DPS1037 – SISTEMAS DA QUALIDADE IIENGENHARIA DE PRODUÇÃO – CT/UFSM

Enga. Morgana Pizzolato, Dra.

Aula 02 – Revisão de Estatística

TÓPICOS DESTA AULA

� Revisão de Estatística

� Coleta de dados

� Análise de dados

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INTRODUÇÃO

� Como tomar decisões num ambiente industrial?

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COLETA DE DADOS

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DADOS

População

AmostraQuantos ?

INFERÊNCIA

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µ

σ

x

s

Amostra (x1, x2, ..., xn)

Estimação

População

Inferência

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ESTRATIFICAÇÃO DE DADOS

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TIPOS DE DADOS - ATRIBUTOS

� características qualitativas

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TIPOS DE DADOS - VARIÁVEIS

� Característica quantitativa

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ANÁLISE DE DADOS

1) Medidas de tendência central

2) Medidas de variabilidade

3) Histograma

4) Boxplot

5) Distribuição de probabilidade Normal

6) Gráfico de normalidade

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

�Moda

�Mediana

�Média aritmética

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MÉDIA ARITMÉTICA

� Exemplo:

� Anota-se a temperatura corporal de um indivíduo

de 1 em 1 hora, durante 8 horas. Qual a

temperatura média do indivíduo?

�nnnn = 7 (tamanho da amostra)

� xxxxiiii = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores

observados)

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∑=

=n

i

ixn

x1

1

Cx °=++++++

= 387

39393739383737

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MEDIANA

� Exemplo

� Qual a mediana da temperatura corporal do indivíduo?

� nnnn = 7 (tamanho da amostra é ímpar)

� xxxxiiii = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores observados)

� xxxxiiii = 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39 em ºC (valores observados

ordenados)

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+= +

+

parn

ímparnxx

x

xnn

n

2

~)12/()2/(

)2/)1((

Cx °= 38~

12

MODA

� Exemplo:

� Qual a moda da temperatura corporal do indivíduo?

� nnnn = 7 (tamanho da amostra)

� xxxxiiii = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores observados)

� xxxxiiii = 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39 em ºC (valores observados

ordenados)

�MMMM = 37 e 39

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RELAÇÃO ENTRE MÉDIA E MEDIANA

� A mediana é mais robusta a dados atípicos

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Simétrica Forma de Sino

Assimétrica à Direita Assimetria Positiva

Assimétrica à Esquerda Assimetria Negativa

xx~

x~ x x x~

A Distribuição simétrica 10 12 14 16 18 14~ 14 === xx

B Distribuição assimétrica à direita 10 12 14 16 23 14~ 15 =>= xx

C Distribuição assimétrica à esquerda 05 12 14 16 18 14~ 13 =<= xx

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MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE)

� Observações individuais apresentam alguma dispersão em torno do valor médio�Dispersão ou variabilidade das observações

�Amplitude

�Quartil

�Variância e desvio-padrão

�Coeficiente de Variação

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AMPLITUDE

RRRR ==== XXXXmaxmaxmaxmax ---- XXXXminminminmin

� Exemplo

xxxxiiii = 8,5; 8,7; 8,9; 10,1; 10,5; 10,7; 11,5; 11,9

R R R R = 11,9 - 8,5 = 3,4

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QUARTIL

� É qualquer um dos três valores que divide o conjunto

ordenado de dados em quatro partes iguais

� cada parte representa 1/4 da amostra ou população

� 1º quartil ou quartil inferior (Q1) = valor aos 25% da amostra

ordenada

� 2º quartil ou mediana (Q2) = valor até ao qual se encontra 50% da

amostra ordenada

� 3º quartil ou quartil superior (Q3) = valor a aos 75% da amostra

ordenada

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EXEMPLO DE CÁLCULO DOS QUARTIS

� xxxxiiii = 36, 40, 7, 41, 15, 39 (valores observados)

� xxxxiiii = 7, 15, 36, 39, 40, 41 (valores observados ordenados)

Q1 = 15

Q2 = (39+36)/2 = 37,5

Q3 = 40

� Amplitude (intervalo) interquartílica: Q3 - Q1 (40 - 15 = 25)

� use a mediana para dividir os dados ordenados em duas metades, não inclua a mediana nas metades

� o quartil inferior (ou superior) é a mediana da metade inferior (ou superior)

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BOXPLOT

� Gráfico que apresenta a variabilidade de um conjunto de dados através de 6 medidas� Exemplo: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6

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0

1

2

3

4

5

6

7

Dim

ensão

Valor máximo = 6

Q3 = 5

x bar = média = 3,3

Q2 = Mediana = 3

Q1 = 2

Valor mínimo = 1

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BOXPLOT, MAIS UM EXEMPLO

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a b c

Q3 70 75 57

Max 100 110 90

Mediana 40 45 50

Média 40 40 50

Min 10 15 18

Q1 20 22 30

0

20

40

60

80

100

120

a b c

Q3

Max

Mediana

Média

Min

Q1

20

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

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2

2 1

2

2 1

( )

1

( )

n

i

i

n

i

i

x x

sn

x

n

µσ

=

=

−=

−

−=

∑

∑

2

1

2

1

( )

1

( )

n

i

i

n

i

i

x x

sn

x

n

µσ

=

=

−=

−

−=

∑

∑

21

EXEMPLO DE VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

� xxxxiiii = 10, 12, 14, 16, 18 (cm)

� A média e o desvio padrão possuem a mesma unidade de medida

� Os desvios de cada valor em relação à média totalizam zero pois a

média é o valor central

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14cmx =

2 2 2 2 22 2(10 14) (12 14) (14 14) (16 14) (18 14)

9,98 cm5 1

s− + − + − + − + −

= =−

29,98 3,16 cms= =

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COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

� Um desvio padrão pode ser considerado grande ou pequeno dependendo da ordem de grandeza da média da variável

� Quanto menor o CVCVCVCV mais homogêneo é o conjunto de dados

� Útil para comparar resultados de amostras cujas unidades podem ser diferentes

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100s

CVx

= ×

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EXEMPLO DE COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

� Duas turmas de Sistemas da Qualidade II obtiveram as seguintes notas nas avaliações:� Turma B: média = 60, desvio padrão = 5

� Turma C: média = 70, desvio padrão = 10

� Qual das duas turmas é relativamente mais homogênea?� CV BCV BCV BCV B = (5 / 60)*100 = 8,3%

� CV CCV CCV CCV C = (10 / 70)*100 = 14,3%

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HISTOGRAMA

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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

� É um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência

� Distribuições Discretas

� quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros: 0, 1, 2, etc., por exemplo, binomial, poisson

� Distribuições Contínuas

� quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua, como no caso de uma característica dimensional, por exemplo, normal

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL

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{ }

{ }

{ } { }

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21( )

2

1 1 1

xa

P x a F a e dx

a aP x a P z

a aP x a P x a P z

µσ

σ π

µ µσ σ

µ µσ σ

− −

−∞

≤ = =

− − ≤ = ≤ ≡Φ

− − ≥ = − < = − < ≡ −Φ

∫

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GENERALIZANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

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xσ+xσ−x

σ2+xσ2−x

σ3+xσ3−x

~ ( , )N x σ

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QUANTIFICANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

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2,28%

99,73%

95,45%

68,27%

0 1

-z +z

-2z +2z

-3z +3z

2 3-3 -2 -1

0,13%

15,87%

50,00%

84,13%

97,72%

99,87%

2~ (0,1 )N

A tabela de distribuição

Normal reduzida

(média = 0 e variância =1)

dá as probabilidades

acumuladas de -∞ até a

a xz

σ−

=

29

EXEMPLO

� A força de tensão de sacos plásticos de supermercado é normalmente distribuída com média 40 N/mm2 com desvio padrão de 2 N/mm2. O comprador exige que os sacos tenham resistência de pelo menos 35 N/mm2. Qual a probabilidade do produto atender a especificação?

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{ } { }

{ } { }

{ }

35 1 35

35 4035 2,5 ( 2,5) 0,0062

2

35 1 0,0062 0,9938

P x P x

P x P z P z

P x

> = − ≤

− ≤ = ≤ = ≤ − = Φ − =

> = − = Função no Excel

DIST.NORMP( )

30

CONTINUANDO O EXEMPLO

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2~ (40, 2 )N2~ (0,1 )N

{ } { }35 2, 5 ( 2, 5) 0, 62%P x P z≤ = ≤ − = Φ − =

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ANALISANDO O COMPORTAMENTO DAS DIFERENTES DISTRIBUIÇÕES NORMAIS

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A

C

B

x

f(x)

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TESTES DE NORMALIDADE DOS DADOS

� Muitos testes usados partem do princípio que os dados amostrados são provenientes de uma população normal

� Deve-se testar se um conjunto de dados tem uma distribuição normal

�Método qualitativo

� Gráfico de normalidade (Normal Probability Plot)

�Métodos quantitativos

� Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors e Shapiro-Wilks

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Se os pontos do gráfico apresentarem um padrão linear, então a distribuição

normal é um bom modelo para este conjunto de dados 34

GRÁFICO DE NORMALIDADE

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

-3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00

zj t

eó

rico

zj amostral