DIFRAÇÃO

Aluno: Ubiratan CustódioProf.: Homero Schiabel

Março de 2007

SEL-5705 Fundamentos Físicos dos Processos de Formação de Imagens Médicas

DIFRAÇÃO

Fonte de luz projetando uma sombra em uma tela

• Espera-se que a imagem seja nítida

• Bordas borradas

• Parte da luz desviada para dentro da sombra

• Parte da luz desviada para fora da sombra

• Franjas com mais ou menos brilho

DIFRAÇÃO

Não restrita à luz

Ocorre também com

• Ondas sonoras

• Raios-X

• Ondas de Rádio

• Ondas na água

Sempre que parte da onda é bloqueada por um obstáculo.

PRINCÍPIO DE HUYGENS“ explica como tais ondas simplesmente desviam de sua direção inicial e

curvam-se em torno de um obstáculo”

Christian Huygens (1629-1695)

• Matemático e astrônomo alemão

• Inventou o relógio de pêndulo

• Formulou leis que governam a conservação do momento, força centrífuga e momento de inércia

• Construiu telescópios de qualidade superior

• Descobriu a sexta lua de Saturno, Titan

• Em 1678 apresentou o conceito conhecido como Princípio de Huygens

PRINCÍPIO DE HUYGENS

Frente de onda“superfície hipotética que conecta pontos de mesma fase”

TIPOS DE DIFRAÇÃODependendo das distâncias envolvidas:

• Difração de FraunhoferFonte e tela distantesLuz essencialmente paralela“Difração de Campo Distante”

• Difração de FresnelFonte e tela estão próximos“Difração de Campo Próximo”

Fresnel > Mais geral e inclui a Difração de Fraunhofer como um caso especial

Fraunhofer > De mais fácil discussão

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Joseph Fraunhofer (1787-1826)

• Alemão

• Trabalhou como aprendiz de óptico

• Sócio em fábrica de teodolitos de precisão

• Professor na Universidade de Munique

• Nomeado cavaleiro pelo Rei Maximilian da Bavária

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Difração em uma fenda simples

Fig 14-3

Fig 14-4

Amplitude resultante iAA

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Pontos acima e abaixo de Po

2

2

sen

AA i

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Máximas e Mínimas – Fenda Simples

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Abertura circular

• Grande interesse prático

Maioria das lentes e anteparos são circulares

ResultadoMáximas e mínimas em forma de anéis concêntricos

Brilho máximo central > Disco de Airy

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Sir George Biddell Airy (1801-1892)

• Matemático Britânico

• Astrônomo Real

• Diretor do observatório de Greenwich

• Mais conhecido pelo disco de Airy descrito em:

“On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture” (1835)

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Abertura circular

• Análise matemática mais complexa que a fenda simples

Mínimas:

Fenda simples:

Abertura circular:

Sendo J derivado das Funções de Bessel de Primeira-ordem

.. msens .. Jsens

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Abertura circular

Funções de Bessel de Primeira-ordem

• Variam entre máxima e mínima• Diminuem amplitude saindo do centro

1ª máxima > J = 1,6352ª máxima > J = 2,6793 próximas mínimas

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Abertura circular

Exemplo

Difração Abertura Circular = Obstáculo CircularRazão > efeito relativo às bordas

Mais fácil de visualizarDifração de Múltiplas Aberturas ou Obstáculos

Sol em atmosfera brumosa, com gotículas ou cristais de gelo

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFERCritério de Rayleigh

Difração de Abertura Circular > limita resolução de qualquer sistema óptico

Telescópio apontado para duas estrelas próximas de igual brilho

Difração vista do plano focal da lente ou telescópio

• Separadas > estrelas aparecem separadas

• Máximas centrais se fundem > estrelas serão vistas como uma

• Máximo Central = 1ª mínima > Resolução Marginal“Critério de Rayleigh”

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Critério de Rayleigh

Da tabela vemos que

Uma lente de diâmetro DLuz de comprimento de onde λ

O mínimoa ângulo de resolução é:

D

.22,1min

A lente mesmo que fosse completamente corrigida de todas aberrações ainda seria limitada em difração

DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER

Critério de Rayleigh

Condição do Telescópio = Microscópio

Resolução do microscópio = λ da luz usada

UV, Raios-X, elétrons > melhores e maiores

resoluções

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Augustin Jean Fresnel (1788-1827)

• Físico Francês

• Engenheiro Civil interessado em óptica

• Apresentou 1° tratamento rigoroso sobre difração

• Inventou lentes mais leves usadas em faróis de carros, iluminação.

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Não limitada à luz paralela

Faixas aumentam de ½ λ

Elementos de frente de onda“Zonas de Meio-período de Fresnel”

2

13

2

12

2

1''

ba

ba

baba

ba

DIFRAÇÃO DE FRESNELConsiderando o distúrbio

Causado pordW = elemento da frente de onda E agindo no ponto médio da tela

Somando as contribuições das ondas temos a Integral de Fresnel

v = comprimento da curva de vibração (variável)dv = fasor (amplitude) de elementos individuais de frente de onda

dWtvsenAdy ...2.

dvvseny

dvvx

2

2

..2

1

..2

1cos

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Considerando o distúrbio

Direção de dv

x

ytg

e

v

.

..2

1 2

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Espiral de Cornu

Método gráfico para solução de problemas de difração

Marie Alfred Cornu (1841-1902)

• Físico alemão

• Professor de Física experimental

• Determinou a velocidade da luz pelo método de Fizeau

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Espiral de Cornu

Solucionando as Integrais de Fresnel entre

temos a tabela

2

1 0

v

e

v

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Espiral de Cornu

Traçando um gráfico de x versus y temos

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Espiral de Cornu

Amplitude total = cordaCorda ^2 = Intensidade de Luz

Olhos da EspiralSuperior :x=y=(+0,5 , +0,5)Inferior :X=y=(-0,5 , -0,5)

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Espiral de CornuAplicações

Difração Borda da Lâmina

Amplitude Po é porporcional à cordaCorda = amplitude total(corda)2 = intensidade de luz

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Espiral de CornuAplicações

Amplitude Po é porporcional à corda

Corda > amplitude total

(corda)2 = intensidade de luz

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Espiral de CornuAplicações

Cor sofre variações periódicas (máximas e mínimas) não mudando monotonicamente.

DIFRAÇÃO DE FRESNELEspiral de Cornu

Em certos pontos:Amplitude > Amplitude sem obstáculos

Na sombra > Intensidade decai gradualmenteFora da Sombra > Há Franjas

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Espiral de Cornu

ExemploCalcular a intensidade relativa (Io):

a) Onde v=-1,0 (dentro da sombra)

b) Onde v=+1,0 (fora da sombra)

Da tabela temos

V=1,00 , x = 0,7799 , y = 0,4383

DIFRAÇÃO DE FRESNELEspiral de CornuExemploa) Onde v=-1,0 (dentro da sombra)

Dentro da sombraFasor > de (-0,5 , -0,5) a (-0,7799 , -0,4383)

Io > Intensidae na máxima de ordem zero

IoI

IoI

y

x

.041,0

0617,02799,02

1

0617,04383,05,0

2799,07799,05,0

22

DIFRAÇÃO DE FRESNEL

Espiral de CornuExemplob) Onde v=+1,0 (dentro da sombra)

Fora da sombra

Io > Intensidade na máxima de ordem zero

IoI

IoI

y

x

.26,1

9383,02799,12

1

9383,04383,05,0

2799,17799,05,0

22

CONCLUSÕES• Vários fenômenos de difração existem

• Sombra de obstáculo circular > ponto brilhante central – “Ponto de Poisson”

Razão: Infinito números de raios que convergem no eixo

Quanto mais pontos de luz, mais Pontos de Poisson

BIBLIOGRAFIA

• Meyer-Arendt, Jurgen R.

Introduction to Classical and Modern Optics – 4ª edição

• Web site Wikipedia.com