ENSINO MÉDIOMATEMÁTICA 1º ANO PROF. EMERSON MARÃO

PROF. LEANDRO ANJOS

PLANO DIDÁTICO PEDAGÓGICO

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Unidade IIISequências

CONTEÚDOS E HABILIDADES

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Aula 15.1ConteúdosSequências - Progressão Geométrica, Progressão Aritmética Termo geral de uma P.G.

CONTEÚDOS E HABILIDADES

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HabilidadeCalcular o termo geral de uma sequência numérica.

REVISÃO

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A resolução de itens envolvendo P.A. e a soma dos termos de uma P.A. finita depende em dominar a utilização dessas duas expressões:

Termo Geralan = a1 + (n – 1)⋅r

Soma dos termos de um P.A. finitaSn = (a1 + an)⋅n

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REVISÃO

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ExemploQual é a soma dos 30 termos iniciais da progressão aritmética (2, 9, 16, …)?

a) 205b) 3105c) 6210d) 207e) 203

REVISÃO

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Resolução

Para usar essa fórmula é necessário descobrir apenas o valor do trigésimo termo dessa PA. Isso pode ser feito pela fórmula do termo geral a seguir:

Sn = (a1 + an)⋅n2

REVISÃO

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Resoluçãoan = a1 + (n – 1) ra30 = 2 + (30 – 1) 7a30 = 2 + (29) 7a30 = 2 + 203 = 205

REVISÃO

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ResoluçãoSubstituindo os dados na expressão que soma os termos de uma PA, teremos:Sn = (a1 + an)⋅n

2Sn = (2+205)⋅30

Sn = (207)⋅30

Sn = 207⋅15 = 3105

Assim, a soma dos 30 primeiros termos da PA

é 3105.2

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DESAFIO DO DIA

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Suponha que você possua R$ 0,10 e conseguisse dobrar esse valor a cada dia que passa. No 15º dia você teria quanto?

AULA

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Sequência - Progressão Geométrica, Progressão Aritmética e Termos de uma PGProgressão Geométrica (PG): Definição: Corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

AULA

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Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:

PG: (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...)

AULA

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No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:

AULA

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Fórmula do Termo GeralPara encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:

an = a1⋅q(n-1)

Onde:an: número que queremos obtera1: o primeiro número da sequênciaq(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

AULA

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Exemplo 1Determine o 5º (quinto) termo de uma P.G. sabendo que a1=3 e q=4.Para isso vamos utilizar a fórmula geral. Veja!

AULA

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De acordo com o enunciado, temos que:a1=3, q=4 e n=5

Assim:a5 = 3⋅4(5–1)

a5 = 3⋅44

a5 = 3⋅256a5 = 768

AULA

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Exemplo 2(Vunesp – SP – Adaptado)Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha.

AULA

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Exemplo 2Por exemplo:

Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.

1ª pilha 2ª pilha 3ª pilha 4ª pilhaUma tábua Duas tábuas Quatro

tábuas Oito tábuas

AULA

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Resolução:As tábuas são empilhadas de acordo com uma progressão geométrica de razão 2. Então:an = a1 . q

n–1

a12 = 1 . 212–1

a12 = 1 . 211

a12 = 1 . 2048a12 = 2048Resposta: Na 12ª pilha teremos 2048 tábuas.

AULA

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Considere esta sequência de figuras:

Na figura 1, há 1 triângulo. Na figura 2, o número de triângulos menores é 4. Na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e assim por diante. Prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos triângulos menores na figura 7?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

AULA

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Resolução:Pela natureza desta sequência, temos uma Progressão Geométrica, onde:

a1 = 1q = 4

AULA

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Resolução:O item solicita a quantidade de triângulos na 7ª figura, logo devemos calcular a7.an = a1⋅qn - 1

a7 = 1⋅47 - 1

a7 = 1⋅46

a7 = 1⋅4096a7 = 4096

AULA

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Exemplo 4Quantos termos tem a PG (1, 3, 9, ..., 243)?

Resolução:Pela P.G., temos que:a1 = 1q = 9 ÷ 3 = 3an = 243n =?

AULA

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Aplicando a fórmula do termo geral, vem:an = a1⋅qn - 1

243 = 1 . 3n - 1

35 = 1 . 3n - 1

35 = 3n - 1

5 = n - 1n - 1 = 5n = 5 + 1 = 6Resposta: a P.G. possui 6 termos.

DINÂMICA LOCAL INTERATIVA

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1. Qual é o 11º termo da P.G.(5, 10, 20, ...)?

2. Quantos termos possui a P.G. (3, 6, 12, ...1536)?