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- Distribuio de Probabilidades Aula 04 Prof. Christopher Freire
Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas
www.ctec.ufal.br/professor/cfs
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- Objetivos Promover o entendimento do que so modelos de
distribuio de probabilidade Desenvolver habilidades para
identificar quais modelos devem ser aplicados para cada estudo
Desenvolver habilidades para elaborar modelos de distribuio de
probabilidade. 2 Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades
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- Relevncia do contedo Um modelo de distribuio de probabilidades
pode ser usado para interpolar ou extrapolar probabilidades ou
quantis no contidos nas observaes amostrais. 3 Christopher Souza:
Distribuio de probabilidades
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- Contedo Fundamentos Variveis discretas Variveis contnuas
Estatsticas Amostrais 4 Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades
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- Fundamentos Conceitos Parmetros Distribuies 5 Christopher
Souza: Distribuio de probabilidades
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- Fundamentos (Conceitos) Variveis aleatrias Tm um nico valor
numrico para cada resultado de um experimento. Discretas Assumem
apenas valores inteiros. Contnuas Podem assumir valor mensurvel em
escala contnua, i.e., sem saltos ou interrupes. Distribuio de
probabilidades descrio que apresenta a probabilidade para cada
valor da varivel aleatria. Observe que para todo valor individual
de x, 0P(x) 1 e que para todos os valores possveis de x,. A
distribuio de probabilidade freqentemente expressa por um grfico,
tabela ou equao. 6 Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades
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- Fundamentos (Conceitos) Funo massa de probabilidade Indica com
que probabilidade a varivel aleatria x assume o valor x o, i.e.,
P(x=x o ) = f x (x o ). A funo massa de probabilidade se aplica a
variveis discretas. Funo densidade de probabilidade Equivale funo
massa de probabilidade, sendo que se aplica a variveis
contnuas..,., 7 Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades
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- Fundamentos (Conceitos) Funo de distribuio acumulada de
probabilidades Indica com que probabilidade a varivel x menor ou
igual ao valor x o, i.e.,.,., ou 8 Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades
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- Fundamentos (Conceitos) Modelos de distribuio de probabilidades
Equaes (P(x=x 0 )=f(x, 1, 2,..., n )) que sintetizam o
comportamento de variveis aleatrias (x) quanto probabilidade de
ocorrncia de seus valores (x 0 ). Os coeficientes das equaes ( 1,
2,..., n ) possibilitam a particularizao de seu uso para uma
amostra de dados. Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 9
Distribuio Normal
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- Fundamentos (Parmetros) Particularizao de modelos de distribuio
por meio da estimao de coeficientes, a partir da estimao dos
parmetros pelo clculo da esperana matemtica Esperana matemtica,
tambm conhecida como valor esperado (E[x] ou ), representa o valor
mdio de uma varivel aleatria x, calculado com as probabilidades de
ocorrncia dos valores de x como ponderadores 10 Christopher Souza:
Distribuio de probabilidades
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- Esperana Matemtica (Propriedades) E[c]=c E[g(X)]=g(x i ).p X (x
i ) ou E[g(X)]= g(x i ).f X (x i )dx E[c.g(X)]=c.E[g(X)] E[c 1.g 1
(X) c 2.g 2 (X)]=c 1.E[g 1 (X)] c 2.E[g 2 (X)] E[g 1 (X)]E[g 2
(X)], se g 1 (X)g 2 (X) Estimativa de parmetros por meio da
formulao: 11 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades
Parmetroak Mdia01 Varincia 2 Assimetria 3 Curtose 4
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- Esperana Matemtica (Propriedades) =E[X]= x i.p X (x i ) =
Var[X]= 2 X = E[(X- ) 2 ]=E[(X-E[X]) 2 ]=E[X 2 ](E[X]) 2 Var[c]=0
Var[c.X]=c 2.Var[X] Var[c.X+d]= c 2.Var[X] Cov[X,Y]= XY =E[(X- X )
(Y- Y )]=E(XY) X. Y Var[XY]= Var[X]+ Var[Y] 2Cov[X,Y] XY X. Y 12
Christopher Souza: Distribuio de probabilidades
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- Funo geratriz de momentos Funo geratriz Primeiro momento:
Expanso por srie de Maclaurin 13 Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades
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- Modelos para variveis discretas Binomial Geomtrica Pascal ou
Binomial Negativa Poisson Uniforme 14 Christopher Souza: Distribuio
de probabilidades
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- Distribuio binomial Experimento de Bernoulli: resulta em apenas
um dos 2 tipos de respostas as quais so dicotmicas. x i ={0,1} Ex:
sim/no, chuva/no-chuva, inunda/no-inunda Processo de Bernoulli:
resulta da repetio de experimentos de Bernoulli, cujos resultados
so independentes e p a probabilidade de obter o resultado sucesso
P(qq 0 )=p, e logo, P(q
- Distribuio de Poisson Para n>50 e p
- Distribuio Normal (Binomial pela Normal) Christopher Souza:
Distribuio de probabilidades 33 Correo para continuidade usa-se o
intervalo x-0,5 a x+0,5 na distribuio normal como um representante
do valor discreto x na distribuio binomial Ex: P(x>15), onde x
segue a distribuio binomial, com e conhecidos? P (x+0,5>15,5)
pela distribuio normal, via escore z
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- Distribuio Normal (Teorema do limite central) Christopher
Souza: Distribuio de probabilidades 34 Dada a disponibilidade de n
dados da varivel aleatria independente x, com mdia , desvio e
distribuio no exageradamente no-normal, a distribuio de mdias de m
valores de x segue a distribuio normal com mdia e desvio / se n for
grande o suficiente Quanto maior n, maior a aproximao da distribuio
de mdias amostrais da distribuio normal. Se x~N(, ), a aplicao do
teorema independe de n. Se n 30, obtm-se uma aproximao razovel
normal Para x muito no-normal, sugere-se n >>30. Quando
n>0,05N, recomenda- se usar como desvio
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- Distribuio Normal (Transformaes normalizantes) Christopher
Souza: Distribuio de probabilidades 35 Equao de Box-Cox: onde i
designa a posio do dado na amostra e a potncia normalizante. Quando
tende a zero, a transformao se aproxima da aplicao de ln. Um
critrio para examinar o valor de pode ser avaliar quando 0.
Transformaes modificam a magnitude e a escala da informao que estes
contm e por esta razo qualquer anlise posterior deve ser
transformada de volta. Tcnicas para avaliar o ajuste de dados a uma
distribuio, inclusive como determinar se h normalidade para os
dados originais ou transformados, sero apresentados no prximo
tpico.
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- Distribuio Log-normal Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades 36 Aplicaes em hidrologia estudo de cheias e
estiagens, do tamanho de sedimentos e de gotas de chuva Se x est em
anlise e y=ln(x) atende critrios da teoria do limite central, y~N(
y, y ) FDP: Esperana, Varincia, CV e Assimetria
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- Distribuio Log-Normal-3 Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades 37 Um 3 o coeficiente ( 4 ) pode ser utilizado para
permitir melhor ajuste: y=ln(x- 4 )~N( y, y ) FAP: Esperana,
Varincia, Assimetria onde.
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- Distribuio Exponencial Se subintervalos de Poisson forem muito
pequenos, a varivel w que designa tais intervalos pode ser
considerada contnua. A probabilidade de que se tenha w 0 intervalos
at que o prximo sucesso ocorra pode ser estimado por uma distribuio
de Poisson para y=0. Onde 1 =. w 0 e a razo mdia de sucessos por
subintervalo Tal distribuio se comporta como a distribuio geomtrica
Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 38
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- Distribuio Exponencial FDP: FAP: Christopher Souza: Distribuio
de probabilidades 39
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- Distribuio Erlang Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades 40 Serve estimativa do 3 -simo sucesso para w 0
subintervalos, assim como a distribuio binomial negativa servia a
variveis discretas. Para 3 =1, a distribuio obtida a exponencial
Para 3 >>0, a distribuio obtida se aproxima da Normal
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- Distribuio Gama Christopher Souza: Distribuio de probabilidades
41 Aplicaes em hidrologia precipitao diria, semanal, mensal e anual
e de vazes mdias anuais. Supondo que o nmero de sucessos ( 3 ) seja
computado como uma varivel contnua, substitui-se ( 3 -1)! pela funo
gama FDP: Esperana e Varincia estimadas como na funo Erlang
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- Distribuio Gama-3 Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades 42 Um 3 o coeficiente ( 4 ) pode ser utilizado para
permitir melhor ajuste da funo Gama aos dados FAP:
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- Distribuio Pearson Distribuies Pearson podem representar oito
grandes famlias de distribuio, incluindo a Normal, a Gama e a Beta.
Pearson tipo III (Gama-3) apresenta o maior nmero de aplicaes no
estudo de freqncia de variveis hidrolgicas, com destaque para vazes
e precipitaes mximas anuais. Log-Pearson III = Pearson III
(log(x)). Log-Pearson III ~ log-normal, para =0. Para
- Distribuio GEV (mximos) Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades 50 Incorpora as trs formas assintticas se 3 0, a GEV
representa a distribuio do tipo I (Gumbel). se 3 >0, a GEV
representa a distribuio do tipo II (Frchet), definida para se
3
- Distribuio Weibull (mnimos) Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades 52 FDP (para z 0 > 2, 1 0 e 3 0 ): FAP: Esperana
(para 3 >1 ): Varincia (para 3 >2 ): Assimetria Inversa
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- Distribuies de estatsticas amostrais Prerrogativas: Variveis
originais atendem aos critrios para aplicao do teorema do limite
central Variveis aleatrias e independentes Modelos: t de Student 2
F de Snedecor 53 Christopher Souza: Distribuio de
probabilidades
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- Distribuio t de Student Aplicao para mdias quando: no se
conhece a varincia populacional no se tem uma amostra com 30 ou
mais dados Varivel aleatria: FDP: Esperana: Varincia: para n e
>2 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 54
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- Distribuio Aplicao para varincias Varivel aleatria: FDP
(~gama(0,5; /2)): FAP: Esperana: Varincia: Assimetria: Christopher
Souza: Distribuio de probabilidades 55
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- Distribuio F Aplicao para comparao de varincias Varivel
aleatria: Para std 1 >std 2 FDP (p/ 1, 2 e F 0 >0): Esperana:
Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 56