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EFEITO ALLEE
IFT – UNESP Curso de Métodos Matemáticos em Biologia de Populações
18 a 24 de fevereiro de 2008
Aline AlvarengaTaiana Brito
Humberto SannaAdriane Schelin
Alexandre Soares
1. DEFINIÇÃO
2. EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO 3. EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA
EFEITO ALLEE
APRESENTAÇÃO EFEITO ALLEE
DEFINIÇÃOEFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
DEFINIÇÃO
WARDER CLYDE ALLE (1885–1955)
EFEITO ALLEE
Relação positiva entre qualquer componente de aptidão individual e o número ou densidade de indivíduos.
DEFINIÇÃOEFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
DEFINIÇÃO EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE EM UMAPOPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
• EQUAÇÃO LOGÍSTICA:
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
• EQUAÇÃO LOGÍSTICA:
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
• PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação
1. para N < Nc
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
• PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação
1. para N < Nc
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EXTINÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
• PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação
1. para N < Nc
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EXTINÇÃO
2. para Nc < N < N*
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
• PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação
1. para N < Nc
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EXTINÇÃO
2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
• PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação
1. para N < Nc
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EXTINÇÃO
2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO
3. para N > N*
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
• PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação
1. para N < Nc
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EXTINÇÃO
2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO
3. para N > N* DECRESCIMENTO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• FUNÇÃO F(N):
• NOVA EQUAÇÃO PARA POPULAÇÃO:
• ADIMENSIONALISANDO...
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• GRÁFICO:
ANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS)
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOMODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• VALORES DE α E β ONDE É VÁLIDO EFEITO ALLEE:
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOEFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• VARIANDO β E MANTENDO α FIXO:
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO • VARIANDO α E MANTENDO β FIXO:
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
A variação de α afeta a ocorrência do efeito Allee. Para valores de α < 1, não ocorre o efeito.
α VARIANDO β VARIANDO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• EXEMPLOS COM DIFERENTES CONDIÇÕES INICIAIS:
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOSIMULAÇÃO
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X
PRESA
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
CASOS:
- SIMPLES
- SIMPLES COM SAZONALIDADE
- SIMPLES RANDÔMICO
- COM SATURAÇÃO DO PREDADOR
- COM SATURAÇÃO DA PRESA
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
SIMPLES
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
• EQUAÇÃO LOTKA-VOLTERRA :
Seja: P - Presa V - Predador
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA
• NOVO SISTEMA PARA PREDADOR X PRESA:
• ADIMENSIONALISANDO...
α, β e γ : novas constantes
PresaPredador
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
SIMPLES
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
MODELAGEM
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA
• PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS)
- 0, 0Log
, 0
, 12 -
-
λ1 = 1 – α , λ2 = - γ
Re λ > 0
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
SIMPLES
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
ANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA• PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS)
α = 0γ = 10
α = 10β = 0.1γ = 10
α = 0.1β = 0.1γ = 10
α = 10β = 1γ = 10
MODELAGEM
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESASIMPLES
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
ANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA•
MODELAGEM
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESASIMPLES
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
SIMULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA
MODELAGEM
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESASIMPLES
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
ANÁLISE QUALITATIVA
SIMPLES RANDÔMICO
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
• SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE
• COM EFEITO ALLEE RANDÔMICO
PresaPredador
MODELAGEM
α=α0 X, com X entre 0 e 1
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
MODELAGEMSIMULAÇÃO
SIMPLES COM SAZONALIDADE
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
• SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE
• COM EFEITO ALLEE SAZONAL
PresaPredador
MODELAGEM
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
MODELAGEMSIMULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
MODELAGEMSIMULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
MODELAGEMSIMULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
MODELAGEMSIMULAÇÃO
COM SATURAÇÃO DO PREDADOR
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
• SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE
• COM SATURAÇÃO DO PREDADOR
PresaPredador
MODELAGEM
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
MODELAGEM
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA
EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE
SIMPLES
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
ANÁLISE QUALITATIVA• COM SATURAÇÃO DO PREDADOR
α = 10β = 1 γ = 10 δ = 5
COM SATURAÇÃO DA PRESA
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
• SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE
• COM SATURAÇÃO DA PRESA
PresaPredador
MODELAGEM
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
• PONTOS FIXOS ENCONTRADOS ANALITICAMENTE:
MODELAGEM
ANÁLISE QUALITATIVA
( 0 , 0 )
( γ , 1-α e-βγ2-γδ )
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
MODELAGEM
ANÁLISE QUALITATIVA
α= 10β = 1γ = 10δ= 0.08
• CAMPO VETORIAL DO SISTEMA:
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
MODELAGEM
SIMULAÇÃO
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
MODELAGEM
ANÁLISE QUALITATIVA
CONCLUSÃO
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
CONCLUSÃO
• OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO;
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
CONCLUSÃO
• OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO;
• MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
CONCLUSÃO
• OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO;
• ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO;
• MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
CONCLUSÃO
• OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO;
• ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO;
• MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;
• A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES;
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
CONCLUSÃO
• OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO;
• ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO;
• MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;
• A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES;
• A VARIAÇÃO SAZONAL DO EFEITO ALLEE TAMBÉM ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES. QUANDO ESSA VARIAÇÃO ESTAVA EM FASE COM A DINÂMINCA DAS POPULAÇÕES, A POPULAÇÃO NÃO SE EXTINGUIU;
EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
CONCLUSÃO
• OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO;
• ENCONTRAMOS UMA REGIÃO PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES COM UMA DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO;
• MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;
• COM UM TERMO DE SATURAÇÃO PARA AS PRESAS, NOTAMOS UMA REGIÃO ATRAÍDA PARA UM PONTO FIXO, E OUTRA PARA A EXTINÇÃO DE AMBAS AS ESPÉCIES;
• A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES;
• A VARIAÇÃO SAZONAL DO EFEITO ALLEE TAMBÉM ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES. QUANDO ESSA VARIAÇÃO ESTAVA EM FASE COM A DINÂMICA DAS POPULAÇÕES, A POPULAÇÃO NÃO SE EXTINGUIU;