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Conceitos Fundamentais – Aula 1

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~A

^

~e

~~. BA

~~BA

B

~

u

~. A

~ARotacional de um campo vectorial

Vector

Versor

Produto interno

Produto externo

Tensor

Nabla

Gradiente de um campo escalar

Divergência de um campo vectorial

Notação

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Leis do electromagnetismo regidas pelas equações de Maxwell.

Eqs. Maxwell baseadas em trabalhos de Faraday, Gauss, Ampére, etc. (sec. XIX).

Força de Lorentz:

~~~~BvEqF

Campos vectoriais (campo eléctrico) e (indução magnética) grandezas fundamentais de

campo electromagnético. Podem ser determinadas por experimentação.

Campos vectoriais auxiliares: deslocamento eléctrico , campo magnetico

~E ~

B

~D

~H

~~~~

1EDBH o

o

Em espaço livre:

Permeabilidade magnética , permitividade 17104 mHo 19103/1 mFo

Eqs de Maxwell

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A circulação de ao longo do contorno fechado Гf = - variação temporal do fluxo da

indução magnetica através de A. ~E

A

dsBt

dlEf ~~~~

..

^

~

^

~~

ndSdS

tdldl

A

^

~n

^

~t

f

Lei de Faraday

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Circulação (integral de linha) de um campo vectorial ao longo de uma linha fechada

Гf = fluxo do rotacional de através de A. ~U

~U

f

AdsUdlU~~~~

..

t

BE

~

~~

Um campo vectorial fica completamente definido quando forem conhecidos e

em todos os pontos do espaço.~U

~.U

Teorema de Helmholtz (cálculo vectorial)

Teorema de Stokes (cálculo vectorial)

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O fluxo total de que sai dum volume V limitado por Sf é igual à carga eléctrica total

contida nesse volume.~D

dvqdsD V

Sf~~

.

~

.D

Sf V dvUdSU~~~~

..

Lei de Gauss

Teorema da divergência (cálculo vectorial)

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A fonte que cria a circulação (ou rotacional) do campo magnético é ~J

f AdsJdlH~~~

..

•

t

D

~ Grande contribuição de Maxwell: adicionar o termo

• Eqs. compatíveis com o principio da conservação da carga e permitiu prever a

propagação de ondas electromagnéticas (~20 anos antes de Hertz ter verificado as

previsões teóricas).

Campo magnético

Lei de Ampére

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Termo t

D

~

A SdsJds

t

DdlH

f ~~~

~

~~...

t

DJH

~

~~

Teorema de Stokes do cálculo vectorial

fS

dsB 0.~~

~H Divergência de

Não foram encontrados até agora cargas magnéticas

0.~

B

Teorema da divergência

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0.~

t

J

Teorema da divergência

t

D

~ Termo

Sf

dVt

dsJ ~~

.

traduz um fluxo de cargas eléctricas livres.

Como a carga se conserva

~J

Eq. da continuidade

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~I

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oB

D

t

BE

t

DJH

~

~

~

~

~

~~

.

.

Sabendo e tem-se 12 incógnitas e 8 eqs.

Eqs. adicionais resultam das relações entre campos impostas pelas características do meio,

relações Constitutivas.

~J

Eqs. de Maxwell

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Relações constitutivas

• A resposta do meio a um estímulo electromagnético depende das suas

características.

Propriedades dos meios

• Homogéneos

• Lineares

• Isótropos

• Anisotropos

• Temporalmente dispersivos

• Espacialmente dispersivos

• Meios simples: com comportamento linear, isótropos e sem dispersão

espacial.

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Comportamento dieléctrico

Campo eléctrico cria momento dipolar eléctrico.

- vector polarização eléctrica

Efeitos da polarização equivalentes aos produzidos por

~~0

~PED

~P

~.Pp

Comportamento dieléctrico e magnético

Regimes estacionários

Resposta do meio a um campo electromagnético estático e uniforme é descrita em termos

de momentos dipolares induzidos eléctricos e magnéticos.

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Polarização

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Materiais não ferromagnéticos: Quando se aplica são induzidas pequenas correntes

microscópicas que se opõem nos seus efeitos magnéticos às variações do campo aplicado.

Comportamento diamagnético, momentos magnéticos em oposição ao campo magnético.

Comportamento paramagnético, há a possibilidade de alinhar os momentos magnéticos

atómicos individuais e o campo magnético intensifica-se.

Materiais ferromagnéticos: os momentos magnéticos induzidos são muito mais intensos

do que nos materiais com comportamento magnético ordinário.

~B

Magnetização

Correntes microscópicas induzidas (Amperianas). magnetização - momento dipolar

magnético por unidade de volume.

A densidade de corrente associada às correntes microscópicas é dada por e tem-

se

~M

~Mx

)(~~

0~

MHB

Comportamento magnético

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Magnetização

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Descrição dos comportamentos dieléctrico e magnético

Em termos de momentos dipolares induzidos só é rigorosamente válida no caso dos campos

estáticos uniformes (separação completa de efeitos eléctricos e magnéticos).

Regimes variáveis no tempo

Meios isotrópicos simples sem dispersão espacial relações entre e e entre e

descritas cada uma por uma convolução temporal.

No domínio da frequência significa um relacionamento multiplicativo entre as transformadas de

Fourier de e e de e

.

)(~tD )(

~tE )(

~tB

)(~tH

)(~tD )(

~tE )(

~tB )(

~tH

)(*)()(

)(*)()(

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~~

~~

~~~

tEttJ

tHttB

tEtdttEtttD

)(.)()(

)(.)()(

~~

~~

HB

ED

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Equações de Maxwell em Meios Materiais

Num meio dieléctrico simples, para além da carga livre existe

também carga de polarização p, que tem origem nos dipolos

eléctricos induzidos provocados pelo campo eléctrico aplicado

(separação de cargas negativas e positivas).

Recorrendo ao vector de polarização constituído pela densidade

volúmica do momento dos dipolos eléctricos induzidos no meio.

A introdução de tem a vantagem de invocar apenas a

densidade de carga livre.

GaussdeLeiE.o

p

~

~. Pp

~

. D~D

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t

E

t

PMJB

o o

~~

~~~

1

• O rotacional da indução magnética (circulação ao longo de qualquer caminho fechado) é

determinado pela densidade de corrente total.

Corrente livre

Corrente Amperiana

Corrente de polarização

Corrente deslocamento de vácuo

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A introdução dos campos e facilita a escrita das equações de Maxwell mas torna

necessário arranjar um modelo para descrever os meios.~D

~H

~

~

~~

D

t

DJH