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Prof. Lorí Viali, Dr.viali@ufrgs.br
http://www.ufrgs.br/~viali/Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Coleção de números = estatísticas
� O número de carros vendidos no país
aumentou em 30%.
� A taxa de desemprego atinge, este mês, 7,5%.
� As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje.
� Resultados do Carnaval no trânsito: 145
mortos, 2430 feridos.
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Estatística: uma definição
A ciência de coletar, organizar,
apresentar, analisar e interpretar
dados numéricos com o objetivo de
tomar melhores decisões.
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Estatística (divisão)
Descritiva
Indutiva
Os procedimentos usados paraorganizar, resumir e apresentardados numéricos.
A coleção de métodos etécnicas utilizados para estudaruma população baseado emamostras probabilísticas destapopulação.
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População
Uma coleção de todos os
possíveis elementos, objetos ou
medidas de interesse.
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Censo
Um levantamento efetuado sobre
toda uma população é denominado de
levantamento censitário ou
simplesmente censo.
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Amostra
Uma porção ou parte de
uma população de interesse.
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Amostragem
O processo de escolha de
uma amostra da população é
denominado de amostragem.
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PROBABILIDADE(Matemática) Univariada
ESTATÍSTICA(Matemática
Aplicada)Multivariada
POPULAÇÃO(Censo)
AMOSTRA(Amostragem)
InferênciaErro
PROBABILIDADE
Estatística Descritiva
Probabilidade
Estatística Indutiva
Amostragem
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Estatística x Probabilidade
Faces Probabilidades Faces Frequências
1 1/6 1 15
2 1/6 2 18
3 1/6 3 23
4 1/6 4 25
5 1/6 5 22
6 1/6 6 17
Total 1 Total 120
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Arredondamento
Todo arredondamento é um
erro.
O erro deve ser evitado ou
então minimizado.
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Regra básica:
Arrendondar sempre para o
mais próximo.
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Exemplos:
1,456 1,46
1,454 1,45
1,475 1,48
1,485 1,48
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V
A
R
I
Á
V
E
I
S
QUALITATIVAS
QUANTITATIVAS
ORDINAL
NOMINAL
DISCRETA
CONTÍNUA
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NOMINAL
SexoReligião
Estado civil Curso
ORDINAL
Conceito
Grau de Instrução
Mês
Dia da semana
Variável Qualitativa
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Variável Quantitativa
Número de faltas
Número de irmãos
Número de acertos
Altura
Área
Peso
Volume
CONTÍNUA
DISCRETA
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Estatística Descritiva
Organização;
Resumo;
Apresentação.
Conjunto de dados:
�Amostra
ou
�População
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Um conjunto de dados é resumido deacordo com as seguintes características:
Tendência ou posição central
Dispersão ou variabilidade
Assimetria (distorção)
Achatamento ou curtose
Amostra ouPopulação
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Tendência ou Posição Central
(a) As médias
Si
mples
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
Interna
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A média Aritmética (mean)
nn
1
n
...x
xx
xxx
ii
n21
∑∑ ==
=+++
=
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A média Geométrica
ni
nn21g
x
x ... .x.xm
∏=
==
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A média Harmônica
∑=
+++
=
=
+++
=
xxxx
xxx
m
in
n
h
n
...
n
n
...
1111
1111
21
21
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A média Quadrática
nx
nx...xx
m
2i
2n
22
21
q
∑=
=++
=
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A média Interna (trimmed mean)
É a mesma média aritmética só
que aplicada sobre o conjunto onde
uma parte dos dados (extremos) é
descartada.
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Conjuntos mg mh
4 6 5 4,9 4,8
1 9 5 3 1,8
x
Médias
Exemplo
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Relação entre as médias
Dado um conjunto de dados qualquer,
as médias aritmética, geométrica e
harmônica mantém a seguinte relação:
mm hgx ≥≥
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Tendência ou Posição Central
(a)As
médias
Ponderadas
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
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A média Aritmética Ponderada
∑∑
=
=+++
+++=
wwx
wwwwxwxwx
m
i
ii
k
kkap
.
...
......
21
2211
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A média Geométrica Ponderada
∑=
=∑
=
∏w w
w w ... .w.w
i ii
i kkgp
x
xxxm 22
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A média Harmônica Ponderada
∑
∑
+
=
=
+++
+=
xww
xw
xw
xw
wwwm
i
i
i
k
k
kP
...h
2
2
1
1
21
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A média Quadrática Ponderada
∑w
∑ xw=
w+...+w+w
xw+...+xw+xw=m
i
2i
k21
2kk
222
21
qpi1
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Produtos p01 p02 q
Carne 4,80 5,52 5 kg
Cana 5,20 4,94 1 l
Ceva 0,80 0,92 12 lt
Pão 1,50 2,10 2 u
Total -- -- --
Exemplo:
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Produtos p01 p02 α p(0,t)
1 4,80 5,52 0,58 1,15
2 5,20 4,94 0,12 0,95
3 0,80 0,92 0,23 1,15
4 1,50 2,10 0,07 1,40
Total -- -- 1,00 --
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114,31%=1,1431 =
=07,0+23,0+12,0+57,0
07,0.40,1+23,0.15,1+12,0.95,0+58,0.15,1=map
Média aritmética ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 14,31%.
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Média geométrica ponderada dos relativos
(aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,90%.
%90,113=1390,1 =
=40,115,195,015,1 =
=40,115,195,015,1=m
07,023,012,058,0
1 07,023,012,058,0gp
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Média harmônica ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,48%.
%48,113=1348,1=
=
40,107,0
+15,123,0
+95,012,0
+15,158,0
1=m h P
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Tendência ou Posição Central
(b) A mediana (median)
me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par
É o valor que separa o conjunto em
dois subconjuntos do mesmo tamanho.
me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar
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Separatrizes
A idéia de repartir o conjunto de
dados pode ser levada adiante. Se ele for
repartido em 4 partes tem-se os
QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em
100 os PERCENTIS.
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Considere o seguinte conjunto:
1 -1 0 4 2 5 3
Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4
Ordenando o conjunto, tem-se:
-1 0 1 2 4 3 5
Então: me = x4 = 2
Exemplo
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Se o conjunto for:
1 -1 0 4 2 5 3 -2Tem-se: n = 8 (par)
Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2
Ordenando o conjunto, tem-se:
-2 -1 0 1 2 3 4 5
me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50
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(c) A moda (mode)
É o(s) valor(es) do conjunto que
mais se repete(m).
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Considere o conjunto
0 1 1 2 2 2 3 5
Então: mo = 2
Pois, o dois é o que mais se repete
(três vezes).
Exemplo
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Considere o conjunto:
0 1 1 2 2 3 5
Então: mo = 1 e mo = 2
O conjunto é bimodal.
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Considere o conjunto:
0 1 2 3 4 5 7
Este conjunto é amodal, pois
todos os valores apresentam a mesma
frequência.
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(a) A amplitude (h)
(b) O Desvio Médio (dma)
(c) A Variância (s2)
(d) O Desvio Padrão (s)
(e) A Variância Relativa (g2)
(f) O Coeficiente de Variação (s)
Dispersão ou Variabilidade
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h = xmáx - xmín
A Amplitude (range)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
h = 5 – (-2) = 7
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A média é:
15
5
5
53021==
+++−−=x
O dma (average deviation)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
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Calculando os desvios: xxi −
Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3
d2 = -1 – 1 = -2
d3 = 0 – 1 = -1
d4 = 3 – 1 = 2
d5 = 5 – 1 = 4
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Como pode ser visto a soma é igual
a zero. Tomando o módulo vem:
40,25
125
|4||2||1||2||3|n
|xx|dma i
==
=++++−+−+−
=
=∑ −
=
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Se ao invés de tomar o módulo,
elevarmos ao quadrado, tem-se:
8065
34
5
164149
542123 22222
22
,
((
ni
)))(
)xx(s
==++++
=
=+++
=
==
+−−−
∑ −
A variância (variance)
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ni
nn....
)xx(
)xx()xx()xx(s
∑ −
−−−
=
=+++
=
2
2222 21
A variância de um conjunto de dadosserá:
xx
sn
i2 22
−=∑
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É a raiz quadrada da variância.
xn
x
n
)xx(s 2
2i
2i −
∑=
∑ −=
O Desvio Padrão (standard deviation)
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Se extrairmos a raiz quadrada
teremos do resultado anterior teremos o
desvio padrão:
61,280,6n
)xx(s i
2==
∑ −=
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g2 = s2 / x 2
g = s / x
A Variância Relativa
O Coeficiente de Variação
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O coeficiente de variação do
exemplo anterior, será:
%77,2601
6077,2
x
sg ===
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Organização;
Resumo;
Apresentação.
Amostra ou
População
Grande Conjuntos de Dados
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Lascado MenorDesenho Maior
Torto LascadoDesenho EsmalteTorto EsmalteLascado LascadoTorto DesenhoMaior MenorMenor MaiorDesenho Torto
................... ....................
Defeitos em uma linha de produção
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Defeito Freqüência %Desenho 71 14,20
Esmalte 95 19,00
Lascado 97 19,40
Maior 70 14,00
Menor 83 16,60
Torto 57 11,40
Trincado 27 5,40
TOTAL 500 100
Distribuição de freqüências
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SIMPLES
ACUMULADAS
Absoluta
Relativa
Absoluta
Relativa
FREQÜÊNCIAS
Percentual
Apresentação
Percentual
Decimal
Decimal
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Valores fi Fi fri fri Fri
0 60 60 0,30 30 30
1 50 110 0,25 25 55
2 40 150 0,20 20 75
3 30 180 0,15 15 90
4 10 190 0,05 5 95
5 6 196 0,03 3 98
6 4 200 0,02 2 100
Total 200 — 1,00 100 —
Frequências: representação
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Defeitos em uma linha de produção
14%
20%
19%14%
17%
11%5%
Desenho
Esmalte
Lascado
Maior
Menor
Torto
Trincado
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Número de irmãos dos alunos da turma G
Estatística Aplicada - PUCRS - 2011/01
0 1 1 6 3 1 3 1 1 0
4 5 1 1 1 0 2 2 4 1
3 1 2 1 1 1 1 5 5 6
4 1 1 0 2 1 4 3 2 2
1 0 2 1 1 2 3 0 1 0
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Distribuição de frequências por ponto ou
valores da variável: “Número de irmãos
dos alunos da turma G” da disciplina:
Estatística Aplicada - PUCRS - 2011/01.
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N0 de irmãos N0 de alunos0 71 212 83 54 45 36 2∑ 50
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Diagrama de colunas simples da variável:
Número de irmãos dos alunos da
turma G Disciplina: Estatística
Aplicada, PUCRS - 2011/01
14
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0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6
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Neste caso, a média a dada por:
nx.f
f...ff
x.f...x.fxfx ii
k21
kk2211 ∑=
+++
+++=
A média Aritmética
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xi fi fixi0 7 01 21 212 8 163 5 154 4 165 3 156 2 12∑ 50 95
Exemplo:
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A média será, então:
irmãos 90,150
95
nx.f x ii ==
∑=
15
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Como n = 50 é par, tem-se:
irmão
2 me
xx
xxxx )/(/)/n(/n
12
11
2
2
2625
1250250122
=+
=+
=
=+
=+
=++
A Mediana
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Total de dados n = 50 (par)
xi fi Fi
0 7 7
1 21 28
2 8 36
3 5 41
4 4 45
5 3 48
6 2 50
∑∑∑∑ 50 —
Metade dos dados n/2 = 25
Exemplo:
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mo = valor(es) que mais se repete(m)
A Moda
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xi fi
0 71 212 83 54 45 36 2∑ 50
A moda é igual a1 (um)
Pois ele se repete mais
vezes
Exemplo
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h = xmáx - xmín
h = 6 - 0 = 6 irmãos.
A Amplitude
16
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Neste caso, o dma será dado por:
n
|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
O Desvio Médio
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xi fi fi|xi - |
0 7 7.|0 – 1,90| = 13,301 21 21.|1 – 1,90| = 18,90 2 8 8.|2 – 1,90| = 0,803 5 5.|3 – 1,90| = 5,504 4 4.|4 – 1,90| = 8,40
5 3 3.|5 – 1,90| = 9,30 6 2 2.|6 – 1,90| = 8,20
∑∑∑∑ 50 64,40
x
Exemplo:
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O dma será, então:
irmãos 29,150
40,64
n
|xx|.f dma ii ==−∑
=
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xn
xfn
)xx(f
n)xx(f....)xx(f)xx(f
s
22ii
2i
2k
22
2
2
i
k211
−∑
=∑ −
=
=−++−+−
=
Neste caso, a variância será:
A Variância
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xi fi fixi2
0 7 02.7 = 01 21 12.21 = 212 8 22.8 = 323 5 32.5 = 454 4 42.4 = 645 3 52.3 = 756 2 62.2 = 72
∑∑∑∑ 50 299
Exemplo:
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A variância será, então:
irmãos 3700,2
90,150
299 x
n
xfs
2
22
2
i2 i
=
=−=−∑
=
17
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O desvio padrão será dado por:
irmãos 1,54 1,5395
3700,2xn
xfs 22ii
≅=
==−∑
=
O Desvio Padrão
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Dividindo o desvio padrão pela
média pelo, tem-se o coeficiente de
variação:
%03,8190,1
539480,1g ==
O Coeficiente de Variação
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Idade (em meses) dos alunos
da turma G da disciplina:
Probabilidade e Estatística -
PUCRS - 2011/01
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276 245 345 240 270 310 368
334 268 288 336 299 236 239 355 330
287 344 300 244 303 248 251 265 246
240 320 308 299 312 324 289 320 264
252 298 315 255 274 264 263 230 303
369 247 266 275 281 230 234
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18
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Distribuição por classes ou intervalos da
variável “idade dos alunos da turma G”
da disciplina: Probabilidade e Estatística
da PURCRS - 2011/01.
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Idades Número de alunos
230 |--- 250 12250 |--- 270 9270 |--- 290 8290 |--- 310 7310 |--- 330 6330 |--- 350 5350 |--- 370 3
Total 50
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Histograma de frequências da
variável “Idade dos alunos da turma
G” de Probabilidade e Estatística da
PUCRS - 2011/01.
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0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
2 3 0 | - - - 2 50 2 50 | - - - 2 70 2 70 | - - - 2 9 0 2 9 0 | - - - 3 10 3 10 | - - - 3 3 0 3 3 0 | - - - 3 50 3 50 | - - - 3 70
fi / hi
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19
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Antes de apresentar as medidas, i. é,
representantes do conjunto, é necessário
estabelecer uma notação para alguns
elementos da distribuição.
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xi = ponto médio da classe;
fi = frequência simples da classe;
lii = limite inferior da classe;
lsi = limite superior da classe;
hi = amplitude da classe.
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xi fi xi
230 |--- 250 12 240250 |--- 270 9 260270 |--- 290 8 280290 |--- 310 7 300310 |--- 330 6 320330 |--- 350 5 340350 |--- 370 3 360
∑∑∑∑ 50 —
O Ponto Médio da Classe
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xi fi fi. xi
240 12 2880260 9 2340280 8 2240300 7 2100320 6 1920340 5 1700360 3 1080
∑∑∑∑ 50 14260
A Média da Distribuição
20
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A média será:
meses 20,28550
14260
nx.f x ii
==∑
=
Exemplo:
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Neste caso, utilizam-se as
frequências acumuladas para identificar
a classe mediana, i. é, a que contém o(s)
valor(es) central(is).
A Mediana
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Total de dados n = 50 (par)
Metade dos dados n/2 = 25
xi fi Fi
230 |--- 250 12 12250 |--- 270 9 21270 |--- 290 8 29290 |--- 310 7 36310 |--- 330 6 42330 |--- 350 5 47350 |--- 370 3 50
∑∑∑∑ 50 —
Exemplo:
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Portanto, a classe mediana é a
terceira. Assim i = 3. A mediana será
obtida através da seguinte expressão:
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meses 2808
420 270
8
212
50
20702
8
212
50
20702 f
F2n
hli mi
1i
iie
=+=
−
+=
=
−
+=
−
+=−
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Neste caso é preciso inicialmente
apontar a classe modal, i. é, a de maior
freqüência. Neste exemplo é a primeira
com fi = 12. Assim i = 1.
A Moda
21
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Classe modal, pois
fi = 12.
i xi fi
1 230 |--- 250 122 250 |--- 270 93 270 |--- 290 84 290 |--- 310 75 310 |--- 330 66 330 |--- 350 57 350 |--- 370 3
— ∑∑∑∑ 50
Exemplo
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Portanto a moda poderá ser
obtida através de uma das seguintes
expressões:
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Critério de King:
meses 250 9
9.20023
90
9.20302
ff
fhli m
1i 1i
1iiio
=
+=
=
++=
++=
− +
+
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Critério de Czuber:
meses 246 16230
924
12.20023
)90(12.2
012.20302
)ff(f.2
ffhli m
1ii
i
1i
1iiio
=+=
=
−+=
=
+−
−+=
=
+−
−+=
− +
−
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h = xmáx - xmín
h = 370 - 230 = 140 meses
A Amplitude
22
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Neste caso, o dma será dado por:
n
|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
O Desvio Médio Absoluto
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xxi fi fi.|xi - |
240 12 12.|240 – 285,20| = 542,40260 9 9.|260 – 285,20| = 226,80 280 8 8.|280 – 285,20| = 41,60300 7 7.|300 – 285,20| = 103,60320 6 6.|320 – 285,20| = 208,80340 5 5.|340 – 285,20| = 274,00360 3 3.|360 – 285,20| = 224,40
∑∑∑∑ 50 1621,60
Exemplo
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O dma será, então:
meses 32,43
50
60,1621
n
|xx|.f dma ii
=
==−∑
=
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xn
xfn
)xx(f
n
)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
2
2
i
k211
−∑
=∑ −
=
=−++−+−
=
Neste caso, a variância será:
A Variância
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xi fi fi. xi2
240 12 12.2402 = 691200 260 9 9.2462 = 608400280 8 8.2802 = 627200300 7 7.3002 = 630000320 6 6.3202 = 614400340 5 5.3402 = 578000360 3 3.3602 = 388800
∑∑∑∑ 50 4 138 000
Exemplo
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A variância será, então:
meses 420,961
20,28550
4138000
xn
xfs
2
2
2
2
i2 i
=
=−=
=−∑
=
23
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O desvio padrão será dado por:
meses 37,70 37,6956
96,1420xn
xfs 22ii
≅=
==−∑
=
O Desvio Padrão
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Dividindo o desvio padrão pela
média, tem-se o coeficiente de variação:
%22,1320,285
695623,37g ==
O Coeficiente de Variação
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Skewness
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Primeiro Coeficiente ( de Pearson)
a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão
Segundo Coeficiente ( de Pearson)
a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão
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Coeficiente Quartílico
CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)
Coeficiente do Momento
a3 = m3/s3, onde m3 = Σ(X - )3/nx
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Coeficiente = 0
Conjunto SimétricoProvão 2000
Curso: Odonto
24
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Coeficiente < 0
Conjunto: Negativamente Assimétrico
Provão 2000
Curso: Jornalismo
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Coeficiente > 0
Conjunto: Positivamente Assimétrico
Provão 2000
Curso: Eng. Elétrica
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(Kurtosis)
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Coeficiente de Curtose (momentos)
xa4 = m4/s4, onde m4 = Σ(X - )4/n
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Provão 2000
Curso: Odonto
Coeficiente = 3 ou 0
Conjunto: Mesocúrtico
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Coeficiente > 3 ou (> 0)
Conjunto: Leptocúrtico
Provão 2000
Curso: Matemática
25
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Coeficiente < 3 ou (< 0)
Conjunto: Platicúrtico
Provão 1999
Curso: Eng. Civil
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Então:
Se y = ax +b
b+xa=y
sa=s 2x
22y
s|a|=s xy
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Análise Exploratória de Dados
As técnicas de análise exploratória de
dados consistem em gráficos, simples de
desenhar, que podem ser utilizados para resumir
rapidamente um conjunto de dados. Uma destas
técnicas é uma forma de apresentação de dados
conhecida como Caule e Folha.
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Apresentação Caule e Folha
Para ilustrar esta forma de
apresentação vamos supor que o conjunto a
seguir é o resultado de um teste do tipo
Psicotécnico de 100 questões aplicados a 40
candidatos a um emprego em uma grande
organização industrial.
26
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44 53 67 89 98 37 60 55
48 88 47 65 82 85 90 74
41 61 72 73 77 81 60 89
52 90 62 64 66 59 50 65
50 40 93 79 55 49 56 73
Resultado de um teste, do tipo Psicotécnico de
100 questões, aplicado a 40 candidatos.
Exemplo
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3 7
4 0 1 4 7 8 9 9
5 0 0 2 3 5 5 6 9
6 0 0 1 2 4 5 5 6 7
7 2 3 3 3 4 7 9
8 1 2 5 5 8 8 9
9 0 0 3 8
Ramo e Folhas
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Girando a representação 90 graus tem-
se um diagrama semelhante a um
histograma. Esta representação possui duas
vantagens sobre o histograma:
É mais fácil de construir;
Apresenta os dados reais.
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1565 1790 1644 1679 2008
1675 1900 1832 1756 1766
1580 1945 1733 1922 1854
1975 1870 1812 1954 1888
1634 1785 1855 2044 1965
Faça um representação utilizando a
dezena como unidade de folha.
Exercício
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BoxPlot – Caixa e Bigodes
Outra forma de ter uma ideia do
conjunto de dados é utilizar a regra dos
cinco itens. Nem sempre a média e o desvio
padrão são as melhores alternativas para
resumir um conjunto de dados.
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A média e o desvio padrão podem
sofrer forte influência de valores extremos
e além disso não fornecem uma idéia da
assimetria do conjunto de dados. Como
alternativa as seguintes cinco medidas são
sugeridas (Tukey, 1977):
27
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(i) A mediana;
(ii) Os extremos (máximo e mínimo);
(iii) Os quartis.
Estas cinco medidas são denominadas
de estatísticas de ordem.
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Representação
A informação fornecida por estes cinco
números pode ser representada em um
diagrama denominado de “Diagrama Caixa
e Bigode” (BoxPlot). O desenho fornece
uma idéia da posição, dispersão, assimetria
e dados discrepantes do conjunto (outliers).
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Traçar um retângulo tendo como extremos
os quartis e englobando a mediana. Calcular a
distância interquartil, isto é: DQ = Q3 – Q1
Determinar os limites dos pontos
discrepantes: Q1 – 1,5 DQ
Q3 + 1,5 DQ
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Qualquer valor abaixo de Q1 – 1,5 DQ ou
acima de Q3 + 1,5 DQ será considerado um
valor discrepante (outlier). Para obter o
diagrama caixa e bigode (boxplot) traçar duas
linhas a partir do centro do retângulo e em lados
opostos até o último ponto do conjunto que não
seja um ponto discrepante.
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BoxPlot
x xx
Q1 Q2 Q3
D5,1+Q Q3DQD5,1-Q Q1
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3 5 7 5 3 6 8 5 2
4 5 5 6 9 8 6 8 1
7 12 4 8 7 4 6
Obtenha o diagrama Caixa e Bigode para o
número de paradas semanais para manutenção de
uma máquina.
Exemplo:
28
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Mínimo 1
Quartil um 4
Mediana 6
Quartil três 7
Máximo 12
Os cinco valores são:
Exemplo
Os demais são:
D 7 – 4 = 3
Q1- 1,5D -0,5
Q3 + 1,5D 11,5
Outlier 12
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BoxPlot
12
4=Q1 6=Q2 7=Q3
5,11=D5,1+Q Q33=DQD5,1-Q=5,0- Q1
91
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Wilfredo Pareto
O Diagrama de Pareto é uma
homenagem ao engenheiro, filósofo, sociólogo
e economista italiano Vilfredo Frederico
Samaso Pareto (1848 - 1923). Pareto foi um
dos pioneiros na aplicação de análises
matemáticas ao estudo dos fenômenos sócio-
econômicos.Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Wilfredo enunciou, em 1897, o que
passou a ser conhecido como “Principio de
Pareto” que afirma: “80% das dificuldades
tem origem em 20% dos problemas”. Este
principio poderia ser colocado como existem
muitos itens triviais mas poucos vitais.
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Diagrama
O Diagrama de Pareto é um gráfico
de colunas simples, onde a variável está
em ordem de importância frequência de
ocorrência ou custo) dos problemas ou
defeitos.
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Normalmente o diagrama envolve a
frequência simples combinada com a
frequência acumulada em um único
gráfico. É, também, comum a colocação de
um sistemas de eixos X’Y’ auxiliares.
29
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Exercício:
Considerando os dados sobre o
“Número de defeitos” numa linha de
produção de azulejos, construa o Diagrama
de Pareto para a distribuição dada.
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Defeitos Número de Azulejos
Desenho 71
Esmalte 95
Lascado 97
Maior 70
Menor 83
Torto 57
Trincado 27
Total 500
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Solução:
Ordenando as frequências dadas e
calculando as frequências relativas e
relativas acumuladas, tem-se:
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Ordenando as frequências, tem-se:
Defeitos Número de Azulejos
Lascado 97
Esmalte 95
Menor 83
Desenho 71
Maior 70
Torto 57
Trincado 27
Total 500
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Calculando as demais frequências:
Defeitos % de azulejos Freq. acumulada
Lascado 19,4 19,4
Esmalte 19,0 38,4
Menor 16,6 55,0
Desenho 14,2 69,2
Maior 14,0 83,2
Torto 11,4 94,6
Trincado 5,4 100,0
Total 100 ----Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Diagrama de Pareto
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Lascado Esmalte Menor Desenho Maior Torto Trincado
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
%20
%80
30
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Posições Relativas
A média e o desvio padrão são as duas
principais medidas utilizadas para descrever
um conjunto de dados. Elas, também,
podem ser utilizadas para comparações, isto
é, para fornecer a posição relativa de um
valor em relação ao conjunto como um todo.
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O escore “z”
Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra de “n”
observações. Sejam e “s” a média e o
desvio padrão da amostra. Então o escore zi
é o valor que fornece a posição relativa de
cada xi da amostra, tendo como ponto de
referência a média e como medida de
afastamento o desvio padrão.
x
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O escore “z”
s
x-xz i
i=
O escore z fornece o número de
desvios padrão que cada valor está acima ou
abaixo da média. O escore –1,5, significa
que este valor está um desvio e meio abaixo
da média.
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O escore Z é também uma
variável, que é obtida pela
transformação da amostra original. Ela
apresenta média igual a zero e desvio
padrão igual a um.
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Exemplo
Considere o seguinte amostra:
36 39 38 41 45 44 35 48 35 40
40 40 36 41 37 38 37 39 39 44
42 42 39 43 42 41 39 41 35 40
44 36 40 37 40 36 39 47 40 43
34 45 38 42 46 41 43 37 38 38
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0
1
2
3
4
5
6
7
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
37,0-Curtose
33,0Assimetria
=
=
31
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Calcular os escores “z” para cada
valor da amostra. Representar os valores
da amostras e os escores em diagramas
para verificar se houve alteração no
formato da distribuição dos dados.
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Solução:
A média e o desvio padrão da amostra são:
40 e 3,2619. Então os escores padronizados serão:
0,3066 0,9197 -0,9197 -0,6131 -0,6131
-1,2263 -0,3066 -0,6131 0,3066 1,5328
1,2263 -1,5328 2,4526 -1,5328 0,0000
0,0000 0,0000 -1,2263 0,3066 -0,9197
-0,6131 -0,9197 -0,3066 -0,3066 1,2263
0,6131 0,6131 -0,3066 0,9197 0,6131
0,3066 -0,3066 0,3066 -1,5328 0,0000
1,2263 -1,2263 0,0000 -0,9197 0,0000
-1,2263 -0,3066 2,1460 0,0000 0,9197
-1,8394 1,5328 -0,6131 0,6131 1,8394
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0
1
2
3
4
5
6
7
-1,84 -1,23 -0,61 0,00 0,61 1,23 1,84 2,45
31,0-Curtose
37,0Assimetria
=
=
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Propriedades:
A média do escore padronizado é zero;
O desvio padrão do escore padronizado
é um.
A forma da distribuição do escore
padronizado é a mesma dos dados
originais.
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Escalas:
O escore Z não é utilizado
normalmente da forma como é calculado.
É comum a utilização de uma escala linear
de transformação. As duas mais utilizadas
são:
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Escalas
A escala T que é obtida através da
seguinte transformação
T = 10.Z + 50
A escala “A” que é utilizada nos
vestibulares é obtida por:
A = 100.Z + 500
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Teorema de Chebyshev
O teorema de Chebyshev permite
verificar qual é o percentual mínimo de
valores de um conjunto de dados que
deve estar um “certo número” de desvios
em torno da média.
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Em qualquer conjunto de dados com
desvio padrão “s”, pelo menos
(1 – 1/z2) dos valores do conjunto devem
estar entre “z” desvios em torno da média,
onde “z” é um valor tal que
z > 1.
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Exemplos:
Assim pelo menos:
75% dos valores estão dentro de z = 2
desvios a partir da média;
89% dos valores estão dentro de z = 3
desvios a contar da média;
94% dos valores estão dentro de z = 4
desvios a contar da média.
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1 - 1/4 = 75%.
S2<X-X