Conectivos Lógicos
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Proposies e Conectivos LgicosCleone [email protected]://docente.ifrn.edu.br/cleonelima
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Lgica Conceitos BsicosAristteles se preocupava com as formas de raciocnio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos.
A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia Lgica a formulao de leis gerais de encadeamentos de conceitos e juzos que levariam descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento chamada, em Lgica, de argumento.
Um argumento uma seqncia de proposies (afirmaes) na qual uma delas a concluso e as demais so premissas.
O objeto de estudo da lgica determinar se a concluso de um argumento ou no uma conseqncia lgica das premissas.
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ProposioConjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, de modo que se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lgicos possveis: verdadeiro ou falso.
Exemplos:a) O curso Pr-Fiscal fica em So Paulo.b) O Brasil um Pas da Amrica do Sul.c) A Bahia um estado do sul do Brasil.
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Assim, temos:
a) O Curso Pr-Fiscal fica em So Paulo um proposio verdadeira.b) O Brasil um Pas da Amrica do Sul uma proposio verdadeira.c) A Bahia um estado do sul do Brasil, uma proposio falsa.
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ProposioO que no uma Proposio?
Sentenas exclamativas: Caramba!, Feliz aniversrio!, Feliz Ano Novo!.Sentenas interrogativas: Como seu nome?, O jogo saiu de quanto?Sentenas imperativas: Estude mais, Leia aquele livro.
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Princpios das Proposies
1 Princpio da identidadeUma proposio verdadeira verdadeira; uma proposio falsa falsa.
2- Princpio da no-contradio:Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.
3 Princpio do Terceiro Excludo:Uma proposio ou ser verdadeira, ou ser falsa : no h outra possibilidade.
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ProposioProposies SIMPLES: aquelas que vm sozinhas, desacompanhadas de outras proposies: So geralmente designadas por letras minsculas p, q, r ...Ex: p = Todo homem mortal / q = O novo papa alemo.
Proposies COMPOSTAS: duas ou mais proposies conectadas entre si, formando uma s sentena. Habitualmente designadas por letras maisculas P, Q, R ...Ex: Joo mdico e Pedro dentista.
Os conectivos so representados da seguinte forma: corresponde a no corresponde a e corresponde a ou corresponde a ento corresponde a se e somente se
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ProposioA partir de uma proposio podemos construir uma outra com a sua negao;Ex: Maria mdica. / Maria no mdica.
Com duas proposies ou mais, podemos formar:Conjunes: a b (l-se: a e b)Disjunes: a b (l-se: a ou b)Disjunes exclusiva: a V b (l-se: ou a ou b)Condicionais: a b (l-se: se a ento b)Bicondicionais: a b (l-se: a se e somente se b)
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Exerccio
Seja p a proposio est chovendo e seja q a proposio est ventando. Escreva uma sentena verbal simples, em portugus, que descreva cada uma das seguintes proposies lgicas:
~~pp qq ~p~p~qp q
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Tabela-Verdade um instrumento usado para determinar os valores lgicos das proposies compostas, a partir de atribuies de todos os possveis valores lgicos das proposies simples componentes.A primeira das tabelas abaixo apresenta duas proposies simples: p e q e a segunda, trs proposies simples: p, q e r. As clulas de ambas as tabelas so preenchidas com valores lgicos V e F, de modo a esgotar todas as possveis combinaes. O nmero de linhas da tabela pode ser previsto efetuando o clculo: 2 elevado ao nmero de proposies simples. Nos exemplos abaixo tem-se 22 = 4 linhas e 23 = 8 linhas.
pqVV VFFVFF
pqrVVVVVFVFVVFFFVVFVFFFVFFF
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Operaes LgicasDepende de duas coisas:Valor lgico das proposies componentes;Tipo de conectivo que as une.
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Conectivo e: ConjunoProposies compostas em que est presente o conectivo e;Simbolicamente representado por .A sentena:
Marcos mdico e Maria estudante
... pode ser representada apenas por: p q. Onde: p = Marcos mdico e q = Maria estudante.
Como se revela o valor lgico de uma proposio conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjuno s ser verdadeira, se ambas as proposies componentes forem tambm verdadeiras.
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Conjuno Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposies componentes seja falsa, e a conjuno ser toda ela falsa. Obviamente que o resultado falso tambm ocorrer quando ambas as proposies componentes forem falsas.
pqpqVVVVFFFVFFFF
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Para assimilar... Uma maneira de assimilar bem essa informao seria pensarmos nas sentenas simples como promessas de um pai a um filho: eu te darei uma bola E te darei uma bicicleta. Ora, pergunte a qualquer criana! Ela vai entender que a promessa para os dois presentes. Caso o pai no d nenhum presente, ou d apenas um deles, a promessa no ter sido cumprida. Ter sido falsa! No entanto, a promessa ser verdadeira se as duas partes forem tambm verdadeiras!
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Representao Matemtica Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjuno p e q corresponder interseo do conjunto p com o conjunto q. Teremos:
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Conectivo ou: DisjunoProposies compostas em que est presente o conectivo ou;Simbolicamente representado por V.A sentena:
Marcos mdico ou Maria estudante
... pode ser representada apenas por: p V q. Onde: p = Marcos mdico e q = Maria estudante.
Como se revela o valor lgico de uma proposio disjuntiva?
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Disjuno Uma disjuno ser falsa quando as duas partes que a compem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjuno ser verdadeira!
pqpVqVVVVFVFVVFFF
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Para assimilar... Lembremos da promessa de um pai a um filho: eu te darei uma bola OU te darei uma bicicleta. Neste caso, a criana j sabe, de antemo, que a promessa por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai j valeu! J foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicssimo! A promessa foi mais do que cumprida. S haver um caso, todavia, em que a bendita promessa no se cumprir: se o pai esquecer o presente, e no der nem a bola e nem a bicicleta. Ter sido falsa toda a disjuno.
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Representao Matemtica Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a disjuno p ou q corresponder unio do conjunto p com o conjunto q. Teremos:
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Disjuno ExclusivaVejamos:
Te darei uma bola OU uma bicicleta.OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta.
Qual a diferena? A segunda estrutura apresenta duas situaes mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante ser necessariamente falsa. Ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, falsas.
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Proposies compostas em que est presente o conectivo Ou ... ou ...;Simbolicamente representado por V.Como se revela o valor lgico de uma disjuno exclusiva? Uma disjuno exclusiva s ser verdadeira se obedecer mtua excluso das sentenas. Falando mais fcil: s ser verdadeira se houver uma das sentenas verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjuno exclusiva ser falsa.Conectivo Ou ... ou ...: Disjuno Exclusiva
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Disjuno Exclusiva Vejamos a tabela-verdade de uma disjuno exclusiva.
pqpVqVVFVFVFVVFFF
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Para assimilar... Lembremos da promessa de um pai a um filho: OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta. Neste caso, a criana j sabe, que se for verdade que te darei uma bola, ento teremos que no ser dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que te darei uma bicicleta, ento teremos que no ser dada a bola.
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Conectivo Se ... ento ...: CondicionalProposies compostas em que est presente o conectivo Se ... ento ....;Simbolicamente representado por .A sentena:
Se nasci em Fortaleza ento sou cearense
... pode ser representada apenas por: p q. Onde: p = Nasci em Fortaleza e q = Sou cearense.
Como se revela o valor lgico de uma proposio condicional?
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Condicional S ser falsa esta estrutura quando houver a condio suficiente, mas o resultado necessrio no se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional ser verdadeira.
pqpqVVVVFFFVVFFV
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DicasPedro ser rico condio suficiente para Maria ser mdica,
Podemos reescrever essa sentena, usando o formato da condicional. Teremos:
Pedro ser rico condio suficiente para Maria ser mdica igual a:Se Pedro for rico, ento Maria mdica
Se algum disser que: Maria ser mdica condio necessria para que Pedro seja rico, tambm poderemos traduzir isso de outra forma:Maria ser mdica condio necessria para que Pedro seja rico igual a:Se Pedro for rico, ento Maria mdica
No esqueam:Uma condio suficiente gera um resultado necessrio.
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Representao Matemtica Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a condicional se p ento q corresponder incluso do conjunto p no conjunto q (p est contido em q).
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Conectivo ... se e somente se ...: BicondicionalProposies compostas em que est presente o conectivo ... se e somente se ....;Simbolicamente representado por .Consiste em uma CONJUNO entre duas CONDICIONAIS:
Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri=Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri E Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre=Se Eduardo fica alegre ento Mariana sorri e se Mariana sorri ento Eduardo fica alegre
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BicondicionalHaver duas situaes em que a bicondicional ser verdadeira: quando antecedente e consequente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional ser falsa.
pqpqVVVVFFFVFFFV
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Representao Matemtica Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a bicondicional p se e somente se q corresponder igualdade dos conjuntos p e q.
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Perguntas???
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