Post on 17-Feb-2017
Esquemas Debilmente Completos y Estructuras
Logarıtmicas
Revisando lo Expuesto Anteriormente
J. Rogelio Perez Buendıa
Centro de Investigacion en Matematicas (CIMAT)
Seminario de Aritmetica: cohomologıa de De Rham p-adica
11 de febrero de 2016
Objetivo
Retomamos el seminario con un resumen del lo que se ha trabajado hasta
ahora: esquemas debilmente completos, levantamiento de morfismos
suaves en esquemas †adicos, esquemas logarıtmicos, esquemas
logarıtmicos formales, estructuras logarıtmicas en esquemas †-adicos,
morfismos log-suaves. Si el tiempo lo permite se abordara el problema de
levantamiento de morfismos log-suaves para esquemas debilmente
completos.
Estructuras Pre-Logarıtmicas
I X = (X ,OX ) un espacio anillado.
I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,α) en donde P es una
gavilla de monoides (conmutativos con uno) y
α : P→ OX
es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura
multiplicativa en OX ).
Estructuras Pre-Logarıtmicas
I X = (X ,OX ) un espacio anillado.
I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,α) en donde P es una
gavilla de monoides (conmutativos con uno) y
α : P→ OX
es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura
multiplicativa en OX ).
Morfismos de Estructuras pre-logarıtmicas
I Un morfismo φ : (P,α)→ (Q,β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P→ Q tal que:
P
α
f // Q
β~~OX
conmuta.
I Una estructura pre-logarıtmica (P,α) es llamada idealizada si esta
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.
I Un morfismo de estructuras logarıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)
φ : (P,α, I)→ (Q,β, J)
es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⊂ J.
Morfismos de Estructuras pre-logarıtmicas
I Un morfismo φ : (P,α)→ (Q,β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P→ Q tal que:
P
α
f // Q
β~~OX
conmuta.
I Una estructura pre-logarıtmica (P,α) es llamada idealizada si esta
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.
I Un morfismo de estructuras logarıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)
φ : (P,α, I)→ (Q,β, J)
es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⊂ J.
Morfismos de Estructuras pre-logarıtmicas
I Un morfismo φ : (P,α)→ (Q,β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P→ Q tal que:
P
α
f // Q
β~~OX
conmuta.
I Una estructura pre-logarıtmica (P,α) es llamada idealizada si esta
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.
I Un morfismo de estructuras logarıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)
φ : (P,α, I)→ (Q,β, J)
es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⊂ J.
Categorıas de Estructuras Logarıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X ) y por IdPreLogSt(X ) a las categorıas de
estructuras pre-logarıtmicas y de estructuras pre-logarıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X ,OX ).
A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vacıo: (P,α)→ (P,α, ∅).
Esta asociacion nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de
la desidealizacıon.
Categorıas de Estructuras Logarıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X ) y por IdPreLogSt(X ) a las categorıas de
estructuras pre-logarıtmicas y de estructuras pre-logarıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X ,OX ).
A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vacıo: (P,α)→ (P,α, ∅).
Esta asociacion nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de
la desidealizacıon.
Categorıas de Estructuras Logarıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X ) y por IdPreLogSt(X ) a las categorıas de
estructuras pre-logarıtmicas y de estructuras pre-logarıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X ,OX ).
A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vacıo: (P,α)→ (P,α, ∅).
Esta asociacion nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de
la desidealizacıon.
Estructuras Logarıtmicas
Definicion
Una estructura pre logarıtmica (P,α) es una estructura logarıtmica
(log-st) si
α−1(O∗X ) ' O∗X .
Es decir si P contiene a O∗X vıa α.
Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo
de (idealizadas) pre-log-st.
Estructuras Logarıtmicas
Definicion
Una estructura pre logarıtmica (P,α) es una estructura logarıtmica
(log-st) si
α−1(O∗X ) ' O∗X .
Es decir si P contiene a O∗X vıa α.
Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo
de (idealizadas) pre-log-st.
A toda Pre-Log-St le corresponde una unica Log-St
El funtor de olvido:
LogSt −→ PreLogSt
tiene un adjunto izquierdo de tal manera que a cada pre-log-st (P,α) le
corresponde una unica log-st (Pa,αa) con al propiedad de que cualquier
morfismo de pre-log-st:
(P,α) −→ (Q,β)
con (Q,β) una log-st se factoriza por αa:
(P,α) //
$$
(Q,β)
(Pa,αa)
OO
−a : PreLogSt→ LogSt
Pa esta definido por el producto amalgamado:
Pa := P⊕α−1(O∗X )O∗X
y αa esta dado por el diagrama cartesiano:
α−1(O∗X )//
α
��
P
��
α
O∗X
// Paαa// OX
Adjuncion en IdPreLogSt y en IdLogSt
Podemos extender la adjuncion para pre-log-st:
Dotamos a (Pa,αa) del ideal Ia generado en Pa por la imagen de I por el
morfismo P→ Pa.
La (id) log-st Pa asociada es la la (id) log-st asociada a P.
Adjuncion en IdPreLogSt y en IdLogSt
Podemos extender la adjuncion para pre-log-st:
Dotamos a (Pa,αa) del ideal Ia generado en Pa por la imagen de I por el
morfismo P→ Pa.
La (id) log-st Pa asociada es la la (id) log-st asociada a P.
Ejemplos:
I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada
por la inclusion O∗X → O∗X .
I La categorıa (st.logX) tambien tiene un objeto final dado por la
aplicacion OX → OX .
I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa
plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a
definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logarıtmica trivial.
Ejemplos:
I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada
por la inclusion O∗X → O∗X .
I La categorıa (st.logX) tambien tiene un objeto final dado por la
aplicacion OX → OX .
I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa
plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a
definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logarıtmica trivial.
Ejemplos:
I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada
por la inclusion O∗X → O∗X .
I La categorıa (st.logX) tambien tiene un objeto final dado por la
aplicacion OX → OX .
I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa
plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a
definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logarıtmica trivial.
Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) :={g ∈ OX (U) : g |U\D∈ O∗X (U \ D)
}⊂ OX (U).
El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una
estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logarıtmica basta notar que toda g ∈ O∗X esta trivialmente incluida en
MD .
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es
log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la
cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topologıa etale.
Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) :={g ∈ OX (U) : g |U\D∈ O∗X (U \ D)
}⊂ OX (U).
El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una
estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logarıtmica basta notar que toda g ∈ O∗X esta trivialmente incluida en
MD .
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es
log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la
cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topologıa etale.
Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) :={g ∈ OX (U) : g |U\D∈ O∗X (U \ D)
}⊂ OX (U).
El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una
estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logarıtmica basta notar que toda g ∈ O∗X esta trivialmente incluida en
MD .
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es
log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la
cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topologıa etale.
Imagen inversa
Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados. Si MY es una
estructura logarıtmica en Y , podemos definir una estructura logarıtmica
en X como la estructura logarıtmica asociada a la estructura
pre-logarıtmica:
f −1(MY )→ f −1(OY )→ OX
Esta es llamada la estructura logarıtmica imagen inversa de MY bajo f y
es denotada por f ∗(MY ) = f ∗MY .
Morfismos de Esquemas Logarıtmicos
Definicion
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logarıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X → Y
y un morfismo
f b : f ∗MY →MX
de estructuras logarıtmicas en X .
Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura
logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.
Morfismos de Esquemas Logarıtmicos
Definicion
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logarıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X → Y
y un morfismo
f b : f ∗MY →MX
de estructuras logarıtmicas en X .
Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura
logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.
El caso Idealizado
Si iniciamos con una estructura logarıtmica idealizada en Y, tambien
podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera
analoga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.
Tambien se puede definir la imagen directa de una (id) log-st y estas dos
cumplen la propiedad de adjuncion usual entre la imagen directa y la
imagen inversa de gavillas.
En este caso denotamos por IdLogSch a la categorıa e esquemas
logarıtmicos idealizados (con estructura logarıtmica idealizada).
El caso Idealizado
Si iniciamos con una estructura logarıtmica idealizada en Y, tambien
podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera
analoga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.
Tambien se puede definir la imagen directa de una (id) log-st y estas dos
cumplen la propiedad de adjuncion usual entre la imagen directa y la
imagen inversa de gavillas.
En este caso denotamos por IdLogSch a la categorıa e esquemas
logarıtmicos idealizados (con estructura logarıtmica idealizada).
Resultados Utiles
Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados
I La imagen inversa de la estructura logarıtmica trivial, es trivial:
f −1(O∗Y ) ' O∗X
I Si PY es pre-log-st en Y tal que PaY 'MY , entonces
f ∗(MY ) ' (f −1(PY ))a.
Resultados Utiles
Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados
I La imagen inversa de la estructura logarıtmica trivial, es trivial:
f −1(O∗Y ) ' O∗X
I Si PY es pre-log-st en Y tal que PaY 'MY , entonces
f ∗(MY ) ' (f −1(PY ))a.
Estructura Canonica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al algebra
monomial.
Sea X = Spec(R[P]). Entonces X tiene una estructura logarıtmica
canonica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusion
canonica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canonico
inducido por P → R[P] definiendo ası una estructura pre-logarıtmica en
X , entonces a esta le asociamos la estructura logarıtmica (P)a inducida.
Denotamos por
Spec(P→ R[P])
a el esquema logarıtmico con espacio X y estructura logarıtmica su
estructura logarıtmica canonica inducida.
Estructura Canonica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al algebra
monomial.
Sea X = Spec(R[P]). Entonces X tiene una estructura logarıtmica
canonica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusion
canonica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canonico
inducido por P → R[P] definiendo ası una estructura pre-logarıtmica en
X , entonces a esta le asociamos la estructura logarıtmica (P)a inducida.
Denotamos por
Spec(P→ R[P])
a el esquema logarıtmico con espacio X y estructura logarıtmica su
estructura logarıtmica canonica inducida.
Estructura Canonica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al algebra
monomial.
Sea X = Spec(R[P]). Entonces X tiene una estructura logarıtmica
canonica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusion
canonica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canonico
inducido por P → R[P] definiendo ası una estructura pre-logarıtmica en
X , entonces a esta le asociamos la estructura logarıtmica (P)a inducida.
Denotamos por
Spec(P→ R[P])
a el esquema logarıtmico con espacio X y estructura logarıtmica su
estructura logarıtmica canonica inducida.
Estructura Canonica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al algebra
monomial.
Sea X = Spec(R[P]). Entonces X tiene una estructura logarıtmica
canonica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusion
canonica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canonico
inducido por P → R[P] definiendo ası una estructura pre-logarıtmica en
X , entonces a esta le asociamos la estructura logarıtmica (P)a inducida.
Denotamos por
Spec(P→ R[P])
a el esquema logarıtmico con espacio X y estructura logarıtmica su
estructura logarıtmica canonica inducida.
Ejemplos:
I La estructura logarıtmica en Spec(P→ R[P]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logarıtmica en
Spec(P→ Z[P]) vıa el morfismo canonico Z[P]→ R[P].
I Sea k un campo y sa Y = Ank = Spec(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por
O∗Y y {x1, . . . , xn}.
Ejemplos:
I La estructura logarıtmica en Spec(P→ R[P]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logarıtmica en
Spec(P→ Z[P]) vıa el morfismo canonico Z[P]→ R[P].
I Sea k un campo y sa Y = Ank = Spec(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).
MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por
O∗Y y {x1, . . . , xn}.
Ejemplos:
I La estructura logarıtmica en Spec(P→ R[P]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logarıtmica en
Spec(P→ Z[P]) vıa el morfismo canonico Z[P]→ R[P].
I Sea k un campo y sa Y = Ank = Spec(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por
O∗Y y {x1, . . . , xn}.
Ejemplo: Punto Logarıtmico
Si ahora considero la inclusion Spec(k)→ Y que manda el punto al
origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗Nr . El morfismo
estructural esta dado por
(a, n1, . . . , nr ) 7→ a · 0n1+n2+···+nr . aquı convenimos que 00 = 1.
Al punto Spec(k) con la estructura logarıtmica anterior (para cualquier r)
lo llamamos punto logarıtmico. Cuando r = 1 decimos que este es el
punto logarıtmico estandar.
Ejemplo: Punto Logarıtmico
Si ahora considero la inclusion Spec(k)→ Y que manda el punto al
origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗Nr . El morfismo
estructural esta dado por
(a, n1, . . . , nr ) 7→ a · 0n1+n2+···+nr . aquı convenimos que 00 = 1.
Al punto Spec(k) con la estructura logarıtmica anterior (para cualquier r)
lo llamamos punto logarıtmico. Cuando r = 1 decimos que este es el
punto logarıtmico estandar.
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
Completacion de un Anillo
A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.
Definicion
La completacion de A respecto al ideal I es el anillo
A := lim←−n>1
A/I n ⊂∏n>1
A/I n
Tambien decimos que A es la completacion I -adica de A.
Tenemos un morfismo canonico de anillos A→ A inducido por las
proyecciones A→ A/I n.
Completacion Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definicion
La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
X := (X ,OX )
tal que:
I X = Y como espacio topologico.
I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si
A ' A. En particular A es completo.
Completacion Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definicion
La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
X := (X ,OX )
tal que:
I X = Y como espacio topologico.
I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si
A ' A. En particular A es completo.
El caso afın
Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un
subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:
Γ(OX , X ) = A
es la completacion I -adica de A.
I X es de hecho un espacio localmente anillado
I Los anillos locales de X no son completos en general.
El caso afın
Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un
subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:
Γ(OX , X ) = A
es la completacion I -adica de A.
I X es de hecho un espacio localmente anillado
I Los anillos locales de X no son completos en general.
La categorıa de esquemas formales noetherianos
Definicion
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.
La categorıa de esquemas formales noetherianos
Definicion
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
Definicion
Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:
I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si
∩mn = (0).
I Si f =∑
|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con
coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda
n-tupla i :
c [ordm(ai )] > |i |
es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para
toda n-tupla a ∈ A†n
se tiene que f (a) ∈ A†.
Definicion
Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:
I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si
∩mn = (0).
I Si f =∑
|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con
coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda
n-tupla i :
c [ordm(ai )] > |i |
es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para
toda n-tupla a ∈ A†n
se tiene que f (a) ∈ A†.
Completacion debil
Definicion
La completacion debil de una R-algebra A, es el algebra debilmente
completa mas pequena A† ⊂ A tal que contiene a A.
Es decir, que satisface la propiedad universal:
Debilmente completa finitamente generada
Definicion
Una algebra A† debilmente completa es llamada (dcfg) debil completa
finitamente generada si existe una coleccion finita de elementos
a1, a2, . . . , ak ∈ A† tal que para todo a ∈ A† existe una serie de potencias
f en n-variables tal que:
a = f (a1, . . . , an)
Claramente la completacion debil de una algebra R finitamente generada
es una dcfg algebra.
Esquema formal debil afın
Definicion
I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico
asociado es:
X = Spec(A†/mA†)
I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos
principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†
denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.
Entonces:
Γ(Xf ,OX) := (A†f )†
la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier
representante f de [f ] en A†.
Esquema formal debil afın
Definicion
I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico
asociado es:
X = Spec(A†/mA†)
I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos
principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†
denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.
Entonces:
Γ(Xf ,OX) := (A†f )†
la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier
representante f de [f ] en A†.
Esquema formal debil
Definicion
Un (pre)esquema formal debil es un espacio localmente anillado
(X,OX) que es localmente isomorfo a esquemas formales debiles afines.
Teoremas de Meredith
I Si R es un anillo de valuacion discreta completo y si (X,OX) es el
esquema formal debil asociado a una algebra A† debilmente
completa finitamente generada (dcfg), entonces:
Se tiene una equivalencia entre las categorıas:
{Gavillas coherentes de OX-modulos} ⇐⇒{A†-modulos f.g.
}
Teoremas de Meredith
I Si (X ,OX ) es un esquema (ordinario) de R-algebras propio sobre R
con completacion debil (X,OX) y si F es una gavilla coherente de
OX -modulos con completacion debil F, entonces el mapeo natural:
H i (X ,F ) −→ H i (X,F)
es biyectivo.
Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un
R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el
funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:
{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }
Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.
Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un
R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el
funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:
{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }
Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre
R1 := R/m) es afın.
Corolario
El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un
esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.
levantamiento
Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre
R1 := R/m) es afın.
Corolario
El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un
esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.
levantamiento
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
Cartas
Definicion
Sea (X ,MX ) un log-sch y P un monoide.
Consideremos a la gavilla constante PX en X inducida por P.
Una carta para MX es un morfismo
PX →MX
tal que el morfismo inducido de estructuras logarıtmicas
Pa →MX
es un isomorfismo
Recordemos que Pa es la estructura logarıtmica asociada a la estructura
pre-logarıtmica dada por PX →MX → OX
Otra forma de ver a las cartas:
Una carta para MX es equivalente a un morfismo de log-esquemas:
(X ,MX )→ Spec(P→ Z[P])
tal que f b es un isomorfismo.
En general tenemos lo siguiente:
Lema
El morfismo:
HomLogSch(X ,Spec(P→ Z[P]))→ HomMon(P,�(X,MX))
que asocia a f la composicion:
P → Γ(X ,PX )→ Γ(X ,MX )
es un isomorfismo.
Otra forma de ver a las cartas:
Una carta para MX es equivalente a un morfismo de log-esquemas:
(X ,MX )→ Spec(P→ Z[P])
tal que f b es un isomorfismo. En general tenemos lo siguiente:
Lema
El morfismo:
HomLogSch(X , Spec(P→ Z[P]))→ HomMon(P,�(X,MX))
que asocia a f la composicion:
P → Γ(X ,PX )→ Γ(X ,MX )
es un isomorfismo.
Cartas de log-morfismos
Definicion
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX →MX ,QY →MY ,Q → P)
en donde PX ,QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P,Q
que satisfacen las siguientes condiciones:
I PX →MX y QY →MY son cartas de MX y MY respectivamente.
I El morfismo de monoides Q → P hace el siguiente diagrama de
gavillas en X conmutativo:
QX//
��
PX
��f ∗MY
// MX
Cartas de log-morfismos
Definicion
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX →MX ,QY →MY ,Q → P)
en donde PX ,QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P,Q
que satisfacen las siguientes condiciones:
I PX →MX y QY →MY son cartas de MX y MY respectivamente.
I El morfismo de monoides Q → P hace el siguiente diagrama de
gavillas en X conmutativo:
QX//
��
PX
��f ∗MY
// MX
Cartas de log-morfismos
Definicion
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX →MX ,QY →MY ,Q → P)
en donde PX ,QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P,Q
que satisfacen las siguientes condiciones:
I PX →MX y QY →MY son cartas de MX y MY respectivamente.
I El morfismo de monoides Q → P hace el siguiente diagrama de
gavillas en X conmutativo:
QX//
��
PX
��f ∗MY
// MX
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
Grupo asociado a un Monoide
Recordemos que a todo monoide P le podemos asociar un grupo (el
grupo de Grothendieck) dado por:
Pgp := {(a, b)|(a, b) ' (c , d) si ∃ s ∈ P tal que s + a + d = s + b + c} ;
que satisface la propiedad universal de que todo morfismo de P a un
grupo se factoriza por Pgp de manera unica.
Definiciones
Definicion
Un monoide P es llamado integral si el morfismo canonico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp, se tiene que
si np ∈ P para algun entero n, entonces p ∈ P.
Definicion
Un esquema logarıtmico X es llamado fino, si en localmente- etale existe
una carta
P →MX
con P un monoide integral finitamente generado.
Si ademas P se puede elegir de tal manera que sea saturado, entonces X
es llamado un log-esquema fino y saturado (fs) (on un esquema con una
estructura logarıtmica fina y saturada). Si P ' Nk decimos que la
estructura logarıtmica es localmente libre.
Definiciones
Definicion
Un monoide P es llamado integral si el morfismo canonico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp, se tiene que
si np ∈ P para algun entero n, entonces p ∈ P.
Definicion
Un esquema logarıtmico X es llamado fino, si en localmente- etale existe
una carta
P →MX
con P un monoide integral finitamente generado.
Si ademas P se puede elegir de tal manera que sea saturado, entonces X
es llamado un log-esquema fino y saturado (fs) (on un esquema con una
estructura logarıtmica fina y saturada). Si P ' Nk decimos que la
estructura logarıtmica es localmente libre.
Definiciones
Definicion
Un monoide P es llamado integral si el morfismo canonico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp, se tiene que
si np ∈ P para algun entero n, entonces p ∈ P.
Definicion
Un esquema logarıtmico X es llamado fino, si en localmente- etale existe
una carta
P →MX
con P un monoide integral finitamente generado.
Si ademas P se puede elegir de tal manera que sea saturado, entonces X
es llamado un log-esquema fino y saturado (fs) (on un esquema con una
estructura logarıtmica fina y saturada). Si P ' Nk decimos que la
estructura logarıtmica es localmente libre.
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
Morfismo Estricto e Inmersion cerrada estricta
Definicion
Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el
morfismo respectivo
f b : f ∗MY → MX
es un isomorfismo.
Es una inmersion cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de
esquemas X → Y es una inmersion cerrada.
Morfismo Estricto e Inmersion cerrada estricta
Definicion
Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el
morfismo respectivo
f b : f ∗MY → MX
es un isomorfismo.
Es una inmersion cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de
esquemas X → Y es una inmersion cerrada.
Nota:
Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de log-esquemas:
T0Φ //
j
��
X
f
��T1
Φ// Y
con j una inmersion cerrada estricta definida por un ideal J tal que
J2 = 0.
Notemos que tanto T0, como T1 tienen al mismo espacio topologico
subyacente. Ademas ambos tienen al mismo sitio etale.