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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO DE JANEIRO
FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA BAIXADA FLUMINENSE
CAMPO CONCEITUAL DE VERGNAUD:
UM ESTUDO SOBRE O CAMPO CONCEITUAL
MULTIPLICATIVO
NO 6° ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
SEBASTIÃO LIBERATO DUARTE DA SILVA
DUQUE DE CAXIAS
FEVEREIRO, 2009
SEBASTIÃO LIBERATO DUARTE DA SILVA
CAMPO CONCEITUAL DE VERGNAUD:
UM ESTUDO SOBRE O CAMPO CONCEITUAL
MULTIPLICATIVO
NO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada como exigência
parcial para obtenção do grau de licenciado em
Matemática à Faculdade de Educação da
Baixada Fluminense, da Universidade do
Estado do Rio de Janeiro.
Orientadora: Maria Aparecida Ribeiro da Silva
Duque de Caxias
2009
AGRADECIMENTOS
RESUMO
O objetivo especifico desta monografia é uma pesquisa teórica abrangendo
a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud em relação ao campo multiplicativo,
estudando suas bases e características através de uma pesquisa empírica em
turmas de 6° Ano do Ensino Fundamental, onde o assunto referente a multiplicação e
divisão é bastante abordado através da introdução do conceito de conjuntos
numéricos e das operações numéricas. Será utilizado um questionário de perguntas
envolvendo assuntos sobre proporcionalidade, combinatória e organização
retangular da multiplicação para avaliar o nível dos alunos e para servir de referencial
para procedimentos posteriores.
SUMÁRIO
1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................... 00
1.1 Tema ....................................................................................................... 00
1.2 Justificativas ............................................................................................ 00
1.3 Questões de Pesquisas .......................................................................... 00
1.4 Objetivos ................................................................................................. 00
1.5 Hipótese .................................................................................................. 00
1.6 Quadro Teórico ....................................................................................... 00
1.7 Metodologia ............................................................................................ 00
1.8 Cronograma ............................................................................................ 00
1.9 Bibliografia .............................................................................................. 00
CAPITULO 1: INTRODUÇÃO
1.1 Tema
A partir de pesquisa feita no 6° ano do Ensino Fundamental, observa-se a
dificuldade dos alunos na compreensão das resoluções de problemas ligados à
Multiplicação e à Divisão.
Com base na Teoria dos Campos Conceituais do psicólogo francês
Gerard Vergnaud, onde se tem um conjunto de situações cujo domínio progressivo
demanda numa variedade de esquemas e também num conjunto de conceitos que
contribuem com o domínio dessas situações, será analisado o campo conceitual
multiplicativo nestas séries e como seu ensino está sendo segregado dos demais
conteúdos da Matemática.
1.2 Justificativas
Visto que através da educação tradicional os alunos são estimulados a
resolver os problemas através de um cálculo isolado do seu contexto, fazendo com
que o aprendizado fique centrado apenas na operação necessária para aquela
resolução. Este trabalho propõe uma resolução baseada em justificativas que levem
o aluno a compreender e interpretar a situação proposta.
1.3 Objetivos
Visa investigar os meio de ensino e de aprendizagem do campo
multiplicativo e propor o desenvolvimento do ensino baseado nas estruturas
multiplicativas de modo a fazer com que o aluno compreenda a situação que lhe for
proposta.
1.4 Hipóteses
Demonstrar que a partir do estudo do campo multiplicativo, o aluno no
desenvolvimento de suas competências conseguirá resolver um problema usando os
esquemas adquiridos ou modificados, e por meio destes poderá relacionar com
outras situações do seu cotidiano.
CAPITULO 2: TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
A Teoria dos Campos Conceituais é uma teoria desenvolvida pelo
psicólogo francês Gérard Vergnaud, discípulo de Piaget e diretor de pesquisa do
Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS). As bases da Teoria dos Campos
Conceituais estão em Piaget, nos conceitos de adaptação, desequilibração, mas
principalmente no conceito de esquema, que Vergnaud considera a pedra angular
de sua teoria.
Para Piaget deve-se falar em interação sujeito-objeto, já para Vergnaud
deve-se falar em esquema-situação, pois para Vergnaud os esquemas se referem às
situações. Piaget Foi uns dos psicólogos que mais contribuiu para que a Lógica e a
Matemática pudessem ser tratadas como formas de organização da atividade
intelectual humana.
Contudo, apesar da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud possuir
sua base em Piaget, ela se ocupa mais com o estudo do desenvolvimento do sujeito
em situação do que com concebe o desenvolvimento intelectual em um contínuo
processo de construção e reconstrução de esquemas. Vergnaud toma como
problema central da cognição a conceitualização, que para ele é o âmago do
desenvolvimento cognitivo, e a partir dessa premissa desenvolve uma teoria
psicológica onde se postula que o conhecimento encontra-se organizado em
campos conceituais, cujo domínio requer o manejo simultâneo de conceitos,
procedimentos e representações de natureza distinta.
A definição de conceito envolve três conjuntos que podem ser
representados por um tripleto de conjunto C = {S; I; R} onde S é o conjunto de
situações que lhes dão significado e é o referente do conceito; I é o conjunto de
invariantes que podem ser vistos como as propriedades distintivas do conceito e é o
significado de um conceito; e R é o conjunto de símbolos utilizados na
representação do conceito, que é o significante de um conceito. O conjunto de
situações S corresponde à realidade, os conjuntos de invariantes I e representações
R são considerados os aspectos do pensamento de um conceito, o significado e seu
significante.
Um conceito torna-se significativo através de uma variedade de situações.
São as situações que dão sentido ao conceito, não que sejam as situações a causa
do sentido, mas são as relações existentes entre o sujeito e as situações fazem com
que haja sentido.
Vergnaud considera duas idéias principais: a idéia de Variedade, onde
existe uma grande variedade de situações em um campo conceitual dado, para as
quais as variáveis de situações constituem um meio para gerar de modo sistemático
o conjunto de classes de situações. E a idéia de História, onde os conhecimentos
dos alunos são elaborados pelas situações que eles enfrentaram e dominaram
progressivamente, sobretudo pelas primeiras situações em que esses
conhecimentos foram constituídos.
O desenvolvimento cognitivo ocorre, quando o estudante é submetido a
distintas situações e as domina progressivamente. Assim, as situações propostas
são fundamentais no processo de aprendizagem. Existem duas classes de situação:
aquelas em que o sujeito já dispõe de esquemas necessários para resolvê-las; e
aquelas em que o sujeito não dispõe de todos os esquemas necessários para
resolvê-las, sendo necessário o teste de vários esquemas até encontrar, ou não, o
esquema apropriado para resolver aquela situação.
Piaget define esquema como estruturas mentais ou cognitivistas pelas
quais os indivíduos intelectualmente se adaptam e organizam o meio, ou seja, a
forma de organização tanto das habilidades sensório-motoras como das habilidades
intelectuais.
Para Vergnaud esquema é a forma estrutural da atividade, é a
organização invariante do sujeito ou do comportamento sobre uma classe de
situações dadas. Estas situações contêm conhecimentos em ação ou invariantes
operatórios – elementos cognitivos que fazem com que a ação do sujeito venha ser
operatória - que são implícitos e se designam por teoremas em ação e conceitos em
ação.
Teoremas em ação e conceitos em ação são, respectivamente,
proposições tidas como verdadeiras sobre o real e categorias de pensamentos tidas
como pertinentes. Entende-se que conceito em ação não é um verdadeiro conceito
científico e nem teorema em ação é um verdadeiro teorema cientifico, mas os dois
podem, ainda que de forma progressiva, se tornarem verdadeiros conceitos e
teoremas científicos.
Talvez a mudança conceitual leve algum tempo, pois entre os invariantes
que os sujeitos constroem ao interagir com o meio e os invariantes que constituem o
conhecimento cientifico há uma brecha. Podemos entender os invariantes como as
propriedades que definem o conceito e as situações como as propriedades que
amplificam o conceito.
Para entender melhor as definições de conceito, situação e invariante
operatório podemos imaginar um exemplo simples mencionado no texto abaixo:
Podemos ter um conceito de estações do ano definido
como as variações climáticas típicas de uma região em certas
épocas do ano. Esse conceito gera no Sul do Brasil, a divisão do ano
em quatro estações: primavera, verão, outono, inverno. No verão faz
calor; no inverno faz frio. Se mudarmos para o Nordeste, não
precisamos reformular nossa definição de estações do ano; as
estações do ano continuam sendo variações climáticas típicas de
certas épocas do ano em certas regiões. No entanto, no Nordeste, no
verão faz calor e no inverno também. A variação climática que
distingue o verão do inverno é a presença de chuva. Os invariantes
de nossa definição de estações do ano permanecem os mesmos; o
conceito de inverno muda, porque agora conhecemos novas
situações que dão significado à idéia de inverno... Em síntese,
embora os invariantes possam ser universais, os conceitos definidos
pelos mesmos invariantes não são idênticos, porque as diferenças
culturais que operam na criação de situações que dão significado aos
conceitos e na eleição de formas de representação resultam em
diferentes organizações conceituais. (SCHLIEMANN, Analúcia Dias.
Na Vida Dez, Na Escola Zero. 10 ed. São Paulo: Cortez, 1995).
Quando um indivíduo se depara com certa situação ele faz uso dos seus
esquemas, e consecutivamente de seus invariantes operatórios. Se o esquema
acessado se torna ineficaz diante da situação a experiência o leva mudar de um
esquema ineficaz para outro esquema eficaz, ou o leva a modificar o esquema
usado. Por isso Vergnaud toma o esquema como pedra fundamental de sua teoria,
pois o desenvolvimento cognitivo, do qual a conceitualização é o núcleo, consiste no
desenvolvimento de um vasto repertório de esquemas.
Vergnaud também toma como referencia Vygotsky, considerando também
o professor como mediador no processo do domínio de um campo conceitual por um
aluno. Para Vergnaud o papel do professor é levar o aluno a desenvolver seus
esquemas e suas representações, fazendo uso de símbolos para que o processo de
acomodação venha acontecer de melhor maneira, e principalmente prover situações
aos alunos para melhor significação de um conceito.
Tais situações devem sempre ser selecionadas dentro da zona de
desenvolvimento proximal do aluno, considerando também a importância da
interação social, da linguagem e da simbolização no progressivo domínio do campo
conceitual. O aluno que desenvolve seu repertório de esquemas e representações,
automaticamente também consegue enfrentar situações cada vez mais complexas.
Sendo assim, para que haja a construção de um conceito, primeiro tem
que haver a resolução de problemas, onde se entende que problema é uma situação
onde ocorre um desequilíbrio, ou seja, que exige uma solução não imediata, mas
para a qual dispomos de meios intelectuais de resolução. Em resumo tem-se que é
através das situações e diante de uma resolução de problema, que o aluno
desenvolve os conceitos necessários para alcançar o êxito em mais uma etapa.
Vergnaud chama de ―ilusão pedagógica‖ a atitude dos professores que
acreditam que o ensino está baseado somente na apresentação organizada da
matéria. A escola valoriza o conhecimento explicito e subestima o conhecimento
implícito, não levando em conta que a maior parte de nossa atividade mental e física
é construída de esquemas, que possuem os invariantes operatórios como
componentes essenciais e que são de caráter muitas vezes implícitos.
A escola precisa entender que não é porque o aluno é capaz de resolver
certa tarefa, que ele também será capaz de explicá-la. Os alunos muitas vezes
resolvem problemas usando conhecimentos em ação que até podem conduzi-los a
uma boa resposta diante de certa situação, mas que não funcionam para outras
situações que venham a ser diferentes daquelas que o aluno resolveu inicialmente.
É normal que o aluno continue usando conhecimentos implícitos ao mesmo tempo
em que vai se apropriando dos conhecimentos explícitos. Enquanto o campo
conceitual é dominado pelo aluno, o conhecimento implícito vai evoluindo para o
explicito, ao invés de ser substituído por ele.
Temos então que um campo conceitual é um conjunto de situações que
implica no domínio de vários conceitos, procedimentos e representações de
naturezas distintas. Um campo conceitual é um conjunto informal e heterogêneo de
problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de
pensamentos, conectados uns aos outros, e provavelmente entrelaçados durante o
processo de aquisição.
CAPITULO 3: CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO E O PCN
Na Teoria dos Campos Conceituais Vergnaud diferencia campo aditivo de
campo multiplicativo. Em resumo temos no campo aditivo, a abordagem da adição e
da subtração e no campo multiplicativo, a abordagem da multiplicação e da divisão.
A teoria dos campos conceituais se coloca em contraposição ao ensino
convencional e esta teoria vem romper com o ensino tradicional. Um dos maiores
erros da escola é segregar a adição da subtração e a multiplicação da divisão e
também o campo aditivo do campo multiplicativo. O ensino do campo aditivo e do
campo multiplicativo pode se dar de forma paralela e não linear e as relações
existentes entre adição e multiplicação devem ser explicitadas. Como exemplos têm
que a composição e a decomposição de números servem de base para progressão
do aluno no campo multiplicativo, como vemos abaixo:
6 X 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 6 + 6 = 12
6 : 2 = 6 – 2 – 2 – 2 = 6 – 3 X 2 = 3
E também servem de base para a progressão do valor posicional e real
dos algarismos, como no exemplo de problema dado por Carvalho abaixo, onde de
uma situação inicial se derivam outras três situações possíveis no campo aditivo que
apresentam dificuldades diferentes:
1) Eu tinha cinco bolinhas de gude, ganhei quatro. Quantas bolinhas eu tenho
agora?
2) Pedro tinha cinco bolinhas de gude, ganhou quatro. Quantas bolinhas têm
agora?
3) João ganhou quatro bolinhas de gude, tem agora nove bolinhas. Quantas
bolinhas ele tinha antes de jogar?
4) Antônio tinha cinco bolinhas de gude, agora tem nove. Quantas bolinhas
Antônio ganhou no jogo?
Da mesma forma se dá no campo multiplicativo, desta vez usando um
exemplo tirado da revista Nova Escola:
1) 8 crianças levaram 16 refrigerantes o aniversário de Carolina. Se todas as
crianças levaram a mesma quantidade de bebida, quantas garrafas levaram
cada uma?
2) Numa festa foram levados 16 refrigerantes pelas crianças e cada uma delas
levou 2 garrafas. Quantas crianças havia?
3) 4 crianças levaram 8 refrigerantes à festa. Supondo que todas levaram o
mesmo úmero de garrafas, quantos refrigerantes haveria se 8 crianças
fossem a festa?
Vergnaud propõe em Matemática, o estudo de dois campos conceituais,
os de estrutura aditiva e os de estrutura multiplicativa.
Esta pesquisa se atém ao campo conceitual multiplicativo. Tendo em vista
que muitas escolas e professores não fazem uso das estruturas multiplicativas, tem
se como objetivo destacar os pontos principais desse campo conceitual com o
objetivo de melhorar o ensino de Matemática principalmente no conteúdo do 6º ano
do Ensino Fundamental.
Na definição do campo conceitual multiplicativo, Vergnaud o define como
o campo conceitual das estruturas multiplicativas em que se consistem todas as
situações que podem ser analisadas como problemas de proporções simples e
múltiplas para os quais geralmente é necessária uma multiplicação, uma divisão ou
uma combinação dessas operações. Entre tais conceitos estão o de função linear,
função não-linear, espaço vetorial, análise bidimensional, fração, razão, taxa,
número racional, multiplicação e divisão.
O domínio de um campo conceitual não ocorre em alguns meses e nem
mesmo anos, pois novos problemas e novas propriedades surgem no decorrer do
tempo e não podem ser contornados, mas sim superados na medida em que são
encontrados. Talvez seja pela complexidade do campo conceitual, que é decorrente
da necessidade de abarcar em uma única perspectiva teórica todo o
desenvolvimento de situações progressivamente dominadas, que muitos optam por
não usá-lo e outros até o desconhecem ele. Em relação ao uso das estruturas
multiplicativas na sala de aula, percebe-se que muitos professores não
compreendem realmente o que se busca com o uso do campo conceitual
multiplicativo. Por causa disso há a segregação da multiplicação e da divisão em
muitas escolas e por muitos professores, sendo estes assuntos tratados de formas
diferentes, enquanto ambos possuem características comuns.
Vergnaud propõe quatro classes que podem ser trabalhadas nas
estruturas multiplicativas: a comparação multiplicativa, a proporcionalidade simples,
a proporcionalidade simples composta e a proporcionalidade dupla (ou múltipla).
Comparação multiplicativa
Nesta categoria se encontram os problemas que utilizam uma única
grandeza. Exemplos:
João possui 30 bolinhas de gude e Pedro possui o dobro de João. Quantas
bolinhas de gude Pedro possui?
Uma camisa na loja A custa R$ 15,00 e na loja B custa R$ 37,50. Quantas
vezes mais a camisa custa na loja B do que na loja A?
Proporcionalidade simples
Nesta categoria encontram-se geralmente problemas que buscam a
quarta proporcional. São situações que podem ser representadas por uma tabela
numérica e estão associadas a uma função linear que conduz a multiplicação.
Exemplo:
Maria pagou R$ 20,00 por quatro blusas. Quanto custa cada blusa?
José comprou cinco pipas pagando R$ 0,50 por cada pipa. Quanto José
pagou pelas cinco pipas?
Proporcionalidade simples composta
Nesta categoria se definem duas relações de proporcionalidade simples e
a situação que leva a compor essas duas relações de proporcionalidade. Exemplo:
Um carro de fórmula 1 corre em uma pista de 15 Km. A média de velocidade a
cada volta é de 300 Km/h. Quantas voltas o piloto terá dado com seu carro
depois de 2 horas de corrida?
Um mercado comprou R$ 864,00 de leite integral saindo a R$ 1,20 cada
embalagem de leite. As embalagens vêm em fardos e em cada fardo vêm 12
embalagens de leite. Quantos fardos o mercado receberá?
Proporcionalidade dupla (ou múltipla)
São problemas que intervêm dois domínios de grandeza ou mais, que são
independentes tais que uma relação associa um par de medidas para cada
grandeza:
Uma churrascaria oferece três tipos de carne e cinco tipos de bebida. De quantas
formas se pode alimentar nesta churrascaria escolhendo um tipo de carne e um
tipo de bebida?
Um tabuleiro de bolo possui 15 cm de largura e 10 cm de comprimento. Qual é a
área desse tabuleiro?
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) também apontam a
resolução de problemas como uma forma de ensino-aprendizagem de Matemática.
Não para utilizar os problemas como forma de aplicação de conhecimentos
adquiridos anteriormente pelos alunos como muitas escolas e professores o tem
usado, mas sim como um conjunto de conceitos inter-relacionados que venha
permitir ao aluno resolver um conjunto de problemas. Este método de ensino-
aprendizagem é bem similar à proposta de ensino-aprendizagem de Vergnaud
através dos campos conceituais, que é um conjunto de situações cujo domínio
requer o domínio de vários conceitos, procedimentos e representações de naturezas
distintas. Isso fica bem claro nas definições e justificativas dadas pelo próprio PCN:
A resolução de problemas, na perspectiva indicada
pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar
conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as
informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão
oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos
e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que
têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e
desenvolver sua autoconfiança.
A própria História da Matemática mostra que ela foi
construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes
origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática
(divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a
outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas
relacionados a investigações internas à própria Matemática.
A resolução de problemas, como eixo organizador do
processo de ensino e aprendizagem de Matemática, pode ser
resumida nos seguintes princípios:
A situação-problema é o ponto de partida da
atividade Matemática e não a definição. No processo de
ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos
matemáticos devem ser abordados mediante a
exploração de problemas, ou seja, de situações em que
os alunos precisem desenvolver algum tipo de
estratégia para resolvê-las;
O problema certamente não é um exercício em que
o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula
ou um processo operatório. Só há problema se o aluno
for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe
é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;
Aproximações sucessivas de um conceito são
construídas para resolver certo tipo de problema; num
outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para
resolver outros, o que exige transferências, retificações,
rupturas, segundo um processo análogo ao que se
pode observar na História da Matemática;
Um conceito matemático se constrói articulado com
outros conceitos, por meio de uma série de retificações
e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o aluno
constrói um campo de conceitos que toma sentido num
campo de problemas, e não um conceito isolado em
resposta a um problema particular;
A resolução de problemas não é uma atividade para ser
desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas
uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto
em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes
matemáticas. (PCN)
Com isto o PCN tem o propósito de que o aluno elabore procedimentos
para que aquele problema seja solucionado e confirme se realmente o procedimento
elaborado por ele seja valido para todo tipo de situação proposta por aquele
problema. Com este método a importância do método de resolução ocupa o lugar da
importância da resposta correta, pois agora o objetivo é que o aluno desenvolva
habilidades referentes àquela situação-problema.
Para o PCN a aprendizagem matemática está ligada à atribuição e
apreensão matemática, o aluno deve ser capaz de estabelecer conexões entre o
significado matemático e as demais áreas e temas que a Matemática aborda. O
ensino matemático baseado no PCN para o 3º ciclo deve destacar que as situações
de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na
elaboração de estratégias e na resolução de problemas.
No 3º ciclo o PCN indica que o ensino de Matemática deve visar o
desenvolvimento:
Do pensamento numérico, por meio da exploração de situações
de aprendizagem que levem o aluno a:
o Ampliar e construir novos significados para os
números – naturais, inteiros e racionais - a partir de sua
utilização no contexto social e da análise de alguns
problemas históricos que motivaram sua construção;
o Resolver situações-problema envolvendo números
naturais, inteiros, racionais e a partir delas ampliar e
construir novos significados da adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação;
o Identificar, interpretar e utilizar diferentes
representações dos números naturais, racionais e
inteiros, indicadas por diferentes notações, vinculando-
as aos contextos matemáticos e não-matemáticos;
o Selecionar e utilizar procedimentos de cálculo (exato
ou aproximado, mental ou escrito) em função da
situação-problema proposta.
Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações
de aprendizagem que levem o aluno a:
o Reconhecer que representações algébricas permitem
expressar generalizações sobre propriedades das
operações aritméticas, traduzir situações-problema e
favorecer as possíveis soluções;
o Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos
em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando
regularidades e identificar os significados das letras;
o Utilizar os conhecimentos sobre as operações
numéricas e suas propriedades para construir
estratégias de cálculo algébrico.
o Do pensamento geométrico, por meio da exploração
de situações de aprendizagem que levem o aluno a:
o Resolver situações-problema de localização e
deslocamento de pontos no espaço, reconhecendo nas
noções de direção 65 e sentido, de ângulo, de
paralelismo e de perpendicularismo elementos
fundamentais para a constituição de sistemas de
coordenadas cartesianas;
o Estabelecer relações entre figuras espaciais e suas
representações planas, envolvendo a observação das
figuras sob diferentes pontos de vista, construindo e
interpretando suas representações;
o Resolver situações-problema que envolva figuras
geométricas planas, utilizando procedimentos de
decomposição e composição, transformação,
ampliação e redução.
Da competência métrica, por meio da exploração de situações
de aprendizagem que levem o aluno a:
o Ampliar e construir noções de medida, pelo estudo
de diferentes grandezas, a partir de sua utilização no
contexto social e da análise de alguns dos problemas
históricos que motivaram sua construção;
o Resolver problemas que envolvam diferentes
grandezas, selecionando unidades de medida e
instrumentos adequados à precisão requerida.
Do raciocínio que envolva a proporcionalidade, por meio da
exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a:
o Observar a variação entre grandezas, estabelecendo
relação entre elas e construir estratégias de solução
para resolver situações que envolvam a
proporcionalidade.
Do raciocínio combinatório, estatístico e probabilístico, por meio
da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a:
o Coletar, organizar e analisar informações, construir e
interpretar tabelas e gráficos, formular argumentos
convincentes, tendo por base a análise de dados
organizados em representações matemáticas diversas;
o Resolver situações-problema que envolva o raciocínio
combinatório e a determinação da probabilidade de
sucesso de um determinado evento por meio de uma
razão. (PCN)
Esta pesquisa tem por fim a análise da aplicação do campo multiplicativo
no 6º ano do Ensino Fundamental, que faz parte do 3º ciclo. E observando a
proposta do PCN para o ensino de Matemática para o 6º ano se percebe que o PCN
também indica o uso dos campos conceituais:
Conceitos como os de múltiplo e divisor de um número
natural ou o conceito de número primo podem ser abordados neste
ciclo como uma ampliação do campo multiplicativo, que já vinha
sendo construído nos ciclos anteriores, e não como assunto novo,
desvinculado dos demais. Além disso, é importante que tal
trabalho não se resuma à apresentação de diferentes técnicas ou
de dispositivos práticos que permitem ao aluno encontrar,
mecanicamente, o mínimo múltiplo comum e máximo divisor
comum sem compreender as situações-problema que esses
conceitos permitem resolver.
Os números inteiros podem surgir como uma ampliação
do campo aditivo, pela análise de diferentes situações em que esses
números estejam presentes. (PCN)
O PCN ainda indica a necessidade de trabalhar paralelamente a
multiplicação e a divisão para que se desenvolva uma compreensão mais ampla da
multiplicação, envolvendo os significados dessas operações ocorrem em situações
que ocorrem em situações dos tipos a seguir:
Associadas à comparação entre razões e que, portanto, envolvem
a idéia de proporcionalidade. Exemplo:
Se 8 metros de tela custam R$ 5, 80, quanto pagarei
por 16 metros de tela? (situação em que o aluno deve perceber
que comprará o dobro de tela e que deverá pagar — se não
houver desconto — o dobro de R$ 5, 80, não sendo necessário
achar o preço de 1 metro para depois calcular o de 16).
A partir das situações de proporcionalidade, é possível formular
outras que vão conferir significados à divisão, associadas às ações
repartir (igualmente) e ―determinar quanto cabe‖. Exemplos
associados ao primeiro problema:
Paguei R$ 11,60 por 4 metros de tela. Quanto custa
0,50 m dessa mesma tela? (Como 0,5 cabe 8 vezes em quatro, a
quantia em dinheiro será repartida igualmente em 8 partes e o que
se procura é o valor de uma parte, ou calcular quanto custa cada
metro e achar a metade).
Paguei R$ 11,60 por um rolo de tela cujo metro custa
R$ 2,90. Quantos metros de tela há no rolo? (Procura-se verificar
quantas vezes R$ 2,90 cabe em R$ 11,60 identifica-se a
quantidade de partes.)
Associadas ao produto de medidas. Exemplos:
Qual é a área em centímetros quadrados de um
retângulo cujos lados medem 6 cm e 9 cm?
Qual é o volume em centímetros cúbicos de uma caixa
em forma de paralelepípedo retângulo de 5 cm² de área da base e
8 cm de altura?
Associadas à idéia de combinatória. Exemplo:
Lancei dois dados: um vermelho e um azul. Quantos
resultados diferentes são possíveis encontrar?
A combinatória também está presente em situações relacionadas
com a divisão:
No decorrer de uma festa, foi possível formar 12 casais
diferentes para dançar. Se havia 3 moças e todas elas dançaram
com todos os rapazes, quantos eram os rapazes? (PCN)
Nota-se a familiaridade das definições do PCN com os conceitos do
campo multiplicativo, e com todos esses pontos abordados podemos então melhor
definir os conteúdos que devem ser abordados no 6º ano visando o ensino do
campo multiplicativo, classificando três conceitos do campo multiplicativo: a
proporcionalidade, a organização retangular (análise dimensional) e a
combinatória.
Proporcionalidade: O objetivo do aprendizado da proporcionalidade é
com que o aluno venha a perceber alguma regularidade entre elementos
de uma mesma tabela.
Organização retangular (análise dimensional): A partir de áreas e
medidas envolvendo situações geométricas o aluno não somente
aprende o conceito multiplicativo como também progride em geometria e
na percepção do espaço.
Combinatória: Muitas vezes esse conteúdo é restringido somente ao
Ensino Médio, mas seu ensino pode ser iniciado desde o 1º ou 2º ciclo.