Post on 17-Apr-2015
Capítulo 8Capítulo 8
Inferências com Base Inferências com Base em Duas Amostrasem Duas Amostras
Prof. Paulo Renato de MoraisProf. Paulo Renato de Morais
ESTATÍSTICA APLICADAESTATÍSTICA APLICADA
Amostragem Independente Amostragem Independente e Dependentee Dependente
Amostragem Independente Amostragem Independente e Dependentee Dependente
1.1. Fontes de dados Fontes de dados diferentesdiferentes
Não relacionadasNão relacionadas IndependentesIndependentes
1.1. Mesma fonte de Mesma fonte de dadosdados
ParesPares Medidas repetidasMedidas repetidas
(antes/depois)(antes/depois)
IndependenteIndependente DependenteDependente
Amostragem Independente Amostragem Independente e Dependentee Dependente
1.1. Fontes de dados Fontes de dados diferentesdiferentes
Não relacionadasNão relacionadas Independentes Independentes
2.2. Usa diferença Usa diferença entre as 2 médias entre as 2 médias amostraisamostrais
XX11 - -XX22
1.1. Mesma fonte de Mesma fonte de dadosdados
ParesPares Medidas repetidasMedidas repetidas
(antes/depois)(antes/depois)
2.2. Usa diferença Usa diferença entre cada par de entre cada par de observaçõesobservações
DDnn = = XX11nn - - XX22nn
IndependenteIndependente DependenteDependente
Exemplos de Populações Exemplos de Populações IndependentesIndependentes
1.1. Um dentista deseja determinar se há Um dentista deseja determinar se há diferença no número médio de cáries em diferença no número médio de cáries em 2 grupos de classes sociais diferentes.2 grupos de classes sociais diferentes.
2.2. O Ministério da Educação deseja O Ministério da Educação deseja comparar as notas no Provão entre alunos comparar as notas no Provão entre alunos de universidades públicas e privadas.de universidades públicas e privadas.
Exemplos de Populações Exemplos de Populações DependentesDependentes
1.1. A Nike deseja verificar se há diferença na A Nike deseja verificar se há diferença na durabilidade de 2 materiais para sola. Um durabilidade de 2 materiais para sola. Um tipo é colocado em um dos pés do tênis, o tipo é colocado em um dos pés do tênis, o outro tipo é colocado no outro pé do mesmo outro tipo é colocado no outro pé do mesmo par de tênis.par de tênis.
2.2. Uma universidade deseja comparar as Uma universidade deseja comparar as notas de alunos em um simulado do Provão notas de alunos em um simulado do Provão antes e depois de um curso de revisão.antes e depois de um curso de revisão.
Testando Duas Médias Testando Duas Médias Populacionais DependentesPopulacionais Dependentes
Experimentos de ParesExperimentos de Pares
Teste para Diferença de Teste para Diferença de Médias para Amostras aos Médias para Amostras aos
ParesPares1.1. Testa médias de 2 populações relacionadasTesta médias de 2 populações relacionadas
ParesPares Medidas repetidas (antes/depois)Medidas repetidas (antes/depois)
2.2. Elimina variação entre elementosElimina variação entre elementos
3.3. Hipóteses:Hipóteses: Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Ambas populações com distribuição normal (caso Ambas populações com distribuição normal (caso
de pequenas amostras somente)de pequenas amostras somente)
Tabela de Coleta de Dados Tabela de Coleta de Dados para Teste de Amostras aos para Teste de Amostras aos
ParesPares
ObservaçãoObservação Grupo 1Grupo 1 Grupo 2Grupo 2 DiferençaDiferença
11 xx1111 xx2121 DD11 = x= x1111-x-x2121
22 xx1212 xx2222 DD22 = x= x1212-x-x2222
ii xx1i1i xx2i2i DDii = x= x1i1i - x- x2i2i
nn xx1n1n xx2n2n DDnn = x= x1n1n - x- x2n2n
... ... ... ...
... ... ... ...
Desvio Padrão AmostralDesvio Padrão Amostral
SSDD nn DD
nnDD
iiii
nn
22
11
22
11DD
DD
Teste t para Amostras aos Teste t para Amostras aos ParesPares
Média AmostralMédia Amostral
ttxxDD
SS
nn
00
DD
DD
DD
glgl nn 11DD
xxDD
nn
iiii
nn
11
DDDD
Exemplo de Teste t para Exemplo de Teste t para Amostras aos ParesAmostras aos Pares
Você deseja saber se um programa de treinamento Você deseja saber se um programa de treinamento foi efetivo. Você coletou as seguintes notas de um foi efetivo. Você coletou as seguintes notas de um teste padrão:teste padrão:
NomeNome Antes (A)Antes (A) Depois (B)Depois (B)
SamuelSamuel 8585 9494TadeuTadeu 9494 8787BrunoBruno 7878 7979MarcosMarcos 8787 8888
Ao nível de Ao nível de 0,100,10, o treinamento foi , o treinamento foi efetivo?efetivo?
Tabela de CálculosTabela de Cálculos
ObservaçãoObservação AntesAntes DepoisDepois DiferençaDiferença
SamuelSamuel 8585 9494 -9-9
TadeuTadeu 9494 8787 77
BrunoBruno 7878 7979 -1-1
MarcosMarcos 8787 8888 -1-1
TotalTotal - 4- 4
Solução da Hipótese NulaSolução da Hipótese Nula
1.1. O treinamento foi efetivo?O treinamento foi efetivo?
2.2. Efetivo significa ‘Depois’ > ‘Antes’.Efetivo significa ‘Depois’ > ‘Antes’.
3.3. Estatisticamente, significa Estatisticamente, significa B B > > AA..
4.4. Rearranjando termos, dá 0 Rearranjando termos, dá 0 AA - - BB..
5.5. Definindo Definindo DD = = AA - - BB e substituindo em (4), e substituindo em (4),
dá 0 dá 0 DD ou ou D D ..
6.6. A hipótese alternativa é HA hipótese alternativa é H11: : D D 0.0.
Solução do Teste t para Solução do Teste t para Amostras aos ParesAmostras aos Pares
HH00: : DD = 0 ( = 0 (DD = = AA - - BB))
HH11: : DD < 0 < 0
== 0,10 0,10
gl = gl = 4 - 1 = 34 - 1 = 3
Valor Crítico:Valor Crítico:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,10 = 0,10
Não há evidência que Não há evidência que treinamento foi efetivotreinamento foi efetivott00-1.6377-1.6377
.10.10
RejectReject
ttxx
SS
nn
00
DD
DD 11 00
66 5353
44
306306,,
,,DD
DD
Estimação por Intervalo:Estimação por Intervalo:Diferença de Duas Médias Diferença de Duas Médias
Populacionais Populacionais IndependentesIndependentes
Caso de Amostras GrandesCaso de Amostras Grandes
Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para Amostras GrandesAmostras Grandes
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30
((nn11 30 e 30 e nn22 30 ) 30 )
Se Se 11 e e 22 desconhecidos, use dados amostrais desconhecidos, use dados amostrais
Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para Amostras GrandesAmostras Grandes
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30
((nn11 30 e 30 e nn22 30 ) 30 )
Se Se 11 e e 22 desconhecidos, use dados amostrais desconhecidos, use dados amostrais
2.2. Intervalo de confiança para Intervalo de confiança para 11 - - 22::
2
22
1
21
α/221 nσ
nσ
Zxx
Exemplo de Estimação de Exemplo de Estimação de Duas Médias (Amostras Duas Médias (Amostras
Grandes)Grandes)Usando os seguintes dados sobre preços Usando os seguintes dados sobre preços de automóveis, construa um intervalo com de automóveis, construa um intervalo com 95% de confiança para a diferença entre 95% de confiança para a diferença entre os preços médios os preços médios populacionaispopulacionais..
EUAVendas
JapãoVendas
Tamanho amostra 50 30
Média amostral $14.545 $15.243
D. padr. amostral $ 1.989 $ 1.843
Solução do Exemplo de Solução do Exemplo de EstimaçãoEstimação
162) 1.558,(
860698438,571,9669830
1.84350
1.9891,9615.24314.545
nσ
nσ
Zxx
22
2
22
1
21
α/221
Testando Duas Médias Testando Duas Médias Populacionais Populacionais IndependentesIndependentes
Teste Z para Amostras GrandesTeste Z para Amostras Grandes
Teste Z de Duas Médias Teste Z de Duas Médias Independentes (Amostra Independentes (Amostra
Grande)Grande)1.1. Hipóteses:Hipóteses:
Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo Tamanho de ambas as amostras no mínimo
30 (30 (nn11 30 e 30 e nn22 30 ) 30 )
Teste Z para Duas Médias Teste Z para Duas Médias Independentes (Amostra Independentes (Amostra
Grande)Grande)1.1. Hipóteses:Hipóteses:
Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30
((nn11 30 e 30 e nn22 30 ) 30 )
2.2. Teste Z para duas amostras independentes:Teste Z para duas amostras independentes:
ZZ(X(X X )X )
nn nn
11 22 11 22
1122
11
2222
22
(X(X X )X )
nn nn
11 22 11 22
1122
11
2222
22
ss ss
Exemplo de Teste Z para Exemplo de Teste Z para Amostras GrandesAmostras Grandes
Você é um analista financeiro. Você deseja Você é um analista financeiro. Você deseja saber se há diferença nos rendimentos em saber se há diferença nos rendimentos em dividendos entre ações listadas no NYSE e dividendos entre ações listadas no NYSE e NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:
NYSENYSE NASDAQNASDAQNúmeroNúmero 121 121 125125MédiaMédia 3,273,27 2,532,53Desv. Pad.Desv. Pad. 1,301,30 1,161,16Há diferença no rendimento Há diferença no rendimento médiomédio ( ( = 0,05 = 0,05)?)?
© 1984-1994 T/Maker Co.
Solução do Teste Z para Solução do Teste Z para Amostras GrandesAmostras Grandes
HH00: : 1 1 - - 22 = 0 ( = 0 (1 1 = = 22))
HH11: : 1 1 - - 22 0 ( 0 (1 1 22))
0,050,05
nn11 = = 121 121, , nn22 = = 125125
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05
Há evidência de Há evidência de diferença nas médiasdiferença nas médiaszz00 1.961.96-1.96-1.96
.025.025
Reject HReject H00 Reject HReject H00
.025.025
zz,, ,,
,, ,,,,
33 2727 22 5353
11698698
121121
11353353
125125
44 6969
Comparando 2 Variâncias Comparando 2 Variâncias Populacionais Populacionais
Independentes: Teste FIndependentes: Teste F
Teste F para Duas Teste F para Duas VariânciasVariâncias
1.1. Testa a diferença entre 2 variâncias Testa a diferença entre 2 variâncias populacionaispopulacionais
2.2. HipótesesHipóteses Ambas populações são normalmente Ambas populações são normalmente
distribuídasdistribuídas Teste não é robusto quanto a violaçõesTeste não é robusto quanto a violações
Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes
Teste F para Variâncias:Teste F para Variâncias:Hipóteses e Estatística de Hipóteses e Estatística de
TesteTeste1.1. HipótesesHipóteses
HH00: : 1122 = = 22
22 OU H OU H00: : 1122 22
2 2
HH11: : 1122 22
22 H H11: : 1122 22
2 2 (ou >)(ou >)
2.2. Estatística de testeEstatística de teste FF = = ss11
22 / /ss2222
Dois conjuntos de graus de liberdadeDois conjuntos de graus de liberdade 11 = = nn11 - 1; - 1; 22 = = nn22 - 1 - 1
Segue a distribuição FSegue a distribuição F
Teste F para 2 Variâncias:Teste F para 2 Variâncias: Valores CríticosValores Críticos
00 FF
Teste F para 2 Variâncias:Teste F para 2 Variâncias: Valores CríticosValores Críticos
00
Rejeita HRejeita H 00
FF
Rejeita HRejeita H 00
Teste F para 2 Variâncias:Teste F para 2 Variâncias: Valores CríticosValores Críticos
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
Teste F para 2 Variâncias:Teste F para 2 Variâncias: Valores CríticosValores Críticos
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
/2/2/2/2
Teste F para 2 Variâncias:Teste F para 2 Variâncias: Valores CríticosValores Críticos
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
FU ( / ; , ) 2 1 2FU ( / ; , ) 2 1 2
/2/2/2/2
Teste F para 2 Variâncias:Teste F para 2 Variâncias: Valores CríticosValores Críticos
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
FFLU
( / ; , )( / ; , )
22
1 22 1
1FFLU
( / ; , )( / ; , )
22
1 22 1
1
Note!Note!
FU ( / ; , ) 2 1 2FU ( / ; , ) 2 1 2
/2/2/2/2
Exemplo de Teste F para Exemplo de Teste F para VariânciasVariâncias
Você é um analista financeiro. Você deseja Você é um analista financeiro. Você deseja comparar dividendos de ações listadas na comparar dividendos de ações listadas na NYSE e na NASDAQ. Você coletou os NYSE e na NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:seguintes dados: NYSENYSE NASDAQNASDAQNúmeroNúmero 21 21 2525MédiaMédia 3,273,27 2,532,53Desv. Pad.Desv. Pad. 1,301,30 1,161,16Há diferença de Há diferença de variânciasvariâncias entre a NYSE e a NASDAQ entre a NYSE e a NASDAQ ao nível de ao nível de 0,050,05??
© 1984-1994 T/Maker Co.
Solução do Teste F para 2 Solução do Teste F para 2 VariânciasVariâncias
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
11 22
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Solução do Teste F para 2 Solução do Teste F para 2 VariânciasVariâncias
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 20 20 22 24 24
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Solução do Teste F para 2 Solução do Teste F para 2 VariânciasVariâncias
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
FFLU
(. ; , )(. ; , ) .
.025 20 24025 24 20
1 12 41
0 415 FFLU
(. ; , )(. ; , ) .
.025 20 24025 24 20
1 12 41
0 415
FU (. ; , ) .025 20 24 2 33FU (. ; , ) .025 20 24 2 33
/2 = 0,025/2 = 0,025/2 = 0,025/2 = 0,025
0 F2.330.415
.025
Reject Reject
.025
0 F2.330.415
.025
Reject Reject
.025
Solução do Teste F para 2 Solução do Teste F para 2 VariânciasVariâncias
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 20 20 22 2424
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
0 F2.330.415
.025
Reject Reject
.025
0 F2.330.415
.025
Reject Reject
.025
Solução do Teste F para 2 Solução do Teste F para 2 VariânciasVariâncias
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 20 20 22 2424
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
25,116,1
30,1
S
SF
2
2
22
21
25,116,1
30,1
S
SF
2
2
22
21
0 F2.330.415
.025
Reject Reject
.025
0 F2.330.415
.025
Reject Reject
.025
Solução do Teste F para 2 Solução do Teste F para 2 VariânciasVariâncias
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 20 20 22 2424
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
25,116,1
30,1
S
SF
2
2
22
21
25,116,1
30,1
S
SF
2
2
22
21
Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,05 = 0,05
0 F2.330.415
.025
Reject Reject
.025
0 F2.330.415
.025
Reject Reject
.025
Solução do Teste F para 2 Solução do Teste F para 2 VariânciasVariâncias
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 20 20 22 2424
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
25,116,1
30,1
S
SF
2
2
22
21
25,116,1
30,1
S
SF
2
2
22
21
Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,05 = 0,05
Não há evidência de Não há evidência de diferença nas variânciasdiferença nas variâncias
QuestãoQuestão
Você é um analista para a companhia de luz. Você é um analista para a companhia de luz. Você deseja comparar o consumo de eletricidade Você deseja comparar o consumo de eletricidade de casas em 2 cidades. Você obteve os de casas em 2 cidades. Você obteve os seguintes dados de uma amostra de casasseguintes dados de uma amostra de casas::
Cidade 1Cidade 1 Cidade 2Cidade 2NúmeroNúmero 25 25 21 21MédiaMédia $ 85$ 85 $ 68$ 68Desv. Pad.Desv. Pad. $ 30 $ 30 $ 18$ 18
Ao nível de Ao nível de 0,050,05, há evidência de diferença , há evidência de diferença nas nas variânciasvariâncias das duas cidades? das duas cidades?
SoluçãoSolução
HH00::
HH11::
11 24 22
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
SoluçãoSolução
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 24 24 22 20 20
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
SoluçãoSolução
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
0
Reject H 0
Do NotReject H 0
F
Reject H 0
FFLU
(. ; , )(. ; , ) .
.025 24 20025 20 24
1 12 33
0 429 FFLU
(. ; , )(. ; , ) .
.025 24 20025 20 24
1 12 33
0 429
FU (. ; , ) .025 24 20 2 41FU (. ; , ) .025 24 20 2 41
/2 = 0,025/2 = 0,025/2 = 0,025/2 = 0,025
0 F2.410.429
.025
Reject Reject
.025
0 F2.410.429
.025
Reject Reject
.025
SoluçãoSolução
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 24 24 22 2020
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
0 F2.410.429
.025
Reject Reject
.025
0 F2.410.429
.025
Reject Reject
.025
SoluçãoSolução
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 24 24 22 2020
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
778,218
30
S
SF
2
2
22
21
778,218
30
S
SF
2
2
22
21
0 F2.410.429
.025
Reject Reject
.025
0 F2.410.429
.025
Reject Reject
.025
SoluçãoSolução
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 24 24 22 2020
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
778,218
30
S
SF
2
2
22
21
778,218
30
S
SF
2
2
22
21
Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05
0 F2.410.429
.025
Reject Reject
.025
0 F2.410.429
.025
Reject Reject
.025
SoluçãoSolução
HH00:: 1122 = = 22
22
HH11:: 1122 22
22
0,050,05
11 24 24 22 2020
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste:Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
778,218
30
S
SF
2
2
22
21
778,218
30
S
SF
2
2
22
21
Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05
Há evidência de Há evidência de diferença nas variânciasdiferença nas variâncias
Testando as Médias de Testando as Médias de Duas Populações Duas Populações IndependentesIndependentes
Teste t para Amostras PequenasTeste t para Amostras Pequenas
Teste t para Duas Médias Teste t para Duas Médias Independentes (Amostra Independentes (Amostra
Pequena)Pequena)1.1. Testa médias de 2 populações independentes Testa médias de 2 populações independentes
com variâncias com variâncias iguaisiguais
2.2. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho de ao menos uma das amostras menor Tamanho de ao menos uma das amostras menor
que 30que 30 Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Ambas populações com distribuição normalAmbas populações com distribuição normal Variâncias populacionais são Variâncias populacionais são desconhecidasdesconhecidas
mas supostas mas supostas iguaisiguais
Teste t para Amostras Teste t para Amostras PequenasPequenas
2nngl
2nnS1nS1n
S
n1
n1
S
μμXXt
21
21
222
2112
P
21
2P
2121
Diferença Diferença supostasuposta
Exemplo de Teste t para Exemplo de Teste t para Amostras PequenasAmostras Pequenas
Você é um analista financeiro. Você deseja Você é um analista financeiro. Você deseja saber se há diferença nos rendimentos em saber se há diferença nos rendimentos em dividendos entre ações listadas no NYSE e dividendos entre ações listadas no NYSE e NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:
NYSENYSE NASDAQNASDAQNúmeroNúmero 21 21 2525MédiaMédia 3,273,27 2,532,53Desv. Pad.Desv. Pad. 1,301,30 1,161,16Supondo populações Supondo populações normaisnormais, , há diferença no rendimento há diferença no rendimento médiomédio ( ( = 0,05= 0,05)?)?
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Solução do Teste t para Solução do Teste t para Amostras PequenasAmostras Pequenas
1,510
22521
1,161251,30121
2nn
S1nS1nS
2,03
251
211
1,510
02,533,27
n1
n1
S
μμXXt
22
21
222
2112
P
21
2P
2121
Solução do Teste t para Solução do Teste t para Amostras PequenasAmostras Pequenas
HH00:: 1 1 - - 22 = 0 ( = 0 (1 1 = = 22))
HHaa:: 1 1 - - 22 0 ( 0 (1 1 22))
0,050,05
gl gl 21 + 25 - 2 = 4421 + 25 - 2 = 44
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
t0 2.0154-2.0154
.025
Reject H 0 Reject H 0
.025
t0 2.0154-2.0154
.025
Reject H 0 Reject H 0
.025
2,03
251
211
1,510
2,533,27t
Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05
Há evidência de Há evidência de diferença nas médiasdiferença nas médias
Teste Z para Diferenças Teste Z para Diferenças entre entre
Duas ProporçõesDuas Proporções
Teste Z para Diferença Teste Z para Diferença entre Duas Proporçõesentre Duas Proporções
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Populações são independentesPopulações são independentes Populações seguem distribuição binomialPopulações seguem distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usadaAproximação pela Normal pode ser usada
não contém 0 ou nnão contém 0 ou n p1pn3pn ˆˆˆ
Teste Z para Diferença Teste Z para Diferença entre Duas Proporçõesentre Duas Proporções
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Populações são independentesPopulações são independentes Populações seguem distribuição binomialPopulações seguem distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usadaAproximação pela Normal pode ser usada
não contém 0 ou nnão contém 0 ou n
2.2. Teste Z para duas proporções:Teste Z para duas proporções:
p1pn3pn ˆˆˆ
21
21
21
2121
nnXX
p onde
n1
n1
p1p
ppppZ
ˆ
ˆˆ
ˆˆ
Exemplo de Teste Z para Exemplo de Teste Z para Duas Proporções Duas Proporções
Você quer testar a percepção Você quer testar a percepção de justiça de dois métodos de de justiça de dois métodos de avaliação de desempenho. avaliação de desempenho. 63 63 de de 78 78 empregados acharam o empregados acharam o Método 1Método 1 justo. justo. 49 49 de de 82 82 acharam o acharam o Método 2Método 2 justo. Ao justo. Ao nível de nível de 0,010,01, há , há diferença diferença nas nas percepções? percepções?
2,90
821
781
70010,70
059800,808
n1
n1
p1p
ppppZ
7008278
4963
nn
XXp
598082
49
n
Xp8080
78
63
n
Xp
21
2121
21
21
2
22
1
11
,
,
ˆˆ
ˆˆ
,ˆ
,ˆ,ˆ
Solução do Teste Z para Solução do Teste Z para Duas ProporçõesDuas Proporções
Solução do Teste Z para Solução do Teste Z para Duas ProporçõesDuas Proporções
HH00: : pp11 - - pp22 = 0 = 0
HH11: : pp11 - - pp22 0 0
= = 0,010,01
nn11 = = 78 78 nn22 = = 82 82
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Z0 2.58-2.58
.005
Reject H 0 Reject H 0
.005
Z0 2.58-2.58
.005
Reject H 0 Reject H 0
.005Rejeitar com Rejeitar com = 0,01 = 0,01
Há evidência de diferença Há evidência de diferença nas proporções nas proporções
Z 2 90.Z 2 90.