PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

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Aula 04:

• Trigonometria• Matrizes e Determinantes

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Trigonometria• Deduzindo da própria palavra, trigonometria é a parte da

geometria que estabelece relações métricas e angulares entre elementos de triângulo qualquer.

Triângulos:

• Dados 3 pontos A, B, C, não colineares, isto é, não alinhados, chama-se triângulo a região do plano limitada pelos segmentos AB, AC e BC, denominados lados, sendo A, B e C os seus vértices.

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Trigonometria• Teorema Angular de Tales:

“A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.”

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Trigonometria• Teorema – Ângulo Externo:

“Em todo triângulo, um ângulo externo, é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes, ou seja:”

Propriedade:

Se um triângulo possui dois lados medindo “a” e “b”, o terceiro lado “c” estará

sempre compreendido entre |a-b| e (a+b), ou seja: |a-b| < c < (a+b)

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Trigonometria• Classificação dos Triângulos:

Quanto aos Lados:• Escaleno: Os três lados possuem medidas diferentes.• Isósceles: Ao menos dois lados possuem medidas iguais.• Eqüilátero: Os três lados possuem medidas iguais.Quanto aos Ângulos:• Acutângulo: Quando os três ângulos internos são agudos.• Retângulo: Quando um dos ângulos internos é reto.• Obtusângulo: Quando um dos ângulos internos é obtuso.

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Trigonometria• Segmentos Notáveis de um triângulo:

• Mediana: é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. O ponto de interseção das 3 medianas de um triângulo denomina-se BARICENTROdo triângulo.

• Altura: é o segmento que une um vértice ao lado oposto(ou ao prolongamento deste), sendo perpendicular a esse lado. As 3 alturas de um triângulo passam por um mesmo ponto, chamado ORTOCENTRO do triângulo.

• Bissetriz interna: é o segmento que divide cada ângulo interno do triângulo, em 2 ângulos iguais. As 3 bissetrizes internas de um triângulo passam por um ponto chamado INCENTRO do triangulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, isto é, da circunferência que tangencia os 3 lados do triângulo.

• Mediatriz: é a reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio do mesmo. As 3 mediatrizes de qualquer triângulo passam por um mesmo ponto, chamado CIRCUNCENTRO, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, da circunferência que passa pelos 3 vértices do triângulo.

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Trigonometria• Relações Métricas no Triângulo Retângulo:

Triângulo retângulo é todo polígono de 3 lados que contém um ângulo interno reto, ou seja, 90º graus.

Num triângulo retângulo, o maior lado é denominado hipotenusa, e os outros dois lados, adjacentes ao ângulo reto, são denominados catetos.

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Trigonometria• A relação métrica do triângulo retângulo mais utilizada e

conhecida é o teorema de Pitágoras que diz: “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”

Hip² = cat² + cat²

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Trigonometria• Existem ainda outras relações métricas do triângulo retângulo:

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Trigonometria• Considerando um triângulo retângulo com a sua hipotenusa e seus dois

catetos(adjacentes e opostos ao ângulo agudo α). Chega-se as seguintes expressões:

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Trigonometria

• Uma relação importante pode ser obtida pelo Teorema de Pitágoras:

(cateto oposto)² + (cateto adjacente)² = (hipotenusa)²

• Dividindo toda a expressão acima por (hipotenusa)² e relacionando com as razões trigonométricas temos que:

• Essa relação também é conhecida como relação fundamental da trigonometria.

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Matrizes e Determinantes

• Matrizes:

• Sejam m e n dois números naturais não nulos. Denomina-se matriz de ordem m x n, como uma tabela retangular formada por m.n elementos, dispostos em m linhas e n colunas. Pela representação de matriz genérica:

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Matrizes e DeterminantesTipos de matrizes:

• Se m ≠n, A é uma matriz retangular.

• Se m = n, A é uma matriz quadrada, também conhecida como matriz de ordem

m.

• Se m = 1, A é uma matriz linha.

• Se n = 1, A é uma matriz coluna.

• Se ��� = 0 (∀� ∀�), então A é chamada matriz nula(ou matriz 0).

• Se A é uma matriz quadrada e quando i ≠ j tem-se ��� = 0, então A é chamada

matriz diagonal.

• Se A é uma matriz quadrada, quando i ≠ j tem-se ��� = 0, e quando i = j tem-se ��� = 1 , então A é chamada matriz identidade(ou matriz unidade) de ordem m,

também representado por � .

• Se A é uma matriz quadrada, quando i > j tem-se ��� = 0 ou quando i < j tem-se ��� = 0, então A é chamada matriz triangular.

• Se A é uma matriz com m linhas e n colunas com elementos ��� , denomina-se

matriz transposta de A(indicada por ��), a matriz com n linhas e m colunas com

elementos ��� , com ��� = ��� .

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Matrizes e Determinantes

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Matrizes e DeterminantesOperações com matrizes:

• Adição e Subtração de matrizes:

Condição:

Para que se possa efetuar a adição ou a subtração de matrizes é necessário que

elas possuam a mesma ordem.

A soma ou a subtração de duas ou mais matrizes é efetuada quando se somam ou

subtraem os elementos correspondentes das matrizes. O resultado tem a mesma ordem

que compõem as parcelas:

Sejam as matrizes: � = (��� ) � � , � = (��� ) � � e C= (��� ) � � , então:

� = � + � ↔ ��� = ��� + ���

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Matrizes e Determinantes• Multiplicação de número real por matriz:

Sejam: A uma matriz com m linhas e n colunas e α um número real. Para se

obter uma matriz B, de mesma ordem da matriz A, de forma que B = αA, cada elemento

de B será igual ao elemento correspondente de A multiplicado pela constante α:

� = α. A ↔ ��� = α. ��� • Multiplicação de matrizes:

Condição:

Para que se efetue a multiplicação de duas matrizes A e B é necessário que o

número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. O produto

A.B tem número de linhas igual ao número de linhas da matriz A e o número de colunas

igual ao número de colunas da matriz B.

Sejam as matrizes: � = (��� ) � � , � = (��� )� � � e C= (��� ) � � ,, para que se tenha C

= A.B, inicialmente verifica-se a condição de existência:

� � � .�� � � = � � �

Para cada elemento da matriz C:

��� = ��1. �1� + ��2. �2� + … + ��� . ���

Importante: Lembre-se que somente para matrizes quadradas: A² = A.A

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Matrizes e DeterminantesPropriedades operatórias das matrizes:

Sejam as matrizes A, B e C, quaisquer e de acordo com as condições operatórias

das matrizes, temos:

I. A + B = B + A

II. A.(B + C) = AB + AC

III. A.B ≠ B.A

IV. (A. B)t = Bt . At V. A. � = � .A = A

VI. (A + 0) = A

Matriz inversa:

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Recebe o nome de matriz inversa de A a

matriz A−1 tal que:

A. A−1 = A−1. A = �

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Matrizes e Determinantes

• DeterminantesDeterminante é um número ou expressão que se associa a uma

matriz quadrada.• Calculando determinantes:

• Determinante de primeira ordem:Seja a matriz M = (a), o seu determinante é dado por:

det M = |a| = a

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Matrizes e Determinantes• Determinante de segunda ordem:

Seja a matriz ! = "� �� #$, o seu determinante é dado por:

det ! = %� �� #% = �# − ��

• Determinante de terceira ordem(Regra de Sarrus):

Seja a matriz ! = &� � �# '( ℎ � * o seu determinante é dado por:

det ! = -� � �# '( ℎ � - = -� � �# '( ℎ � - � �# ( ℎ

det ! = (�� + �'( + �#ℎ) − (�( + �'ℎ + �#�)

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Matrizes e Determinantes

Propriedades dos determinantes:

Situações que anulam um determinante:

• O determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui:

• Uma fina nula;• Duas filas paralelas iguais;• Duas filas paralelas proporcionais• Uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas.

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Matrizes e DeterminantesSituações que não alteram o determinante:

• O determinante de uma matriz quadrada não se altera se:• Trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas(matriz

transposta);• Substituirmos uma fila por uma combinação linear de outras

filas paralelas com a fila substituída(Teorema de Jacobi).

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Exercícios

1 - (UNI-RIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:

a) 11 / 24b) - 11 / 24c) 3 / 8d) - 3 / 8e) - 3 / 10

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Exercícios

Solução:

Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o

maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então,

aplicando a lei dos cossenos:

62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos β ∴ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos β ∴ cos β = - 11 / 24 e,

portanto, a alternativa correta é a letra B.

Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um

lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto

desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.

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Exercícios

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Exercícios

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Exercícios

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Exercícios

20128)2.(61.812

68 det

12

68

1d 12

2c 02

6b 24

8 210

10

22

22

410

10

22

22

410

10

22

11

25 2

: matriz a sencontramo ntePrimeirame

. de tedeterminan o calcule ,2 que tais e 10

22 ,

11

25

:matrizes as Dadas 1)

=+=−−=−

=

−=⇒

=→=−

−=→=−−

=→−=−

=→=−

⇒

−=

−−−

−−

−=

−

−

−=

−

−

=−

=

−=

−=

X

X

d

c

b

aa

dc

ba

dc

ba

dc

ba

X

XBXAdc

baXBA

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Exercícios

−=

=⇒

±=⇒

±=⇒

±=

=−−⇒=−−+−

=++−−+−+−⇒=−−−

=−−

2

6

2

84

2

644

2

1214164

0124n 12)2(

12)403()0)1(2( 12

0

1

1

n

4

2

0

114

312

:segunda da produtos dos soma pela diagonal,

primeira da produtos dos soma asubtrair e matriz, da direita à colunas primeiras duas ascopiar

em consiste que Sarrus, de regra autilizar podemos 3x3 matriz uma de tedeterminan oachar Para

.12

0

114

312

equação da solução a Encontre )2

22

n

nnn

).(-.-n

nnnnn

nnnnn

nn

n

nn

n

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Exercícios

−

−

=⇒

+−+

+−−+−

+−+

=

−=

−=

84

127

35

2.4)3(01.45.0

2.3)3)(2(1.35).2(

2.0)3.(11.05.1

3x2. matriz uma será resultado O B. matriz da

coluna cadapor A matriz da linha cada de produto pelo obtido será resultado O 2x2. umapor

3x2 matriz uma ndomultiplica estamos onde matrizes, de çãomultiplica de questão uma é Essa

AB. calcule 21

35 e

40

32

01

Sendo 3)

ABAB

BA

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Exercícios

−

−=

=

−=→

=+

=+

−=

=→

=+

=+

⇒

=+

=+

=+

=+

⇒

=

=

=

−

−

43

54 é de inversa matriz a Portanto,

4

5

143

054

3

4

043

154

143

043

054

154

10

01.

43

54

.

:sejaou ,identidade matriz na resulta inversa sua pela damultiplica matriz uma que Sabemos

. matriz da inversa matriz a determine ,43

54 Sendo 4)

1

1

AA

d

b

db

db

c

a

ca

ca

db

ca

db

ca

dc

ba

IAA

AA