Post on 01-Oct-2015
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Prof. Dr. Fernando Moriprof.fmori@usjt.br
UNIVERSIDADE SO JUDAS
TADEUFACULDADE DE TECNOLOGIA E
CIENCIAS EXATAS
Construo de Modelos de Programao
Linear
Material disponvel em:
http://www.fmori.com
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ndice
Titulo Pgina
Introduo e Exemplos Prottipos 5
Uso do Lindo em Programao Linear 25
Problemas Gerais 42
Problemas de Produo 59
Analise de Sensibilidade 77
Problemas de Mistura 89
Problemas de Transporte 109
Problemas de Programao Inteira 126
Construo de Modelos de PL 154
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Construo de Modelos de
Programao Linear
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Introduo
A programao linear usa um modelo matemtico para descrever problemas. O adjetivo linear significa que
todas as funes matemticas nesse modelo so
necessariamente lineares. A palavra programao,
nesse caso, no se refere a programao de
computador, ela essencialmente um sinnimo para
planejamento. Portanto a programao linear envolve o
planejamento de atividades para obter um resultado
timo, isto , um resultado que atinja o melhor objetivo especificado( de acordo com o modelo matemtico )
entre todas as alternativas viveis.
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Exemplos Prottipos
Veremos a seguir alguns exemplos de construo de modelos em que so
discutidos todos os passos intermedirios
na confeco de um modelo de P.L.
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Exemplo 1:
Funo objetivo a ser maximizada:
Lucro = 2x1 + 3x2
1 2
1 2
1
2
4 3 10
tcnicas 6 20
Restries0
de no negatividade 0
x x
x x
x
x
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As variveis controladas ou de deciso so x1 e
x2 . A funo objetivo ou eficincia mede o
desempenho do sistema, no caso a capacidade
de gerar lucro para cada soluo apresentada.
O objetivo maximizar o lucro.
Roteiro:
1) Quais as variveis de deciso?
Devemos explicitar as decises que devem ser
tomadas e representar essas possveis decises
atravs de variveis chamadas de variveis de
deciso.
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Se o problema programao de produo, as
variveis de deciso so as quantidades a produzir no
perodo; se for um problema de programao de
investimento, as variveis vo representar as decises
de investimento.
2) Qual o objetivo?
Devemos identificar o objetivo da tomada de deciso.
Eles aparecem geralmente na forma de maximizao
de lucros ou receitas, minimizao de custo, perdas.
A funo objetivo a expresso que calcula o valor do
objetivo (lucro, custo, receita, etc.) em funo das
variveis de deciso.
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3) Quais as restries?
Cada restrio imposta na descrio dos
sistema deve ser expressa como uma relao
linear (igualdade ou desigualdade) montadas
com as variveis de deciso.
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Exemplo 2:
1) Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2.
O lucro unitrio do produto P1 1000 unidades monetrias e o lucro unitrio de P2 1800 unidades monetrias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2 .O tempo anual de produo disponvel para isso 1200 horas. A demanda esperada para cada produto de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2 .
Qual o plano de produo para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construir o modelo de programao linear.
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Soluo:
Variveis de decisoQuais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2 ?
As variveis de deciso sero x1 e x2x1 quantidade anual a produzir de P1x2 quantidade anual a produzir de P2 Qual o objetivo?
O objetivo maximizar o lucro que pode ser calculado:
Lucro devido a P1 : 1000 . x1 (lucro por unidade de P1 x
quantidade produzida de P1).
Lucro devido a P2 : 1800 . x2 Lucro total : L = 1000 . x1 + 1800 . x2
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Quais as restries?
- Disponibilidade de horas para produo: 1200- Horas ocupadas com P1 : 20 x1 (uso por unidade x
quantidade produzida)- Horas ocupadas com P2 : 30 x2 (uso por unidade x
quantidade produzida)
- Total em horas ocupadas na produo: 20x1 + 30x2disp.: 1.200 horas
- Restrio: 20x1 + 30x2 1200
- Disponibilidade de mercado para os produtos:
a) para P1 : 40 unidades
b) quantidade a produzir de P1 : x1- Restrio: x1 40
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- Disponibilidade para P2 : 30 unidades
- Quantidade a produzir de P2 : x2- Restrio: x2 30
- Resumo do modelo:
max L = 1.000 x1 + 1.800 x2 .
- Sujeito:
- Restries de no negatividade:
1 2
1
2
20 30 1200
40
30
x x
x
x
1
2
0
0
x
x
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3) Para uma boa alimentao, o corpo necessita de vitaminas e protenas. A necessidade mnima de
vitaminas 32 unidades por dia e a de protenas de 36
unidades por dia. Uma pessoa tem disponvel carne e ovos
para se alimentar. Cada unidade de carne tem 4 unidades
de vitaminas e 6 unidades de protenas. Cada unidade de
ovo contm 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de
protenas.
Qual a quantidade diria de carne e ovo que deve ser
consumida para suprir as necessidades de vitaminas e
protenas com o menor custo possvel? Cada unidade de
carne custa 3 unidades monetrias e cada unidade de ovo
custa 2,5 unidades monetrias.
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Soluo:
a) Quais as variveis de deciso?
Devemos decidir as quantidades de carne e ovos que a pessoa deve consumir.
x1 quantidade de carne a consumir no diax2 quantidade de ovos a consumir no dia
b) Qual o objetivo?
O objetivo minimizar o custo que pode ser calculado:
. custo da carne: 3.x1
. custo dos ovos : 2,5.x2
. custo total: C = 3.x1+ 2,5 .x2Objetivo: minimizar C = 3.x1 + 2,5.x2
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c) Restries:- Necessidade mnima de vitaminas: 32 unidades
.vitamina de carne: 4.x1 (quant.por unidade x unidades de carne a consumir). .vitamina de ovos: 8.x2 (quant. por unidade x unidades de ovos a consumir).
Total de vitaminas: 4x1 + 8x2- Necessidade mnima: 32
Restrio: 4x1 + 8x2 32- Necessidade mnima de protena: 36 unidades
.protena de carne: 6.x1 (quant.por unidade x unidades de carne a consumir)..protena de ovos: 6.x2 (quant.por unidade x unidades de ovos a consumir).
Restrio: 6x1 + 6x2 36
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Resumo do modelo:
min C = 3x1 + 2,5x2
-Restrio:
-Restries de no negatividade:
1 2
1 2
4 8 32
6 6 36
x x
x x
1
2
0
0
x
x
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4) Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 de 100 u.m. e o lucro unitrio de P2 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponvel para essas atividades de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 no devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por ms. Construa o modelo de produo mensal com o objetivo de maximizar o lucro.a) Variveis de deciso
x1 quantidade a produzir de P1x2 quantidade a produzir de P2
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b) Qual o objetivo?
maximizar lucro:
-lucro de P1 = 100 x1
-lucro de P2 = 150 x2
max L = 100 x1 + 150 x2
c) Restries
Horas para P1 = 2. x1
Horas para P2 = 3. x2
Horas disponveis: 120
2x1 + 3x2 120
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Limite para P1 = x1 40
Limite para P2 = x2 30
d) Modelo:
max L = 100 x1 + 150 x2
Restries:
Restries de no negatividade: 1
2
0
0
x
x
1 2
1
2
2 3 120
40
30
x x
x
x
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5) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pssegos a 10 u.m. de lucro por caixa e no mximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma dever ele carregar o caminho para obter o lucro mximo? Construa o modelo do problema.a) Variveis de deciso
x1 quantidade de caixas de pssegosx2 quantidade de caixas de tangerinas
quantidade de caixas de laranja fixa em 200 caixas a lucro de 20 u.m. Sobra espao para 600 caixas.
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b) Qual o objetivo?maximizar lucro:
-lucro de pssegos = 10. x1-lucro de tangerinas = 30. x2-lucro de laranjas = 200. 20= 4000
max L = 100x1 + 30 x2 +4000
c) Restries
Cabem no caminho 600 caixas.
x1 + x2 600 Caixas de pssegos: x1 100Caixas de tangerinas: x2 200
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d) Modelo:
max L = 10 x1 + 30 x2 +4000
Restries:
Restries de no negatividade:
1 2
1
2
600
100
200
x x
x
x
1
2
0
0
x
x
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USO DO LINDO EM
PROGRAMAO LINEAR
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Uso do Lindo em Programao Linear O Lindo (Linear, Interactive and DiscreteOptmizer) um software desenvolvido pela LindoSystems Inc.de Chicago, Illinois, EUA, para aresoluo de modelos de programao linear,quadrtica ou inteira. Ele roda no ambienteWindows e est disponvel nas seguintes verses:
Verso Limites Mximos Observaes# Linhas # Colunas
Demonstrao * 150 300 Cpia em uso
Super 500 1.000
Hiper 2.000 4.000
Industrial 8.000 16.000
Extended 32.000 100.000
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Existem atualmente centenas de pacotes para
Programao Linear, e dentre os diversos
disponveis, os listados a seguir so os mais
conhecidos e utilizados:
Software FornecedorCapacidade
Restries(Linhas)
Variveis(Colunas)
Lindo/Lingo Lindo 32.000 100.000
MPSX IBM 16 milhes 2 bilhes
CPLEX CPLEX 50.000 100.000
OSL IBM 16 milhes 2 bilhes
Solver-Excel Microsoft 100 200
Solver Premium Frontline Sem limite 1.000
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Considere o Modelo:Maximizar Lucro = 30ST +40 LX
Sujeito a:
ST 24LX 16ST + 2LX 40
Acionando o Lindo e Entrando com Dados
Para acionar o software Lindo, basta clicar no cone correspondente no Windows,. A primeira tela fornecida tem o formato da figura a seguir e, para entrar com os dados, basta ir digitando-os conforme foi feito na prpria figura.
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Entrada de Dados no Lindo
Observe que:
Podemos iniciar a digitao de cada linha qualquer coluna.
Utilizamos o sinal < para
! Exemplo 1
Max 30st + 40Lx
st
st < 24
Lx < 16
St + 2Lx < 40
End
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Os significados das outras informaes so:
Linha Significado
! Exemplo do Captulo 1 Trata-se de uma linha de comentrio, pois
inicia-se com !
Max Comando que solicita maximizar uma
funo (outra opo seria Min).
St Subject to que significa sujeito a. Informa que a seguir temos o conjunto de
restries.
End Informa o fim dos dados.
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Salvando os Dados
Para salvar os dados em um arquivo em disco,
faa:
Clique em File no Menu Principal
Clique em Save as
Selecione o diretrio e escolha um nome adequado (por exemplo: radio.ltx)
Clique em OK.
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Executando o Exemplo
Para executar, faa:
Clique em Solve no Menu Principal Clique em Solve
Existe uma opo mais simples: basta clicar no cone Solve
Aps isto, aparece uma tela perguntando se se deseja efetuar a anlise de sensitividade (Do Range (sensitivity) analysis?). No momento responda negativamente. A seguir aparece a tela que contm um resumo do resultado alcanado ou informaes de alerta caso o modelo apresente algum problema. Aps analis-la, clique em Close.
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.LINDO Solver Status
Optmizer Status
Status: Optimal
Interations: 1
Infeasibility: 0
Objective: 1040
Best IP: N/A
IP Bound: N/A
Branches: N/A
Elapsed Time: 00:00:02
Update Interval: 1
Interrupter Solver Close
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Visualizando a Tela de ResultadosAps a etapa acima o Lindo apresenta, de maneira superposta, tanto a tela de entrada de dados como a tela de resultados. Para ativar uma ou outra, basta clicar em qualquer ponto de uma delas. Eventualmente, quando uma das telas estiver ocupando todo o espao disponvel, somente veremos uma delas. Para visualizar a outra, faa:
Clique em Window no Menu Principal Clique em Send to Back
Existe ainda outras opes interessantes para acessar as visualizaes do Lindo, tais como:
Em cascata (cascade) Uma ao lado da outra (tile)
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Analisando o ResultadoAps a execuo de um modelo sem erros, o Lindo apresenta o quadro de resultados mostrado a seguir:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1040.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
ST 24.000000 0.000000
LX 8.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 10.000000
3) 8.000000 0.000000
4) 0.000000 20.000000
NO. ITERATIONS = 1
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Para o quadro anterior temos: LP OPTIUM FOUND AT STEP 1:
Significa que o algoritmo simplex utilizado pelo programa encontrou a soluo tima no primeiro passo (um passo corresponde a um vrtice do mtodo simplex).
OBJECTIVE FUNCTION VALUE: 1) 1040.000
Indica o valor timo encontrado para a Funo Objetivo (no caso temos Lucro= R$1.040,00)
VARIABLE VALUE REDUCED COST ST 24.000000 0.000000
LX 8.000000 0.000000Temos aqui uma pequena tabela que apresenta os valores timos das variveis bsicas.Portanto, a soluo tima foi (Value):
ST = 24 LX = 8
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Solicitando Impresso de Resultados
Para imprimir os resultados de um modelo, efetue (tendo
a tela de resultados ativada):
Clique em File no menu Principal
Clique em Print
Ou simplesmente clique no cone
Importante: Voc pode observar que possvel digitar no
texto da tela de resultados. Isto muito conveniente, pois
torna possvel:
Incluir qualquer informao que melhor identifique o trabalho.
Copiar e colar os dados de entrada do modelo.
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Alterando os Dados e Executando Novamente
Para alterar os dados, basta acessar a tela de dados (utilize os mesmos procedimentos mostrados anteriormente no item Visualizando a Tela de Resultados). Para executar novamente, basta clicar no cone Solve, conforme mostrado anteriormente em Executando o Exemplo. Esteja atento para o fato de que o Lindo vai colocar a nova soluo, na tela de resultados, logo aps asoluo anterior. Ou seja, a tela de resultados contm todas as operaes efetuadas. Eventualmente isto pode confundir e pode ser conveniente apagar a soluo anterior. Para tanto, efetue:
Clique no cone da tela de resultados.X
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Abrindo Outros Modelos
Para abrir qualquer outro modelo do Lindo, faa:
Clique em Open no Menu Principal
Selecione o diretrio e o arquivo desejado
Clique em OK.
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Exerccios de
Programao Linear
- Construo de Modelos
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Exerccios Prticos
Os exerccios a seguir devem ser resolvidos com o auxilio do LINDO.
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1. Problemas Gerais
FERNANDO MORI - USJT 42
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1) Uma rede de televiso local tem o seguinteproblema: foi descoberto que o programa Acom 20 minutos de msica e 1 minuto depropaganda chama a ateno de 30.000telespectadores, enquanto o programa B, com10 minutos de msica e 1 minuto depropaganda chama a ateno de 10.000telespectadores. No decorrer de uma semana, opatrocinador insiste no uso de no mnimo, 5minutos para sua propaganda e que no hverba para mais de 80 minutos de msica.Quantas vezes por semana cada programa deveser levado ao ar para obter o nmero mximode telespectadores? Construa o modelo dosistema.
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2) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos decouro. O modelo M1, de melhor qualidade,requer o dobro do tempo de fabricao emrelao ao modelo M2 . Se todos os cintos fossemdo modelo M2, a empresa poderia produzir1.000 unidades por dia. A disponibilidade decouro permite fabricar 800 cintos de ambos osmodelos por dia. Os cintos empregam fivelasdiferentes, cuja disponibilidade diria de 400para M1 e 700 para M2. Os lucros unitrios sode $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual oprograma timo de produo que maximiza olucro total dirio da empresa? Construa, omodelo do sistema descrito.
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3)Uma empresa, aps um processo deracionalizao de produo, ficou comdisponibilidade de 3 recursos produtivos, R1,R2e R3. Um estudo sobre o uso desses recursosindicou a possibilidade de se fabricar 2 produtosP1 e P2. Levantando os custos e consultando odepartamento de vendas sobre o preo decolocao no mercado, verificou-se que P1 dariaum lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00por unidade. O departamento de produoforneceu a seguinte tabela de uso de recursos.
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Que produo mensal de P1 e P2 traz o maiorlucro para a empresa? Construa o modelo dosistema.
Produto Recurso R1 por unidade
Recurso R2 por unidade
Recurso R3 por unidade
P1P2
24
32
53
Disponibilidade de
recursos/ms100 90 120
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4) Um fazendeiro est estudando a diviso de suapropriedade nas seguintes atividadesprodutivas:
A (Arrendamento) Destinar certa quantidadede alqueires para a plantao de cana-de-acar, a uma usina local, que se encarrega daatividade e paga pelo aluguel da terra $300,00por alqueire por ano.
P (Pecuria) Usar outra parte para criao degado de corte. A recuperao das pastagensrequer adubao (100kg/Alq.) e irrigao(100.000 l. de gua/Alq.) por ano. O lucroestimado nessa atividade de $400,00 poralqueire por ano.
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S (Plantio de Soja) Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer
200kg por alqueire de adubos e 200.000 l de
gua/Alq. para irrigao por ano. O lucro
estimado nessa atividade de $500,00/alqueire
no ano.
Disponibilidade de recursos por ano:
12.750.000 l. de gua
14.000 kg de adubo
100 alqueires de terra.
Quantos alqueires dever destinar a cada
atividade para proporcionar o melhor retorno?
Construa o modelo de deciso. 48
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5) O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econmica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas so:
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mnimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $1.000,00 investidos.
b) Investir diretamente na divulgao dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno de 10%.
A empresa dispe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto dever destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.
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6) (Mistura) Uma liga especial constituda de ferro, carvo, silcio e nquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros alm de 2 tipos de materiais recuperados:
Material Recuperado 1 MR1 Composio:ferro 60% Custo por kg: $0,20carvo 20%silcio 20%Material Recuperado 2 MR2 Composio:
ferro 70% Custo por kg: $0,25carvo 20%silcio 5%nquel 5%
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A liga deve ter a seguinte composio final:
O custo dos materiais puros so (por kg):
ferro:$0,30; carvo:$0,20; silcio:$0,28;
nquel:$0,50. Qual dever ser a composio da
mistura em termos dos materiais disponveis,
com menor custo por kg? Construa o modelo de
deciso.
Matria-prima % mnima % mxima
Ferro
Carvo
Silcio
Nquel
60
15
15
5
65
20
20
8
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7)(Transporte) Uma rede de depsitos de material deconstruo tem 4 lojas que devem ser abastecidas com50m3 (loja1), 80m3 (loja2), 40m3 (loja3) e 100m3 (loja4) deareia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portosP1, P2 e P3 cujas distncias s lojas esto no quadro (emkm):
O caminho pode transportar 10m3 por viagem. Os portostem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecerum plano de transporte que minimize a distncia totalpercorrida entre os portos e as lojas e supra asnecessidades das lojas. Construa o modelo linear doproblema.
L1 L2 L3 L4
P1
P2
P3
30
12
8
20
36
15
24
30
25
18
24
20
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8) A indstria Alumilminas S/A iniciou suasoperaes em janeiro/2001 e j vem conquistandoespao no mercado de laminados brasileiro, tendocontratos fechados de fornecimento para todos os3 tipos diferentes de lminas de alumnio quefabrica: espessuras finas, mdia e grossa. Toda aproduo da companhia realizada em duasfbricas, uma localizada em So Paulo e a outrano Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados,a empresa precisa entregar 16 toneladas delminas finas, 6 toneladas mdia e 28 toneladasde grossas. Devido qualidade dos produtos daempresa, h uma demanda extra para cada tipode lminas.
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A fbrica de So Paulo tem custo de produo
diria de R$100.000,00 para uma capacidade
produtiva de 8 toneladas de lminas finas, 1
tonelada de lminas mdias e 2 toneladas de
lminas grossas por dia. O custo de produo
dirio da fbrica do Rio de Janeiro de
R$200.000,00 para uma produo de 2
toneladas de lminas finas, 1 tonelada de
lminas mdias e 7 toneladas de lminas
grossas. Quantos dias cada uma das fbricas
dever operar para atender aos pedidos ao
menor custo possvel?
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9) A empresa de logstica Deixa Comigo S/A tem duasfrotas de caminhes para realizar transportes de cargaspara terceiros. A primeira frota composta porcaminhes mdios e a segunda por caminhes gigantes,ambas com condies especiais para transportarsementes e gros prontos para o consumo, como arroz efeijo. A primeira frota tem capacidade de peso de 70.000quilogramas e um limite de volume de 30.000 pscbicos, enquanto a segunda pode transportar at 90.000quilogramas e acomodar 40.000 ps cbicos de volume.Oprximo contrato de transporte refere-se a uma entregade 100.000 quilogramas de sementes e 85.000quilogramas de gros, sendo que a empresa pode
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aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga,
deixando o restante para outra transportadora
entregar. O volume ocupado pelas sementes de 0,4
ps cbico por quilograma, e o volume dos gros de
0,2 ps cbico por quilograma. Sabendo que o lucro
para transportar as sementes de R$0,12 por
quilograma e o lucro para transportar os gros de
R$0,35 por quilograma, descubra, quantos
quilogramas de sementes e quantos quilogramas de
gros a Deixa Comigo S/A deve transportar para
maximizar o seu lucro.
56
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10) Suponha que uma pequena fbrica faz dois produtos P1 e P2, vendendo toda a produo que venha a ser realizada. Cada produto necessita de um tempo de fabricao em cada uma das trs sees de trabalho: A, B e C, tal como apresentado na tabela a seguir:
Tabela 1: Necessidades de tempo de fabricao para produzir
uma unidade de cada produto em cada seo de trabalho.
Produto
Tempo de fabricao (em horas)
Seo de
trabalho A
Seo de
trabalho B
Seo de
trabalho C
P1 3 1,5 5
P2 3 3 3
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A quantidade fixa de horas por semana disponveis emcada seo de trabalho apresentada na Tabela 2:
Limites de capacidade de fabricao
Determine quantas unidades dos produtos P1 e P2 devemser fabricadas de maneira a maximizar o Lucro daempresa, sabendo que o lucro unitrio proporcionado peloproduto P1 de 2 unidades monetrias e o proporcionadopelo produto P2 de 3 unidades monetrias.
Seo de trabalho Homens/hora por semana
A 210
B 180
C 330
58
2. Problemas de Produo
FERNANDO MORI - USJT 59
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11) A indstria Bonecas Sinistras S/A produz 2 tipos deboneca: a Vampiresca e a Lobimulher. O processo demontagem para cada uma destas bonecas requer duaspessoas. Os tempos de montagem so os seguintes:
A poltica da companhia a de balancear toda a mo deobra em todos os processos de montagem. Na verdade, agerncia deseja programar o trabalho de modo quenenhum montador tenha mais de 30 minutos de trabalhopor dia do que o outro.
Modelo Montador 1 Montador 2
Vampiresca 6 minutos 2 minutos
Lobimulher 3 minutos 4 minutos
Mximo de horas disponveis 8 8
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Isto quer dizer que,num perodo regular de oito horas,
os dois montadores devero ter um mnimo de 7 horas
e meia de trabalho. Considerando que o mercado est
disposto a comprar toda a produo de Bonecas
Sinistras S/A e que a firma tem um lucro de R$2,00
por cada Vampiresca e R$1,00 por cada Lobimulher,
quantas unidades de cada boneca devem ser
produzidas por dia de modo a maximizar o lucro ?
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12) A Cat Without Fat S/A uma empresa fabricante decomida enlatada para gatos, cujo principal diferencialcompetitivo o baixo nvel de gordura assegurado nasembalagens. Para fabricar o enlatado, a empresa utilizauma mistura de frango que contm 75% de carne, 25%de gordura e custa R$3,00 o quilo e peixe que contm90% de carne, 10% gordura e custa R$5,00 o quilo. Acompanhia deseja saber qual a melhor combinao defrango e peixe que deve utilizar, a fim de preparar umacomida para gatos com, no mximo, 15% de gordura aomenor custo possvel por quilo.
Modele o problema. Dica: as variveis de deciso desteproblema representam os percentuais de frango e peixeutilizados para preparar o enlatado, devendo, portantoter valores entre 0 e 1 (ou entre 0 e 100%).
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13) Duas fbricas produzem 3 diferentes tipos de papel. Acompanhia que controla as fbricas tem um contratopara produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas depapel mdio e 28 toneladas de papel grosso. Existe umademanda para cada tipo de espessura. O custo deproduo na primeira fbrica de 1.000u.m. e o dasegunda fbrica de 2.000u.m. por dia. A primeirafbrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada demdio e 2 toneladas de grosso por dia, enquanto asegunda fbrica produz 2 toneladas de papel fino, 1tonelada de mdio e 7 toneladas de grosso. Quantos diascada fbrica dever operar para suprir os pedidos maiseconomicamente?
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14) Uma companhia de transporte tem dois tipos
de caminhes: o tipo A, que tm 2m3 de espao
refrigerado e 3m3 de espao no refrigerado; o
tipo B que tem 2m3 de espao refrigerado e 1m3
de no refrigerado. O cliente quer transportar
um produto que necessitar de 16m3 de rea
refrigerada e 12m3 de rea no refrigerada. A
companhia calcula em 1.100 litros o
combustvel para uma viagem com o caminho
A e 750 litros para o caminho B. Quantos
caminhes de cada tipo devero ser usados no
transporte do produto, com o menor consumo de
combustvel.
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15) Uma companhia fabrica dois produtos P1 eP2 que utilizam os mesmos recursosprodutivos: matria-prima, forja e polimento.Cada unidade de P1 exige 4 horas de forjaria,2 horas de polimento e utiliza 100unidade dematria-prima. Cada unidade de P2 requer 2horas de forjaria, 3 horas de polimento e200unidade de matria-prima. O preo devenda de P1 1.900u.m. e o de P2 2.100u.m. Toda produo tem mercadogarantido. As disponibilidades so de: 20h. deforja; 10h.de polimento e 500 unidades dematria-prima, por dia.
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a) Determinar as quantidades a produzir de P1e P2 que otimizem a receita diria dosprodutos.
b) Suponha que os custos dos insumos sejam:
. Matria-prima = 1u.m. por unidade
. Forjaria = 150 u.m. por hora
. Polimento = 100 u.m. por hora
Qual o plano de produo que maximiza olucro dirio?
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16) Um sitiante est planejando sua estratgia de plantio parao prximo ano. Por informaes obtidas nos rgosgovernamentais, sabe que as culturas de trigo, arroz emilho sero as mais rentveis na prxima safra. Porexperincia, sabe que a produtividade de sua terra para asculturas desejadas a constante na tabela abaixo:
Por falta de um local de armazenamento prprio, aproduo mxima, em toneladas, est limitada a 60. A reacultivvel do sitio de 200.000m2. Para atender asdemandas de seu prprio sitio, imperativo que se plante400 m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 demilho.Determine as reas a serem plantadas de forma amaximizar o lucro.
Cultura Produtividade kg/m2 Lucro centavos/kg
Trigo 0,20 10,80
Arroz 0,30 4,20
Milho 0,40 2,03
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17) Dos muitos produtos feitos pela Flecha S/Aapenas os produtos P1, P2 , P3 e P4 passam pelassees S1, S2, S3 e S4. As necessidades porunidade do produto em horas e o lucro em u.m.
A capacidade disponvel em horas nas seces e asnecessidades mnimas de venda dos produtos so:
Seco /Produto S1 S2 S3 S4 Lucro p/unidade
P1 0,5 2,0 0,5 3,0 8,00
P2 1,0 1,0 0,5 1,0 9,00
P3 1,0 1,0 1,0 2,0 7,00
P4 0,5 1,0 1,0 3,0 6,00
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Determinar o nmero de produtos P1, P2, P3 eP4 que devem ser feitos para que o lucro sejamximo.
Seco Capacidades(horas)
Produto Venda Mnima(unidade)
S1 1800 P1 100
S2 2800 P2 600
S3 3000 P3 500
S4 6000 P4 400
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18) A gua para suprir a demanda de uma cidade
vem de 3 reservatrios. A necessidade total de
gua para a populao de 30.000 litros/hora. O
reservatrio R1 sendo o maior, fornecer uma
quantidade igual ou superior mdia das
quantidades fornecidas pelos dois outros. O
reservatrio R3 fornecer no mnimo 5.000
litros/hora. O custo da tonelada de gua
fornecida pelo reservatrio R1 de 5u.m., pelo
R2 de 10u.m. e pelo R3 de 8u.m. Quantos
litros cada reservatrio dever fornecer para
termos o custo mnimo? Qual este custo?
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19) A companhia Betontex segue a poltica de produzir aqueles produtos que do lucratividade e tenham custo fixos. Contudo sempre se levou em conta o atendimento da necessidade mnima semanal para os artigos A1, A2, A3 e A4 que :
As necessidades da produo e o tempo disponvel para a prxima semana so:
Artigo A1 A2 A3 A4
Unidades 25 30 30 25
Seco A1(horas/
unidade)
A2(horas/
unidade)
A3(horas/
unidade)
A4(horas/
unidade)
Tempo Disponvel
Semanal/horas
S1 0,25 0,20 0,15 0,25 400
S2 0,30 0,40 0,50 0,30 1000
S3 0,25 0,30 0,25 0,30 500
S4 0,25 0,25 0,25 0,25 500
Lucro/unidade
10,50 9,00 8,00 10,00
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Atualmente a produo semanal, considerando
as necessidades mnimas de venda :
OBS: o artigo produzido pela empresa pode ser
apresentado em meia unidade.
a) O esquema de produo atual timo?
b) Que tipo de recomendao voc daria a
Betontex ?
Artigo A1 A2 A3 A4
Unidades 1533 30 30 25
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20) Um show de meia hora na televiso deve apresentar um comediante, um mgico e uma cantora, incluindo no mnimo trs e no mximo seis minutos para os comerciais. O comediante exige que seu tempo de apresentao seja no mnimo o dobro da cantora. O produtor do show estabelece que a soma dos tempos do comediante e da cantora no seja inferior ao tempo de apresentao do mgico.
Sabendo que o comediante, o mgico e a cantora custam ao produtor respectivamente 50, 30 e 20u.m. por minuto e que os comerciais nada custam, determinar o tempo de apresentao de cada artista, de modo que o custo do programa seja mnimo.
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21) Uma empresa do ramo de madeiras produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos so 40m3 de pinho e 80m3
de canela. A madeira serrada d um lucro de R$5,00 por m3 e a madeira compensada um lucro de R$0,70 por m2. Para produzir uma mistura comercivel de 1 metro cbico de madeira serrada so requeridos 1 m3 de pinho e 3 m3 de canela. Para produzir 100m2 de madeira compensada so requeridos 3m3 de pinho e 5m3
de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5m3 de madeira serrada e 900 m2 de madeira compensada. Qual o esquema de produo que maximiza o lucro?
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22) Uma indstria de refrigerantes pode fabric-los de 3tipos: A, B e C vendidos em garrafas de 2 litros, 3 litros e5 litros respectivamente. Deve atender a uma demandade 8000 litros dirios. O refrigerante tipo A contm 3unidades de suco natural por garrafa e os B e C somenteuma unidade por garrafa. Exige-se ao menos 10.000unidades de suco natural na produo diria. Sabe-seainda que o refrigerante tipo A tem um consumo muitosuperior ao refrigerante tipo B, mais precisamente,supera em 6.000 ou mais garrafas dirias o dobro doconsumo de B. Quantas garrafas de cada refrigerantedevemos fabricar diariamente se o custo por garrafa Afabricada de 21u.m. por garrafa B de 3u.m. e porgarrafa C 6u.m., para obter o custo mnimo de produo?
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23) Uma empresa produz 4 diferentes modelos de um certoproduto P1, P2, P3 e P4. Deseja-se estabelecer aprogramao diria que maximiza o lucro e atenda aslimitaes de recursos. A empresa tem a sua disposio 8horas mquinas. 250m2 de espao para armazenagem e230kg de matria-prima. Sabe-se que para as mquinas ataxa de produo de 15, 10, 20 e 25 peas/horarespectivamente para P1, P2, P3 e P4. Com relao aoarmazenamento temos uma necessidade de espao de 1,50;2,00; 3,00 e 2,50m2/unidade respectivamente de P1, P2, P3e P4. O consumo de matria-prima de 1,50; 2,00; 1,50 e3,0kg/unidade de P1, P2, P3 e P4 respectivamente. Aquantidade diria do produto P4 deve ser de pelo menos 10unidades segundo informaes do departamento demarketing. O lucro obtido por unidade de P1, P2, P3 e P4so respectivamente 4,50; 5,00; 3,50 e 3,00u.m.
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3. Anlise de Sensibilidade
FERNANDO MORI - USJT 77
Analise de Sensibilidade
Uma das hipteses dos problemas de programao linear a considerao de certeza nos
coeficientes da funo objetivo.
No mundo real, quase nunca temos certeza destes valores, e portanto devemos saber o quanto a
soluo otimizada est dependente de uma determinada constante ou coeficiente.
Na analise de sensibilidade queremos responder basicamente a 3 perguntas:
1. Qual o efeito de uma mudana em um dos coeficientes da funo objetivo sobre a resposta do
problema?
2. Qual o efeito de uma mudana numa constante de uma restrio?
3. Qual o efeito de uma mudana em um dos coeficientes de uma restrio?
O estudo da analise de sensibilidade estabelece limites inferiores e superiores para todos os
coeficientes da funo objetivo e para todas as constantes das restries.
Vamos estudar um pouco da analise de sensibilidade atravs do relatrio do LINDO, usando para
isso o exemplo a seguir.
FERNANDO MORI - USJT 78
FERNANDO MORI - USJT
24)A empresa W vende 4 tipos de produtos. Os recursos necessriospara produzir uma unidade de cada produto e o preo de venda estodados na tabela a seguir. A demanda do mercado exatamente 950unidades.
Atualmente 4600 unidades de matria prima e 5000 horas de trabalhoesto disponveis. Os mercado tem uma demanda de no mnimo 400unidades do produto 4. Resolva o problema que maximize o lucro daempresa.
Usaremos este problema para explorar o relatrio de analise desensibilidade do LINDO.
Produto1 Produto2 Produto3 Produto4
Matria Prima
2 3 4 7
Horas de Trabalho
3 4 5 6
Preo de venda
4 6 7 8
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1) Objective Function Coef. Ranges
Esta parte do relatrio indica o quanto podemos alterar os coeficientes da funo objetivo sem
alterar a soluo tima. Assim olhando na coluna variable, escolhemos, por exemplo, o
coeficiente de X3 que na funo objetivo tem o valor 7. Olhando na linha correspondente vemos
que seu allowable increase 1 e o seu allowable decrease 0,5 o que significa que se
alterarmos o coeficiente de X3 para qualquer valor entre 6 e 7,5, o ponto timo encontrado para
X1, X2, X3 e X4 permanecero os mesmos. A alterao apenas ocorre no valor da funo
objetivo.
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 4.000000 1.000000 INFINITY
X2 6.000000 0.666667 0.500000
X3 7.000000 1.000000 0.500000
X4 8.000000 2.000000 INFINITY
importante observar que a variao no coeficiente deve ser feita uma de cada vez, ou seja se
alterarmos o coeficiente de X3 conforme mencionado acima, os outros coeficientes devem
permanecer os mesmos. Se alterarmos o coeficiente de X1, ento so os demais que devem
permanecer os mesmos.
Observe que temos algumas situaes em que o allowable decrease foi infinito, neste caso podemos
diminuir o coeficiente de quanto quisermos que no haver alterao na soluo tima do
problema.
FERNANDO MORI - USJT 80
2) Custo reduzido (Reduced Cost)
O custo reduzido nos d informao sobre como devemos variar o coeficiente da funo objetivo de
tal forma que uma soluo nula, e que portanto no fazia parte da soluo tima passe a fazer
parte da soluo. O custo reduzido ser diferente de zero apenas para os casos em que a
soluo tima para uma das variveis seja nula.
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 1.000000
X2 400.000000 0.000000
X3 150.000000 0.000000
X4 400.000000 0.000000
Considere o custo reduzido de X1 que 1. Isto implica que se aumentarmos o coeficiente de X1 na
funo objetivo de uma unidade, haver uma nova soluo tima na qual o valor de X1 ser
diferente de zero. Se aumentarmos o coeficiente de X1 na funo objetivo de por mais que 1
ento qualquer soluo tima ter soluo com X1 no nula.
FERNANDO MORI - USJT 81
3) Right Hand Side Ranges (RHS)
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 950.000000 50.000000 100.000000
3 400.000000 37.500000 125.000000
4 4600.000000 250.000000 150.000000
5 5000.000000 INFINITY 250.000000
Esta parte do relatrio se refere ao lado direito das restries. Os numeros da coluna Row, se referem as restries na
linha em que foram escritas. A finalidade deste relatrio nos dizer de quanto uma restrio pode ser alterada de
forma que ainda possamos encontrar uma soluo para o problema. Assim se alterarmos o valor de uma
restrio alteramos o valor do ponto timo, mas a partir de um certo intervalo pode no haver mais soluo tima
para o problema. para isso que serve este relatrio.
Considere a primeira restrio. O lado direito desta restrio 950. Se tivermos a seguinte variao:
Este intervalo em que a restrio da linha 2 pode ser alterada de forma que uma soluo tima ainda possa ser
encontrada. Observe que neste caso tambm a variao deve ser feita em uma restrio de cada vez, mantendo
as outras com seus valores originais.
FERNANDO MORI - USJT
850 950 100 RHS da linha 2 950 50 1000
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4) Shadow Prices ou Dual Prices
O Preo Sombra (Dual Price) de uma restrio a quantidade que aumenta o valor timo da funo
objetivo se correspondentemente aumentarmos de 1 unidade o valor direito da restrio
considerada.
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 3.000000
3) 0.000000 -2.000000
4) 0.000000 1.000000
5) 250.000000 0.000000
Assim, o Dual Price 3 para a restrio na linha 2. Isto implica que cada aumento unitrio na
demanda total aumenta o lucro (valor da funo objetivo) em 3 unidades monetrias.
O Dual Price de -2 para a restrio da linha 3 implica que cada aumento unitrio na necessidade do
produto 4 ir diminuir o lucro de 2 unidades monetrias.
O Dual Price de 1 para a restrio da linha 4 implica que cada 1 unidade de matria prima a mais na
restrio aumenta o lucro de 1 unidade.
Observe que o Dual Price diferente de zero apenas na restrio em que o Slack (folga) for nulo.
Assim na restrio da linha 5 temos um Dual Price nulo, o que significa que por haver folga na
restrio, um aumento de uma unidade na restrio no altera o valor da funo objetivo (lucro).
FERNANDO MORI - USJT 83
5) SLACK ( Folgas)
O Slack exprime a folga na restrio no ponto timo do problema.
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 3.000000
3) 0.000000 -2.000000
4) 0.000000 1.000000
5) 250.000000 0.000000
No nosso caso, apenas a restrio da linha 5 apresenta folga de 250. isto significa que no ponto timo
para uma restrio igual a 5000 unidades h uma folga de 250. Portanto poderamos colocar um
novo valor para esta restrio de 5000 250 = 4750, que isso no altera em nada a resposta de nosso problema.
Observe que o Dual Price nulo quando o Slack no nulo. Isto porque apenas quando temos folga
que podemos alterar o valor de uma restrio sem alterar o ponto timo.
FERNANDO MORI - USJT 84
FERNANDO MORI - USJT
25) Determinado produto qumico pode ser comprado de 3 fornecedores X, Y e Z, o primeiro enviando seus
produtos em tambores de 3 toneladas, o produto de Y e Z
sendo vendidos em tambores de 1 tonelada cada.
Necessita-se pelo menos 10 toneladas por semana deste
produto. Este material usado na obteno de um
subproduto, do qual necessitamos semanalmente de 12
unidades no mnimo. Sabe-se que os produtos
comprados dos fornecedores X e Y somente nos fornecem
1 unidade do subproduto em questo por tambor, porm
o produto fornecido por Z nos possibilita obter 2
unidades do subproduto por tambor.
85
FERNANDO MORI - USJT
Contratos assumidos em anos anteriores exigem que as
quantidades compradas semanalmente dos
fornecedores X e Z somem ao menos 8 tambores
semanais, e isto deve ser respeitado sob pena de multa
contratual. Os custos por tambor adquiridos dos
fornecedores X, Y e Z so 5, 2 e 4u.m. respectivamente.
Quantos tambores devemos adquirir de cada fornecedor
a fim de minimizar o custo, satisfazendo os requisitos?
Se um dos valores para a quantidade de tambores for
nula para o problema em questo, especificar de quanto
devemos alterar o custo do correspondente tambor para
que ele seja includo no pedido. Calcular o ponto timo
para essa nova situao.
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FERNANDO MORI - USJT
26) Uma pequena fbrica de papel toalha manufatura trs tipos deprodutos A, B e C. A fbrica recebe o papel em grandes rolos. O papel cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fbrica, omercado absorver qualquer produo a um preo constante. O lucrounitrio de cada produto respectivamente R$1,00; R$1,50 e R$2,00.O quadro abaixo identifica o tempo requerido para operao (emhoras) em cada seo da fbrica, bem como a quantidade de mquinasdisponveis, que trabalham 40 horas por semana(cada mquina).Planeje a produo semanal da fbrica.Verifique se existe ociosidade das mquinas disponveis e proponhauma quantidade adequada para a resoluo do problema.Se algum produto no for produzido no ponto timo, especificar dequanto deve ser alterado o lucro deste produto para que ele tambmseja produzido.
Seo Produto A
Produto B
Produto C
Mquinas Disponveis
Corte 8 5 2 3
Dobra 5 10 4 10
Empacotamento 0,7 1 2 2
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FERNANDO MORI - USJT
27) O Problema do Atleta Indeciso
Um jovem atleta sente-se atrado pela prtica de dois esportes: natao e
ciclismo. Sabe por experincia que:
A natao exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento at a
piscina que pode ser expresso em um custo mdio de R$3,00 por seo de
treinamento de duas horas.
O ciclismo, mais simples, acaba custando cerca de R$2,00 pelo mesmo
tempo de prtica.
O oramento do rapaz dispe de R$70,00 para seu treinamento. Seus
afazeres de aluno de graduao na universidade lhe do liberdade de
empregar, no mximo, 18 horas mensais e 80.000 calorias para os
esforos fsicos.
Cada seo de natao consome 1.500 calorias, enquanto cada etapa
ciclstica despende 1.000 calorias. Considerando que o rapaz goste
igualmente de ambos os esportes o problema consiste em planejar seu
treinamento de forma a maximizar o nmero de sees de treinamento.
Verifique se existem folgas nas restries que permitam ao atleta
otimizar os recursos disponveis.
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4. Problemas de Mistura
FERNANDO MORI - USJT 89
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28) Uma empresa industrial fabrica trs produtos p1, p2 e p3, com lucro unitrio de, respectivamente, R$2,00, R$3,00 e R$4,00. O
gerente de produo identificou as seguintes restries no
processo produtivo:
a) A capacidade produtiva total de 30 unidades por ms.
b) Por utilizar material radioativo, a empresa recebe uma
autorizao do governo federal para importar apenas uma
quantidade fixa de 60kg. deste material, o qual deve ser
plenamente utilizado durante o ms por razes de segurana.
c) As quantidades necessrias do material radioativo para
fabricao dos produtos p1, p2 e p3 so de, respectivamente, 2kg,
1kg e 3kg.
Encontre o nvel de produo timo.
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29) A Nitroglicerina S/A esta desenvolvendo um novo aditivo paragasolina de avio. O aditivo uma mistura de trs ingredientes
lquidos: A,B e C. Para que haja um desempenho adequado, o montante
(total) de aditivo (montante do ingrediente A + montante do ingrediente
B + montante do ingrediente C) deve ser de, pelo menos, 10 decilitros
por gasolina. Entretanto, por razes de segurana, o montante de
aditivo no deve exceder 15 decilitros por litro de gasolina. A mistura
dos trs ingredientes critica. No mnimo um decilitro do ingrediente A
deve ser usado para cada decilitro do ingrediente B. O montante
utilizado do ingrediente C deve ser maior ou igual metade do
montante utilizado do ingrediente A.
Encontre a mistura dos trs produtos com custo mnimo por litro de
gasolina de avio, sabendo que o custo por decilitro dos ingredientes A,
B e C de R$0,10, R$.0,03 e R$0,09 respectivamente.
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30) A motorbike S/A produz os modelos das motos C250,C750 e C1000. A, B e C so os trs componentes que
entram no processo produtivo, cuja oferta diria
pequena para limitar a produo. Os suprimentos
dirios dos componentes A, B e C so respectivamente
de 400kg, 200kg e 300kg. Embora os componentes B e
C possam no ser utilizados ao dia, todos os
componentes A existentes devem ser utilizados ao dia
por razes de segurana.
A tabela a seguir apresenta o lucro unitrio e as
quantidades dos componentes para produzir cada
modelo de motocicleta:
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Motocicleta Componentes
Modelo Lucro unitrio A B C
C250 R$140,00 2 1 1
C750 R$300,00 8 1 0
C1000 R$400,00 2 4 1
Encontre a programao de produo diria
tima.
Se aumentarmos a quantidade de material B em
50 Kg, de quanto aumenta o lucro?
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31) A Opinio Popular S/A uma empresa especializada em avaliar
a reao de consumidores a novos produtos, servios e/ou
campanhas de publicidade. Um cliente pediu empresa para
providenciar informaes sobre a reao de consumidores para
um produto recentemente lanado. O contrato do cliente
necessita que sejam feitas entrevistas pessoais de porta em porta,
respeitando as seguintes condies:
1) Entrevistar pelo menos 400 famlias com crianas.
2) Entrevistar pelo menos 200 famlias sem crianas.
3) A quantidade de famlias entrevistadas durante a noite deve
ser, pelo menos, to grande quanto o nmero de entrevistados
durante o dia.
4) O total de entrevistados deve ser, pelo menos, 1.000 famlias.
Baseando-se em entrevistas realizadas anteriormente, os custos
das entrevistas so os seguintes:
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Famlia Custo da Entrevista
Dia Noite
Criana $10 $12
Sem criana $8 $10
Para minimizar os custos das entrevistas, quantas entrevistas em
cada tipo de famlia devem ser realizadas em cada um dos
horrios (dia e noite), atendendo s restries impostas?
Se quisessemos entrevistar, ao invs de 1000, 1050 familias. De
quanto aumentaria nosso custo?95
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32) A Verificao Total S/A inspeciona cpsulas de remdiopassando-as sobre uma mesa com iluminao especial, onde uminspetor verifica visualmente a existncia de cpsulas quebradasou parcialmente avariadas. Atualmente, qualquer um dos trsinspetores pode ser alocado para o servio de inspeo visual. Osinspetores, porm, diferem na preciso e no tempo de inspeo,alm de receberem valores diferentes pelo servio. As diferenasso as seguintes:
Inspetor Velocidade(unidade por hora)
Preciso(percentual)
Valor por hora trabalhada
Pedro 300 98 $ 5,90
Joo 200 99 $ 5,20
Marcel 350 96 $ 5,50
96
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Operando num perodo de 8 horas, a empresa precisa de pelo
menos 2.000 cpsulas inspecionadas com no mais do que 2% de
erro nesta inspeo. Alm disso, por causa do fator fadiga do
processo de inspeo, nenhum inspetor pode trabalhar mais do
que 4 horas por dia. Quantas horas cada inspetor deve trabalhar
no processo de inspeo durante um dia de 8 horas de trabalho
para minimizar os custos da inspeo? Qual volume ser
inspecionado por dia e qual ser o custo de inspeo por dia?
Se ao invs de um perodo de 8 horas quisessemos um periodo de
10 horas de trabalho, mantendo as demais condies inalteradas.
De quanto aumentaria nosso custo?
97
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33) Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fbrica daMotorela utiliza trs processos diferentes: o de montagem dosaparelhos, configurao e verificao. Para a fabricao do celularMulti Tics, necessria 0,1 hora de montagem, 0,2 hora deconfigurao e 0,1 de verificao. O aparelho mais popular, StarTic Tac, requer 0,3 hora de montagem, 0,1hora de configurao e0,1 hora de verificao. J o moderno Vulco necessita de 0,4hora de montagem, 0,1hora para configurao e em virtude deseu circuito de ltima gerao, no necessita de verificao.Devido a uma imposio do governo de economia de energia, afbrica no pode consumir mais do que 50.000kw/ms de energia,o que significa, de acordo com os clculos tcnicos da empresa,que eles podero dispor de 290h/ms na linha de montagem,250h/ms na linha de configurao e 110h/ms na linha deverificao.
98
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Sabe-se ainda que o lucro por unidade dos produtos Multi Tics,
Star Tic Tac e Vulcano so de R$.100, R$.210 e R$.250,
respectivamente; e que empresa operadora do sistema de
telefonia celular adquire todos os celulares produzidos pela
Motorela.
Pede-se: o nmero de celulares de cada modelo a ser produzido
mensalmente para que a empresa maximize seus lucros. Sabe-se
ainda que o presidente da Motorela exige que os trs modelos
sejam produzidos e quer lucrar pelo menos R$25.200/ms com o
modelo Star Tic Tac. Para incentivar o crescimento de seus
produtos mais modernos, o presidente tambm exige que a
produo do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo
Star Tic Tac.
99
FERNANDO MORI - USJT
34) Na tabela abaixo fornecemos as necessidades
alimentares semanais de um certo animal. Que mistura
destas raes satisfaz os requisitos alimentares a um
custo mnimo para o proprietrio?
Rao Protenas(Unidades/kg
Carboidratos(Unidades/kg)
Custo(R$/kg)
A 25 55 R$3,00
B 25 20 R$2,00
C 45 10 R$4,00
D 35 35 R$3,00
E 25 20 R$3,00
Mnimo (Unidades) 200 250
100
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35)Um fazendeiro dispe de 200 hectares cultivveis para milho e/ou
soja. Os dados so os seguintes:
Qual deve ser a alocao da terra para os vrios tipos de cultura de
maneira a maximizar os lucros?
Existe sobra nos recursos disponveis alocados pelo fazendeiro.
Proponha valores que otimizem esta disponibilidade.
Atividade Milho Soja Disponvel
Espao 1 1 200
Preparo do terreno
R$500 R$700 R$200.000
Mo de obra (homens/dia)
15 18 20.000
Lucro R$900 R$1.300
101
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36) Considere o fundo de investimento que tem as
seguintes opes de compras de aes:
Empresa Categoria Lucratividade
E1 A 10%
E2 A 15%
E3 B 5%
E4 C 20%
E5 A 12%
E6 B 15%
E7 A 10%
E8 C 5%
E9 B 5%
E10 C 10%
102
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As restries governamentais a fundos de investimentos
estabelecem que nenhum investimento isolado pode ultrapassar
15% do capital total do fundo. Alm disso, o total de investimento
por categoria no pode ultrapassar 40%.
Construir o modelo de programao linear e encontrar os
investimentos que maximizam a lucratividade composta do
fundo.
103
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37) Problema de Dosagem em Formulao de Petrleo: Uma refinaria de petrleo deseja encontrar na maneira tima de cumprir um contrato de fornecimento de gasolina de aviao e gasolina comum. Segundo este contrato, deve-se fornecer diariamente um mnimo de 1.000 barris de gasolina de aviao e 2.000 barris de gasolina comum. A unidade que se responsabilizar pela entrega tem uma capacidade mxima de produo de 10.000 barris por dia, indistintamente. As gasolinas devem ser transportadas at seus depsitos, cujas distncias da unidade so de 10 milhas e 30 milhas, respectivamente. A capacidade mxima de transporte da refinaria de 186.000 barris x milha. Sabendo-se que a gasolina de aviao d um lucro de R$1,00 e a comum R$2,00, pede-se o esquema de produo que maximiza o lucro da refinaria com relao ao citado contrato.
104
FERNANDO MORI - USJT
38) Problema de Alocao de Recursos: Um fundo de investimentos tem at R$.300.000,00 para aplicar em duas aes. A empresa D diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que fornea bonificaes de 12%. A empresa N no diversificada (produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificaes de 20%. Para este investimento, considerando a legislao governamental aplicvel, o fundo est sujeito s seguintes restries:
a) O investimento na empresa diversificada pode atingir R$270.000,00.
b) O investimento na empresa no diversificada pode atingir R$150.000,00.
c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$180.000,00.Pede-se: Qual o esquema de investimento que maximiza o lucro?
105
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39) Problema de Carga de Forno em Siderurgia: Uma
empresa siderrgica produz um tipo de ao a partir de
ao puro misturado com adies metlicas e recebeu um
pedido de uma pea de 400kg. Sabe-se que o custo por
quilo de ao puro de R$5,00 e o das adies R$3,00 e
que os estoque so de 400kg e 800kg, respectivamente.
Na carga do forno para a produo da liga desejada, a
relao de adies para ao puro deve estar entre 25% e
35%. Qual o esquema de produo de custo mnimo?
106
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40) Problema de Formulao de Petrleo: Uma empresa adquire petrleo para produzir gasolina comum, gasolina especial e leo diesel. Ela necessita manter em seus tanques, no incio de cada semana, um estoque mnimo de produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composies, disponibilidades e estoques mnimos. Qual o esquema de produo de custo mnimo?
Petrleo A Petrleo B Estoque mnimo
Gas. Comum 10% 60% 200 barris
Gas. Especial 20% 30% 50 barris
leo Diesel 70% 10% 100 barris
Disponibilidade 200 Barris 300 Barris
Custo R$10,00 R$15,00
107
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41) Mistura : Uma empresa de minerao deseja cumprir um contrato de fornecimento de 4 milhes de toneladas por ano do minrio Sinter Feed e, para tanto, conta com os seguintes minrios (a tabela abaixo mostra a composio percentual e o custo/tonelada de cada minrio):
O minrio a ser produzido por este blending deve conter no mnimo 65% de Ferro e no mximo 3% de Silcio. Qual o blending a custo mnimo?
M1 M2
Fe 66% 64%
Si 1,5% 3,7%
Custo 5,60 3,30
108
5. Problemas de Transporte
FERNANDO MORI - USJT 109
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42) (Transporte) Em uma minerao deseja-se minimizar a utilizao de caminhes que efetuam o transporte de estril entre as lavras (de onde se retira o estril) e os depsitos de estril (onde se armazena o estril). A tabela abaixo fornece as distncias envolvidas (valores em metros):
Origem(Frente de Lavra)
Destino (Depsito de Estril)
1 2
A 300 400
B 600 700
C 800 300
110
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As necessidades de transporte das frentes-de-lavra para a prxima semana so (valores em toneladas):
A capacidade mxima de recebimento dos depsitos 1 e 2 so respectivamente, 50.000 e 60.000 toneladas. Sabendo-se que cada viagem de caminho transporta 100 toneladas, pede-se o esquema de transporte que minimiza a distncia total percorrida.
Origem(Frente de Lavra)
Necessidade de Transporte
Mnimo Mximo
A 20.000 40.000
B 40.000 60.000
C 45.000 60.000
111
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Origem A
Origem B
Origem C
Depsito 1
Depsito 2
1AX
2AX
2CX
1CX
2BX
1BX
112
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43) (Mistura) Um fabricante de fertilizante deseja produzir 1.000kg do produto a custo mnimo.Para tanto conta com as seguintes matrias primas:
No produto obtido, as quantidades de Nitrognio (N), Fsforo (P) e Potssio (K) devem ficar acima dos seguintes limites mnimos (valores em kg):
Mat.Prima x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
Custo 12 16 8 26 16 8 11 19
Nutriente N P K
Mnimo 75 30 15
113
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A composio fracionria de seus produtos mostrada
abaixo:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
N 0,02 0,03 0 0,17 0 0,02 0,04 0,05
P 0 0 0,02 0,05 0 0,01 0,01 0,03
K 0 0 0 0 0,06 0,01 0,04 0,03
114
FERNANDO MORI - USJT
44) (Transporte) A prefeitura da cidade colocou coletores de lixo em alguns pontos da cidade, onde os lixeiros devem esvaziar seus carrinhos, aps ench-los na limpeza das ruas. So seis lixeiros com carrinhos e trs coletores. A prefeitura calculou a distncia mdia da rea de atuao de cada lixeiro para cada coletor. Deseja estabelecer um plano que esclarea onde os lixeiros devem esvaziar seus carrinhos, para que todos os coletores se encham de maneira uniforme e os lixeiros percorram a menor distncia total no dia. Os lixeiros esvaziam cinco vezes seus carrinhos por dia. A prefeitura, aps estabelecer quantas vezes e em quais coletores isto deve ser feito, deixa a seu critrio a escolha do coletor em cada vez, desde que cumpra o programa dirio.
115
FERNANDO MORI - USJT
A distncia mdia de cada regio para cada coletor
est na tabela:
Qual o plano da Prefeitura?
L1 L2 L3 L4 L5 L6
C1 200 300 500 400 250 300
C2 100 150 200 300 150 180
C3 120 200 50 180 220 100
116
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45)(Transporte) Uma firma distribuidora de alimentos
programou para a prxima semana 100 viagens que
devero ser realizadas por empresas contratadas. So
seis locais diferentes que recebero as mercadorias,
conforme exposto na Tabela 1. As empresas que prestam
esse servio so quatro, e tem preos diferentes para as
viagens, devido localizao, possibilidade de viagens de
retorno etc. Os oramentos e as disponibilidades das
empresas prestadoras de servio esto na Tabela 2.
Estabelecer um plano de contratao dessas empresas,
com o menor custo total possvel.
117
FERNANDO MORI - USJT
Tabela 1
Tabela 2
Locais de entrega
1 2 3 4 5 6
Quantidade
necessria
20 12 15 10 18 25
Transpor-
tadora
Locais Disponibi-
lidades1 2 3 4 5 6
A 100 120 105 90 105 110 30
B 80 100 110 100 100 110 40
C 90 105 90 100 80 105 25
D 120 130 110 100 95 105 20
118
FERNANDO MORI - USJT
46) (Transporte) Um laboratrio de manipulao que presta servios de entrega para idosos possui duas filiais e fornece o servio a seis bairros diferentes. Tendo em vista que atualmente a demanda superior capacidade de entrega da companhia, a mesma gostaria de saber a quais clientes atender, a partir de cada filial, de maneira a minimizar o seu custo de entrega. As capacidades das filiais, as demandas dos bairros e os custos unitrios de entrega esto evidenciados na tabela a seguir:
119
FERNANDO MORI - USJT
Resolva este problema propondo um planejamento
adequado das entregas a um custo mnimo e que
obedea as restries do problema.
Bairro 1 Bairro 2 Bairro
3
Bairro
4
Bairro 5 Bairro
6
Capa-
cidade
Filial 1 7,00 9,00 1,00 12,00 7,00 4,00 2500
Filial 2 4,00 5,00 12,00 1,00 3,00 8,00 2000
Demanda 1400 1560 400 150 870 620
120
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47) (Transporte)A organizao no-governamental Criana Renascer est organizando a festa dos aniversariantes deste ms. Para isto, ela comea a pesquisar o preo dos doces e salgados com cinco diferentes bufs do Rio de Janeiro. Como a festa ser realizada com o dinheiro de doaes, ela deseja ter os menores custos possveis. A tabela a seguir, relaciona os custos de cada item por empresa, bem como as quantidades requeridas para a festa (demanda) e as capacidades de produo de cada empresa, determine quantos doces e salgados a organizao deve encomendar a cada empresa (resolva com o auxilio do Lindo).
121
FERNANDO MORI - USJT
.
Ourio
(1)
Cajuzinho
(2)
Brigadeiro
(3)
Bolinha
de
queijo
(4)
Risole
(5)
Croque-
te
(6)
Coxinha
de
galinha
(7)
Oferta
Empresa
1
0,080 0,070 0,065 0,080 0,083 0,080 0,083 25.000
Empresa
2
0,075 0,070 0,067 0,060 0,060 0,060 0,060 23.000
Empresa
3
0,045 0,040 0,040 0,027 0,030 0,027 0,030 15.000
Empresa
4
0,050 0,045 0,045 0,040 0,040 0,040 0,045 22.000
Empresa
5
0,060 0,055 0,050 0,055 0,055 0,055 0,060 20.000
Demanda 5.000 4.000 7.000 5.000 4.000 3.500 6.000
122
FERNANDO MORI - USJT
48) (Transporte)A PowerCo tem trs usinas eltricas
para suprir as necessidades de quatro cidades: Feira
de Santana(1), Milagres(2) , Itabuna (3) e
Maiquinique (4), sendo suas potncias instaladas,
respectivamente, de 35 milhes kw/hora; 50 milhes
kw/hora e 40 milhes kw/hora. A demanda de energia
atinge o pico nas cidades no mesmo momento (19:00h)
e o seguinte (em kw/hora): Feira de Santana,
45milhes; Milagres, 20milhes; Itabuna, 30 milhes e
Maiquinique, 30 milhes.
123
FERNANDO MORI - USJT
O custo de enviar um milho de kw/hora de eletricidade de cada usina para uma das cidades est disponvel na tabela abaixo:
Formule como um problema de transporte e resolva-o utilizando o Lindo. Interprete o significado das variveis e os resultados obtidos.
Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4
Usina 1 R$8 R$6 R$10 R$9
Usina 2 R$9 R$12 R$13 R$7
Usina 3 R$14 R$9 R$16 R$5
124
FERNANDO MORI - USJT
49)(Transporte) Uma vincola do sul de Santa Catarina possui trs fbricas e trs armazns nos quais os vinhos so envelhecidos. Como as fbricas e os armazns esto localizados em diferentes locais do estado, a empresa deseja saber quantos tonis de vinho deve enviar de cada fbrica para cada Armazm de forma a minimizar o seu custo de transporte. As capacidades das fbricas e dos Armazns (em nmero de tonis), bem como os custos de transporte por tonel, esto explicitados na tabela a seguir. Resolva este problema de transporte com o auxilio do Lindo.
Armazns
Capacidade das fbricasA1 A2 A3
Fbricas
F1 20 16 24 300
F2 10 10 8 500
F3 12 18 10 200
Capacidade
dos armazns
200 400 300
125
6. Problemas de Programao
Inteira
FERNANDO MORI - USJT 126
50) Uma Universidade est planejando comprar uma nova mquina
de cpias para sua biblioteca. Trs membros do departamento de
compras esto analisando qual comprar. Eles esto considerando
dois modelos diferentes: Modelo A, uma copiadora de alta
velocidade, e Modelo B, uma de baixa velocidade mais barata.
Modelo A pode produzir 20000 cpias por dia, e custa $6000,00.
Modelo B pode produzir 10000 cpias por dia, mas custa apenas
$4000,00. Eles gostariam de ter pelo menos seis copiadoras de
forma a espalh-las pela biblioteca. Eles tambm gostariam de ter
pelo menos uma copiadora de alta velocidade. Finalmente as
copiadoras juntas devem produzir pelo menos 75000 cpias por dia.
O objetivo determinar a quantidade de copiadoras de cada tipo
que satisfazem essas condies a custo mnimo.
FERNANDO MORI - USJT 127
51) Um jovem casal, Eve e Steven, querem dividir suas
principais tarefas domsticas (compras,cozinhar, lavar
roupa e lavar loua) entre eles de modo que cada um
tenha duas tarefas, porm o tempo total despendido
nessas tarefas domesticas seja o mnimo possvel. Suas
eficiencias nessas tarefas diferem, os tempos que cada
um precisaria para realizar as tarefas so dados a
seguir:
FERNANDO MORI - USJT
(horas) Compras Cozinhar Lavar
Loua
Lavar
Roupa
Eve 4,5 7,8 3,6 2,9
Steven 4,9 7,2 4,3 3,1
128
52) Uma empresa de empreendimentos imobilirios est considerando
cinco possveis empreendimentos. A tabela a seguir mostra o lucro
estimado a longo prazo que cada projeto geraria, bem como a
quantidade de investimento necessria para realizar o
empreendimento em unidade de milhes de dlares. Os donos da
empresa levantaram $20 milhes de capital para investimento em
tal empreendimento. Eles agora querem selecionar a combinao
de empreendimentos que vai maximizar o lucro total estimado a
longo prazo, sem investir mais do que $20 milhes.
FERNANDO MORI - USJT
Empreendi
mento 1
Empreendi
mento 2
Empreendi
mento 3
Empreendi
mento 4
Empreendi
mento 5
Lucro
estimado
1 1,8 1,6 0,8 1,4
Capital
necessrio
6 12 10 4 8
129
53) A diretoria de uma empresa est considerando sete grandes investimentos
de capital. Cada investimento pode ser feito somente uma vez. Esses
investimentos diferem no lucro estimado a longo prazo que eles vo gerar,
bem como o volume de capital necessrio, conforme ilustrado na tabela
(em unidades de milhes de dlares).
O volume de capital disponivel para estes investimetos de $100 milhes.
As oportunidades de investimentos 1 e 2 so mutuamente exclusivas e, da
mesma forma, as oportunidades 3 e 4. Alm disso nem a oportunidade 3
nem a 4 podem ser empreendidas a menos que uma das duas primeiras
oportunidades seja realizada. No h tais restries sobre as
oportunidades de investimento 5, 6 e 7. O objetivo selecionar a
combinao de investimentos de capital que vai maximizar o lucro total
estimado a longo prazo.
FERNANDO MORI - USJT
1 2 3 4 5 6 7
Lucro
estimado
17 10 15 19 7 13 9
Capital
necessrio
43 28 34 48 17 32 23
130
54) O Problema de Alocao de Pessoal
Um hospital trabalha com um atendimento varivel em
demanda durante as 24 horas do dia.
As necessidades distribuem-se segundo a Tabela:
Turno de Trabalho
HorrioNmero mnimode Enfermeiros
1 08:00 12:00 50
2 12:00 16:00 60
3 16:00 20:00 50
4 20:00 00:00 40
5 00:00 04:00 30
6 04:00 08:00 20
131FERNANDO MORI - USJT
O horrio de trabalho de um enfermeiro de oito
horas quando ele entra nos turnos 1,2,3,4,5 e 6.
O enfermeiro que entra no turno 4 recebe uma
gratificao de 50% sobre o salrio e o enfermeiro
que entra no turno 5 trabalha apenas quatro
horas.
Elaborar o modelo de programao linear
inteira que minimiza o gasto com a mo de obra.
132FERNANDO MORI - USJT
55) O Problema do Jantar de Nero
O imperador romano Nero, em um momento, de inspirao,
resolveu promover um jantar para eliminar seus melhores
inimigos. Consultando seu mdico de confiana, soube que ele
dispunha de dois tipos de venenos, alfa e beta. Tratavam-se de
frmacos prprios para serem misturados no molho de carneiro.
Havia no estoque da farmcia do facultativo 0,5kg do veneno alfa e
2kg do veneno beta. Para que os convidados no sentissem o gosto
do veneno, era indispensvel misturar em peso trs pores do
veneno alfa para poro de beta. Cada 12 gramas de alfa ou 6 de
beta eram capazes de sozinhas liquidarem um homem. O efeito do
veneno sobre as mulheres era cerca de 50% mais poderoso do que
sobre os homens.Nero satisfeito com a informao deu suas ordens
ao mdico: prepare a mistura mais eficiente e elimine pelo menos
20 homens e 10 mulheres! Elaborar o modelo de programao
matemtica que maximize o efeito do veneno sobre os inimigos do
imperador.133FERNANDO MORI - USJT
56) O problema da Otimizao de Padres de Corte
Uma metalrgica deve entregar uma partida de
2.500 placas retangulares de 2 x 4cm (placas do
tipo I) e 1.000 de 4 x 11cm (placas do tipo II).
Existem, em estoque, uma tira metlica com
15cm de largura e 20 metros de comprimento e
outra com 14cm de largura e 30 metros de
comprimento. As tiras com 30 metros de
comprimento so cerca de 20% mais caras por
quilo do que as de 20 metros, devido a
problemas de transporte. So possveis as
seguintes configuraes de corte ou padres de
corte nos equipamentos da empresa:
134FERNANDO MORI - USJT
Formular o modelo que permita minimizar a
perda de corte.
4 cm
2 cm 12 cm
Padro 1
4 cm 11 cm
2 cm
Padro 2
Padro 3
4 cm
2 cm 11 cm
135FERNANDO MORI - USJT
57) O Problema da Cmara de Segurana
Um laboratrio biolgico est construindo uma
sala de desinfeco e segurana para proteger a
entrada de suas instalaes mais perigosas. A
finalidade da sala isolar agentes biolgicos como
vrus e bactrias que so manipulados em
instalaes hermeticamente fechadas, permitindo,
contudo, o trnsito dos pesquisadores e demais
materiais. A sala composta de trs cmeras
visando a aumentar a segurana.
Conforme figura a seguir:
136FERNANDO MORI - USJT
Unidade de
Desinfec
o
Forro
Espao
de
Alocao
rea de
Atuao Efetiva
Perfil
Cmara 1 Cmara 2 Cmara 3
Acess
o
rea
Extern
a
Acesso
aos
Labora-
trios
Possveis Posies de
Alocao das Unidades nas
Cmaras
Planta
137FERNANDO MORI - USJT
A desinfeco basicamente realizada atravs
de uma sofisticada unidade de irradiao. Como
essa unidade extremamente sensvel e o objeto
em trnsito pode ter um comportamento
inesperado, existe uma probabilidade de falha
da atuao de uma unidade isolada de
desinfeco. Essa probabilidade varia
basicamente em funo da cmara em que a
unidade esteja localizada. Existem restries de
espao e peso para a distribuio das unidades
de desinfeco no teto das cmaras. Os custos
das unidades tambm variam por cmara
devido variao de temperatura e isolamento
de umidade, tudo conforme a tabela a seguir:138FERNANDO MORI - USJT
Formular o problema de minimizar a probabilidade da
ocorrncia de um trnsito na sala de desinfeco sem que
ocorra uma perfeita desinfeco, considerando-se
inaceitvel mais que 3% na probabilidade de que uma
cmara isolada falhe na desinfeco.
CmaraEspao
(m3)Peso Custo (R$)
Probabilidade de
Falha de Unidade
1 2,5 150 30.000 0,20
2 4,0 130 70.000 0,15
3 3,0 100 40.000 0,30
Limitaes 60 1.500 600.000
139FERNANDO MORI - USJT
58) O Problema de Carregamento de Avies
Um avio de transporte possui quatro compartimentos para
carga a saber: compartimento frontal, compartimento
central, compartimento da cauda e poro de granel. Os trs
primeiros compartimentos s podem receber carga em
container, enquanto o poro recebe material em granel. A
tabela resume a capacidade do aparelho:
Compartimento Peso Mximo (Ton.) Espao Mximo ((m3)
Frontal 5 35
Central 7 55
Da Cauda 6 30
Poro de Granel 7 30
140FERNANDO MORI - USJT
Objetivando o equilbrio de vo, indispensvel que a distribuio de carga seja proporcional entre os compartimentos. Para carregar o avio, existem trs tipos de containers e duas cargas em granel. Os dois tipos de carga em granel podem ser facilmente transportados conjuntamente, por isso essa carga aceita em qualquer quantidade.
Elaborar o problema de programao linear que otimize a distribuio de carga de forma a maximizar o lucro de vo cargueiro.
Carga TipoPeso por Container
ou (m3) (ton.)
Volume por
Container
(m3)
Lucro $/ton.
1 (Container) 0,7 0,5 200
2 (Container) 0,9 1 220
3 (Container) 0,2 0,25 175
4 (granel) 1,2/ m3 - 235
5 (granel) 1,7/ m3 - 180
141FERNANDO MORI - USJT
59) O Problema de Auditoria BancriaFase 1: Processo normal de auditoria
Um banco deve decidir quantos auditores ser necessrio contratar em
um horizonte de 6 meses de operao a saber: maro agosto. As necessidades do esforo de auditoria so contabilizadas em termos de
mo-de-obra de auditores experientes da seguinte forma:
Ms Necessidade em Homens x Hora
Maro 7.000
Abril 8.000
Maio 10.000
Junho 11.000
Julho 7.000
Agosto 11.000
142FERNANDO MORI - USJT
Cada auditor contratado como funcionrio do banco, apesar de
formado e aprovado em concurso, tem que ser treinado por um ms
antes de poder atuar plenamente em sua funo. Nesse treinamento
so utilizados auditores experientes do prprio banco que, deixando de
trabalhar na auditoria normal, dedicam 100 horas para cada auditor a
ser treinado. Um auditor trabalha 150 horas por ms. Em 1 de
fevereiro o banco dispe de 60 auditores experientes. O programa de
contratao ter inicio em 1 de maro. Sabe-se tambm que o
mercado de trabalho para os auditores est muito instvel, de forma
que 10% de fora de trabalho desses profissionais experientes deixa o
banco a cada ms em busca de melhores salrios.
143FERNANDO MORI - USJT
Um auditor experiente recebe do banco cerca de R$2.000,00 por ms
enquanto o auditor em treinamento s recebe uma ajuda de custo de
R$150,00. Quando o nmero de auditores excede as necessidades, a
carga de trabalho reduzida, mas no so feitas demisses devido
ao elevado custo do processo de acordo na justia. Quando isso
acontece, novos auditores no so contratados e a evaso normal
equilibra a fora de trabalho.
Formular o problema objetivando minimizar os custos de operao do
sistema de auditoria.
144FERNANDO MORI - USJT
Fase 2: Utilizando o processo de terceirizao
Paralelamente ao sistema de contratao formal para auditores existe
a possibilidade de obter-se a mo-de-obra para as auditorias via uma
empresa de terceirizao: a Burocrticos ao seu Dispor. Essa
organizao oferece auditores experientes (possivelmente evadidos
do sistema normal) e licenciados pela Cmara dos Auditores
Juramentados. Esse profissional custa R$2.500,00 ao ms e pode ser
includo e retirado da folha a qualquer ms sem qualquer custo de
admisso ou demisso. A Burocrticos s exige a garantia mnima
de um ms de trabalho para o profissional e que ele no trabalhe em
treinamentos, at porque a empresa promove o curso para licenciar
auditores juramentados como um servio adicional.
145FERNANDO MORI - USJT
Reformular o problema levando em conta essa
nova possibilidade.
Desafio:
Reformule o problema para o caso em que a
empresa Burocrticos passe a exigir uma garantia
mnima de trs meses de emprego para seus
auditores e uma indenizao proporcional a K
vezes o nmero de meses trabalhado alm desses
trs meses.
146FERNANDO MORI - USJT
60)O Problema do Incndio Florestal Ataque Massivo
Uma reserva florestal est em chamas e o governo planeja uma
operao fulminante de combate ao fogo para amanh. O incndio
de pequenas propores e est se propagando lentamente, devendo
ser extinto em cerca de trs horas de operao logo aps o amanhecer.
Esto sendo mobilizados avies e helicpteros especializados nesse
tipo de operaes. As caractersticas dos aparelhos constam da Tabela
abaixo:
Aparelho
Eficincia no
Incndio
(m2 / hora)
Custo (R$/
hora)Necessidade em Pessoal
Helicptero AH-1 15.000 2.000 2 Pilotos
Avio Tanque 40.000 4.000 2 Pilotos 1 Operador
Avio B67 85.000 10.000 2 Pilotos 3 Operadores
147FERNANDO MORI - USJT
A rea de floresta a ser coberta pelo combate ao fogo de
3.000.000 m2 , envolvendo a frente de fogo (para
paralisao do avano do dano), reas j queimadas que
necessitam de rescaldo (para proteo de animais e
segurana contra recrudescimento) e reas de acero
(proteo preventiva indispensvel) . Nas bases de apoio
so disponveis 14 pilotos de avio e 10 de helicpteros,
bem como 22 operadores especializados em combate
areo de fogo.
Formular o problema de programao matemtica que
minimize os custos da operao.
148FERNANDO MORI - USJT
61) O Problema do Sistema de Defesa Antiarea
Fase 1: Alocao arma x alvo
Um determinado conjunto de armas antiarea est
distribudo de forma a defender uma cidade de um ataque.
So n plataformas de msseis. Sabe-se que dij a
distncia entre a plataforma da arma i e a ameaa j (avio
inimigo ou mssil), que o alcance mximo dos msseis de
ri que o custo de cada tiro sobre uma ameaa j de cij e o
valor da neutralizao da ameaa vj . Em cada ataque, o
sistema de defesa deve selecionar, dentre m ameaas,
apenas k possveis alvos.
Elaborar o modelo matemtico de alocao arma x alvo
que minimiza o custo da defesa.
149FERNANDO MORI - USJT
Fase 2: Considerao da eficcia
Sabe-se que a cada alocao arma x alvo devam
ser disparados pij msseis para que o alvo seja
neutralizado. Sabendo-se que existem mij msseis
disponveis em cada plataforma, reformular o
problema de minimizar o custo da defesa.
150FERNANDO MORI - USJT
62) O Problema dos Anncios na Rede de TV
Uma rede de televiso resolveu estabelecer preos
compatveis para o tempo de comercial em certos horrios.
Existem trs horrios para a propaganda em promoo na
rede: horrio nobre noturno (horrio 1), horrio da tarde em
fins de semana (horrio 2), horrio da tarde em dias da
semana (horrio 3). O preo de um mdulo mnimo de
propaganda em cada horrio p1, p2 e p3, respectivamente.
A rede vende grandes espaos de tempo dentro da
programao, denominados pacotes promocionais. Os
anunciantes desejam entrar no programa de pacotes de
propaganda promocional porque podem obter , com isso,
melhores preos unitrios.Um pacote representa um
esquema de desconto baseado em economia de escala.151FERNANDO MORI - USJT
Existem 3 faixas de preos sendo praticadas nos pacotes.
A faixa 1, ou de desconto zero, a faixa 2, em que o desconto
de 10 unidades monetrias e a faixa 3, com desconto de
30 unidades monetrias. A tabela que segue resume as
regras de programao:
Descontos Somatrio de tempoValor do desconto
(em unidades monetria)
Faixa 1 Sem exigncia 0
Faixa 2Comprar, no mnimo,
f unidades de tempo10
Faixa 3Comprar, no mnimo,
g unidades de tempo30
152FERNANDO MORI - USJT
Os anunciantes que competem na disputa do uso
da mdia so n e dispem, cada um deles, de snunidades monetrias para investir em
propaganda.
Os anunciantes, reunidos em uma associao,
desejam estabelecer a melhor estratgia de
negociao com a rede, objetivando maximizar,
dentro das disponibilidades oramentrias de cada
cliente, o tempo global de utilizao da mdia.
Formular o modelo que maximiza o ganho dos
anunciantes.
153FERNANDO MORI - USJT
7. Problemas Gerais
FERNANDO MORI - USJT 154
63. A PSC Ltda. uma empresa no ramo de produo deacessrios para computador. O diretor Paul Lepore
recebeu uma encomenda de 5.000 drives de disquetes,4.500 HDs de 16Gb, 1.000 unidades de CD-ROM e 3.500
gravadores de CD-ROM(CD-RW). Esta entrega deve ser
cumprida em um prazo de 12 dias teis, e a PSC nopossui nenhum produto em estoque. A tabela abaixo
resume requisitos de tempo e de alguns produtos comuns
para a confeco dos equipamentos:
Produto
Drive HD CD-
ROM
CD-RW
Rotor 1 1 1 1
Cabea de leitura 1 6 1 1
Cabea de gravao 1 6 - 1
Gabinete de unidade (padro) 1 1 1 1
Horas de montagem 0,8 1,1 2 2,5
Horas de ajuste/regulagem 0,2 0,5 0,9 2155FERNANDO MORI - USJT
A PSC possui um estoque das seguintes matrias-primas: 13.000 rotores, 40.000 cabeas de leitura, 35.000
cabeas de gravao e 15.000 gabinetes-padro. No
possvel comprar mais matria prima. O processo de
montagem e regulagem do equipamento feito
manualmente, empregando um funcionrio cada. A PSCpossui 190 funcionrios capacitados para a montagem
dos equipamentos e 115 funcionrios capacitados para a
regulagem. Considere que cada funcionrio tem uma
jornada de 8 horas dirias.
Se a PSC preferir, possvel comprar os produtos
prontos em uma outra empresa, que possui material
suficiente em estoque. A empresa s no produz as
unidades de HD desejadas. A tabela a seguir resume os
custos de produo e o preo de venda dos produtos por
esta empresa (em reais):
156FERNANDO MORI - USJT
Determine um problema de programao linear que
minimize o custo da PSC, de maneira a atender ao
pedido no tempo previsto (resolva atravs do Solver).
Produto
Drive HD CD-
ROM
CD-RW
Custo de Produo 15,00 200,00 40,00 400,00
Preo para compra 17,00 - 45,00 550,00
157FERNANDO MORI - USJT
64. Um determinado cliente procurou uma Corretora de
Valores com o objetivo de investir em aes. O gerente
de atendimento, aps receber o cliente, o entrevista para
identificar o seu perfil de risco e apresenta as opes de
investimento.No final da entrevista fica