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Características Estáticas e Dinâmicas
Características estáticas
Um sistema de medição, devido aos seus diversoselementos, sempre apresenta incertezas nos valoresmedidos.
Todo sistema de medição está sujeito a incertezas(erros de medição), o que torna um sistema melhor em(erros de medição), o que torna um sistema melhor emrelação ao outro é a diminuição deste erros a níveis quesejam aceitáveis para a aplicação.
Alta PrecisãoBaixa Exatidão
Baixa PrecisãoAlta Exatidão
Alta PrecisãoAlta Exatidão
Precisão - A precisão de um sistema de mediçãorepresenta o quanto as leituras fornecidas por ele seaproximam do valor médio de uma amostra. O desvio padrão(erro aleatório) expressa numericamente a precisão de umsistema de medidas.
Exatidão - A exatidão de um sistema expressa oquanto as leituras fornecidas por ele se aproximam do valor
A incerteza de um sistema de medição é a combinaçãoda precisão com a exatidão deste sistema.
quanto as leituras fornecidas por ele se aproximam do valorreal que está sendo medido. O desvio sistemático (bias)expressa numericamente a exatidão de um sistema demedidas.
Tolerância - O termo tolerância indica o erro máximodo sistema de medição
Repetibilidade - Este termo é utilizado para expressara capacidade de um sistema de medição em indicar a mesmasaída para uma série de aplicações do mesmo sinal deentrada, sendo os intervalos de tempo entre as aplicaçõesrelativamente pequenos.relativamente pequenos.
Estabilidade - É a capacidade do sistema em indicar amesma saída para uma série de aplicações do mesmo sinalde entrada, quando os intervalos de tempo entre asaplicações forem longos.
2.1.1 - Calibração e padrões de medidas
Todo instrumento de medição e conseqüentemente todosistema de medição deve ser calibrado ou aferido para queforneça medidas corretas.
A calibração é o processo de verificação de um sistemade medição contra um padrão que pode ser primário oude medição contra um padrão que pode ser primário ousecundário.
O padrão primário é definido por entidadesespecializadas, renomados institutos de pesquisa ouentidades governamentais especificas de cada país.
Dificilmente se faz na prática a calibração pelopadrão primário.
INMETROwww.inmetro.gov.br
IPEM www.ipem.pr.gov.br
O padrão secundário é um instrumento que temprecisão maior que a do sistema que está sendo calibrado.
Os instrumentos que constituem padrão
Os padrões secundários são calibrados a partir dosprimários com suas devidas certificações feitas pelosinstitutos responsáveis.
Os instrumentos que constituem padrãosecundário devem ser constantemente verificados, poisdevido ao uso e às eventuais condições ambientais nãoadequadas, alteram-se as suas características(parâmetros de funcionamento).
Existem algumas razões pelas quais um sistema demedição em uso pode não corresponder à sua calibração.
A maior parte dos sistemas de medição é sensível atemperatura, e a calibração geralmente é feita apenas para
Primeiramente, o sistema pode estar sendo utilizadosob condições diferentes daquelas em que o instrumento foicalibrado.
temperatura, e a calibração geralmente é feita apenas parauma temperatura especificada.
Outras condições do meio ambiente também podemafetar um instrumento, por exemplo, são afetados pormudanças na pressão atmosférica, e outros pela umidaderelativa.
Estatística aplicada em medições
A - Cálculo de incerteza de grandezas com várias medidas :
DUDD
A.1 - Valor médio das medidas e desvio padrão da amostra:
N
X
X
N
1i
i
1N
)XX(N
1i
2i
X
A.2 - Valor da medida e sua incerteza :
DDD B.3U
Exemplo : Medição do diâmetro de uma barra circular :
São efetuadas n medidas em diâmetros diferentes, i=1até n , e indica-se :
DUDD
onde:
DB : Erro sistemático (bias) do instrumento, obtido com calibração comparada a um padrão rastreável
onde:
3 : Parâmetro “t” de Student para 99,7% de confiabilidade.
B - Cálculo da incerteza de grandezas com uma medida :
Utilizando um instrumento que seja confiável ou quetenha sido aferido contra algum tipo de padrão com menordivisão da ordem de 10% do valor da menor divisão doinstrumento, podemos adotar:
1UX Menor divisão do instrumento Incerteza :
2UX Menor divisão do instrumento Incerteza :
3
UXX Desvio padrão : considerando BX = 0
C - Cálculo da incerteza de grandezas dependentes:
r = f ( G1, G2, ..., Gm ) = Grandeza dependente
Gi = Desvio-padrão das grandezas independentes
r = Desvio-padrão da grandeza dependente
G1, G2, ..., Gm = Grandezas independentes
2
Gm
2
G2
2
G1
m
1i
2
Gi
r mi21i.
G
r...
G
r.
G
r.
G
r
Exemplo 1: Área em função do diâmetro
UA = ? com D e D conhecidos [m]
2
Gm
2
G2
2
G1
m
1i
2
Gi
r mi21i.
G
r...
G
r.
G
r.
G
r
4
D2A = f (D) =
2
DA .D
A
D.2
ADA
UA = 3.A (BA=0)
DA .2
D
D.A.2.
D
2.
4
D DD
2
A
Exemplo 2: Resistência como função da tensão e da corrente
22
.R
.R
UR = ? V,I,V e I = conhecidos
2
Gm
2
G2
2
G1
m
1i
2
Gi
r mi21i.
G
r...
G
r.
G
r.
G
r
22
.V
.1
R = f (V,I) = V/I =>
IVR .I
R.
V
R
UR = 3.R (BR=0)
I2VR .I
V.
I
1
2
I2
2
VR .
I
V.
I
1
R
1
R
2
I
2
VR
IVR
Exemplo 3: Medição de comprimento com uma régua ou trena
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
UL =?L = f (Li,Lf) = Lf - Li => Lf , Li , L-f , L-i = conhecidos
LfLi
2
iL
i
2
fL
f
L .L
L.
L
L
2
Gm
2
G2
2
G1
m
1i
2
Gi
r mi21i.
G
r...
G
r.
G
r.
G
r
2iL
2
fLL .1.1
2
iL
2
fLL
]mm...[166,03
5,0iLfL ]mm..[236,0L
]mm..[707,03U LL
D - Ajuste de curvas - Método dos mínimos quadrados
Devido a simplicidade dos cálculos e a extensaaplicabilidade em ajustes de curvas em pontos (regressãonumérica), o método dos mínimos quadrados é largamenteutilizado na calibração estática de sistemas de medição.
Pode-se utilizar este método para vários tipos decurvas (funções), e aqui apresenta-se uma aplicação paramedidor de vazão tangencial, calibrado através do métodogravimétrico.
Equacionamento:
xy
y
A
B
xx
xn2
22 )x(xn
yxxynA
n
xAyB
QP Qi
l/s l/s
0,09 0,09
0,20 0,20
0,31 0,30
0,39 0,40
0,48 0,50
0,57 0,60
0,65 0,70
Qi
QP
0,65 0,70
0,74 0,80
0,84 0,91
0,93 1,00
Q = 0,902 . Qi + 0,0232
Qi = 1,105 . QP - 0,0246
Características dinâmicas
Função de transferência
O estudo de características de instrumentos é uma dasaplicações de uma área do conhecimento mais geral,denominada dinâmica de sistemas.
O modelo matemático mais simples e aplicado à esteestudo é o que faz uso equações diferenciais linearesordinárias, cuja solução é obtida através de transformadas deLaplace.
Seja um sistema de medição representado (em geralpara todos os sistemas analógicos isto é possivel) por umaúnica equação diferencial linear do tipo:
)t(ebdt
)t(deb...
dt
)t(edb
dt
)t(edb)t(ca
dt
)t(dca...
dt
)t(cda
dt
)t(cda 011m
1m
1mm
m
m011n
1n
1nn
n
n
onde c(t) é a quantidade de saída (sinal de saída) e e(t) éa quantidade de entrada (grandeza a ser medida), e osa quantidade de entrada (grandeza a ser medida), e oscoeficientes ai (i = 0 a n) e bj (j=0 a m) são constantes.
A transformada de Laplace para a equaçãoanterior, considerando condições iniciais nulas, é:
)s(E).bs.b...s.bs.b()s(C).as.a...s.as.a( 011m
1mm
m011n
1nn
n
Portanto, a função de transferência para o sistema de medição será:
)t(ebdt
)t(deb...
dt
)t(edb
dt
)t(edb)t(ca
dt
)t(dca...
dt
)t(cda
dt
)t(cda 011m
1m
1mm
m
m011n
1n
1nn
n
n
de medição será:
Esta função de transferência geral permite a análisedinâmica de qualquer sistema de medição linear, porémalguns sistemas mais simples, de grande aplicação práticasão destacados nos itens posteriores.
)as.a...s.as.a(
)bs.b...s.bs.b(
)s(E
)s(C
011n
1nn
n
011m
1mm
m
Função de transferência senoidal
Na análise dinâmica de sistemas de medição utiliza-seentradas padrões (equivalentes a variação da grandeza a sermedida), sendo que a entrada senoidal é uma de grandeimportância.
Este tipo de entrada permite a avaliação da respostaEste tipo de entrada permite a avaliação da respostados instrumentos quanto a ruídos, perturbações oscilatórias, equanto ao desempenho na medição de grandezas variáveisno tempo, em altas e baixas frequências.
O método apresentado pode também ser utilizado paraanálise de condicionadores de sinais.
A função de transferência senoidal de um sistemade medição é obtida substituindo a variável complexa s dafunção de transferência do sistema por j :
)aj.a...j.aj.a(
)bj.b...j.bj.b(
)j(E
)j(C
011n
1nn
n
011m
1mm
m
Para qualquer - frequência de entrada, equação acimaPara qualquer - frequência de entrada, equação acimafornecerá um número complexo, que poderá ser expresso naforma polar M .
Pode-se demonstrar que o módulo M do número
complexo é relação entre amplitudes da saída e da
entrada, C0 / E0 , enquanto que o ângulo é o ângulo de
atraso (ou avanço) entre saída e entrada, em regime
estacionário.
Im
Re
E
e
E.cose
E.sene
Im
ReC
E
Instrumento de ordem zero
onde K é chamado de sensibilidade estática (ou ganho estático). Observa-se
)t(eK)t(couKa
b
)t(e
)t(cou)t(eb)t(ca
0
000
Quando todos os coeficientes ai e bj , exceto a0 eb0, da equação geral são iguais a zero o instrumento échamado de instrumento de ordem zero:
onde K é chamado de sensibilidade estática (ou ganho estático). Observa-seque não haverá nem atraso nem distorção na medição da grandeza e(t) pelomedidor de ordem zero, representando um instrumento ideal ou perfeitoquanto ao desempenho dinâmico..
Pode-se modelar matematicamente um potenciômetro como uminstrumento de ordem zero, assim como alguns outros medidores, porémsempre existirá efeitos secundários modificando a característica doinstrumento, que devem ser considerados em conformidade com a aplicação.
Instrumento de primeira ordem
Um instrumento de primeira ordem segue a seguinte equação:
)t(eK)t(cdt
)t(dcou)t(e
a
b)t(c
dt
)t(dc
a
aou)t(eb)t(ca
dt
)t(dca
0
0
0
1001
Utilizando a transformada de Laplace, obtém-se:
1s.
K
)s(E
)s(C
onde K é chamado de sensibilidade estática, e é a constante de tempodo instrumento.
Um termômetro de bulbo é um exemplo de um instrumento deprimeira ordem, assim como qualquer medidor de temperatura quenecessite alterar a temperatura de uma massa (de um sensor) pararealizar a medição.
Exemplo: Termômetro de bulbo
x(t) Tm(t)T(t) = e(t) = Sinal de entrada (temperatura do meio)
x(t) = c(t) = Sinal de saída ("nível" de mercúrio)
)t(T.A
VK)t(x b
S
bex
K = diferença do coeficiente de expansão térmica
)t(T.K)t(x b
T(t)Tb(t)
Kex = diferença do coeficiente de expansão térmica entre mercúrio e o vidro [1/oC]
Vb = volume do bulbo [m3]
As = área seccional do capilar [m2]
oC
m
S
bex
A
VKK
)]t(T)t(T[UAdt
)t(dTCV bb
bb r
Ab = área de contato do bulbo [m2]
U = coeficiente global de transferência de calor [W/m2K]
Vb r = massa de mercúrio no bulbo [kg]
C = calor específico do mercúrio [J/kgK]
)t(dT )t(dT
]s[b
b
UA
CV r
)t(T)t(Tdt
)t(dTb
b )t(T)t(Tdt
)t(dTb
b
)t(T.K)t(xdt
)t(dx Laplace: )s(KT)s(X).1s(
1s
K
)s(T
)s(X
Montagem da Escala do Termômetro
TxK
1Tm
A) Resposta a função degrau
A transformada de Laplace da função degrau é
E(s)=E0/s, portanto, a medição do instrumento será, para
A função degrau representa um aumento (ou
diminuição) brusca da grandeza a ser medida (sinal de
entrada) pelo instrumento, e(t) = E0.1(t), que, após a variação
inicial permanece constante.
/t
0
/t0
0 e1K.E
)t(cou)e1.(K.E)t(cou
1s.
K.
s
E)s(C
E(s)=E0/s, portanto, a medição do instrumento será, para
condições iniciais nulas :
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
K.E
)t(c
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
/t
Define-se o erro de medida dinâmica, neste caso, como sendo:
K
)t(cEe 0m
t
K.E
)t(c
0 0
m
E
e
0
m
E
e (%)
0 0,000 1,000100,0
1 0,632 0,36836,8
13,5
/t
0
m eE
e)e1(EE /t
00
2 0,865 0,13513,5
3 0,950 0,0505,0
4 0,982 0,0181,8
5 0,993 0,0070,7
10 0,99995 0,000050,005
Ou, em outra condição, o tempo de espera para umamedição com precisão melhor do que 5% é de três vezes aconstante de tempo ou mais.
A tabela mostra que para obter uma medida com 0,7%de precisão de um instrumento de primeira ordem deve-se“aguardar” cinco vezes o valor da constante de tempo (apósa variação da grandeza a ser medida).
constante de tempo ou mais.
B) Resposta em frequência
1)j.(
K
)j(E
)j(C
1j.
1j..
1j.
K
)j(E
)j(C
1)1(
1j.K
)j(E
)j(C2
j1
K
1
K
1
j1K
)j(E
)j(C222
2
2
2
2
2
1
K
1
KM
1
1K
1
1.KM
2
2
22
222
0
01
2 E
C])(tan[
1)(
K
1)j.(
K
)j(E
)j(C
1)(
1
E.K
C
20
0
2211 11
1)(
1
E.K
C
20
0
)(tan 1
20
40
60
80
100
(%)E.K
CM
0
0
-80
-60
-40
-20
0
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Exemplo: Determine a resposta em freqüência de um instrumento de primeira ordem com constante de tempo igual a 0,2 s e sensibilidade estática igual a 1, quando sujeito a uma entrada do tipo E(t) = sen(2t) + 0,3 sen(20t).
A resposta em freqüência do instrumento será a soma das respostas aos sinais de entrada (princípio da superposição de sistemas lineares) :
2020221j.
K
)j(E
)j(Ce
1j.
K
)j(E
)j(C
])2,0x2(tan[1)2,0x2(
1
)j(E
)j(C 1
22
)9,75(242,0)j(E
)j(Ce)8,21(928,0
)j(E
)j(C
202
])2,0x20(tan[1)2,0x20(
1
)j(E
)j(C 1
220
202
)9,75t20(sen242,0)3,0()8,21t2(sen928,0)1()t(C
(em regime permanente)
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
0 2 4 6 8 10
Instrumento de segunda ordem
)t(ea
b)t(c
dt
)t(dc
a
a
dt
)t(cd
a
aou)t(eb)t(ca
dt
)t(dca
dt
)t(cda
0
0
0
1
2
2
0
20012
2
2
0
0
a
bK = sensibilidade estática
2
0n
a
a = freqüência natural, rd/s
20
1
aa2
a = coeficiente de amortecimento
)t(e.K)t(cdt
)t(dc2
dt
)t(cd1
n2
2
2n
A transformada de Laplace da equação acima é:
)s(E.K)s(C)s(C.s2
)s(C.s1
n
2
2n
Re-arranjando a equação:
2nn
2
2n
s.2sK
)s(E
)s(C
)s(E.K)s(C.)s2s(
2n
2nn
2
Obtemos a função de transferência :
0
f(t)
x(t)
Exemplo: Balança de mola(ou dinamômetro)
M Massa do prato e da haste
)t(x.Kdt
)t(dxB)t(f
dt
)t(xdM MA2
2
O
)t(Fdt
)t(xdM)t(aM res2
2
OO
)t(f)t(x.Kdt
)t(dxB
dt
)t(xdM MA2
2
O
OM
AB
MK
Massa do prato e da haste
Coeficiente de atrito entre haste e parte fixa
Constante da mola
)t(f)t(x.Kdt
)t(dxB
dt
)t(xdM MA2
2
O
A transformada de Laplace da equação acima é:
)s(F)s(XK)s(X.sB)s(X.sM MA2
O
Re-arranjando a equação:
MA2
O KsBsM
1
)s(F
)s(X
2
nn2
2n
s.2sK
)s(E
)s(C
= sensibilidade estática
= freqüência natural, rd/s
= coeficiente de amortecimento
MK
1K
O
Mn
M
K
OM
A
MK2
B
MAO KsBsM)s(F nn s.2s)s(E
A) Resposta a função degrau
1
1.5
2
)t(f.K
)t(x
=0,8
=0,4
=0,2
=0
=0,1
0
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
nt
=2,0
=1,0
B) Resposta em freqüência
A função de transferência senoidal para instrumentode segunda ordem será:
2nn
2
2n
)j.(..2)j()j(E.K
)j(C
//
2tan
)/(4)/(1
1
)j(E.K
)j(C
nn
1
2n
222n
3
3.5
40
0
E.K
C
=10-6
=0,1
Relação entre amplitude de saída (dividida pelasensibilidade estática) e entrada em função da relaçãofrequência de entrada e frequência natural:
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
/n
=2,0 =1,0
=0,8
=0,6
=0,4
=0,2
=0,1
-60
-30
0
=2,0
=1,0
=0,8
=0,6 =0,4
=0,2=10-6
=0,1
ângulo de fase entre entrada e saída em função darelação frequência de entrada e frequência natural:
-180
-150
-120
-90
0 0.5 1 1.5 2 2.5
/n
Os gráficos anteriores mostram que o instrumentode segunda ordem tem comportamento semelhante ao deprimeira ordem para coeficientes de amortecimento maiorou igual a 1.
Esta semelhança deixa de existir para valoresmenores que 1, fazendo com que o instrumento tenha umaresposta em ressonância M (módulo da relação saída /entrada) quando para 0 .entrada) quando n para 0 .
Quando o instrumento tem pouco amortecimento equando a freqüência da grandeza a ser medida seaproxima da freqüência natural do instrumento, existiráressonância.