�1V�1
2� U�1V�1
2+ U0V0
⌘=
1
3
�U+1V�1 + U�1V+1 � U0V0
�.
Verifique:
8>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>:
T (1)q = (U⇥V)q
ip2
T (2)±2 = U±1V±1
T (2)±1 = U±1V0+U0V±1p
2
T (2)0 = U+1V�1+2U0V0+U�1V+1p
6
note:
8>>>>>>><
>>>>>>>:
Y 02 =
q5
16⇡3z2�r2
r2 , onde
3z2 � r2 = 2z2 � (x2 + y2) =
= 2z2 � 2� (x+iy)p
2
(x�iy)p2
�
caso especial de T (2)0 com
U = V = r
Componentes q de um tensor de ordem 1
Voluntários?
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FI001 Aula 25
Teorema importante sobre tensores esféricos Teorema:
Sejam X(k1)q1 e Z(k2)
q2 tensores esfericos irredutıveis de ordem k1 e k2. Entao
T (k)q =
X
q1q2
hk1k2; q1q2|k1k2; kqiX(k1)q1 Z(k2)
q2 e um tensor esferico de ordem k.
Demonstracao:
Para demonstra-lo, basta verificar que T (k)q transforma de acordo com
D†(R)T (k)q D(R) =
kX
q0=�k
D(k)?
qq0 T (k)q0
D†(R)T (k)q D(R) =
X
q1q2
hk1k2; q1q2|k1k2; kqiD†(R)X(k1)q1 D(R)D†(R)| {z }Z
(k2)q2 D(R) =
1
=X
q1q2q01q02
hk1k2; q1q2|k1k2; kqiD(k1)?
q1q01X(k1)
q01D(k2)
?
q2q02Z(k2)q02
, mas vimos que
D(k1)q1q01
D(k2)q2q02
=X
k00q0q00
hk1k2; q1q2|k1k2; k00q00ihk1k2; q01q02|k1k2; k00q0iD(k00)q00q0
Tome o complexo conjugado e insira na expressao acima, para obter:
9 MAPLima
FI001 Aula 25
Teorema importante sobre tensores esféricos A nova expressao:
q1 + q2 = q q1 + q2 = q00 ) �qq00
D†(R)T (k)q D(R) =
X
k00q0q00
q1q2q01q
02
z }| {hk1k2; q1q2|k1k2; kqi
z }| {hk1k2; q1q2|k1k2; k00q00i⇥
⇥ hk1k2; q01q02|k1k2; k00q0iD(k00)?
q00q0 X(k1)q0 Z(k2)
q02,
masX
q1q2
hk1k2; q1q2|k1k2; kqihk1k2; q1q2|k1k2; k00q00i pode ser re-escrito por
X
q1q2
hk1k2; kq|k1k2; q1q2ihk1k2; q1q2|k1k2; k00q00i = hk1k2; kq|k1k2; k00q00i = �kk00�qq00
De forma que:
D†(R)T (k)q D(R) =
X
q0
0
BB@X
q01q02
hk1k2; q01q02|k1k2; kq0iX(k1)q01
Z(k2)q02
| {z }
1
CCAD(k)?
qq0 =
T (k)q0
=X
q0
T (k)q0 D(k)?
qq0 c.q.d.
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FI001 Aula 25
Elementos de Matriz de Operadores Tensoriais e Teorema de Wigner-Eckar
O elemento de matriz h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi e importante, pois entre outras,
coisas, pode expressar interacoes de campos eletromagneticos com atomos
e nucleos.
1) Regra m de Selecao: h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = 0 salvo se m0
= q +m
Demonstracao:
Para provar, basta lembrar que: [Jz, T(k)q ] = ~qT (k)
q e calcular o elemento
de matriz: h↵0, j0m0|⇣[Jz, T
(k)q ]� ~qT (k)
q
⌘|↵, jmi = 0 que implica em:
(m0 �m� q)~h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = 0,
ou seja se m0 6= m+ q ! h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = 0
2) Teorema de Wigner-Eckar: nao depende de m,m0e q
h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = hjk;mq|jk; j0m0i| {z }
z }| {h↵0j0||T (k)||↵jip
2j + 1
nao depende de T (k)
onde |j � k| j0 j + k.
11 MAPLima
FI001 Aula 25
Teorema de Wigner-Eckar Demonstracao:
Para provar isso, usaremos a relacao: [J±, T(k)q ] = ~
p(k ⌥ q)(k ± q + 1)T (k)
q±1
que pode ser usada em:
h↵0, j0m0|[J±, T (k)q ]|↵, jmi = ~
p(k ⌥ q)(k ± q + 1)h↵0, j0m0|T (k)
q±1|↵, jmipara fornecer algo parecido com as relacoes de recorrencia dos coeficientes de
Clebsch-Gordan, isto e:p
(j0 ±m0)(j0 ⌥m0 + 1)h↵0, j0m0 ⌥ 1|T (k)q |↵, jmi =
=p
(j ⌥m)(j ±m+ 1)h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jm± 1i+
+p
(k ⌥ q)(k ± q + 1)h↵0, j0m0|T (k)q±1|↵, jmi
Compare com a formula de recorrencia ja demonstrada:p
(j ⌥m)(j ±m+ 1)hj1j2,m1m2|j1j2, jm± 1i =
=p(j1 ±m1)(j1 ⌥m1 + 1)hj1j2,m1 ⌥ 1m2|j1j2, jmi+
+p
(j2 ±m2)(j2 ⌥m2 + 1)hj1j2,m1m2 ⌥ 1|j1j2, jmiinverta o sinal de cima com o debaixo e
troque:
(j ! j0 j1 ! j j2 ! k
m ! m0 m1 ! m m2 ! q
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Teorema de Wigner-Eckar Para obterp(j0 ±m0)(j0 ⌥m0 + 1)hjk,mq|jk, j0m0 ⌥ 1i =
=p(j ⌥m)(j ±m+ 1)hjk,m± 1q|jk, j0m0i+
+p
(k ⌥ q)(k ± q + 1)hjk,mq ± 1|jk, j0m0iAssim, encontramos dois conjuntos de equacoes, tais que:
Xaij xj|{z}
= 0X
aij yj|{z}= 0
h |T (k)q | i hCGi
e mesmos coeficientes aij ) xj = cyj 8 j
xj e yj dependem de m,m0 e q, mas c nao pode depender deles.
Pegue o 3o. termo
h↵0, j0m0|T (k)q±1|↵, jmi = chjk,mq ± 1|jk, j0m0i troque q ± 1 por q
e terminamos nossa demonstracao, escrevendo:
h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = h↵0j0||T (k)||↵jip
2j + 1hjk,mq|jk, j0m0i
onde a barra dupla significa que este termo nao depende de m,m0 e q.
13 MAPLima
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Exemplos de uso do Teorema de Wigner-Eckar Exemplo 1: T (0)
0 = S
h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = h↵0j0||T (k)||↵jip
2j + 1hjk,mq|jk, j0m0i
h↵0, j0m0|S|↵, jmi = h↵0j0||S||↵jip2j + 1
hj0,m0|j0, j0m0i ) m0 = m e j0 = j
) h↵0, j0m0|S|↵, jmi = h↵0j0||S||↵jip2j + 1
�j0j�m0m
o que permite concluir que S nao transfere momento angular.
Exemplo 2: Operador Vetorial V (1)q ! (V�1, V0, V+1)
h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = h↵0j0||T (k)||↵jip
2j + 1hjk,mq|jk, j0m0i
h↵0, j0m0|V (1)q |↵, jmi = h↵0j0||V (1)||↵jip
2j + 1hj1,mq|j1, j0m0i| {z }
Note que m+q=m0
q=±1 ou 0
(m0 = m± 1
ou m0 = me |j � 1| j0 j + 1 e ) j0 =
(j ± 1
j
mas
8><
>:
se j = 0 ! j0 = 1
e j = 0 ! j0 = 0
e proibido.
resumo
8><
>:
�m = m0 �m = ±1 ou 0
�j = j0 � j = ±1 ou 0
mas j = 0 ! j0 = 0 (proibido)
14 MAPLima
FI001 Aula 25
Teorema da Projeção
h↵0, j0m0|Vq|↵, jmi = h↵0jm|J.V|↵jmi~2j(j + 1)
hjm0|Jq|jmi
Primeiro, e importante escrever J como um tensor esferico cujas
componentes serao definidas por (J�1, J0, J+1), conforme havıamos definido.
De U+1 = � (Ux + iUy)p2
; U�1 =(Ux � iUy)p
2; U0 = Uz, e J± = Jx ± iJy,
temos: J±1 = ⌥ 1p2J± e J0 = Jz =) J.V = JzV0 +
1p2J+V�1 �
1p2J�V+1,
uma vez que: U.V = U0V0 � U+1V�1 � U�1V+1. Feito isso, agora podemos
escrever: h↵0, jm|J.V|↵, jmi = h↵0, jm|JzV0 +1p2J+V�1 �
1p2J�V+1|↵, jmi =
= m~h↵0, jm|V0|↵, jmi+ ~2
p(j +m)(j �m+ 1)h↵0, jm� 1|V�1|↵, jmi+
� ~2
p(j �m)(j +m+ 1)h↵0, jm+ 1|V+1|↵, jmi = cjmh↵0, j||V||↵, ji,
onde usamos o teorema de Wigner-Eckar. Note que cjm nao depende de ↵0,↵
e V. Como J.V e um escalar h |J.V| inao depende de m. Assim, ) cjm = cj
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Teorema da Projeção No slide anterior obtivemos: h↵0, jm|J.V|↵, jmi = cjh↵0, j||V||↵, ji.
Note que cj nao depende da escolha de V. Tome, portanto, V = J e escreva
para ↵0 = ↵ : h↵, jm|J2|↵, jmi = cjh↵, j||J||↵, ji. Dividindo uma expressao
pela outra, para se livrar de cj temos:h↵0, jm|J.V|↵, jmih↵, jm|J2|↵, jmi =
h↵0, j||V||↵, jih↵, j||J||↵, ji
Usando duas vezes o Teorema de Wigner-Eckar, uma para h↵0, j||V||↵, ji eoutra para h↵, j||J||↵, ji, tome a razao entre as expressoes e note que os
coeficientes sao iguais e se cancelam. Assim, obtemos a fracao:
h↵0, j||V||↵, jih↵, j||J||↵, ji =
h↵0, jm0|Vq|↵, jmih↵, jm0|Jq|↵, jmi que quando substituıda na expressao
acima, demonstra o teorema da projecao:
h↵0, jm0|Vq|↵, jmi = h↵0, jm|J.V|↵, jmi~2j(j + 1)
hjm0|Jq|jmi,
onde usamos
(h↵, jm|J2|↵, jmi = ~2j(j + 1)
h↵, jm0|Jq|↵, jmi = hjm0|Jq|jmi
||V|| não é um operador vetor, é o elemento de matriz reduzido, independe de m, m’ e q
lousa
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FI001 Aula 25
• Tome D(R) = 1� i✏J.n
~ em D†(R)ViD(R) =
X
j
RijVj
(1� i✏J.n
~ )†Vi(1� i✏J.n
~ ) =X
j
Rij(n; ✏)Vj
(1 + i✏J.n
~ )Vi(1� i✏J.n
~ ) =X
j
Rij(n; ✏)Vj
Vi �✏
i~J.nVi + Vi✏
i~J.n+O(✏2) =X
j
Rij(n; ✏)Vj
Vi +✏
i~ [Vi,J.n] =X
j
Rij(n; ✏)Vj
• Matriz simetrica:�UiVj + UjVi
2� U.V
3�ij
�=
=
0
@U1V1+U1V1
2 � U.V3 �11
U1V2+U2V12
U1V3+U3V12
U2V1+U1V22
U2V2+U2V22 � U.V
3 �22U2V3+U3V2
2U3V1+U1V3
2U3V2+U2V3
2U3V3+U3V3
2 � U.V3 �33
1
A =
=
0
@U1V1 � U.V
3U1V2+U2V1
2U1V3+U3V1
2U2V1+U1V2
2 U2V2 � U.V3
U2V3+U3V22
U3V1+U1V32
U3V2+U2V32 U3V3 � U.V
3
1
A ! Traco zero
<latexit sha1_base64="kQ+wtqiWHBKKMwN3joVbCinBYoA=">AAAOsnic3VfbbtNAEJ0WKCWQ0MIjLysqUKrQENuVuKlSJXhASIiCmraiTqPNetO49SWy10CI/JO88QWIv2C8dlvbSZq0JKLClqPdmZ2Zc45n7bjVtUxf1Go/5+avXb+xcHPxVuH2nWLp7tLyvR3fDTzG68y1XG+vRX1umQ6vC1NYfK/rcWq3LL7bOn4d+Xe/cM83XWdb9Lq8YdNDx2ybjAo0ucsLBjwGHVoQgIUnBwEE5wJH3/C3j7NtcMHGOYFQ+myg6OmAKf1v0FqGT7AKG6DAGlp1XNsFH0cWRjo4b4OHMQxX92WtNuZ5h3HV07mO+ais7aA9lPYOeihGhjjOY+KIYjSeA7QaaD3Ek2OGGN8ONCW60fh1RB2gvwlHaGmi18RRKCOPZC0d1SokeIZf5ZmpsDrAiyScZlt1tC7lVM5sllcDSFYTFSfVsDIjNv+rZies1jL48xlDiSONlUzIMc5fOd1Fs6hRGdidH6Ri+QoHoP4TjS9ynd2RygXV0tHTStYfn+Z5co6KeZY6Rp9lmJVO6XdG9un8XmbyMPY7zqIcNvxOLAx9L+WzO85h4rOsnFGoLvnG1SpydpRoEGml4m+2x8841HOqRNrFu1OTqhiI0UIcNKXBCYa4n2JuG/IecMwhEBuRaziuMVGHvrxLUe2ezMzkGbPJclAkaiXhcDKbLgdFZiSImoyoryb11Vz982K0JEbLxUT6DPJUh/BUx9RRh2BTp6yNOrZ+lqc6hqc2hKc2hqc2hOdkMVls2pS10RIrx442cj1N5PMj2hMdXP/3+yLd/ZdDf/X7O93F0+R4lfo03Y2X7cJJ+i09i9e58DXzhtmWsb/QTvANw+WKsLm0UqvW5EEGB0oyWIHk2Gou/dANlwU2dwSzqO/vK7WuaPSpJ0xm8bCgBz7vUnZMD/k+Dh1qc7/Rl59cIXmEFoO0XQ8vRxBpTUf0qe37PbuFK20qOn7eFxmH+fYD0X7e6JtONxDcYXGhdmAR4ZLo+40YpseZsHo4oMwzESthHepRJvArr4AiKHnKg4MdtaqsV198XF/ZVBM5FuEBPJR/iZ/BJryFLbyVrPi0WC8eFJul9dLnEi2xeOn8XBJzHzJHyfoDYuzKTw==</latexit>
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Lembre que D(R�1) = D†
(R)
e ) h`m0|D(R�1)|`mi = h`m0|D†
(R)|`mi = h`m|D(R)|`m0i⇤ = D`⇤
mm0(R)
Aplicaremos duas vezes o Teorema de Wigner-Eckar
h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = h↵0j0||T (k)||↵jip
2j + 1hjk,mq|jk, j0m0i
onde a barra dupla significa que este termo nao depende de m,m0e q.
Uma para Vq
h↵0, j0m0|Vq|↵, jmi = h↵0j0||V||↵jip2j + 1
hjk,mq|jk, j0m0i
Outra para Jq
h↵0, j0m0|Jq|↵, jmi = h↵0j0||J||↵jip2j + 1
hjk,mq|jk, j0m0i
Divide uma pela outra, para obter
h↵0, j0m0|Vq|↵, jmih↵0, j0m0|Jq|↵, jmi =
h↵0j0||V||↵jih↵0j0||J||↵ji
<latexit sha1_base64="2tooNhyLyn15/a++XznNfKBV+LA=">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</latexit>
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