Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas
-
Upload
rogelio-yoyontzin-perez-buendia -
Category
Education
-
view
96 -
download
0
Transcript of Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas
![Page 1: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/1.jpg)
Esquemas Debilmente Completos y Estructuras
Logarıtmicas
Revisando lo Expuesto Anteriormente
J. Rogelio Perez Buendıa
Centro de Investigacion en Matematicas (CIMAT)
Seminario de Aritmetica: cohomologıa de De Rham p-adica
11 de febrero de 2016
![Page 2: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/2.jpg)
Objetivo
Retomamos el seminario con un resumen del lo que se ha trabajado hasta
ahora: esquemas debilmente completos, levantamiento de morfismos
suaves en esquemas †adicos, esquemas logarıtmicos, esquemas
logarıtmicos formales, estructuras logarıtmicas en esquemas †-adicos,
morfismos log-suaves. Si el tiempo lo permite se abordara el problema de
levantamiento de morfismos log-suaves para esquemas debilmente
completos.
![Page 3: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/3.jpg)
Estructuras Pre-Logarıtmicas
I X = (X ,OX ) un espacio anillado.
I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,α) en donde P es una
gavilla de monoides (conmutativos con uno) y
α : P→ OX
es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura
multiplicativa en OX ).
![Page 4: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/4.jpg)
Estructuras Pre-Logarıtmicas
I X = (X ,OX ) un espacio anillado.
I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,α) en donde P es una
gavilla de monoides (conmutativos con uno) y
α : P→ OX
es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura
multiplicativa en OX ).
![Page 5: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/5.jpg)
Morfismos de Estructuras pre-logarıtmicas
I Un morfismo φ : (P,α)→ (Q,β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P→ Q tal que:
P
α
f // Q
β~~OX
conmuta.
I Una estructura pre-logarıtmica (P,α) es llamada idealizada si esta
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.
I Un morfismo de estructuras logarıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)
φ : (P,α, I)→ (Q,β, J)
es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⊂ J.
![Page 6: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/6.jpg)
Morfismos de Estructuras pre-logarıtmicas
I Un morfismo φ : (P,α)→ (Q,β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P→ Q tal que:
P
α
f // Q
β~~OX
conmuta.
I Una estructura pre-logarıtmica (P,α) es llamada idealizada si esta
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.
I Un morfismo de estructuras logarıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)
φ : (P,α, I)→ (Q,β, J)
es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⊂ J.
![Page 7: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/7.jpg)
Morfismos de Estructuras pre-logarıtmicas
I Un morfismo φ : (P,α)→ (Q,β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P→ Q tal que:
P
α
f // Q
β~~OX
conmuta.
I Una estructura pre-logarıtmica (P,α) es llamada idealizada si esta
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.
I Un morfismo de estructuras logarıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)
φ : (P,α, I)→ (Q,β, J)
es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⊂ J.
![Page 8: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/8.jpg)
Categorıas de Estructuras Logarıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X ) y por IdPreLogSt(X ) a las categorıas de
estructuras pre-logarıtmicas y de estructuras pre-logarıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X ,OX ).
A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vacıo: (P,α)→ (P,α, ∅).
Esta asociacion nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de
la desidealizacıon.
![Page 9: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/9.jpg)
Categorıas de Estructuras Logarıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X ) y por IdPreLogSt(X ) a las categorıas de
estructuras pre-logarıtmicas y de estructuras pre-logarıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X ,OX ).
A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vacıo: (P,α)→ (P,α, ∅).
Esta asociacion nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de
la desidealizacıon.
![Page 10: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/10.jpg)
Categorıas de Estructuras Logarıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X ) y por IdPreLogSt(X ) a las categorıas de
estructuras pre-logarıtmicas y de estructuras pre-logarıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X ,OX ).
A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vacıo: (P,α)→ (P,α, ∅).
Esta asociacion nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de
la desidealizacıon.
![Page 11: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/11.jpg)
Estructuras Logarıtmicas
Definicion
Una estructura pre logarıtmica (P,α) es una estructura logarıtmica
(log-st) si
α−1(O∗X ) ' O∗X .
Es decir si P contiene a O∗X vıa α.
Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo
de (idealizadas) pre-log-st.
![Page 12: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/12.jpg)
Estructuras Logarıtmicas
Definicion
Una estructura pre logarıtmica (P,α) es una estructura logarıtmica
(log-st) si
α−1(O∗X ) ' O∗X .
Es decir si P contiene a O∗X vıa α.
Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo
de (idealizadas) pre-log-st.
![Page 13: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/13.jpg)
A toda Pre-Log-St le corresponde una unica Log-St
El funtor de olvido:
LogSt −→ PreLogSt
tiene un adjunto izquierdo de tal manera que a cada pre-log-st (P,α) le
corresponde una unica log-st (Pa,αa) con al propiedad de que cualquier
morfismo de pre-log-st:
(P,α) −→ (Q,β)
con (Q,β) una log-st se factoriza por αa:
(P,α) //
$$
(Q,β)
(Pa,αa)
OO
![Page 14: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/14.jpg)
−a : PreLogSt→ LogSt
Pa esta definido por el producto amalgamado:
Pa := P⊕α−1(O∗X )O∗X
y αa esta dado por el diagrama cartesiano:
α−1(O∗X )//
α
��
P
��
α
O∗X
// Paαa// OX
![Page 15: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/15.jpg)
Adjuncion en IdPreLogSt y en IdLogSt
Podemos extender la adjuncion para pre-log-st:
Dotamos a (Pa,αa) del ideal Ia generado en Pa por la imagen de I por el
morfismo P→ Pa.
La (id) log-st Pa asociada es la la (id) log-st asociada a P.
![Page 16: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/16.jpg)
Adjuncion en IdPreLogSt y en IdLogSt
Podemos extender la adjuncion para pre-log-st:
Dotamos a (Pa,αa) del ideal Ia generado en Pa por la imagen de I por el
morfismo P→ Pa.
La (id) log-st Pa asociada es la la (id) log-st asociada a P.
![Page 17: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/17.jpg)
Ejemplos:
I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada
por la inclusion O∗X → O∗X .
I La categorıa (st.logX) tambien tiene un objeto final dado por la
aplicacion OX → OX .
I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa
plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a
definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logarıtmica trivial.
![Page 18: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/18.jpg)
Ejemplos:
I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada
por la inclusion O∗X → O∗X .
I La categorıa (st.logX) tambien tiene un objeto final dado por la
aplicacion OX → OX .
I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa
plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a
definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logarıtmica trivial.
![Page 19: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/19.jpg)
Ejemplos:
I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada
por la inclusion O∗X → O∗X .
I La categorıa (st.logX) tambien tiene un objeto final dado por la
aplicacion OX → OX .
I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa
plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a
definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logarıtmica trivial.
![Page 20: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/20.jpg)
Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) :={g ∈ OX (U) : g |U\D∈ O∗X (U \ D)
}⊂ OX (U).
El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una
estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logarıtmica basta notar que toda g ∈ O∗X esta trivialmente incluida en
MD .
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es
log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la
cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topologıa etale.
![Page 21: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/21.jpg)
Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) :={g ∈ OX (U) : g |U\D∈ O∗X (U \ D)
}⊂ OX (U).
El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una
estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logarıtmica basta notar que toda g ∈ O∗X esta trivialmente incluida en
MD .
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es
log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la
cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topologıa etale.
![Page 22: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/22.jpg)
Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) :={g ∈ OX (U) : g |U\D∈ O∗X (U \ D)
}⊂ OX (U).
El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una
estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logarıtmica basta notar que toda g ∈ O∗X esta trivialmente incluida en
MD .
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es
log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la
cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topologıa etale.
![Page 23: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/23.jpg)
Imagen inversa
Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados. Si MY es una
estructura logarıtmica en Y , podemos definir una estructura logarıtmica
en X como la estructura logarıtmica asociada a la estructura
pre-logarıtmica:
f −1(MY )→ f −1(OY )→ OX
Esta es llamada la estructura logarıtmica imagen inversa de MY bajo f y
es denotada por f ∗(MY ) = f ∗MY .
![Page 24: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/24.jpg)
Morfismos de Esquemas Logarıtmicos
Definicion
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logarıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X → Y
y un morfismo
f b : f ∗MY →MX
de estructuras logarıtmicas en X .
Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura
logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.
![Page 25: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/25.jpg)
Morfismos de Esquemas Logarıtmicos
Definicion
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logarıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X → Y
y un morfismo
f b : f ∗MY →MX
de estructuras logarıtmicas en X .
Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura
logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.
![Page 26: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/26.jpg)
El caso Idealizado
Si iniciamos con una estructura logarıtmica idealizada en Y, tambien
podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera
analoga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.
Tambien se puede definir la imagen directa de una (id) log-st y estas dos
cumplen la propiedad de adjuncion usual entre la imagen directa y la
imagen inversa de gavillas.
En este caso denotamos por IdLogSch a la categorıa e esquemas
logarıtmicos idealizados (con estructura logarıtmica idealizada).
![Page 27: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/27.jpg)
El caso Idealizado
Si iniciamos con una estructura logarıtmica idealizada en Y, tambien
podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera
analoga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.
Tambien se puede definir la imagen directa de una (id) log-st y estas dos
cumplen la propiedad de adjuncion usual entre la imagen directa y la
imagen inversa de gavillas.
En este caso denotamos por IdLogSch a la categorıa e esquemas
logarıtmicos idealizados (con estructura logarıtmica idealizada).
![Page 28: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/28.jpg)
Resultados Utiles
Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados
I La imagen inversa de la estructura logarıtmica trivial, es trivial:
f −1(O∗Y ) ' O∗X
I Si PY es pre-log-st en Y tal que PaY 'MY , entonces
f ∗(MY ) ' (f −1(PY ))a.
![Page 29: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/29.jpg)
Resultados Utiles
Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados
I La imagen inversa de la estructura logarıtmica trivial, es trivial:
f −1(O∗Y ) ' O∗X
I Si PY es pre-log-st en Y tal que PaY 'MY , entonces
f ∗(MY ) ' (f −1(PY ))a.
![Page 30: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/30.jpg)
Estructura Canonica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al algebra
monomial.
Sea X = Spec(R[P]). Entonces X tiene una estructura logarıtmica
canonica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusion
canonica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canonico
inducido por P → R[P] definiendo ası una estructura pre-logarıtmica en
X , entonces a esta le asociamos la estructura logarıtmica (P)a inducida.
Denotamos por
Spec(P→ R[P])
a el esquema logarıtmico con espacio X y estructura logarıtmica su
estructura logarıtmica canonica inducida.
![Page 31: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/31.jpg)
Estructura Canonica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al algebra
monomial.
Sea X = Spec(R[P]). Entonces X tiene una estructura logarıtmica
canonica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusion
canonica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canonico
inducido por P → R[P] definiendo ası una estructura pre-logarıtmica en
X , entonces a esta le asociamos la estructura logarıtmica (P)a inducida.
Denotamos por
Spec(P→ R[P])
a el esquema logarıtmico con espacio X y estructura logarıtmica su
estructura logarıtmica canonica inducida.
![Page 32: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/32.jpg)
Estructura Canonica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al algebra
monomial.
Sea X = Spec(R[P]). Entonces X tiene una estructura logarıtmica
canonica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusion
canonica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canonico
inducido por P → R[P] definiendo ası una estructura pre-logarıtmica en
X , entonces a esta le asociamos la estructura logarıtmica (P)a inducida.
Denotamos por
Spec(P→ R[P])
a el esquema logarıtmico con espacio X y estructura logarıtmica su
estructura logarıtmica canonica inducida.
![Page 33: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/33.jpg)
Estructura Canonica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al algebra
monomial.
Sea X = Spec(R[P]). Entonces X tiene una estructura logarıtmica
canonica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusion
canonica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canonico
inducido por P → R[P] definiendo ası una estructura pre-logarıtmica en
X , entonces a esta le asociamos la estructura logarıtmica (P)a inducida.
Denotamos por
Spec(P→ R[P])
a el esquema logarıtmico con espacio X y estructura logarıtmica su
estructura logarıtmica canonica inducida.
![Page 34: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/34.jpg)
Ejemplos:
I La estructura logarıtmica en Spec(P→ R[P]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logarıtmica en
Spec(P→ Z[P]) vıa el morfismo canonico Z[P]→ R[P].
I Sea k un campo y sa Y = Ank = Spec(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por
O∗Y y {x1, . . . , xn}.
![Page 35: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/35.jpg)
Ejemplos:
I La estructura logarıtmica en Spec(P→ R[P]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logarıtmica en
Spec(P→ Z[P]) vıa el morfismo canonico Z[P]→ R[P].
I Sea k un campo y sa Y = Ank = Spec(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).
MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por
O∗Y y {x1, . . . , xn}.
![Page 36: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/36.jpg)
Ejemplos:
I La estructura logarıtmica en Spec(P→ R[P]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logarıtmica en
Spec(P→ Z[P]) vıa el morfismo canonico Z[P]→ R[P].
I Sea k un campo y sa Y = Ank = Spec(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por
O∗Y y {x1, . . . , xn}.
![Page 37: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/37.jpg)
Ejemplo: Punto Logarıtmico
Si ahora considero la inclusion Spec(k)→ Y que manda el punto al
origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗Nr . El morfismo
estructural esta dado por
(a, n1, . . . , nr ) 7→ a · 0n1+n2+···+nr . aquı convenimos que 00 = 1.
Al punto Spec(k) con la estructura logarıtmica anterior (para cualquier r)
lo llamamos punto logarıtmico. Cuando r = 1 decimos que este es el
punto logarıtmico estandar.
![Page 38: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/38.jpg)
Ejemplo: Punto Logarıtmico
Si ahora considero la inclusion Spec(k)→ Y que manda el punto al
origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗Nr . El morfismo
estructural esta dado por
(a, n1, . . . , nr ) 7→ a · 0n1+n2+···+nr . aquı convenimos que 00 = 1.
Al punto Spec(k) con la estructura logarıtmica anterior (para cualquier r)
lo llamamos punto logarıtmico. Cuando r = 1 decimos que este es el
punto logarıtmico estandar.
![Page 39: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/39.jpg)
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
![Page 40: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/40.jpg)
Completacion de un Anillo
A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.
Definicion
La completacion de A respecto al ideal I es el anillo
A := lim←−n>1
A/I n ⊂∏n>1
A/I n
Tambien decimos que A es la completacion I -adica de A.
Tenemos un morfismo canonico de anillos A→ A inducido por las
proyecciones A→ A/I n.
![Page 41: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/41.jpg)
Completacion Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definicion
La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
X := (X ,OX )
tal que:
I X = Y como espacio topologico.
I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si
A ' A. En particular A es completo.
![Page 42: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/42.jpg)
Completacion Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definicion
La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
X := (X ,OX )
tal que:
I X = Y como espacio topologico.
I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si
A ' A. En particular A es completo.
![Page 43: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/43.jpg)
El caso afın
Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un
subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:
Γ(OX , X ) = A
es la completacion I -adica de A.
I X es de hecho un espacio localmente anillado
I Los anillos locales de X no son completos en general.
![Page 44: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/44.jpg)
El caso afın
Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un
subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:
Γ(OX , X ) = A
es la completacion I -adica de A.
I X es de hecho un espacio localmente anillado
I Los anillos locales de X no son completos en general.
![Page 45: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/45.jpg)
La categorıa de esquemas formales noetherianos
Definicion
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.
![Page 46: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/46.jpg)
La categorıa de esquemas formales noetherianos
Definicion
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.
![Page 47: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/47.jpg)
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
![Page 48: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/48.jpg)
Definicion
Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:
I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si
∩mn = (0).
I Si f =∑
|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con
coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda
n-tupla i :
c [ordm(ai )] > |i |
es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para
toda n-tupla a ∈ A†n
se tiene que f (a) ∈ A†.
![Page 49: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/49.jpg)
Definicion
Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:
I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si
∩mn = (0).
I Si f =∑
|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con
coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda
n-tupla i :
c [ordm(ai )] > |i |
es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para
toda n-tupla a ∈ A†n
se tiene que f (a) ∈ A†.
![Page 50: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/50.jpg)
Completacion debil
Definicion
La completacion debil de una R-algebra A, es el algebra debilmente
completa mas pequena A† ⊂ A tal que contiene a A.
Es decir, que satisface la propiedad universal:
![Page 51: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/51.jpg)
Debilmente completa finitamente generada
Definicion
Una algebra A† debilmente completa es llamada (dcfg) debil completa
finitamente generada si existe una coleccion finita de elementos
a1, a2, . . . , ak ∈ A† tal que para todo a ∈ A† existe una serie de potencias
f en n-variables tal que:
a = f (a1, . . . , an)
Claramente la completacion debil de una algebra R finitamente generada
es una dcfg algebra.
![Page 52: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/52.jpg)
Esquema formal debil afın
Definicion
I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico
asociado es:
X = Spec(A†/mA†)
I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos
principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†
denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.
Entonces:
Γ(Xf ,OX) := (A†f )†
la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier
representante f de [f ] en A†.
![Page 53: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/53.jpg)
Esquema formal debil afın
Definicion
I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico
asociado es:
X = Spec(A†/mA†)
I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos
principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†
denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.
Entonces:
Γ(Xf ,OX) := (A†f )†
la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier
representante f de [f ] en A†.
![Page 54: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/54.jpg)
Esquema formal debil
Definicion
Un (pre)esquema formal debil es un espacio localmente anillado
(X,OX) que es localmente isomorfo a esquemas formales debiles afines.
![Page 55: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/55.jpg)
Teoremas de Meredith
I Si R es un anillo de valuacion discreta completo y si (X,OX) es el
esquema formal debil asociado a una algebra A† debilmente
completa finitamente generada (dcfg), entonces:
Se tiene una equivalencia entre las categorıas:
{Gavillas coherentes de OX-modulos} ⇐⇒{A†-modulos f.g.
}
![Page 56: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/56.jpg)
Teoremas de Meredith
I Si (X ,OX ) es un esquema (ordinario) de R-algebras propio sobre R
con completacion debil (X,OX) y si F es una gavilla coherente de
OX -modulos con completacion debil F, entonces el mapeo natural:
H i (X ,F ) −→ H i (X,F)
es biyectivo.
![Page 57: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/57.jpg)
Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un
R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el
funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:
{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }
Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.
![Page 58: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/58.jpg)
Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un
R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el
funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:
{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }
Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.
![Page 59: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/59.jpg)
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
![Page 60: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/60.jpg)
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
![Page 61: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/61.jpg)
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
![Page 62: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/62.jpg)
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
![Page 63: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/63.jpg)
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
![Page 64: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/64.jpg)
Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre
R1 := R/m) es afın.
Corolario
El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un
esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.
levantamiento
![Page 65: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/65.jpg)
Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre
R1 := R/m) es afın.
Corolario
El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un
esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.
levantamiento
![Page 66: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/66.jpg)
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
![Page 67: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/67.jpg)
Cartas
Definicion
Sea (X ,MX ) un log-sch y P un monoide.
Consideremos a la gavilla constante PX en X inducida por P.
Una carta para MX es un morfismo
PX →MX
tal que el morfismo inducido de estructuras logarıtmicas
Pa →MX
es un isomorfismo
Recordemos que Pa es la estructura logarıtmica asociada a la estructura
pre-logarıtmica dada por PX →MX → OX
![Page 68: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/68.jpg)
Otra forma de ver a las cartas:
Una carta para MX es equivalente a un morfismo de log-esquemas:
(X ,MX )→ Spec(P→ Z[P])
tal que f b es un isomorfismo.
En general tenemos lo siguiente:
Lema
El morfismo:
HomLogSch(X ,Spec(P→ Z[P]))→ HomMon(P,�(X,MX))
que asocia a f la composicion:
P → Γ(X ,PX )→ Γ(X ,MX )
es un isomorfismo.
![Page 69: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/69.jpg)
Otra forma de ver a las cartas:
Una carta para MX es equivalente a un morfismo de log-esquemas:
(X ,MX )→ Spec(P→ Z[P])
tal que f b es un isomorfismo. En general tenemos lo siguiente:
Lema
El morfismo:
HomLogSch(X , Spec(P→ Z[P]))→ HomMon(P,�(X,MX))
que asocia a f la composicion:
P → Γ(X ,PX )→ Γ(X ,MX )
es un isomorfismo.
![Page 70: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/70.jpg)
Cartas de log-morfismos
Definicion
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX →MX ,QY →MY ,Q → P)
en donde PX ,QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P,Q
que satisfacen las siguientes condiciones:
I PX →MX y QY →MY son cartas de MX y MY respectivamente.
I El morfismo de monoides Q → P hace el siguiente diagrama de
gavillas en X conmutativo:
QX//
��
PX
��f ∗MY
// MX
![Page 71: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/71.jpg)
Cartas de log-morfismos
Definicion
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX →MX ,QY →MY ,Q → P)
en donde PX ,QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P,Q
que satisfacen las siguientes condiciones:
I PX →MX y QY →MY son cartas de MX y MY respectivamente.
I El morfismo de monoides Q → P hace el siguiente diagrama de
gavillas en X conmutativo:
QX//
��
PX
��f ∗MY
// MX
![Page 72: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/72.jpg)
Cartas de log-morfismos
Definicion
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX →MX ,QY →MY ,Q → P)
en donde PX ,QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P,Q
que satisfacen las siguientes condiciones:
I PX →MX y QY →MY son cartas de MX y MY respectivamente.
I El morfismo de monoides Q → P hace el siguiente diagrama de
gavillas en X conmutativo:
QX//
��
PX
��f ∗MY
// MX
![Page 73: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/73.jpg)
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
![Page 74: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/74.jpg)
Grupo asociado a un Monoide
Recordemos que a todo monoide P le podemos asociar un grupo (el
grupo de Grothendieck) dado por:
Pgp := {(a, b)|(a, b) ' (c , d) si ∃ s ∈ P tal que s + a + d = s + b + c} ;
que satisface la propiedad universal de que todo morfismo de P a un
grupo se factoriza por Pgp de manera unica.
![Page 75: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/75.jpg)
Definiciones
Definicion
Un monoide P es llamado integral si el morfismo canonico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp, se tiene que
si np ∈ P para algun entero n, entonces p ∈ P.
Definicion
Un esquema logarıtmico X es llamado fino, si en localmente- etale existe
una carta
P →MX
con P un monoide integral finitamente generado.
Si ademas P se puede elegir de tal manera que sea saturado, entonces X
es llamado un log-esquema fino y saturado (fs) (on un esquema con una
estructura logarıtmica fina y saturada). Si P ' Nk decimos que la
estructura logarıtmica es localmente libre.
![Page 76: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/76.jpg)
Definiciones
Definicion
Un monoide P es llamado integral si el morfismo canonico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp, se tiene que
si np ∈ P para algun entero n, entonces p ∈ P.
Definicion
Un esquema logarıtmico X es llamado fino, si en localmente- etale existe
una carta
P →MX
con P un monoide integral finitamente generado.
Si ademas P se puede elegir de tal manera que sea saturado, entonces X
es llamado un log-esquema fino y saturado (fs) (on un esquema con una
estructura logarıtmica fina y saturada). Si P ' Nk decimos que la
estructura logarıtmica es localmente libre.
![Page 77: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/77.jpg)
Definiciones
Definicion
Un monoide P es llamado integral si el morfismo canonico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp, se tiene que
si np ∈ P para algun entero n, entonces p ∈ P.
Definicion
Un esquema logarıtmico X es llamado fino, si en localmente- etale existe
una carta
P →MX
con P un monoide integral finitamente generado.
Si ademas P se puede elegir de tal manera que sea saturado, entonces X
es llamado un log-esquema fino y saturado (fs) (on un esquema con una
estructura logarıtmica fina y saturada). Si P ' Nk decimos que la
estructura logarıtmica es localmente libre.
![Page 78: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/78.jpg)
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
![Page 79: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/79.jpg)
Morfismo Estricto e Inmersion cerrada estricta
Definicion
Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el
morfismo respectivo
f b : f ∗MY → MX
es un isomorfismo.
Es una inmersion cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de
esquemas X → Y es una inmersion cerrada.
![Page 80: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/80.jpg)
Morfismo Estricto e Inmersion cerrada estricta
Definicion
Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el
morfismo respectivo
f b : f ∗MY → MX
es un isomorfismo.
Es una inmersion cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de
esquemas X → Y es una inmersion cerrada.
![Page 81: Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022042706/58a6b5a41a28ab661f8b4dd1/html5/thumbnails/81.jpg)
Nota:
Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de log-esquemas:
T0Φ //
j
��
X
f
��T1
Φ// Y
con j una inmersion cerrada estricta definida por un ideal J tal que
J2 = 0.
Notemos que tanto T0, como T1 tienen al mismo espacio topologico
subyacente. Ademas ambos tienen al mismo sitio etale.