EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer.,...

EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.

Capítulo 2Capítulo 2

FLAMBAGEM DE COLUNAS

Flambagem PrimáriaFlambagem Primária

Flambagem SecundáriaFlambagem Secundária

Equações Básicas – Teoria da ElasticidadeEquações Básicas – Teoria da Elasticidade

Rz2212

1yzzzyy

yzzzzy

O Método do Equilíbrio NeutroO Método do Equilíbrio Neutro

A Coluna Simplesmente Apoiada - HipótesesA Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses

1 . A p o i o s S i m p l e s

2 . C o l u n a P e r f e i t a m e n t e R e t a e C a r g a C e n t r a l

3 . M a t e r i a l E l á s t i c o L i n e a r

4 . E i x o s P r i n c i p a i s

5 . P e q u e n a s D e f o r m a ç õ e s " '1" 212 www

A Coluna Simplesmente ApoiadaA Coluna Simplesmente Apoiada

Coluna Simplesmente Apoiada - SoluçãoColuna Simplesmente Apoiada - Solução

"wEIM yyy

0"" 0 PwEIwEIwPwMPwM y

kwkw 22 com , 0" kxBkxAxw cos sen )(

Lxxw e 0 em 00 00cos 0)0( BBw

kxAxw sen)(

0senou 0ou 0sen 0)( kLAkLALw

......3 ,2 ,1 onde , 0sen nnkLkL

sen)( 2

O Comportamento da Coluna de EulerO Comportamento da Coluna de Euler

Equilíbrio Estável

Equilíbrio Instável

Equilíbrio Neutro

Coluna Bi-EngastadaColuna Bi-Engastada

-EIw”

Coluna Bi-Engastada - SoluçãoColuna Bi-Engastada - Solução

-EIw”

MwkwMPwEIw 202

0 com , "ou 0"

MkxBkxAw 0cossen

0 e 00' , 00 Lwww

M- e 0 0 BA kx

Mw cos10

nkLLw 2kL 1cos 0)(

2cos10

Coluna Equivalente de EulerColuna Equivalente de Euler

A carga crítica de qualquer coluna pode ser obtida de uma coluna equivalente de Euler

Coluna em BalançoColuna em Balanço

Coluna

Equivalente

de Euler

Coluna em Balanço - SoluçãoColuna em Balanço - Solução

22"ou " kwkwPPwEIw

kxBkxAw cossen

)cos1()( que modo de

; 0)0( ; 0 0)0('

12 0cos )(

nkLkLLw

cos1)(

EIw”

-EIw”

Coluna com Restrições ElásticasColuna com Restrições Elásticas

PM / L

Coluna com Restrições Elásticas - SoluçãoColuna com Restrições Elásticas - Solução

PM / L

-EIw”

MxPwEIw 2 "ou 0"

kxBkxAw cossen

; 0 0)0( BwkLP

sen 0)(

wsensen

kLkLkEIM

sencos1

MLx , em

kLkLkEI

cr LEIkL

Restrição Elástica – Casos ParticularesRestrição Elástica – Casos Particulares

kLkLkL

kLkL 0tan

limtan 22

49.4kL 2

2cr7.0

xw 49.4sen02.149.4sen

49.4sen)(

Coluna Simplesmente Apoiada

Coluna Simplesmente Apoiada - Engastada

Coluna em Pórtico Coluna em Pórtico

4tan 2

829.3 kL 22

2cr82.0

xw 829.3sen635.0829.3sen

829.3sen)(

Comprimento EfetivoComprimento Efetivo

Condições de Contorno Carregamento

1.69 L

0.732 L

0.58 L

0.365 L

1.12 L

0.72 L

0.732 L

0.43 L

0.365 L

Fig. 2-9

1.43 L

0.84 L

0.57 L

0.45 L

0.36 L

0.49 L

0.24 L

P = qL q = cte

P = PA+ qL

q = cte

q = cte e simétrico

P = qL/2 P = qL/2

P = qL q = cte

Comprimento EfetivoComprimento Efetivo

Coeficientes de EngastamentoCoeficientes de Engastamento

Restrições de Rotação

nas Extremidades:

a) Numa Extremidade

b) Iguais, em Ambas as Extremidades

' LEIc

Coeficientes de EngastamentoCoeficientes de Engastamento

Restrições de

Rotação

Distintas nas

Extremidades

Métodos de EnergiaMétodos de Energia

O Método da Conservação da Energia

O Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total

Cálculo de Variações

O método de Rayleigh-Ritz

O método de Galerkin

O Método da Conservação da EnergiaO Método da Conservação da Energia

Trabalho das Forças Externas

dwdxds

21222 1

PWP dxdxdw

dwdxds

21222 1

dxdxdw

1...81

dwdxdsL

LLL L2

LL' como ; 21

dxwPdxdxdw

flexão

)( 0axial LuPdx

Energia de DeformaçãoEnergia de Deformação

0 dxwd

dVEdVU 21

Energia de DeformaçãoEnergia de Deformação

dxdAzdx

wdEdxzdA

dxdAdxdu

yAAAIdAzzdAAdA 2 ; 0 ;

xEIdxdxdu

MdxwxEIU

2flexão )(2

21 dxuxEAU

20axial ')(

O Método da Conservação de EnergiaO Método da Conservação de Energia

dxxEIxM

dxwxEIWULLL

flexão flexão '2)(

dxxEIxM

dxwxEIP L

axw 1)(22

Exemplo

A comparação com o valor exato, 2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 21%.

O Método da Conservação de EnergiaO Método da Conservação de Energia

axw 1)(

A comparação com o valor exato, 2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 1,3%.

dxxEIxM

dxwxEIP L

O Método de Conservação de EnergiaO Método de Conservação de Energia

dxwxEIP L

639 31

Erro de 0,13%

Erro de 0,014%

O Princípio do Valor Estacionário do Potencial TotalO Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total

... ... 21 2 eee WWuPuPW

iiS zyxV zyxe DPdSwvudVwXvXuXW

Se o corpo é elástico linear, o trabalho

é dado pela expressão We = ½ P u.

Energia de Deformação

... ... 21 2 FFeF

dVdddUV xyxyyyyyxxxx

xx xyyy

......0 00

zxzxzxxxxxxxuuu ..... ; ... ;

Energia de Deformação

zxzxyyyyxxxx

etc. , pois , yy

yyσFF

dVUv zxzxyzyzxyxyzzzzyyyyxxxx

Energia de Deformação - Particularização

dVGEdVEU

UVV xyxx

Unidimensional

Energia de Deformação - Particularização

Estado Plano de Tensões 0 zxyzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

yyxxzzzxyz

; 1211

UV xyyyxxyyxx

UV xyyyxxyyxx 122

21 222

O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: “um corpo elástico de dimensões finitas está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário” e pode ser expresso na forma

UWe VWe

0 aindaou 0ou VUVUVU

Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: “Uma estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários”.

Forças conservativas

Resumo – ExemploSeja, . A condição de equilíbrio é dada por . A natureza da equação do equilíbrio é dada por

Mínimo

estávelvkk

MgvvMgvkv

MgvkvVU

Neutro Sela Ponto 0

Instável Máximo 0

Estável Mínimo 0

Cálculo de VariaçõesCálculo de Variações

dxwwwxFIx

x ",',,

1Deseja-se achar o extremo de

xvduuvudv

dxwdxd

para 0'"

Equação

de Euler

0w ou ou e

ou , ou , em

0w ou ou e

ou , ou , em

Possíveis condições

de contorno

Cálculo de Variações - ExemploCálculo de Variações - Exemplo

Coluna com suportes elásticos – Formulação do Problema

dxwPWV

dxwxkUwkU

wkUdxwxEIU

; )0(21

; )0('21

; ")(21

Coluna com Suportes Elásticos - FormulaçãoColuna com Suportes Elásticos - Formulação

0)( ''

''- "")()(

dxwwxkwkwwwk

dxwPwdxwwxEIVU

0 )("")(

'''")('")(

dxwwxkPwwxEIdxd

wkwwwkwPwwxEIdxd

0ou 0'")(ou , e

0ou , 0")(ou , em

0ou 0'")(ou , e

0ou , 0")('ou , 0 em

0 para 0)()(

δwPwwxEI

w' wxEILx

δwkwPwwxEI

w' wxEIwkx

LxwxkwPwxEI z

Problema de Auto-Valor de 4a. Ordem - SoluçãoProblema de Auto-Valor de 4a. Ordem - Solução

0ou 0'")(ou , e

0ou , 0")(ou , em

0ou 0'")(ou , e

0ou , 0")(ou , 0 em

0 para 0)(

δwPwwxEI

w' wxEILx

δwPwwxEI

w' wxEIx

LxwPwxEI

kCxCkxCkxCxw 24321 com cossen)(

44434241

34333231

24232221

14131211

0 det a

Problema de Auto-Valor: Caso EspecialProblema de Auto-Valor: Caso Especial

0''")(

BAxPwwxEI

APwwxEI

0 0)()(" , em

0 0)0()0(" , 0 em

ALwLwLx

LxPwwxEI 0 para 0"")( "

Coluna simplesmente apoiada

0)( 0)0(

PwwxEI

0" 0)('

0 0)0(" 0)0(

EI(x)wdxd

Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço

0)(' 0)0(

PwwxEI

Potencial de Cargas Concentradas e DistribuídasPotencial de Cargas Concentradas e Distribuídas

p x(x)

Ponto de deslocamento horizontal nulo

dxwPdxwPWVkk x

0PkPk '21

dxdwxpV

dwdxxpdwdxxpdWdV

)(' )( 21

)(')(21

dxdwxpdxw'PVVVL xK

)(' )( 21

dxdwxhPp

dxw'PPP

xk )(' )(

O Método de Rayleigh-RitzO Método de Rayleigh-Ritz

dxdwxhPp

dxw'PPP

xwkxwkdxwxkdxwxEIVU

)(' )( 2

)(')(21

xwcw(x) j

wj(x) são funções assumidas que neces-

sariamente têm de satisfazer as condições de contorno geométricas do problema.

VUVU os sejam quequalquer 0

,...2,1 0

O Método de Rayleigh-RitzO Método de Rayleigh-Ritz

,...2,1 0

nidxdc

xwkcxw

xwkdxcw

wxkdxcw

,...2,1 0 )('

)(' )( '

)(')('

mmsm0 z0

nicbPcan

jjij ,...,2,1

cbPca 1

dxdwwxhP

xwxwkxwxwk

dxwwxkdxwwxEIa

)()( )(

)()()()(

'rmmmsm

O Método de Rayleigh-Ritz: Caso EspecialO Método de Rayleigh-Ritz: Caso Especial

Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos correspondentes na expressão dos a ij). Se

a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, uma extremidade livre e a outra engastada, os podem ser

expressos em termos de em vez de . ija

ji ww e "" e ji ww

)(" que modo de ")(

wPwwxEI

caPcb 1

L jiij 0 )(

dxdwwxhP

ij )()( )( 0 0

Método de Rayleigh-Ritz: ExemploMétodo de Rayleigh-Ritz: Exemplo

L/2 L/2 L/2 L/2L

2EI0EI0 EI0

Coluna de Seção Variável

1 2)12(

0exato-cr

135.4L

Erro de 0,97%

Método de Rayleigh-Ritz - ExemploMétodo de Rayleigh-Ritz - Exemplo

Viga de Seção Variável - Solução com dois Termos

8detdet

01123.0775.370.13 2 30

Isto dá , 2415.0 20

exata em até três dígitos significativos

Método de GalerkinMétodo de Galerkin

dxwwwxFIx

x ",',,

xwcw(x) j

dxcwwF

njdxwwF

,...1 0'"

Método de GalerkinMétodo de Galerkin

njdxwwF

,...1 0'"

Se os wj(x) satisfizerem todas as condições

de contorno, os dois primeiros termos da equação acima se anulam identicamente e

njdxwwedxwwF

x j ,...1 0)('"

Erro na satisfação da equação de Euler é feito ortogonal às funções de base wj(x) no domínio

Coluna Sujeita a Grandes DeflexõesColuna Sujeita a Grandes Deflexões

Pw dsd

0Pwdsd

sen1cos1

cos sen

Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -GalerkinColuna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

0 ... 43

ww(s)n

Lw(s)w

sen" ; cos' ; sen2

1sen)(

0cossen21

0sen)(

12cos1

cossen ; 2L

2 LLdxdx

dxLx LLL

cossen21

0 ... 43

Coluna Carregada ExcentricamenteColuna Carregada Excentricamente

kekwkw

wePEIw

222 onde , "

ekxBkxAxw cossen)(

sencos1

cos)( kxkL

kLkxexy

Coluna Carregada ExcentricamenteColuna Carregada Excentricamente

Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente

Coluna com Forma ImperfeitaColuna com Forma Imperfeita

EIPkwkwkw 20

22 com , "

kxBkxAxwc cossen)(

0 sen)(n

0 sen)(2

22 sen"n

sen)(n

np Lxn

wkxBkxAxw

1cossen)(

22 sen"n

xnwAxwxwxw

sen1)()()(

nT sen

1)()()(

P/PE A1 A2 A3

0.00.40.80.9

0.951.0

0.00.6674.009.5020.0

0.00.1110.250.290.330.33

0.00.0470.080.110.120.13

Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)

Forma Imperfeita – Teoria Não-LinearForma Imperfeita – Teoria Não-Linear

34122)2/(

Colunas Imperfeitas - ObservaçõesColunas Imperfeitas - Observações

1) A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições tendendo a zero, até que P = PE ;

2) Em P = PE as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem

rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade; 3) Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavel-mente até que P se aproxime de PE. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se

aproxima de PE , seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero;

4) As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P PE ;

5) As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual a curvatura é aproximada por d2w/dx2 ; 6) Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.

Colunas Imperfeitas - ConclusõesColunas Imperfeitas - Conclusões

A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma análise não-linear relativamente complicada.

Um critério alternativo de estabilidade que pode ser enunciado como “a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema levemente imperfeito tendem a infinito”. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas laterais).

Em placas e cascas a carga de colapso pode ser sensivelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob pequenas deformações.

Flambagem Inelástica de ColunasFlambagem Inelástica de Colunas

as fibras do lado côncavo comprimem, portanto segundo o módulo tangente Et , e as fibras do lado

convexo estendem, portanto segundo o módulo de elasticidade E . Uma situação de carga constante durante a flambagem (como aquela da teoria linearizada de Euler para flambagem elástica) exige que haja reversão de tensões no lado convexo.

todas as fibras continuam comprimindo ao se dar a flexão, de modo que o módulo efetivo para a seção é o módulo tangente Et. Isto só é possível, se a carga

continua aumentando durante a flambagem;

Flambagem Inelástica de Colunas - HistóricoFlambagem Inelástica de Colunas - Histórico

1759 - Teoria de Euler Início S IXX Ensaios mostram que teoria de Euler é não conservativa para colunas curtas 1845- Lamarle mostra que teoria de Euler vale no regime elástico1889- Considère e Engesser, independentemente, mostram que teoria de Euler vale para

colunas esbeltas; vale também para colunas curtas se E é substituído por um módulo

efetivo Engesser – módulo tangente Considère – módulo duplo (ou reduzido)1910 Von Karman re-deriva a teoria do módulo duplo e ensaios a substanciam – a teoria do módulo duplo passa a ser aceita universalmente (30 anos)

Flambagem Inelástica de Colunas - HistóricoFlambagem Inelástica de Colunas - Histórico

Anos 1940 Extenso programa de ensaios em colunas em liga de alumínio pela indústria aeronáutica

mostra a carga mais próxima àquela dada pelo módulo tangente do que Von Karman Críticos culpam as imperfeições iniciais e pobre controle sobre as condições de contorno pelas cargas menores obtidas nestes ensaios

Indústria passa a utilizar a teoria do módulo tangente porque as condições dos testes eram típicas de condições operacionais

1947 Shanley resolve a questão

Modelo de ShanleyModelo de Shanley

rígida

Flambagem Inelástica - ConclusõesFlambagem Inelástica - Conclusões A carga do módulo reduzido satisfaz o critério clássico de estabilidade – coluna reta e fletida coexistindo sem aumento de carga; A carga do módulo reduzido corresponde a um ponto de equilíbrio instável e realizável em laboratório somente em condições especiais; o seu cálculo é complicado Carga máxima está entre os valores fornecidos pelas teorias dos módulos tangente e duplo Carga máxima está mais perto do valor dado pela teoria do módulo tangente Engenheiro está interessado na carga última sob imper- feições e não no ponto de bifurcação A carga do módulo tangente é conservativa para colunas retas ou com pequenas imperfeições; cálculo simples

USAR A TEORIA DO MÓDULO TANGENTE

Teoria do Módulo TangenteTeoria do Módulo Tangente

IEP tt

O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depender do módulo: Et deve ser utilizado ao invés de E.

Módulo Tangente: Uso de Ramberg-OsgoodMódulo Tangente: Uso de Ramberg-Osgood

17.0731

Uso do Modelo de Ramberg-OsgoodUso do Modelo de Ramberg-Osgood2

'1 7.0 L

Função de

Flambagem Inelástica – Formulas EmpíricasFlambagem Inelástica – Formulas Empíricas

co FEL

; '385.0

coco F

'1 2 2

Parábola de

Johnson

Fórmula da Reta

Exemplo 1Exemplo 1

A figura mostra um membro forjado de seção em I, de 30 in de comprimento, que é utilizado como um mebro em compressão. Consi-derando que o coeficiente de engastamento para flexão em torno do eixo x-x é 1 e aquele para flexão em torno do eixo y-y é 1.5, ache as tensões e cargas admissíveis se o membro é manufaturado dos seguintes materiais:

Caso 1: Liga Al 7079-T6 forjado ma- Nualmente; temp. ambiente; Caso 2: como no Caso 1, mas sujeito a ½ hora na temp. 300o F; Caso 3: como no Caso 2, mas 600o F; Caso 4: Aço Inox 17-4 PH, forjado ma- nualmente; temp. ambiente

Exemplo 1Exemplo 1

Cálculo de Ix: Considere inicialmente considerada um

retângulo de dimensão 2.5” x 2.75” e subtraia as contribuições das porções (1) e (2):(no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais)

in 03.3325.0

375.12

25.025.14

25.175.0121

2 - 2.75 5.2 121

2in 375.42

25.025.1425.175.0275.25.2 A

in 83.0375.403.3 x

Exemplo 1Exemplo 1Cálculo de Iy:

in 58.136

25.125.0325.1

25.025.14-

875.075.025.175.025.1121

2 - 2.5 75.2 121

in 60.0375.458.1 y

Para falha em torno do eixo

3683.030' in 30130' : xLcLLx

4160.06.24' in 6.245.130' : yLLy Para falha em torno do eixo

Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L’/ = 41.

Exemplo 1Exemplo 1Caso 1:

Fc=50.5 ksi, donde P = 220 kips

Caso 2:

Fc=40.4 ksi, donde P = 177 kips

Caso 3:

Fc=6.1 ksi, donde P = 26.7 kips

sujeitando este membro a uma temperatura de 600o F durante ½ hora reduz a sua resistência de 220 kips à 26.7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande.

Exemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-OsgoodExemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-Osgood Caso 1: temp. amb.: Ec = 10500 ksi, F0.7 = 59.5 ksi, n = 26, Fcy = 59 ksi

A Fig. 2-41: Fc/F0.7 vs. B para n = 26:

O resultado é praticamente o mesmo obtido no exemplo anterior!

Caso2: ½ h. a 300oF: Ec = 9400 ksi, F0.7 = 46.5 ksi, n = 29, Fcy = 47 ksi

A solução numérica fornece Fc/F0.7 = 0.880. A solução via Fig. 2.41 é

ksi 6.50 85.0 982.04110500

ksi 9.40 88.0 918.0419400

c Calculadora ou processo iterativo, resulta em Fc/F0.7 = 0.854, ou Fc =

50.8 ksi.

Exemplo 3Exemplo 3

64 ;4 42 dIdA

21 in 0491.0 ;in 7854.0 IA

A figura mostra uma coluna de seção variável, simplesmente apoiada. O membro é usinado de uma barra extrudada de 1 in de diâmetro, feita em liga Al 7075-T6. O problema consiste em achar a carga admissível para o membro. As propriedades da seção podem ser calculadas através das expressões

Desta forma, tem-se E1 = E2 = 10500 ksi

Porção 1: Porção 2: 4

2 in 0155.0 ;in 4418.0 IA

Exemplo 3Exemplo 3

0.7 12-2 Fig.

5.06030

; 17.30155.0105000491.010500

kips 00.160

0491.010500722

BEIPcr

Exemplo 4Exemplo 4A figura mostra a coluna do exemplo anterior com as dimensões longitudinais encurtadas para 1/5 dos comprimentos originais. Não há alterações no que tange o material e seções transversais. Propriedades da extrusão Al 7075-T6: Ec = 10500 ksi, F0.7 = 72 ksi, n = 16.6,

Fcy = 70 ksiin 219.0 in 1875.0

;in 25.0 4

médio2

P = Fc A = 33.5 x 0.7854 = 26.3 kips ;

f1 = 33.5 ksi e f2 = 26.3 / 0.4418 = 59.5 ksi

Com L’/r = 12 / 0.219 55, obtém-se Fc = 33.5 ksi. Portanto,

Acima do Limite de Proporcionalidade

Método Iterativo

Exemplo 4Exemplo 4Porção 1: f1 / F0.7 = 33.5 / 72 = 0.465 Et1 = E = 10.500 ksi

Porção 2: f2 / F0.7 = 59.5 / 72 = 0.826 Et2 = 0.735 E = 7.700 ksi

8.5 12-2 Fig. 5.0126

; 32.40155.077000491.010500

Pcr = 5.8 x 10500 x 0.0491 / 122 = 20.8 kips.

P=26.3

Porção 1: f1 / F0.7 = 30.05 / 72 = 0.417 Et1 = E = 10.500 ksi

Porção 2: f2 / F0.7 = 53.42 / 72 = 0.742 Et2 = 0.735 E = 9.840 ksi

7.6 12-2 Fig. 5.0126

; 38.30155.098400491.010500

Pcr = 6.7 x 10500 x 0.0491 / 122 = 24 kips.

P=23.6 f1 = 23.6 / 0.7854 = 30.05 ksi e f2 = 23.6 / 0.4418 = 53.42 ksi

2a. Iteração

EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer.,...

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