DPS1037 – SISTEMAS DA QUALIDADE IIENGENHARIA DE PRODUÇÃO – CT/UFSM

Morgana Pizzolato, Dra.

Aula 18 – Experimentos de dois fatores

TÓPICOS DESTA AULA

� Projetos de Experimentos de dois fatores

� Projetos fatoriais

ANOVA de dois fatores com repetição

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� ANOVA de dois fatores com repetição

� ANOVA de dois fatores sem repetição

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PROJETOS FATORIAS

�Muitos experimentos envolvem o estudo de

dois ou mais fatores

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� Quando todas as combinações de níveis dos

fatores são investigadas

� tem-se um projeto fatorial

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EXEMPLO DO QUE SE FAZ NA INDÚSTRIA

� Uma empresa estava interessada em aumentar o teor de pureza de uma substancia química

� Sabia-se que os dois fatores mais importantes que influenciavam o teor de pureza eram a temperatura e a pressão do reator

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influenciavam o teor de pureza eram a temperatura e a pressão do reator

� Objetivo: determinar os níveis de temperatura e pressão que maximizem o teor de pureza (%)maximizem o teor de pureza (%)maximizem o teor de pureza (%)maximizem o teor de pureza (%)

� Como: primeiro fixar a temperatura em 65oC e variar pressão; e segundo, fixar a melhor pressão e variar a temperatura obtendo a resposta

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GRAFICAMENTE

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Temperatura

fixada em 65oC

Pressão fixada

em 14,3 atm

� Neste exemplo os fatores foram testados um de cada vez

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OUTRO TIPO DE GRÁFICO

� Vista superior da região pressão x temperatura

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� FC testados um de cada vez (5 níveis cada)

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RESULTADO DO EXPERIMENTO

� Para os FC testados um de cada vez

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72%

75%

77%

7

72%

MODIFICANDO A FORMA DE REALIZAR O EXPERIMENTO

� Condições operacionais atuais:� Temperatura: 68°C

� Pressão: 14,3 atm

� Pureza: 75%

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� Pureza: 75%

� FC testados ao mesmo tempo (2 níveis cada):� Temperatura: 63°C e 73°C

� Pressão: 13,3 atm e 15,3 atm

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RESULTADO DO EXPERIMENTO

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PROJETOS FATORIAIS

� É aquele no qual, para cada repetição completa do experimento, todas as possíveis combinações dos níveis dos FC são pesquisadas

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� Cada uma das possíveis combinações de níveis é chamada de “Tratamento”

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B1 B2

A1 20 30

A2 40 52

PROJETOS FATORIAIS

� O efeito de um fator é definido como a mudança que aparece na resposta quando muda-se o nível deste fator

� Efeito de A = = 21

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2

3020

2

5240 +−

+

� passando do nível A1 para o nível A2 há uma mudança média na resposta de 21 unidades.

� Similarmente,

� Efeito de B = = 11

11

2

4020

2

5230 +−

+

B1 B2

A1 20 30

A2 40 52

� Em alguns experimentos a diferença na resposta observada quando se modifica os níveis de um dos fatores irá depender do nível do outro fator.

PROJETOS FATORIAIS

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� Nesse caso, diz-se que há uma interação entre A e B.

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B1 B2

A1 20 40

A2 50 12

PROJETOS FATORIAIS

� Os gráficos de dois fatores são úteis para esclarecer a natureza da interação� Quando a interação é forte, os efeitos principais têm pouco interesse

prático, por exemplo, para esses dados:

� Efeito A = = 1

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2

4020

2

1250 +−

+� Efeito A = = 1

� O fator A tem um efeito pequeno ? ERRADO!!ERRADO!!ERRADO!!ERRADO!!

� O fator A tem um efeito pronunciado, mas esse efeito depende do nível do fator B:� Em B1 >> Efeito de A = 50 - 20 = 30� Em B2 >> Efeito de A = 12 - 40 = -28

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22−

B1 B2

A1 20 40

A2 50 12

PORQUE UTILIZAR PROJETOS FATORIAIS?

� Comparar:

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B1 B2

A1 XX XX

B1 B2

A1 X X

Um fator de cada vez Fatorial cruzado

� Fatoriais cruzados são mais econômicos� Fatoriais cruzados permitem que se avalie interações

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A1 XX XX

A2 XX

A1 X X

A2 X X

ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS FATORIAS COM 2 FATORES

� Fator A com "a" níveis e Fator B com "b" níveis

� Cada repetição completa do experimento envolve "ab" ensaios

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Fator B

1 2 ... b

Fator A

1 y111, y112, ..., y11n y121, y122, ..., y12n ... y1b1, y1b2, ..., y1bn2 y211, y212, ..., y21n y221, y222, ..., y22n ... y2b1, y2b2, ..., y2bn... ... ... ... ...

a ya11, ya12, ..., ya1n ya21, ya22, ..., ya2n ... yab1, yab2, ..., yabn

ANOVA PARA DOIS FATORES

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Fonte de variação SQ GL MQ Teste F

A SQA (a-1) MQA MQA / MQR

B SQB (b-1) MQB MQB / MQR

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B SQB (b-1) MQB MQB / MQR

AB SQAB (a-1)(b-1) MQAB MQAB / MQR

Erro (Resíduo) SQR ab(n-1) MQR

Total SQT abn-1

EQUAÇÕES (1)

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Fator B

Fator A

(yij.)

(yi..)

(y ) ( )2

a b y

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(y.j.)

( )

( )

( )

2

2

..

1

2

. .

1

...

ai

i

bj

j

yTC

abn

ySQA TC

bn

ySQB TC

an

=

=

=

= −

= −

∑

∑

( )

( )

2

.

1 1

2

.2

1 1 1 1 1

2

1 1 1

a bij

i j

a b n a bij

ijk

i j k i j

a b n

ijk

i j k

ySQAB TC SQA SQB

n

ySQR y

n

SQT y TC

SQT SQA SQB SQAB SQ

= =

= = = = =

= = =

= − − −

= −

= −

= + + +

∑∑

∑∑∑ ∑∑

∑∑∑

EQUAÇÕES (2)

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A

B

SQAMQA

GDL

SQBMQB

GDL

=

=

( )cal A

R

MQAF

GDL

MQBF

=

=

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B

AB

R

GDL

SQABMQAB

GDL

SQRMQR

GDL

=

=

( )

( )

cal B

R

cal AB

R

MQBF

GDL

MQABF

GDL

=

=

INTERPRETAÇÃO DO RESULTADO DA ANOVA

FFFFcalculadocalculadocalculadocalculado > > > > FFFFtabeladotabeladotabeladotabelado

O efeito O efeito O efeito O efeito correspondente é correspondente é correspondente é correspondente é

significativosignificativosignificativosignificativo

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, 1, 2tab GL GLF Fα=

� Se um fator ou interação não é significativo, o valor esperado de sua MQ é igual ao valor esperado da MQR

� Se um fator ou interação é significativo, o valor esperado de sua MQG será maior que o valor esperado da MQR

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, 1, 2tab GL GLα

EXEMPLO 1

� Suspeita-se que a máxima voltagem de saída de um tipo de bateria é afetada pelo material usado nas placas e pela temperatura.

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� Quatro repetições completas de um experimento fatorial cruzado foram rodadas em laboratório e os dados obtidos são apresentados a seguir:

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DADOS COLETADOS

Temperatura Temperatura Temperatura Temperatura (B(B(B(B))))Material (A)Material (A)Material (A)Material (A) 50505050 65656565 80808080

1111 130 34 20155 40 7074 80 82180 75 58

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180 75 582222 150 151 50

188 137 100159 121 83126 130 60

3333 138 174 96110 120 104168 150 82160 139 60

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ANÁLISE DOS DADOS

� Fazer a ANOVA para dois fatores;

� Fazer gráficos se o efeito da interação for significativo;

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significativo;

� Fazer a comparação múltipla de médias para verificar qual a combinação dos níveis dos FC é mais adequada para o caso;

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COMPARAÇÃO MÚLTIPLA DE MÉDIAS

� Se existir efeitos significativos� Observações para CMM na ANOVA de dois fatores

� Se apenas os fatores puros são significativos � CMM para cada fator individualmente

Usar gráfico de barras

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� Usar gráfico de barras

� Se a interação é significativa (independentemente se os fatores puros são ou não significativos)� CMM somente para a interação

� As comparações devem ser feitas fixando-se um nível de um dos fatores e comparando as médias dos níveis do outro fator.

� Usar gráfico de linhas

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EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO

� Lembrando, o número de GDL do termo de erro vem dado por:

ab(n-1)

� Se não existem repetições do experimento

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� Se não existem repetições do experimento

n = 1� não sobram GDL para calcular de modo independente a MQR

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)1( −=

nab

SQRMQR Indeterminado se o

denominador é zeroMQR

MQGFcal =

Logo o Fcal também vai ser

indeterminado

EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO

� Quando há motivos para acreditar que a interação AB não é significativa, então:

E(MQAB) = E(MQR)

é possível fazer a análise usando a MQAB como

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� é possível fazer a análise usando a MQAB como uma estimativa do termo de erro:

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FV SQ GDL MQ Teste F

A SQA (a-1) MQA MQA / MQAB

B SQB (b-1) MQB MQB / MQAB

Erro (AB) SQAB (a-1)(b-1) MQAB

Total SQT ab-1

EXEMPLO 2

� Um pesquisador acredita que a resistência à tração de certos corpos de prova (CP) de argamassa depende da % de microssílicautilizada na sua fabricação e do operador que

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utilizada na sua fabricação e do operador que confecciona os CPs. Os dados revelaram:

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% % % % microssílicamicrossílicamicrossílicamicrossílica

0000 5555 10101010 15151515 20202020

Operador

Operador

Operador

Operador 1111 4 5 6 5 3

2222 1 3 4 3 2

3333 1 1 3 2 1

Fonte de variaçãoSoma dos

quadradosGL

Médias

quadradasF calc F tab

Operador (A) 23,33 2 11,67 46,7 4,46

% Microssílica (B) 11,60 4 2,90 11,6 3,84

ANOVA

Os efeitos do operador e do % de microssílica são significativos

Próximo passo: conduzir uma CMM tanto para A quanto para B

% Microssílica (B) 11,60 4 2,90 11,6 3,84

Erro (AB) 2,00 8 0,25

Total 36,93 14