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EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Capítulo 7 - Aula #15
Análise Dimensional:
Teorema P Buckinghan
No livro texto veremos as seções 7.2 a 7.6 do
capítulo 7. A seção 7.1 será vista no curso II.
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Aplicação Análise Dimensional
e Semelhança
Os problemas reais são solucionados extraindo-se informações dedados experimentais, simulações numéricas e modelos analíticos.Isto ocorre de forma iterativa entre os modelos físicos e os dadosexperimentais.
Análise Dimensional permite determinar de modo simples e diretoos parâmetros adimensionais que definem o problema a partir de umnúmero mínimo de testes (experimentais ou numéricos).
Conceito introduzido nesta aula: número adimensionais
Conceito utilizado nesta aula: consistência dimensional (aula#1)
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F-18 Boeing F1 Ferrari 98/99Efeito do vento
em construções
Protótipo x Modelo
Quando a realização de um teste experimental em um
protótipo em tamanho real é muito dispendiosa pode-se,
pela semelhança, realizar testes em um modelo de
laboratório com um custo menor e inferir seus resultados
para o protótipo.
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Medidas e Dimensões
Na natureza há ‘coisas’ que são contadas e outras que são medidas.
Por exemplo contamos: n. de moléculas (mols) e número de
revoluções. Elas são adimensionais.
Aquilo que medimos tipicamente possui dimensão:
Distância (L) – metro,
Tempo (T) – segundo,
Massa (M) – kilograma
Temperatura () – Kelvin
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Definições dos padrões, medidas e medidas compostas
• A aula #1 apresentou os padrões de massa, comprimento e tempo.
• As medidas foram definidas na aula #1 como :
Ttt Mmm Lll***
sendo, por exemplo, l* a medida, l um multiplo ou sub-múltiplo do padrão L, no caso o metro! O mesmo se aplica para massa e tempo.
• As medidas compostas vem da combinação das grandezas M, L e T. Por exemplo a velocidade:
1*TLvv
• Bridgman (físico) propõe que qualquer quantidade física x* pode ser
expressa como um produto das dimensões primárias que ela envolve (M, L, T, , C) as duas últimas referem-se a temperatura e carga elétrica.
edcba*CMTLxx
A equação acima é conhecida como equação de Bridgman
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Dimensões de algumas grandezas físicas
K = tensão/taxa def.
Potência Pot M L2 T-3
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Natureza da análise dimensional
Exemplo: Arrasto numa esfera
Arrasto depende de 4 parâmetros: diâ. esfera (D); velocidade (V); densidade (); viscosidade ();
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Determinação da força de arrasto numa esfera
Através de uma série com 10 medidas experimetais determine como
força de arrasto numa esfera varia em função dos parâmetros:
Diâmetro da esfera,
Velocidade da esfera,
Densidade do fluido
Viscosidade do fluido
• A combinação entre as quatro variáveis independents resultará
em: 10x10x10x10 or 104 testes!
• Se este fosse a único modo de conhecer a influência das
variáveis, D, V, e na força de arrasto em esferas seria muito
limitado!
• Mas existe uma outra maneira de se fazer isto…
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Natureza da análise dimensional: arrastonuma esfera
Por meio da análise dimensional é possível agrupar a força de
arrasto e as variáveis independents em dois grupos adimensionais:
• Há somente uma variável adimensional independente (VD/) e outra variável adimensional dependente (F/ V2D2)
• Isto torna fácil montar um experimento para determiner a dependência de uma variável contra outra.
• Também facilita a apresentação de resultados na forma de gráficos!
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Natureza da análise dimensional: arrasto numa esfera
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Teorema dos P de Buckingham
Qualquer relação física entre variáveis dimensionais pode ser
formulada como uma relação entre variáveis adimensionais.
O Teorema dos P diz quantas variáveis adimensionais são
requeridas para um dado conjunto de variáveis dimensionais do
problema.
Antes de introduzir o teorema dos P vamos definir a matriz
dimensional do problema.
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1. Matriz Dimensional do Problema
Ela é formada listando os expoentes (a,b,c,d, etc) das dimensões
primárias (M, L e T) de cada variável. Para o problema do arrasto na
esfera sólida temos:
D U F
M 0 1 1 0 1
L 1 -1 -3 1 1
T 0 -1 0 -1 -2
O propósito da matriz dimensional é checar a independência linear
das variáveis dimensionais em termos das dimensões primárias
escolhidas (M, L, T).
Isto é feito determinando-se o ‘rank’ da matriz.
O ‘rank’ é o determinante de todas possíveis submatrizes
quadradas começando-se pela maior até encontrar uma cujo
determinante é não nulo.
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2. Rank, r da Matriz Dimensional
Se o determinante de todas possíveis sub-matrizes 3x3 for nulo
então verifica-se o determinante de todas possíveis sub-matrizes
2x2.
A ordem da sub-matriz cujo determinante for não-nulo define o
‘rank’ da matriz.
Exemplo do arrasto na esfera sólida, o ‘rank’ é r = 3
D U F
M 0 1 1 0 1
L 1 -1 -3 1 1
T 0 -1 0 -1 -2
D U F
M 0 1 1 0 1
L 1 -1 -3 1 1
T 0 -1 0 -1 -2
ou
Basta achar um determinante 3x3 não nulo que garante
que o rank da matriz é 3.
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3. Teorema dos P’s (1914)
Num problema onde um parâmetro físico dimensional é dependente de outros n-1 parâmetros físicos dimensionais e independentes,
a dependência funcional pode ser expressa por meio de variáveis adimensionais P’s numa forma mais simples que contêm somente n – r variáveis (r é o ‘rank’):
Note que o número de variáveis independentes do problema reduz de n-1 para n-r.
n4321 q,...,q,q,qfq
rn4321 ,...,,,f PPPPP
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4. Formando os P’s
Os parâmetros P’s são formados escolhendo-se uma base de
repetição. A base contém ‘r’ variáveis dimensionais do total de
‘n’ que contenha entre elas as ‘r’ dimensões. Cada grupo P é a
combinação da base com cada uma das outras (n – r) variáveis.
a b c d
1 1 2 3 4
base
a b c d
2 1 2 3 5
base
a b c d
n r 1 2 3 n
base
q q q q (exemplo para r 3)
q q q q
...
q q q q
P
P
P
• As potências a, b, c, d devem ser escolhidas de forma
que cada P seja um adimensional,
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4. Formando a base
O número de variáveis da base é igual ao rank r (usualmente ele
coincide com o número de dimensões do problema)
As ‘r’ variáveis da base não podem ser linearmente dependentes
de forma que a sub-matriz dos seus expoentes dimensionais
tenha determinante não nulo.
Evitar variáveis que possam serem derivadas da outra por uma
produto de potências:
Combinação entre: comprimento, L, velocidade LT-1 e aceleração LT-2 é
linearmente dependente. Pode-se combiná-las de forma que o resultado
seja adimensional!
Combinação entre: comprimento, L, densidade ML-3 e velocidade LT-1 é
linearmente independente e pode formar uma base porque qualquer que
seja o produto entre elas nunca será adimensional!
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Exemplo 1: força de arrasto numa esfera sólida
Passo 1:
Liste todos as variáveis dimensionais que definem o problema
No exemplo da esfera as variáveis são: F, V, D, , , e n = 5
n – é o número de variáveis independentes
Passo 2
Selecione um conjunto de dimensões primárias, por exemplo: MLT ou FLT
No exemplo da esfera escolhas MLT
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Examplo 1 - continuação
Passo 3:
Monte a matriz dimensional
Passo 4:
Determine o rank da matriz, r = 3
Passo 5:
Determine o número de grupos adimensionais a serem formados 5 - 3 = 2
D U F
M 0 1 1 0 1
L 1 -1 -3 1 1
T 0 -1 0 -1 -2
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Step 6:
O determine o número de variáveis da base: 3. Frequentemente ele é igual ao
rank da matriz.
Step 7:
Escolha as 3 variáveis da base de forma que elas sejam dimensionalmente
independents, isto é, não é possível formar um grupo adimensional a partir da
escolha a menos que o expoente seja zero (0)
As variáveis escolhida são(a.Db.Uc)
Observe que para qualquer escolha a, b, c diferente de zero não é capaz de forma
um grupo adimensional, portanto esta é uma base correta.
c
b
a
3 T
LL
L
M
Examplo 1 - continuação
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Passo 8:
Formando os grupos adimensionais, Ps.
Use as variáveis da base e combine com as variáveis que restaram
a b c
1
base
a b c
2
base
D U
D U
FP
P
Examplo 1 - continuação
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Passo 9:
Determine os valores dos expoentes a, b, c e d.
Se os grupos Ps são adimensionais, então os expoentes das dimensões M, L, T devem ser iguais a zero. Portanto a, b, c e d são determinados forçando osexpoentes de M, L e T serem iguais a zero.
2b0cba31onentexpL
2c0c2onentexpT
1a0a1onentexpM
1b0cba31onentexpL
1c0c1onentexpT
1a0a1onentexpM
a b c
1 2 2
base
a c
0 0 0 b
3 2
FD U F
U D
M L MLM L T L
L T T
P
a b c
2
base
a c
0 0 0 b
3
D UU D
M L MM L T L
L T LT
P
Examplo 1 - continuação
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Passo 10:
A relação functional entre a força (coeficiente de arrasto) e as demais variáveis
(Reynolds) é mostrada abaixo:
2 2 2 212 4
F F U Df ou g
U D U D U D
Examplo 1 - continuação
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Alguns adimensionais importantes emmecânica dos fluidos
• Número de Euler
ou coeficiente de pressão
• Número de Reynolds
• Número de Froude
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Alguns adimensionais importantes em
mecânica dos fluidos
• Número de Cavitação
• Número de Mach
• Número de Weber
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L G gLEo
L
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Exemplo 2 – A tensão de cisalhamento na parede, w, em uma camada-
limite depende da distância a partir da borda de ataque do objeto, x, da
massa específica , da viscosidade do fluido e da velocidade da
corrente livre U. Obtenha o grupos adimensionais e expresse a relação
funcional entre eles.
w
2
Resp.:
Uxf
U
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Diagrama de Moody e o fator de Atrito f
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http://www2.umt.edu/Geology/faculty/hendrix/g100/shallow_deep_waves.jpg
Deep waves are characterized by the water to be at least half the wavelength
deep. As seen from the figure, half the wavelength beneath the surface of the
water and deeper, there is no movement of the water particles due to the wave.
12
D Ondas em águas profundas
Se o comprimento de onda, , for
menor que ½ da profundidade D,
o movimento da onda não chega
no leito oceânico.
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http://www2.umt.edu/Geology/faculty/hendrix/g100/shallow_deep_waves.jpg
Shallow waves are characterized by the depth of the water being at least 20 times smaller than the wavelength of the wave. This makes the orbits of the water particles to be essentially flat, especially at the bottom of the ocean. This way, it preserves most of its energy while traveling over a flat surface since the movement of the water is almost parallel to the surface and friction is very small.
D 20 Ondas em águas rasas
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Exemplo 3 - Água rasa - A velocidade V, de uma onda de superfície
livre devido à gravidade é uma função do comprimento de onda, , da
profundidade, D, da massa específica e da aceleração da gravidade, g.
Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de
V em relação às outras variáveis. Expresse V na forma mais simples
possível.
2
Resposta :
Vf em agua rasa f 1
gD D D
portanto V gD
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Tsunami Dec. 26th-2004 (acesse wiki)
• Profundidade média
do pacífico, 3000m
• Velocidade da onda:
V=(gD)^0,5
• V~650 km/h
• ou aprox. 7h30 para
viajar 5000km
Tsunami is characterized by shallow-water waves: the wavelength is
much greater than the water depth. The orbit of the particles are mostly
transverse, and the transverse velocity does not vary with depth.
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Exemplo 4 - A potência P, requerida para acionar um ventilador depende:
i. da densidade do fluido, , ii. da vazão em volume, Q, iii. do diâmetro das pás, D, eiv. da velocidade angular w.
Use a análise dimensional para determinar a dependência de P em relação às outras variáveis.
2 33
P Qf
DD D
w w w
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Filme
Como Surgem os Grupos Adimensionais: Re, Fr, etc• Numa primeira abordagem o aluno pode imaginar que o arranjo que
formam os grupos adimensionais são arbitrários.
• Note que uma combinação linear de grupos adimensionais também é
um adimensional. Porém todos os grupos adimensionais possuem
significado físico. Re, Fr, Ca, Ma, We etc
• Eles aparecem naturalmente na forma adimensional das equações de
transporte (forma diferencial), veja Cap. 7, sec. 7.1 do livro texto. Este
tópico será visto no curso 2.
• Quando é garantido a similaridade então está também garantido que
os coeficientes das Eq. de transporte são os mesmos: protótipo e
modelo.
• Será realizado um exemplo de adimensionalização de uma EDO para
desenvolver este conceito.
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Um foguete com massa inicial M0 descarrega um fluxo de
massa m em regime permanente com velocidade Vj
relativa ao foguete. Despreze a resistência do ar.
i) determine a expressão para aceleração do foguete.
ii) encontre uma expressão para a velocidade do foguete.
Foi visto não cap 4 que a aceleração
do foguete :
e que a velocidade foguete é:
jmV M m t gdU
dt M m t
.
j
1U V Ln g t; M m
1 t
Vj, m
Como surgem os grupos adimensionais?
Para conhecer os possíveis valores que U pode ter em
função de Vj, M, t e m seriam necessárias várias curvas.
j
.
1U V Ln g t;
1 t
onde M m
Solução p/ U
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.j
j.
mVdU 1 g U V Ln g t; M m
dt 1 tM m t
Grupos adimensionais: a aceleração
*
* *
.
.
j
d 1 t onde M m razão de tempos
d 1 gM V m raz
U
ão de
t*
t t forças
A aceleração adimensional usa as escalas de velocidade, Vj, e de tempo, . Os adimensionais de U e t são: U* = U/Vj e t* = t/
• Note que a C.I. é U*(0) = 0 e que K é um grupo adimensional!
• Modelos que possuem a mesma C.I. e o mesmo K = Mg/Vjm possuem a mesma solução! Não é necessário resolver novamente a EDO.
* *1Ln 0 t*<1 U K t * t* 0 U 0
t * para
1
A solução da eq. é:
• Como surgem os grupos admensionais Das equações diferenciais que governa o fenômeno.
• Em em561 vamos ver a eq. Navier-Stokes de onde originam os adimensionais vistos no início da aula.
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Curvas adimensionais para o foguete de água!
No eixo y, U* = U/Vj
No eixo x, t* = t/ ou t* = t.m/M
O parâmetro K é constante para cada curva, sendo K = gM/Vjm.
A massa do foguete é M = Mw + Mf e o foguete tem propulsão até a água acabar, logo tmax = (Mw/m).
A máxima velocidade que o foguete atinge é para t = tmax ou:
w.
.
w f
M
m* * * wmax max max max
w fmM M
Mt t t t
M M
Pode ser concluido que:
i. t* máx corresponde a porcentagem de água na massa total.
ii. Quanto menor for K maior será a velocidade máxima.
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Exercício 1 - A potência P, necessária para acionar uma hélice operando no ar depende das seguintes variáveis:
i. velocidade da corrente livre, V, ii. diâmetro da hélice, D, iii. velocidade angular, w, iv. viscosidade do fluido, , v. densidade do fluido, , e vi. velocidade do som no fluido, c.
Quantos grupos adimensionais são necessários para caracterizar esta situação?
Obtenha os grupos adimensionais.
2
5 3
Resp. :
P V D Df , ,
D D c
w w
w w
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Sobre a base de repetiçãoExemplo 1 – arrasto esfera a.Db.Uc
Exemplo 2 – placa plana a.xb.Uc
Exemplo 3 – água rasa a.Db.Vc
Exemplo 4 – soprador de ar a.Db.wc
Exercício 1 – hélice a.Db. wc
Note que as bases tem uma variável com massa, outra com comprimento e outra com velocidade ou tempo.
Por que escolhemos estas bases Elas resultam nos grupos Re, Ma, Fr, etc.
E se eu escolher outra base Irá surgir um grupo adimensional que pode ser expresso por grupos adimensionais conhecidos!
Refaça o exemplo 1 com a base a.Db.Uc . Haverão dois grupos adimensionais: F/UD e UD/. O 2º grupo é o Re mas o primeiro não é identificado com nenhum grupo adimensional por isso vc nunca vai encontrar uma tabela de coeficiente de arrasto com este grupo!
Mas o grupo F/UD pode ser expresso por outros grupos adimensionais:
D D2 2
F F UDC .Re C .Re g Re
UD U D
Está disponível CD = f(Re) mas não temos disponível CD.Re = g(Re). Não está errado mas vc não encontra dados para comparar!
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Exercício 2 – Aplique o a análise dimensional no foguete de águae ar comprimido para encontrar os grupos adimensionais quegovernam o deslocamento do foguete. Considere:
**
* *
.
j
dU 1 1 U Ln K t * 0 t*<1
1 t *dt 1 t
onde gM V m
1. Variáveis: U = f(Vj, M, m, g, t), n = 6
2. Dimensões básicas: (M, L, T)
3. Rank da matriz, r = 3
4. No. Grupos Ps = n – r = 3
5. No. variáveis de repetição = rank = 3
6. Variáveis de repetição: Vj, m e M
1 2 3
j j
1 2 3
U m M; t e g
V M V m
U*; t * e K
P P P
P P P
Compare os grupos Ps contra os adimensionais da EDO
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Exercícios recomendados(1) The torque T required to turn the cone-plate
viscometer on the radius R, rotation rate w, fluid
viscosity and cone angle . Rewrite this relation in
dimensionless form. How does the relation simplify it
if it is known that T is proportional to ?
(2)
(3)
(4)
(5)
Problema (1)
nosecone
draft tube
adustableblades
guide vanes
drive shaft
Problema (3)
sea floor
incidentwave
floating buoy
Problema (4) Problema (5)
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Exercícios recomendados (Aula 15)
(1) Resp:𝑇
𝜇ΩR3= 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝜃 ; 𝑇 ∝ 𝜃, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑇
𝜇ΩR3 𝜃= 𝑐𝑡𝑒
(2) Resp: h =ML2
ΘT3L2; St =
ℎ
𝜌𝑉𝐶𝑝
(3) Resp: 𝑀 =𝜌ΩD2
𝑄
i ) Fator 4 de torque para D = 2ii) Fator 2 de torque para Ω = 2
4) Resp: 𝑓 = 𝐷𝛾
𝑚; Para m/2 -> f=1,414 ou seja, f aumenta 41,4 %
5) Resp: Π1 = Ω𝐿
𝑔; Π2=
h
L;
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FIM