Exemplo Turbinas de Avião

Gilberto A. Paula

Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil

giapaula@ime.usp.br

2o Semestre 2015

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 1 / 29

Turbinas de Avião

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 2 / 29

Turbinas de Avião

Turbinas de Avião

Descrição dos Dados

Como ilustração, vamos considerar os dados descritos em Lawless(1982, p. 201) em que cinco tipos de turbina de avião são comparadossegundo o tempo (em milhões de ciclos) até a perda da velocidade.

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Turbinas de Avião

Turbinas de Avião

Distribuição do Tempo até a Perda da Velocidade

Tipo de TurbinaTipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo V3,03 3,19 3,46 5,88 6,435,53 4,26 5,22 6,74 9,975,60 4,47 5,69 6,90 10,399,30 4,53 6,54 6,98 13,559,92 4,67 9,16 7,21 14,45

12,51 4,69 9,40 8,14 14,7212,95 5,78 10,19 8,59 16,8115,21 6,79 10,71 9,80 18,3916,04 9,37 12,58 12,28 20,8416,84 12,75 13,41 25,46 21,51

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Análise de Dados Preliminar

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências

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Análise de Dados Preliminar

Densidade do Tempo

Tempo

De

nsid

ad

e

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.0

20

.04

0.0

60

.08

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Análise de Dados Preliminar

Boxplots do Tempo segundo o Tipo de Turbina

Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo V

51

01

52

02

5

Tem

po

de

Du

raçã

o

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 7 / 29

Análise de Dados Preliminar

Comparação dos Tipos de Turbina

Medidas Resumo para o Tempo

Estatística Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo VMédia 10,69 6,05 8,64 9,80 14,71D.Padrão 4,82 2,91 3,29 5,81 4,86C. Variação 45,09% 48,10% 38,08% 59,29% 33,04%

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Ajuste Modelo Gama

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 9 / 29

Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Seja yij o tempo até a perda da velocidade da j-ésima turbina do

i-ésimo tipo. Vamos supor inicialmente que yijiid∼ G(µ, φ), ou seja,

vamos ignorar o efeito tipo de turbina. Obtemos as seguintesestimativas:

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Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Seja yij o tempo até a perda da velocidade da j-ésima turbina do

i-ésimo tipo. Vamos supor inicialmente que yijiid∼ G(µ, φ), ou seja,

vamos ignorar o efeito tipo de turbina. Obtemos as seguintesestimativas:

µ̂ = 9, 98(0, 73) e φ̂ = 4, 01(0, 77).

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 10 / 29

Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Seja yij o tempo até a perda da velocidade da j-ésima turbina do

i-ésimo tipo. Vamos supor inicialmente que yijiid∼ G(µ, φ), ou seja,

vamos ignorar o efeito tipo de turbina. Obtemos as seguintesestimativas:

µ̂ = 9, 98(0, 73) e φ̂ = 4, 01(0, 77).

Portanto, confirma-se pela estimativa de φ um certa assimetria àdireita na distribuição empírica do tempo de duração até a perda davelocidade.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 10 / 29

Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 11 / 29

Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:

yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 11 / 29

Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:

yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µi = α+ βi ,

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 11 / 29

Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:

yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µi = α+ βi ,

em que β1 = 0.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 11 / 29

Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:

yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µi = α+ βi ,

em que β1 = 0. Isto é, temos um modelo casela de referência em queβ2, β3, β4 e β5 são incrementos nas médias dos tipos II, III, IV e V emrelação à média do tipo I.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 11 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências

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Resultados Modelo Ajustado

Estimativas

Descrição

Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 10,69 1,54 6,93β2 -4,64 1,77 -2,62β3 -2,06 1,98 -1,04β4 -0,89 2,09 -0,43β5 4,01 2,62 1,53φ 5,80 1,13 5,13

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Resultados Modelo Ajustado

Estimativas

Descrição

Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 10,69 1,54 6,93β2 -4,64 1,77 -2,62β3 -2,06 1,98 -1,04β4 -0,89 2,09 -0,43β5 4,01 2,62 1,53φ 5,80 1,13 5,13

Desvio

O desvio do modelo é dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 80 × 8, 86 = 51, 39(45 g.l .).

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 13 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Estimativas

Descrição

Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 10,69 1,54 6,93β2 -4,64 1,77 -2,62β3 -2,06 1,98 -1,04β4 -0,89 2,09 -0,43β5 4,01 2,62 1,53φ 5,80 1,13 5,13

Desvio

O desvio do modelo é dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 80 × 8, 86 = 51, 39(45 g.l .). Valor-P dadopor P=0,24 (não rejeitamos o modelo).

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Resultados Modelo Ajustado

Resultados Preliminares

Interpretações

Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.

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Resultados Modelo Ajustado

Resultados Preliminares

Interpretações

Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.O tipo II é aquele que apresenta o menor tempo médio, enquanto queo tipo V parece ter o maior tempo médio.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 14 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Resultados Preliminares

Interpretações

Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.O tipo II é aquele que apresenta o menor tempo médio, enquanto queo tipo V parece ter o maior tempo médio.

Teste F

Vamos verificar através de um teste F, se é possível agrupar os tipos I,III e IV.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 14 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Resultados Preliminares

Interpretações

Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.O tipo II é aquele que apresenta o menor tempo médio, enquanto queo tipo V parece ter o maior tempo médio.

Teste F

Vamos verificar através de um teste F, se é possível agrupar os tipos I,III e IV. Ou seja, vamos testar as hipóteses H : β3 = β4 = 0 contra A :pelo menos um parâmetro diferente de zero.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 14 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Descrição Teste F

Detalhes

A estatística F fica dada por

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 15 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Descrição Teste F

Detalhes

A estatística F fica dada por

F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q

D(y; µ̂)/(n − p),

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 15 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Descrição Teste F

Detalhes

A estatística F fica dada por

F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q

D(y; µ̂)/(n − p),

em que D(y; µ̂0) e D(y; µ̂) denotam, respectivamente, os desvios (nãoescalonados) sob as hipóteses H e A.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 15 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Descrição Teste F

Detalhes

A estatística F fica dada por

F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q

D(y; µ̂)/(n − p),

em que D(y; µ̂0) e D(y; µ̂) denotam, respectivamente, os desvios (nãoescalonados) sob as hipóteses H e A. Sob a hipótese H e para φgrande F ∼ Fq,(n−p).

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 15 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Descrição Teste F

Detalhes

A estatística F fica dada por

F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q

D(y; µ̂)/(n − p),

em que D(y; µ̂0) e D(y; µ̂) denotam, respectivamente, os desvios (nãoescalonados) sob as hipóteses H e A. Sob a hipótese H e para φgrande F ∼ Fq,(n−p). No exemplo temos que n=50, p=5 e q=2.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 15 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Aplicação Teste F

DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Aplicação Teste F

DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:

F =(9, 09 − 8, 86)/2

8, 86/45= 0, 58.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Aplicação Teste F

DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:

F =(9, 09 − 8, 86)/2

8, 86/45= 0, 58.

O valor-P neste caso fica dado por P=0,56.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Aplicação Teste F

DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:

F =(9, 09 − 8, 86)/2

8, 86/45= 0, 58.

O valor-P neste caso fica dado por P=0,56. Portanto, não rejeitamos ahipótese H e podemos agrupar os tipos de turbina I, III e IV.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29

Resultados Modelo Ajustado

Aplicação Teste F

DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:

F =(9, 09 − 8, 86)/2

8, 86/45= 0, 58.

O valor-P neste caso fica dado por P=0,56. Portanto, não rejeitamos ahipótese H e podemos agrupar os tipos de turbina I, III e IV. Vamosentão considerar apenas três grupos.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29

Modelo Final

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 17 / 29

Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição

Vamos então considerar o seguinte modelo gama:

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 18 / 29

Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição

Vamos então considerar o seguinte modelo gama:

yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 18 / 29

Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição

Vamos então considerar o seguinte modelo gama:

yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µ1 = µ3 = µ4 = α,

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 18 / 29

Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição

Vamos então considerar o seguinte modelo gama:

yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µ1 = µ3 = µ4 = α,

µ2 = α+ β2,

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 18 / 29

Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição

Vamos então considerar o seguinte modelo gama:

yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µ1 = µ3 = µ4 = α,

µ2 = α+ β2,

µ5 = α+ β5.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 18 / 29

Modelo Final

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 19 / 29

Modelo Final

Resultados Modelo Final Gama

Estimativas

Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 9,71 0,81 12,01β2 -3,66 1,19 -3,08β5 5,00 2,27 2,20φ 5,66 1,10 5,14

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 20 / 29

Modelo Final

Resultados Modelo Final Gama

Estimativas

Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 9,71 0,81 12,01β2 -3,66 1,19 -3,08β5 5,00 2,27 2,20φ 5,66 1,10 5,14

Desvio

O desvio do modelo final fica dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 66 × 9, 09 = 51, 45 (47g.l .).

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 20 / 29

Modelo Final

Resultados Modelo Final Gama

Estimativas

Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 9,71 0,81 12,01β2 -3,66 1,19 -3,08β5 5,00 2,27 2,20φ 5,66 1,10 5,14

Desvio

O desvio do modelo final fica dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 66 × 9, 09 = 51, 45 (47g.l .). Valor-P dadopor P=0,30 (não rejeitamos o modelo).

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 20 / 29

Diagnóstico Modelo Final

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 21 / 29

Diagnóstico Modelo Final

Distância de Cook

0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Índice

Dis

tânc

ia d

e C

ook

47

49

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 22 / 29

Diagnóstico Modelo Final

Resíduos Modelo Final

−2 −1 0 1 2

−3−2

−10

12

Percentil da N(0,1)

Com

pone

nte

do D

esvi

o

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 23 / 29

Diagnóstico Modelo Final

Variações nas Estimativas

Observações Influentes

Os pontos #47 e #49 aparecem como possivelmente influentes.Ambos referem-se aos maiores tempos dos tipos II e IV,respectivamente.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 24 / 29

Diagnóstico Modelo Final

Variações nas Estimativas

Observações Influentes

Os pontos #47 e #49 aparecem como possivelmente influentes.Ambos referem-se aos maiores tempos dos tipos II e IV,respectivamente. Abaixo são apresentadas as variações nasestimativas eliminando-se esses pontos.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 24 / 29

Diagnóstico Modelo Final

Variações nas Estimativas

Observações Influentes

Os pontos #47 e #49 aparecem como possivelmente influentes.Ambos referem-se aos maiores tempos dos tipos II e IV,respectivamente. Abaixo são apresentadas as variações nasestimativas eliminando-se esses pontos.

Estimativa Sem 47 Sem 49α̂ 0% -5%β̂2 -22% 14%β̂5 0% 10%φ̂ 8% 16%

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 24 / 29

Diagnóstico Modelo Final

Resíduos Modelo Normal

−2 −1 0 1 2

−20

24

Percentil da N(0,1)

Res

íduo

Stu

dent

izad

o

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 25 / 29

Conclusões

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 26 / 29

Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 27 / 29

Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos. Os tipos I, III e IV com o mesmo desempenho médio e os tipos IIe V com o menor e maior desempenho médio, respectivamente.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 27 / 29

Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos. Os tipos I, III e IV com o mesmo desempenho médio e os tipos IIe V com o menor e maior desempenho médio, respectivamente. Asuposição de distribuição gama para o tempo de duração parecebastante razoável e as observações detectadas como pontospossivelmente influentes não mudam as conclusões quando sãoeliminadas do estudo.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 27 / 29

Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos. Os tipos I, III e IV com o mesmo desempenho médio e os tipos IIe V com o menor e maior desempenho médio, respectivamente. Asuposição de distribuição gama para o tempo de duração parecebastante razoável e as observações detectadas como pontospossivelmente influentes não mudam as conclusões quando sãoeliminadas do estudo. A suposição de modelo normal homocedásticonão é razoável.

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 27 / 29

Referências

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 28 / 29

Referências

Referências

Referência

Lawless, J. F. (1982). Statistical Models and Methods for LifetimeData. John Wiley, New York.

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