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Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o Software Winplot
Silvia Cristina Freitas Batista Gilmara Teixeira Barcelos
Campos dos Goytacazes /RJ
2008
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Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o Software Winplot
� Seção 1
A primeira seção deste material contém algumas informações básicas sobre a utilização do software Winplot.
Conhecendo o Software Winplot
O Winplot é um programa gráfico de propósito geral, que permite o traçado e animação de gráficos em 2D e em 3D, através de diversos tipos de equações (explícitas, implícitas, paramétricas e outras). Possui inúmeros recursos e ainda assim é pequeno, cabendo em um disquete. É um programa gratuito, disponível em http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html .
Para abrir o Winplot, clique duas vezes no ícone Winplot.lnk
. Com isso, se abrirá a janela inicial do software:
Clicando em Janela, aparecerão as seguintes opções:
Para visualizar o gráfico de uma função de uma variável y = f(x), escolhe-se opção 2-dim. Assim, será apresentada a seguinte janela:
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Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada:
Para digitar as formulas das funções é preciso respeitar as regras de sintaxe do
software. Clicando em Equação e, em seguida, em Biblioteca, obtém-se informações sobre a forma de digitar diversas funções. Na tabela abaixo apresentamos a sintaxe de algumas funções elementares:
Função xn a
x x n x xlog xln x xsen xcos
Sintaxe nx^ na^ sqrt(x) root(n, x) )log(x )ln(x )(xabs )(xsin )cos(x
Para personalizar seu plano cartesiano, clique em Ver (no alto da janela principal) e, em seguida, selecione Grade. Isso abrirá uma janela na qual é possível fazer algumas escolhas:
setas Exibe os eixos com setas escala Exibe as escalas nos eixos
rótulos Exibe os rótulos x e y, nos respectivos eixos grade
Exibe linhas de grade no plano do gráfico
Para alterar a cor do fundo da janela principal, clique em Misc (no alto da janela principal), em seguida deslize o cursor até Cores e, então, selecione Fundo.
Tomemos, como exemplo, a função 1)( 24−++= xxxxf , para analisarmos outros
recursos do Winplot.
Aumentando o valor na caixa “espessura da linha”, obtém-se gráficos com linhas mais “grossas”.
É possível visualizar a equação do gráfico construído, na cor do gráfico, e no local desejado. Para visualizar a equação, clique em equação na janela inventário. Para arrastar a equação pela tela e colocá-la no local desejado, clique em Mouse (no alto da janela principal) e, em seguida, selecione Texto. Clique, então, sobre a equação, com o botão esquerdo do mouse e arraste.
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Para encontrar os zeros ou raízes de uma função entre em Um (no alto da janela principal) e, a seguir, em zeros. Para descobrir outras raízes da função, caso existam, basta
clicar em próximo. Considerando a função 1)( 24−++= xxxxf , temos:
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, caso existam, entre em Um e a seguir em Extremos. Para descobrir um outro ponto extremante, caso exista, basta
clicar em próximo extremo de. Considerando a função 1)( 24−++= xxxxf , temos:
Para encontrar a imagem de um determinado valor de x, clique em Um e, a seguir, em Traço. Digite o valor de x na linha onde se vê “x =” e tecle enter.
Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de duas curvas clique em Dois
(no alto da janela principal) e, a seguir, em Interseções. Para descobrir um segundo ponto de interseção, caso exista, basta clicar em prox interseção. Considerando as funções
1)( 24−++= xxxxf e 3 2 1)( += xxg , temos:
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È possível ampliar ou reduzir o gráfico através das teclas Page Up e Page Down, respectivamente. É possível modificar a posição da superfície através das teclas:
. Para visualizar o gráfico de uma função definida por mais de uma sentença, clique
em Equação e, em seguida, em Explícita. No campo “f(x) =”, digite joinx (lei 1| a, lei 2| b,..., lei n). O Winplot interpreta Lei 1 no intervalo ax ≤ , lei 2 no intervalo bxa ≤< , e assim sucessivamente, até a última lei Lei n no intervalo formado pelos demais valores. Consideremos o seguinte exemplo:
Se desejar limitar um intervalo de x, à esquerda e à direita, para a função considerada, preencha os campos x mín e x máx e, a seguir, marque travar intervalo. No exemplo abaixo a função foi restrita ao intervalo [-3,3].
>+−
≤<−−
−≤+
=
2se ,72
21se,1
1se,1
)(2
xx
xx
xx
xf
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Para visualizar o gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y), utiliza-se a opção Janela, na tela inicial do software e, em seguida, seleciona-se a opção 3-dim na coluna de comandos.
Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada. Como
exemplo, consideremos a função dada por 2),( xyxf = .
x
y
z
É possível rotacionar o gráfico em 3-dim, utilizando as setas .
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� 2ª Parte
A 2ª parte deste material é composta de atividades abordando função do 2º grau (transformações gráficas), a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.
Função do 2º Grau - Transformações Gráficas
1. Comparação da função y = x2 com as funções da forma y = x2 + p, sendo p ∈ IR. a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um
mesmo plano cartesiano.
1.1 y = x^2 1.4 y = x^2 – 3 1.2 y = x^2 + 2 1.5 y = x^2 – 1 1.3 y = x^2 + 4
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas. 1.1 __________________________________ 1.4 ________________________________
1.2 __________________________________ 1.5_________________________________
1.3 __________________________________
c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = x2 + p (p ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.
d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções
do tipo y = x2 + p (p ∈ IR). e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o
parâmetro p, das funções da forma y = x2 + p (p ∈ IR), causa sobre o gráfico da função y = x2 ?
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 2. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = (x + h)2 sendo h∈ IR.
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.
2.1 y = x^2 2.4 y = (x - 3)^2 2.2 y = (x + 1)^2 2.5 y = (x + 4)^2 2.3 y = (x - 1)^2
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.
2 1 _______________________________ 2.4__________________________________
2.2 _______________________________ 2.5___________________________________
2.3 _______________________________
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c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = (x + h)2 (h ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.
d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções do
tipo y = (x + h)2 (h ∈ IR). e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o
parâmetro h, das funções da forma y = (x + h)2 (h ∈ IR), causa sobre o gráfico da função y = x2 ?
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
3. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = ax2 sendo a ∈ IR*+
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.
3.1 y = x^2 3.3 y = 223
^x 3.5 y = 21
x^2
3.2 y = 2x^2 3.4 y = 32
x^2
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.
3.1 ________________________________ 3.4 _________________________________
3.2 ________________________________ 3.5_________________________________
3.3 ________________________________
c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = ax2 (a ∈ IR*
+). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro. d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções
do tipo y = ax2 (a ∈ IR+*).
e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma y = ax2 (a ∈ IR+
*), causa sobre o gráfico da função y = x2? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 4. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = ax2 sendo a ∈ IR-
*.
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.
4.1 y = x^2 4.3 y = - 2x^2
4.2 y = - x^2 4.4 y = - 221
^x
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.
4.1 ________________________________ 4.3 __________________________________
4.2 ________________________________ 4.4 __________________________________
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c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = ax2 (a ∈ IR-
*). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro. d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções do
tipo y = ax2 (a ∈ IR-*).
e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o
parâmetro a, das funções da forma y = ax2 (a ∈ IR-*), causa sobre o gráfico da função
y = x2? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 5. Determine o que se pede em cada item :
a) utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir; b) determine as coordenadas do vértice de cada parábola; c) determine o conjunto imagem de cada uma das funções; d) indique as transformações que ocorreram em relação à função y = x2.
5.1 y = (x – 3)2 + 2 __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
5.2 y = (x + 1)2 – 4 __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 5.3 y = 2(x + 1)2 + 1 __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
5.4 y = - 4
1(x – 2)2 + 3
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
6. A partir das observações feitas nos exercícios anteriores, determine as coordenadas
do vértice das parábolas que representam as funções da forma y = a (x + i)2 + p,
sabendo que a ∈ IR*, i ∈ IR e p ∈ IR.
__________________________________________________________________________
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7. (UFJF) O esboço do gráfico que melhor representa uma função f: IR → IR definida por f(x) = (x – a)2 – b , onde a e b são números reais positivos, é: a) c) e)
b) d)
� 3ª Parte
A 3ª parte deste material contém teoria sobre análise gráfica de sistemas lineares e atividades sobre o tema a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.
Sistemas Lineares – Análise Gráfica
1. Sistemas Lineares com Duas Equações e Duas Incógnitas
Seja o sistema linear S1:
=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
No qual 212121 ,,,,, ccbbaa são números reais.
Consideremos:
),( 111 bal = e ),( 222 bal = ;
),,( 1111 cbaL = e L2 = ( ),, 222 cba ,
com l1 e l2 não nulos e, conseqüentemente, L1 e L2 também não nulos. As duas equações do sistema S1 representam retas, que chamaremos 1r e 2r .
São três as posições relativas de duas retas no plano. Cada uma dessas posições é assegurada por uma condição algébrica, conforme descrito a seguir.
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Posições Relativas de Duas Retas no Plano e Condições Algébricas a) As duas retas coincidem. 21 rr =
Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y) da reta
1r (ou 2r , já que são coincidentes). O sistema é possível e indeterminado.
Condição algébrica:
Existe k, real não nulo, tal que:
L2 = kL1 (ou seja, L2 é múltiplo de L1).
b) As duas retas são paralelas.
1r
2r
Nesse caso, o sistema não tem solução, ou seja, é impossível.
Condição algébrica:
Existe k, k∈R*, tal que l2 = kl1 mas, L2 ≠ kL1 .
c) As duas retas são concorrentes.
Nesse caso, o sistema admite uma única solução, que é o ponto comum entre as duas retas. Logo, o sistema é possível e determinado.
Condição algébrica:
Para todo k, k ∈ R, l2 ≠ kl1 (ou seja, l2 não é múltiplo de l1).
r
1r
2r
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2. Sistemas Lineares com Três Equações e Três Incógnitas
Seja o sistema linear S2:
=++
=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
No qual ,,,,,,,,, 321321321 cccbbbaaa 321 ,, ddd são números reais.
Consideremos: ),,( 1111 cbal = , ),,( 2222 cbal = e ),,( 3333 cbal = ;
),,,( 11111 dcbaL = , L2 = ( ),,, 2222 dcba e L3 = ( ),,, 3333 dcba ,
com l1, l2 e l3 não nulos e, conseqüentemente, L1, L2 e L3 também não nulos. As três equações do sistema S2 representam planos, que chamaremos 1π , 2π e 3π .
São oito as posições possíveis de três planos no espaço, um em relação aos outros. Cada uma dessas posições é assegurada por uma condição algébrica, conforme descrito a seguir.
Posições Relativas dos Planos e Condições Algébricas
a) Os três planos coincidem.
Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) do plano
1π (ou 2π ou 3π , já que são coincidentes). O sistema é indeterminado de grau 2.
Condição algébrica:
Existem k e p, reais não nulos, tais que: L2 = kL1 e L3 = pL1
(ou seja, L1, L2 e L3 são múltiplos um do outro).
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b) Dois desses planos coincidem e são paralelos ao terceiro
Nesse caso, o sistema não tem solução.
Condição algébrica:
Existe k, k∈R*, tal que L2 = kL1 e existe p, p∈R*, tal que l3 = pl1, mas, L3 ≠ pL1.
c) Dois desses planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta
Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, formadas pelos pontos (x, y, z) da reta
comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.
Condição algébrica:
Existe k, k∈R*, tal que L2 = kL1 e para todo p, p∈R, l3 ≠ pl1.
d) Os três planos são paralelos entre si
Nesse caso, o sistema não tem solução.
Condição algébrica:
Existe k, k∈R*, tal que l2 = kl1 mas, L2 ≠ kL1 e existe p, p∈R*, tal que l3 = pl1, mas, L3 ≠ pL1.
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e) Dois desses planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas
Nesse caso, o sistema não tem solução.
Condição algébrica:
Existe k, k ∈ R*, tal que l2 = kl1 mas L2 ≠ kL1 e para todo p, p∈R, l3 ≠ pl1.
f) Os três planos têm exatamente uma reta comum
Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) da reta
comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.
Condição algébrica:
l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, mas L3 = kL1 + pL2
(isto é, L3 é uma combinação linear de L1 e L2, sendo k∈R* e p∈R*).
g) Os três planos se intersectam dois a dois segundo retas paralelas
Nesse caso, o sistema não tem solução.
Condição algébrica:
l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, mas existem k e p, reais
não nulos, tais que l3 = kl1 + pl2 e L3 ≠ kL1 + pL2.
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h) Os três planos têm exatamente um ponto em comum
Nesse caso, o sistema admite uma única solução.
Condição algébrica:
l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é combinação linear dos outros dois. Isso significa que o determinante formado pelas componentes de l1, l2 e l3 é diferente de zero:
0
333
222
111
≠
cba
cba
cba
Bibliografia
LIMA, E. L. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, 1992. MACHADO, A. S., Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Atual, 1982.
Atividades
1. Com auxílio do programa Winplot, analise geometricamente os sistemas abaixo, classificando-os em possível e determinado; possível e indeterminado ou impossível.
Obs.: do item a até c, a atividade será desenvolvida na janela 2-dim; de d até l, na janela 3-dim .
a)
=+
−=−
835
12
yx
yx e)
=−+
=−+
=−+
4322
12936
8624
zyx
zyx
zyx
i)
=++
=−−
=++
53
132
2432
zyx
zyx
zyx
b)
=−
=+−
41510
132
yx
yx f)
=−+
=−+
=−+
532
12936
10624
zyx
zyx
zyx
j)
=++
=−−
=++
33
132
2432
zyx
zyx
zyx
c)
=−
=−
3
622
yx
yx g)
=+−
=+−
=+−
12462
5642
432
zyx
zyx
zyx
l)
=+−
−=−+
=++
1224
132
72
zyx
zyx
zyx
d)
=+−
=+−
=+−
3333
2222
1
zyx
zyx
zyx
h)
=+−
=+−
=+−
12462
8642
432
zyx
zyx
zyx
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2. Em cada item, monte um sistema linear atendendo às condições dadas e,
utilizando o Winplot, verifique se o sistema elaborado realmente corresponde ao que foi pedido. Classifique o sistema em possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI).
a) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja
um par de retas concorrentes;
b) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja um par de retas paralelas;
c) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos coincidentes, paralelos a um terceiro plano;
d) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos paralelos entre si;
e) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos coincidentes e um terceiro plano intersectando-os;
f) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos paralelos e um terceiro plano intersectando-os;
g) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos que possuem em comum apenas uma reta.
h) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos concorrentes em um único ponto.