Post on 16-Apr-2015
Eletrônica Digital Ferramentas de Simplificação de Circuitos Lógicos Digitais
Prof. Wanderley
Introdução
Os circuitos lógicos obtidos tal como mostrado na aula anterior, em geral, admitem simplificações;
Simplificações podem ser feitas utilizando a Álgebra Booleana ou Mapas de Karnaugh;
Com Álgebra Booleana pode-se simplificar expressões com 5 ou mais variáveis;
A manipulação algebrica para obtenção do circuito mínimo pode ser uma tarefa árdua;
Mapas de Karnaugh, quando utilizados corretamente, garantem a obtenção do circuito mínimo sem muito esforço;
Entretanto, com 5 ou mais variáveis pode ser impraticável.
Álgebra de Boole - Postulados
A seguir serão apresentados os postulados da: Complementação; Adição; Multiplicação.
Apresenta-se ainda suas respectivas identidades resultantes.
Álgebra de Boole - Postulados Complementação
Seja A uma variável booleana. Então, é dito ser o complemento de A. Assim,
Daí, pode-se estabelecer a identidade
O inversor é o bloco lógico que executa este postulado!
A
01
10
AAse
AAse
AA
0110
1001
AAseeAAse
AAseeAAse
Álgebra de Boole - Postulados Adição
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
Daí, pode-se estabelecer as identidades:
AA 0)1
1011
0000
Ase
Ase
pois A pode ser 0 ou 1.
Álgebra de Boole - Postulados Adição
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
11)2 A
1111
1100
Ase
Ase
Álgebra de Boole - Postulados Adição
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
AAA )3
1111
0000
Ase
Ase
Álgebra de Boole - Postulados Adição
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
1)4 AA
10101
11010
AAse
AAse
Álgebra de Boole - Postulados Multiplicação
0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1
00.)1 A
00.11
00.00
Ase
Ase
Álgebra de Boole - Postulados Multiplicação
0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1
AA 1.)2
11.11
01.00
Ase
Ase
Álgebra de Boole - Postulados Multiplicação
0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1
AAA .)3
11.11
00.00
Ase
Ase
Álgebra de Boole - Postulados Multiplicação
0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1
0.)4 AA
00.101
01.010
AAse
AAse
Álgebra de Boole - Propriedades
Assim como na matemática comum, valem, na Álgebra de Boole as propriedades: Comutativa Associativa Distributiva
Álgebra de Boole - Propriedades
Propriedade Comutativa Na Adição: A+B = B+A Na Multiplicação: A.B = B.A
Propriedade Associativa Na Adição: A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C Na Multiplicação: A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C
Álgebra de Boole - Propriedades
Propriedade Distributiva A.(B+C) = A.B+A.C
A B C A(B+C) A.B+A.C
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
PROVA
Álgebra de Boole – Teoremas de De Morgan
Esses teoremas são de fundamental importância em simplificações de expressões booleanas
1º Teorema de De Morgan
BABA .
A B
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
BA. BA
PROVA
Extensão para N variáveis
NCBANCBA ..
1º Teorema de De Morgan
BABA .
A B
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
PROVA
Álgebra de Boole – Teoremas de De Morgan
BABA .
2º Teorema de De Morgan
Trata-se de uma extensão ao primeiro teorema
Primeiro teorema
Podemos reescrevê-lo da seguinte maneira:
BABA .
BABA .
BBAA deocomprementoéedeocomprementoéonde
Álgebra de Boole – Identidades Auxiliares
ABAA .)1
Provamos esta identidade utilizando a propriedade distributiva, seguido da identidade (1+B)=1 do postulado da soma e, finalmente, a identidade A.1=A do postulado da multiplicação
AABA 1.1
Álgebra de Boole – Identidades Auxiliares
CBACABA .)2
BCA
CBA
CBCBA
CBBACAA
CBBACAAA
CABA
.1.
.1
...
.... Propriedade distributiva
PROVA
Identidade A.A=A
Propriedade distributiva
Identidades: 1+X=1 e A.1=A
Álgebra de Boole – Identidades Auxiliares
BABAA .)3
BA
BA
BAAA
BAA
BAA
BAA
BAA
.
..
.
..
.
.
Identidade
PROVA
2º teorema de De Morgan
1º teorema de De Morgan
Propriedade distributiva e identidade
BABAA .)3
XX
0. AA
1º teorema de De Morgan
Álgebra de Boole – Simplificação de Expressões Booleanas
Seja a expressão booleana BACAABCS
Use a Álgebra de Boole para simplificá-la ao máximo.
BCBCAS
BCBCAS Propriedade associativa
Evidenciando A
BCBCAS Aplicando XX
BCBCAS Aplicando o teorema de De Morgan
YYAS Fazendo BCY
1.AS Aplicando identidade 1YY
AS Aplicando identidade AA 1.
Evidenciando A
Propriedade associativa
XX
Propriedade associativa
Aplicando XX Aplicando
Aplicando o teorema de De Morgan
YYAS Fazendo BCY Fazendo
1.AS Aplicando identidadeAplicando identidade
AS
Álgebra de Boole – Simplificação de Expressões Booleanas
Tarefa para casa
ACDCDBACSc
CBACBASb
CABCBACBABCACBASa
)
)
)
1) Simplifique as expressões booleanas
2) Obtenha BAS de BAS
3) Obtenha o circuito simplificado que executa a expressão
CBADCABBAS
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
• Mapas de Karnaugh permitem a simplificação de circuitos digitais de maneira mais rápida;• As informações para minimização são extraídas de tabelas verdade;• Quando aplicado corretamente é garantida a obtenção do circuito mínimo.
A
Mapa de karnaugh para duas variáveis
A
BB
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A
A
BB
Região BA
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A
A
BB
Região BA
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A
A
BB
Região BA
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A
A
BB
Região AB
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A 0 1
1 1A
BB
Exemplo
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
A
A
BBA
A
BB
A
A
BBA
A
BB
A=1 A=0
B=1 B=0
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
A 1 1
1 1A
BB
Agrupamentos
1S
A 0 0
1 1A
BB
AS
Quadra Pares
A 1 0
1 0A
BB
BS
Termos isolados
A 0 1
1 0A
BABAS
BB
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A 0 1
1 1A
BB
Exemplo
Par 1
Par 2
Aregião
Bregião
BAS
Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh
BB
3 Variáveis
0 1 3 2
4 5 7 6
A
A
CC C
Região A B C
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1