Capítulo 8 Inferências com Base em Duas Amostras Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA...

Capítulo 8Capítulo 8

Inferências com Base Inferências com Base em Duas Amostrasem Duas Amostras

Prof. Paulo Renato de MoraisProf. Paulo Renato de Morais

ESTATÍSTICA APLICADAESTATÍSTICA APLICADA

Amostragem Independente Amostragem Independente e Dependentee Dependente


1.1. Fontes de dados Fontes de dados diferentesdiferentes

Não relacionadasNão relacionadas IndependentesIndependentes

1.1. Mesma fonte de Mesma fonte de dadosdados

ParesPares Medidas repetidasMedidas repetidas

(antes/depois)(antes/depois)

IndependenteIndependente DependenteDependente


1.1. Fontes de dados Fontes de dados diferentesdiferentes

Não relacionadasNão relacionadas Independentes Independentes

2.2. Usa diferença Usa diferença entre as 2 médias entre as 2 médias amostraisamostrais

XX11 - -XX22

1.1. Mesma fonte de Mesma fonte de dadosdados

ParesPares Medidas repetidasMedidas repetidas

(antes/depois)(antes/depois)

2.2. Usa diferença Usa diferença entre cada par de entre cada par de observaçõesobservações

DDnn = = XX11nn - - XX22nn

IndependenteIndependente DependenteDependente

Exemplos de Populações Exemplos de Populações IndependentesIndependentes

1.1. Um dentista deseja determinar se há Um dentista deseja determinar se há diferença no número médio de cáries em diferença no número médio de cáries em 2 grupos de classes sociais diferentes.2 grupos de classes sociais diferentes.

2.2. O Ministério da Educação deseja O Ministério da Educação deseja comparar as notas no Provão entre alunos comparar as notas no Provão entre alunos de universidades públicas e privadas.de universidades públicas e privadas.

Exemplos de Populações Exemplos de Populações DependentesDependentes

1.1. A Nike deseja verificar se há diferença na A Nike deseja verificar se há diferença na durabilidade de 2 materiais para sola. Um durabilidade de 2 materiais para sola. Um tipo é colocado em um dos pés do tênis, o tipo é colocado em um dos pés do tênis, o outro tipo é colocado no outro pé do mesmo outro tipo é colocado no outro pé do mesmo par de tênis.par de tênis.

2.2. Uma universidade deseja comparar as Uma universidade deseja comparar as notas de alunos em um simulado do Provão notas de alunos em um simulado do Provão antes e depois de um curso de revisão.antes e depois de um curso de revisão.

Testando Duas Médias Testando Duas Médias Populacionais DependentesPopulacionais Dependentes

Experimentos de ParesExperimentos de Pares

Teste para Diferença de Teste para Diferença de Médias para Amostras aos Médias para Amostras aos

ParesPares1.1. Testa médias de 2 populações relacionadasTesta médias de 2 populações relacionadas

ParesPares Medidas repetidas (antes/depois)Medidas repetidas (antes/depois)

2.2. Elimina variação entre elementosElimina variação entre elementos

3.3. Hipóteses:Hipóteses: Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Ambas populações com distribuição normal (caso Ambas populações com distribuição normal (caso

de pequenas amostras somente)de pequenas amostras somente)

Tabela de Coleta de Dados Tabela de Coleta de Dados para Teste de Amostras aos para Teste de Amostras aos

ParesPares

ObservaçãoObservação Grupo 1Grupo 1 Grupo 2Grupo 2 DiferençaDiferença

11 xx1111 xx2121 DD11 = x= x1111-x-x2121

22 xx1212 xx2222 DD22 = x= x1212-x-x2222

ii xx1i1i xx2i2i DDii = x= x1i1i - x- x2i2i

nn xx1n1n xx2n2n DDnn = x= x1n1n - x- x2n2n

... ... ... ...

... ... ... ...

Desvio Padrão AmostralDesvio Padrão Amostral

SSDD nn DD

nnDD

iiii

nn

22

11

22

11DD

DD

Teste t para Amostras aos Teste t para Amostras aos ParesPares

Média AmostralMédia Amostral

ttxxDD

SS

nn

00

DD

DD

DD

glgl nn 11DD

xxDD

nn

iiii

nn

11

DDDD

Exemplo de Teste t para Exemplo de Teste t para Amostras aos ParesAmostras aos Pares

Você deseja saber se um programa de treinamento Você deseja saber se um programa de treinamento foi efetivo. Você coletou as seguintes notas de um foi efetivo. Você coletou as seguintes notas de um teste padrão:teste padrão:

NomeNome Antes (A)Antes (A) Depois (B)Depois (B)

SamuelSamuel 8585 9494TadeuTadeu 9494 8787BrunoBruno 7878 7979MarcosMarcos 8787 8888

Ao nível de Ao nível de 0,100,10, o treinamento foi , o treinamento foi efetivo?efetivo?

Tabela de CálculosTabela de Cálculos

ObservaçãoObservação AntesAntes DepoisDepois DiferençaDiferença

SamuelSamuel 8585 9494 -9-9

TadeuTadeu 9494 8787 77

BrunoBruno 7878 7979 -1-1

MarcosMarcos 8787 8888 -1-1

TotalTotal - 4- 4

Solução da Hipótese NulaSolução da Hipótese Nula

1.1. O treinamento foi efetivo?O treinamento foi efetivo?

2.2. Efetivo significa ‘Depois’ > ‘Antes’.Efetivo significa ‘Depois’ > ‘Antes’.

3.3. Estatisticamente, significa Estatisticamente, significa B B > > AA..

4.4. Rearranjando termos, dá 0 Rearranjando termos, dá 0 AA - - BB..

5.5. Definindo Definindo DD = = AA - - BB e substituindo em (4), e substituindo em (4),

dá 0 dá 0 DD ou ou D D ..

6.6. A hipótese alternativa é HA hipótese alternativa é H11: : D D 0.0.

Solução do Teste t para Solução do Teste t para Amostras aos ParesAmostras aos Pares

HH00: : DD = 0 ( = 0 (DD = = AA - - BB))

HH11: : DD < 0 < 0

== 0,10 0,10

gl = gl = 4 - 1 = 34 - 1 = 3

Valor Crítico:Valor Crítico:

Estatística de Teste: Estatística de Teste:

Decisão:Decisão:

Conclusão:Conclusão:

Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,10 = 0,10

Não há evidência que Não há evidência que treinamento foi efetivotreinamento foi efetivott00-1.6377-1.6377

.10.10

RejectReject

ttxx

SS

nn

00

DD

DD 11 00

66 5353

44

306306,,

,,DD

DD

Estimação por Intervalo:Estimação por Intervalo:Diferença de Duas Médias Diferença de Duas Médias

Populacionais Populacionais IndependentesIndependentes

Caso de Amostras GrandesCaso de Amostras Grandes

Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para Amostras GrandesAmostras Grandes

1.1. Hipóteses:Hipóteses: Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30

((nn11 30 e 30 e nn22 30 ) 30 )

Se Se 11 e e 22 desconhecidos, use dados amostrais desconhecidos, use dados amostrais

Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para Amostras GrandesAmostras Grandes

1.1. Hipóteses:Hipóteses: Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30

((nn11 30 e 30 e nn22 30 ) 30 )

Se Se 11 e e 22 desconhecidos, use dados amostrais desconhecidos, use dados amostrais

2.2. Intervalo de confiança para Intervalo de confiança para 11 - - 22::

2

22

1

21

α/221 nσ

nσ

Zxx

Exemplo de Estimação de Exemplo de Estimação de Duas Médias (Amostras Duas Médias (Amostras

Grandes)Grandes)Usando os seguintes dados sobre preços Usando os seguintes dados sobre preços de automóveis, construa um intervalo com de automóveis, construa um intervalo com 95% de confiança para a diferença entre 95% de confiança para a diferença entre os preços médios os preços médios populacionaispopulacionais..

EUAVendas

JapãoVendas

Tamanho amostra 50 30

Média amostral $14.545 $15.243

D. padr. amostral $ 1.989 $ 1.843

Solução do Exemplo de Solução do Exemplo de EstimaçãoEstimação

162) 1.558,(

860698438,571,9669830

1.84350

1.9891,9615.24314.545

nσ

nσ

Zxx

22

2

22

1

21

α/221

Testando Duas Médias Testando Duas Médias Populacionais Populacionais IndependentesIndependentes

Teste Z para Amostras GrandesTeste Z para Amostras Grandes

Teste Z de Duas Médias Teste Z de Duas Médias Independentes (Amostra Independentes (Amostra

Grande)Grande)1.1. Hipóteses:Hipóteses:

Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo Tamanho de ambas as amostras no mínimo

30 (30 (nn11 30 e 30 e nn22 30 ) 30 )

Teste Z para Duas Médias Teste Z para Duas Médias Independentes (Amostra Independentes (Amostra

Grande)Grande)1.1. Hipóteses:Hipóteses:

Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30

((nn11 30 e 30 e nn22 30 ) 30 )

2.2. Teste Z para duas amostras independentes:Teste Z para duas amostras independentes:

ZZ(X(X X )X )

nn nn

11 22 11 22

1122

11

2222

22

(X(X X )X )

nn nn

11 22 11 22

1122

11

2222

22

ss ss

Exemplo de Teste Z para Exemplo de Teste Z para Amostras GrandesAmostras Grandes

Você é um analista financeiro. Você deseja Você é um analista financeiro. Você deseja saber se há diferença nos rendimentos em saber se há diferença nos rendimentos em dividendos entre ações listadas no NYSE e dividendos entre ações listadas no NYSE e NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:

NYSENYSE NASDAQNASDAQNúmeroNúmero 121 121 125125MédiaMédia 3,273,27 2,532,53Desv. Pad.Desv. Pad. 1,301,30 1,161,16Há diferença no rendimento Há diferença no rendimento médiomédio ( ( = 0,05 = 0,05)?)?

© 1984-1994 T/Maker Co.

Solução do Teste Z para Solução do Teste Z para Amostras GrandesAmostras Grandes

HH00: : 1 1 - - 22 = 0 ( = 0 (1 1 = = 22))

HH11: : 1 1 - - 22 0 ( 0 (1 1 22))

0,050,05

nn11 = = 121 121, , nn22 = = 125125

Valores Críticos:Valores Críticos:


Decisão:Decisão:


Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05

Há evidência de Há evidência de diferença nas médiasdiferença nas médiaszz00 1.961.96-1.96-1.96

.025.025

Reject HReject H00 Reject HReject H00

.025.025

zz,, ,,

,, ,,,,

33 2727 22 5353

11698698

121121

11353353

125125

44 6969

Comparando 2 Variâncias Comparando 2 Variâncias Populacionais Populacionais

Independentes: Teste FIndependentes: Teste F

Teste F para Duas Teste F para Duas VariânciasVariâncias

1.1. Testa a diferença entre 2 variâncias Testa a diferença entre 2 variâncias populacionaispopulacionais

2.2. HipótesesHipóteses Ambas populações são normalmente Ambas populações são normalmente

distribuídasdistribuídas Teste não é robusto quanto a violaçõesTeste não é robusto quanto a violações

Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes

Teste F para Variâncias:Teste F para Variâncias:Hipóteses e Estatística de Hipóteses e Estatística de

TesteTeste1.1. HipótesesHipóteses

HH00: : 1122 = = 22

22 OU H OU H00: : 1122 22

2 2

HH11: : 1122 22

22 H H11: : 1122 22

2 2 (ou >)(ou >)

2.2. Estatística de testeEstatística de teste FF = = ss11

22 / /ss2222

Dois conjuntos de graus de liberdadeDois conjuntos de graus de liberdade 11 = = nn11 - 1; - 1; 22 = = nn22 - 1 - 1

Segue a distribuição FSegue a distribuição F

Teste F para 2 Variâncias:Teste F para 2 Variâncias: Valores CríticosValores Críticos

00 FF


00

Rejeita HRejeita H 00

FF

Rejeita HRejeita H 00


0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0


0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

/2/2/2/2


0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

FU ( / ; , ) 2 1 2FU ( / ; , ) 2 1 2

/2/2/2/2


0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

FFLU

( / ; , )( / ; , )

22

1 22 1

1FFLU

( / ; , )( / ; , )

22

1 22 1

1

Note!Note!

FU ( / ; , ) 2 1 2FU ( / ; , ) 2 1 2

/2/2/2/2

Exemplo de Teste F para Exemplo de Teste F para VariânciasVariâncias

Você é um analista financeiro. Você deseja Você é um analista financeiro. Você deseja comparar dividendos de ações listadas na comparar dividendos de ações listadas na NYSE e na NASDAQ. Você coletou os NYSE e na NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:seguintes dados: NYSENYSE NASDAQNASDAQNúmeroNúmero 21 21 2525MédiaMédia 3,273,27 2,532,53Desv. Pad.Desv. Pad. 1,301,30 1,161,16Há diferença de Há diferença de variânciasvariâncias entre a NYSE e a NASDAQ entre a NYSE e a NASDAQ ao nível de ao nível de 0,050,05??

© 1984-1994 T/Maker Co.

Solução do Teste F para 2 Solução do Teste F para 2 VariânciasVariâncias

HH00:: 1122 = = 22

22

HH11:: 1122 22

22

11 22



Decisão:Decisão:



HH00:: 1122 = = 22

22

HH11:: 1122 22

22

0,050,05

11 20 20 22 24 24


Estatística de Teste:Estatística de Teste:

Decisão:Decisão:



0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

FFLU

(. ; , )(. ; , ) .

.025 20 24025 24 20

1 12 41

0 415 FFLU

(. ; , )(. ; , ) .

.025 20 24025 24 20

1 12 41

0 415

FU (. ; , ) .025 20 24 2 33FU (. ; , ) .025 20 24 2 33

/2 = 0,025/2 = 0,025/2 = 0,025/2 = 0,025

0 F2.330.415

.025

Reject Reject

.025

0 F2.330.415

.025

Reject Reject

.025


HH00:: 1122 = = 22

22

HH11:: 1122 22

22

0,050,05

11 20 20 22 2424



Decisão:Decisão:


0 F2.330.415

.025

Reject Reject

.025

0 F2.330.415

.025

Reject Reject

.025


HH00:: 1122 = = 22

22

HH11:: 1122 22

22

0,050,05

11 20 20 22 2424



Decisão:Decisão:


25,116,1

30,1

S

SF

2

2

22

21

25,116,1

30,1

S

SF

2

2

22

21

0 F2.330.415

.025

Reject Reject

.025

0 F2.330.415

.025

Reject Reject

.025


HH00:: 1122 = = 22

22

HH11:: 1122 22

22

0,050,05

11 20 20 22 2424



Decisão:Decisão:


25,116,1

30,1

S

SF

2

2

22

21

25,116,1

30,1

S

SF

2

2

22

21


Não há evidência de Não há evidência de diferença nas variânciasdiferença nas variâncias

QuestãoQuestão

Você é um analista para a companhia de luz. Você é um analista para a companhia de luz. Você deseja comparar o consumo de eletricidade Você deseja comparar o consumo de eletricidade de casas em 2 cidades. Você obteve os de casas em 2 cidades. Você obteve os seguintes dados de uma amostra de casasseguintes dados de uma amostra de casas::

Cidade 1Cidade 1 Cidade 2Cidade 2NúmeroNúmero 25 25 21 21MédiaMédia $ 85$ 85 $ 68$ 68Desv. Pad.Desv. Pad. $ 30 $ 30 $ 18$ 18

Ao nível de Ao nível de 0,050,05, há evidência de diferença , há evidência de diferença nas nas variânciasvariâncias das duas cidades? das duas cidades?

SoluçãoSolução

HH00::

HH11::

11 24 22



Decisão:Decisão:


SoluçãoSolução

HH00:: 1122 = = 22

22

HH11:: 1122 22

22

0,050,05

11 24 24 22 20 20



Decisão:Decisão:


SoluçãoSolução

0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

0

Reject H 0

Do NotReject H 0

F

Reject H 0

FFLU

(. ; , )(. ; , ) .

.025 24 20025 20 24

1 12 33

0 429 FFLU

(. ; , )(. ; , ) .

.025 24 20025 20 24

1 12 33

0 429

FU (. ; , ) .025 24 20 2 41FU (. ; , ) .025 24 20 2 41

/2 = 0,025/2 = 0,025/2 = 0,025/2 = 0,025

0 F2.410.429

.025

Reject Reject

.025

0 F2.410.429

.025

Reject Reject

.025

SoluçãoSolução

HH00:: 1122 = = 22

22

HH11:: 1122 22

22

0,050,05

11 24 24 22 2020



Decisão:Decisão:


0 F2.410.429

.025

Reject Reject

.025

0 F2.410.429

.025

Reject Reject

.025

SoluçãoSolução

HH00:: 1122 = = 22

22

HH11:: 1122 22

22

0,050,05

11 24 24 22 2020



Decisão:Decisão:


778,218

30

S

SF

2

2

22

21

778,218

30

S

SF

2

2

22

21

0 F2.410.429

.025

Reject Reject

.025

0 F2.410.429

.025

Reject Reject

.025

SoluçãoSolução

HH00:: 1122 = = 22

22

HH11:: 1122 22

22

0,050,05

11 24 24 22 2020



Decisão:Decisão:


778,218

30

S

SF

2

2

22

21

778,218

30

S

SF

2

2

22

21


Há evidência de Há evidência de diferença nas variânciasdiferença nas variâncias

Testando as Médias de Testando as Médias de Duas Populações Duas Populações IndependentesIndependentes

Teste t para Amostras PequenasTeste t para Amostras Pequenas

Teste t para Duas Médias Teste t para Duas Médias Independentes (Amostra Independentes (Amostra

Pequena)Pequena)1.1. Testa médias de 2 populações independentes Testa médias de 2 populações independentes

com variâncias com variâncias iguaisiguais

2.2. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho de ao menos uma das amostras menor Tamanho de ao menos uma das amostras menor

que 30que 30 Amostras aleatórias independentesAmostras aleatórias independentes Ambas populações com distribuição normalAmbas populações com distribuição normal Variâncias populacionais são Variâncias populacionais são desconhecidasdesconhecidas

mas supostas mas supostas iguaisiguais

Teste t para Amostras Teste t para Amostras PequenasPequenas

2nngl

2nnS1nS1n

S

n1

n1

S

μμXXt

21

21

222

2112

P

21

2P

2121

Diferença Diferença supostasuposta

Exemplo de Teste t para Exemplo de Teste t para Amostras PequenasAmostras Pequenas

Você é um analista financeiro. Você deseja Você é um analista financeiro. Você deseja saber se há diferença nos rendimentos em saber se há diferença nos rendimentos em dividendos entre ações listadas no NYSE e dividendos entre ações listadas no NYSE e NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:NASDAQ. Você coletou os seguintes dados:

NYSENYSE NASDAQNASDAQNúmeroNúmero 21 21 2525MédiaMédia 3,273,27 2,532,53Desv. Pad.Desv. Pad. 1,301,30 1,161,16Supondo populações Supondo populações normaisnormais, , há diferença no rendimento há diferença no rendimento médiomédio ( ( = 0,05= 0,05)?)?

© 1984-1994 T/Maker Co.

Solução do Teste t para Solução do Teste t para Amostras PequenasAmostras Pequenas

1,510

22521

1,161251,30121

2nn

S1nS1nS

2,03

251

211

1,510

02,533,27

n1

n1

S

μμXXt

22

21

222

2112

P

21

2P

2121

Solução do Teste t para Solução do Teste t para Amostras PequenasAmostras Pequenas

HH00:: 1 1 - - 22 = 0 ( = 0 (1 1 = = 22))

HHaa:: 1 1 - - 22 0 ( 0 (1 1 22))

0,050,05

gl gl 21 + 25 - 2 = 4421 + 25 - 2 = 44



Decisão:Decisão:


t0 2.0154-2.0154

.025

Reject H 0 Reject H 0

.025

t0 2.0154-2.0154

.025


.025

2,03

251

211

1,510

2,533,27t


Há evidência de Há evidência de diferença nas médiasdiferença nas médias

Teste Z para Diferenças Teste Z para Diferenças entre entre

Duas ProporçõesDuas Proporções

Teste Z para Diferença Teste Z para Diferença entre Duas Proporçõesentre Duas Proporções

1.1. Hipóteses:Hipóteses: Populações são independentesPopulações são independentes Populações seguem distribuição binomialPopulações seguem distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usadaAproximação pela Normal pode ser usada

não contém 0 ou nnão contém 0 ou n p1pn3pn ˆˆˆ

Teste Z para Diferença Teste Z para Diferença entre Duas Proporçõesentre Duas Proporções

1.1. Hipóteses:Hipóteses: Populações são independentesPopulações são independentes Populações seguem distribuição binomialPopulações seguem distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usadaAproximação pela Normal pode ser usada

não contém 0 ou nnão contém 0 ou n

2.2. Teste Z para duas proporções:Teste Z para duas proporções:

p1pn3pn ˆˆˆ

21

21

21

2121

nnXX

p onde

n1

n1

p1p

ppppZ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

Exemplo de Teste Z para Exemplo de Teste Z para Duas Proporções Duas Proporções

Você quer testar a percepção Você quer testar a percepção de justiça de dois métodos de de justiça de dois métodos de avaliação de desempenho. avaliação de desempenho. 63 63 de de 78 78 empregados acharam o empregados acharam o Método 1Método 1 justo. justo. 49 49 de de 82 82 acharam o acharam o Método 2Método 2 justo. Ao justo. Ao nível de nível de 0,010,01, há , há diferença diferença nas nas percepções? percepções?

2,90

821

781

70010,70

059800,808

n1

n1

p1p

ppppZ

7008278

4963

nn

XXp

598082

49

n

Xp8080

78

63

n

Xp

21

2121

21

21

2

22

1

11

,

,

ˆˆ

ˆˆ

,ˆ

,ˆ,ˆ

Solução do Teste Z para Solução do Teste Z para Duas ProporçõesDuas Proporções

Solução do Teste Z para Solução do Teste Z para Duas ProporçõesDuas Proporções

HH00: : pp11 - - pp22 = 0 = 0

HH11: : pp11 - - pp22 0 0

= = 0,010,01

nn11 = = 78 78 nn22 = = 82 82



Decisão:Decisão:


Z0 2.58-2.58

.005


.005

Z0 2.58-2.58

.005


.005Rejeitar com Rejeitar com = 0,01 = 0,01

Há evidência de diferença Há evidência de diferença nas proporções nas proporções

Z 2 90.Z 2 90.

Capítulo 8 Inferências com Base em Duas Amostras Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA...

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