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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis
PESQUISA PESQUISA OPERACIONALOPERACIONAL
PROF. EDILSON M. PROF. EDILSON M. DE ASSISDE ASSIS
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JustificativaJustificativa
Atualmente, no mundo dos negAtualmente, no mundo dos negóócios cios buscambuscam--se modelos de atividades e se modelos de atividades e comportamentos necesscomportamentos necessáários ao rios ao fortalecimento das organizafortalecimento das organizaçções, voltados ões, voltados a oferecer a satisfaa oferecer a satisfaçção a seus ão a seus proprietproprietáários, trabalhadores, fornecedores rios, trabalhadores, fornecedores e consumidores.e consumidores.
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A disputa pela conquista de maiores fatias A disputa pela conquista de maiores fatias do mercado consumidor, o enfrentamento do mercado consumidor, o enfrentamento da concorrência, a busca pela qualidade da concorrência, a busca pela qualidade do servido serviçço ou do produto e melhoria do o ou do produto e melhoria do ambiente social tornaramambiente social tornaram--se desafios se desafios constantes em todos os ramos da constantes em todos os ramos da atividade humana. atividade humana. Maximizar os Maximizar os resultados e minimizar os dispêndios, resultados e minimizar os dispêndios, solucionando os problemas da melhor solucionando os problemas da melhor maneira possmaneira possíível por meio de modelos vel por meio de modelos matemmatemááticos tornouticos tornou--se um imperativo no se um imperativo no mundo competitivo em que vivemos.mundo competitivo em que vivemos.
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CONHECIMENTOS NECESSCONHECIMENTOS NECESSÁÁRIOS:RIOS:
OPERAOPERAÇÇÕES MATEMÕES MATEMÁÁTICAS BTICAS BÁÁSICASSICAS
OPERAOPERAÇÇÕES COM FRAÕES COM FRAÇÇÕESÕES
EQUAEQUAÇÇÕES E INEQUAÕES E INEQUAÇÇÕESÕES
GRGRÁÁFICO CARTESIANOFICO CARTESIANO
FUNFUNÇÇÃO LINEARÃO LINEAR
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Bibliografia (deste material)Bibliografia (deste material)
Andrade, E. L. Andrade, E. L. IntroduIntroduçção ão àà Pesquisa Pesquisa Operacional.Operacional.CTC Editora,1998.CTC Editora,1998.
EhrlichEhrlich, Pierre J. , Pierre J. Pesquisa operacional: Pesquisa operacional: curso introdutcurso introdutóóriorio. São Paulo: Atlas, . São Paulo: Atlas, 1991.1991.
LachtermacherLachtermacher, Gerson. , Gerson. Pesquisa Pesquisa Operacional na tomada de decisõesOperacional na tomada de decisões. . Editora Campus. Rio de Janeiro,2002.Editora Campus. Rio de Janeiro,2002.
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Bibliografia (deste material)Bibliografia (deste material)
Oberstone, Joelee. Management Science concepts, insights and applications. West Publishing Company. St.Paul.1990.
Silva, E.M.; Silva, E.M.; GonSilva, E.M.; Silva, E.M.; Gonççalves V.; alves V.; MuroloMurolo, A.C. , A.C. Pesquisa Operacional: Pesquisa Operacional: ProgramaProgramaçção Linear e Simulaão Linear e Simulaççãoão. 3a . 3a ediediçção. Editora Atlas,1998.ão. Editora Atlas,1998.
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Conceito
A Pesquisa Operacional trata da busca da melhor utilização técnica, econômica, social ou política de recursos e processos, por meio da aplicação de métodos científicos, visando a maior satisfação do usuário. De um ponto de vista mais específico a Pesquisa Operacional cuida da modelagem matemática aplicada à área de negócios.
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
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IntroduçãoA ciência da administração
(Management Sciences) é a área de estudos que utiliza computadores, estatística e matemática para resolver problemas de negócios sendo considerada uma subárea da Pesquisa Operacional. Há poucos anos as sociedades que estudavam separadamente as duas áreas de estudo se fundiram e aqui no Brasil foi criada a SOBRAPO – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional.
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
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Introdução
O desenvolvimento de um trabalho de P.O envolve equipes multi-disciplinares para a aplicação dos métodos científicos a problemas reais encontrados nos sistemas de produção de bens e serviços, como ferramenta auxiliar para a tomada de decisões, em quaisquer setores e níveis da economia
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
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Histórico
Na década de 50, professores da USP, ITA e PUC-RJ, com formação no exterior, criaram os primeiros cursos de graduação que incluíam disciplinas de P.O, como o de Engenharia da Produção, e que foram incluídas também em outros cursos, jáexistentes, como os de Economia, Engenharia, Matemática e Estatística.
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
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HistóricoA partir de 1960, a criação de cursos de pós-graduação na área de P.O e a aquisição dos primeiros computadores multiplicaram as possibilidades de sua aplicação. Várias empresas começaram a utilizar a P.O, estreitando um proveitoso relacionamento com as Universidades. O primeiro exemplo desta relação foi o da PUC-RJ com as empresas SOCIL e Anhanguera, para o desenvolvimento de programas de minimização de custo de rações para animais, usando Programação Linear.
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
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Os principais setores a empregar técnicas de P.O, na época, foram:1 - Siderurgia (CSN, Cia. Vale do Rio Doce)2 - Eletricidade (Cia Nacional de Energia Elétrica)3 - Transportes (FRONAPE)4 - Petróleo (PETROBRÁS, ESSO)5 - TelecomunicaçõesEm função da grande aplicabilidade de seus conceitos, incluindo grandes projetos em obras estatais, foi criada, em 1968, a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional – SOBRAPO
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
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Histórico
A década de 70 consolidou a P.O, no Brasil, com um maior interesse das empresas e um maior contingente de profissionais habilitados na área, permitindo a formação de grupos próprios de P.O, visando a solução de problemas táticos e o planejamento estratégico, naquelas empresas.
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
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Histórico
Nos anos seguintes, embora consolidada, a P.O. aplicada ao planejamento estratégico de empresas, perdia o sentido frente à situação imprevisível da economia nacional. Ao mesmo tempo, no entanto, houve grande incremento do instrumental científico, com o desenvolvimento de softwares e dos microcomputadores.
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
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Histórico
Na década de 90 a P.O ganha um novo impulso, nesta década, nas áreas de:
• administração (tomada de decisões), visando a qualidade dos processos de produção e• atendimento (serviços, desenvolvimento de linhas de produtos, comercialização e marketing).
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
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Trabalhos por área em 24 simpósios da SOBRAPO
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
5,0%Agropecuária6,5%Siderurgia8,0%Telecomunicações8,0%
Planejamento e Controle da Produção
9,0%Logística11,5%Economia e Finanças19,0%Energia21,0%Transportes
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Fases de um Estudo em P.O.Fases de um Estudo em P.O.
Um estudo em Pesquisa Operacional costuma envolver seis fases:
1.Formulação do problema;2.Construção do modelo do sistema;3.Cálculo da solução;4.Teste do modelo e da solução;5.Estabelecimento de controles da
solução;6. Implementação e acompanhamento;
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Formulação do Problema1.Colocar o problema de maneira clara e
coerente.2.Definir os objetivos a alcançar e quais
os possíveis caminhos alternativos para que isso ocorra.
3.Levantar as limitações técnicas do sistema e as relações desse sistema com outros ou ambiente externo
4.Criar uma medida de eficiência para o sistema.
FASE 1FASE 1
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Construção do Modelo do SistemaOs modelos são matemáticos, isto é,
modelos formados por um conjunto de equações e inequações.
Uma das equações do conjunto serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta é a função objetivo.
As inequações geralmente descrevem as limitações ou restrições técnicas do sistema. As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:
FASE 2FASE 2
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Construção do Modelo do Sistema
As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:
• Variáveís controladas ou de decisão -são variáveis cujo valor está sob controle do administrador.
• Variáveis não controladas - são as variáveis cujos valores são atribuídos por sistemas fora do controle do administrador
FASE 2FASE 2
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Construção do Modelo do Sistema
As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:
• Variáveís controladas ou de decisão -são variáveis cujo valor está sob controle do administrador.
• Variáveis não controladas - são as variáveis cujos valores são atribuídos por sistemas fora do controle do administrador
FASE 2FASE 2
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Cálculo da solução
É feito através de técnicas matemáticas específicas.
A construção do modelo deve levar em consideração disponibilidade de uma técnica para o cálculo da solução.
FASE 3FASE 3
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Teste do modelo e da solução• Se houver dados históricos, eles serão
aplicados no modelo, gerando um desempenho que pode ser comparado ao observado no sistema. Se o desvio verificado não for aceitável, reformular o abandonar o modelo
• Se não houver dados históricos, os dados serão anotados com o sistema funcionando sem interferência até que permitam que o teste possa ser realizado.
FASE 4FASE 4
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Estabelecimento de controles da soluçãoPara a construção e experimentação do
modelo são criados parâmetros.
Qualquer mudança nesses parâmetros deverá ser controlada para garantir a validade da solução adotada.
Caso alguns desses parâmetros sofra desvio além do permitido, o cálculo de nova solução ou mesmo a reformulação do modelo poderá ser necessária.
FASE 5FASE 5
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Implementação e acompanhamento
Nesta fase, a solução será apresentada ao administrador, evitando-se o uso da linguagem técnica.
O uso da linguagem simples facilita a compreensão e a boa vontade para a implantação que está sendo sugerida.
Importante acompanhar o comportamento do sistema.
FASE 6FASE 6
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TEORIA
DAS
FILAS
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Introdução
Teoria das filas é o estudo matemático das linhas de espera. O primeiro trabalho importante feito neste campo foi realizado pelo engenheiro A. K. Erlang. Erlangmodelou a flutuação na demanda dos serviços de telefonia e a capacidade da companhia telefônica lidar com esta demanda.
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Introdução
Linhas de espera são um fenômeno comum. Elas ocorrem toda vez que a demanda instantânea por um serviço excede a capacidade de atendimento. Em negócios, freqüentemente tem que se tomar decisões sobre o nível de serviço a oferecer. Oferecer um serviço de nível excepcionalmente alto é muito custoso.
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Introdução
Por outro lado, não oferecer serviços suficientemente eficazes, provoca longas filas de espera e perdas financeiras. Assim a meta do administrador deve ser encontrar o equilíbrio entre a demanda e a oferta de um serviço.
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Exemplos de aplicaçãoA Teoria das Filas é uma das mais
antigas técnicas da ciência de administração. Sua aplicação data do início do século XX. A seguir, alguns casos de aplicação:
•Serviço de embarque de passageiros em aeroportos (1979)•Alocação de leitos em albergues públicos (1981)
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Exemplos de aplicação
•Análise de falta de combustíveis (1974)•Projeto de um sistema de denúncias por telefone do Centro de Abusos Contra a Criança do Estado de Nova Iorque (1979)•Desenvolvimento de unidades de serviço de emergência (1975)•Análise do tempo de viagem de rádio-patrulhas da cidade de Nova Iorque (1987)
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Consideração sobre estado estávelÉ importante manter em mente que
em todos os casos aqui tratados, assume-se que o sistema opera em estado estável.
De fato, a grande maioria dos sistemas de espera opera em estado estável ou próximo destas condições. Esta simplificação é muito útil pois a análise de transientes é muito difícil e nos casos mais complexos pode ser matematicamente intratável.
Teoria das FilasTeoria das Filas
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O Sistema de FilaA figura abaixo detalha um sistema
de fila.
Teoria das FilasTeoria das Filas
Fila (clientes)
Entrada Saída
Unidade de Atendimento
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Definições:Cliente - unidade de chegada que requer atendimento. Ex.: pessoas, peças, máquinas, etc.
Fila (linha de espera) - número de clientes esperando atendimento. Não inclui o cliente que está sendo atendido.
Canal de Atendimento - processo ou sistema que realiza o atendimento do cliente. Pode ser canal único ou múltiplo.
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Exemplos de Sistemas de Filas
Situação Processo de Entrada Processo de Saída
Banco Usuários chegando ao banco Usuário atendido pelo caixa
Atendimento em pizzaria Pedido para entrega de pizza Pizzaria envia pizzas para o cliente
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Exemplos de Sistemas de Filas
Banco de Sangue Chegada de bolsa com sangue Bolsa usada por paciente
Estaleiro de Navios Navio necessitando reparo é enviado para o estaleiro Navio reparado volta o para o mar
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Parâmetros de operação das filas Taxa média de chegada - taxa
(clientes / unidade de tempo) segundo a qual os clientes chegam para ser atendidos.
Taxa média de atendimento - taxa (clientes / unidade de tempo) segundo a qual um canal de atendimento pode efetuar o atendimento de um cliente.
Fator de utilização para uma unidade de atendimento – proporção do tempo em que os atendentes estão ocupados.
Teoria das FilasTeoria das Filas
λ
µ
ρ
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n Número de clientes no sistemac Número máximo de clientes permitidos em um sistema de fila com comprimento finitos Número de atendentes ou servidores.
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Po Probabilidade de que nenhum cliente esteja no sistema.Pn Probabilidade de que exatamente n clientes estejam no sistemaL Número médio de clientes no sistema - número de clientes aguardando na fila mais os que estão sendo atendidosLq Número médio de clientes na fila -número de clientes que aguardam atendimento.
Teoria das FilasTeoria das Filas
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W Tempo médio do cliente no sistema -tempo médio gasto pelo cliente na fila esperando para ser atendido mais o tempo de atendimento.
Wq Tempo médio de um cliente na Fila -tempo médio do cliente na fila esperando para ser atendido.
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Ln Número médio de clientes em fila não vazia - número médio de clientes esperando em filas excluindo-se os tempos em que a fila está vazia.
Wn Tempo médio de espera para fila não vazia – tempo que um cliente aguarda em fila se ele tiver de esperar.
Teoria das FilasTeoria das Filas
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Tamanho da população (finita ou infinita)
Infinita
Se a probabilidade de um cliente chegar não é significativamente alterada quando um ou mais membros da população estão sendo atendidos a população é dita infinita. A maioria dos sistemas de filas tem população infinita. Exemplo: pessoas que visitam Disneylândia.
CaracterCaracteríísticassticas
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Finita
Uma população é considerada finita Se a probabilidade de um cliente chegar éalterada quando um ou mais membros da população estão sendo atendidos. Exemplo: pessoas de bom gosto que compram CDs de Tiririca.
CaracterCaracteríísticassticas
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Padrão de chegada da população ( com horário pré-determinado ou aleatório).
Pré-determinado
Não há necessidade de se criar um modelo analítico. Se o padrão é aleatório então énecessário especificar o tipo de distribuição de probabilidade dos tempos entre chegadas ao sistema consecutivas.
CaracterCaracteríísticassticas
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Padrão de chegada da população ( com horário pré-determinado ou aleatório).
AleatórioÉ necessário especificar o tipo de distribuição de probabilidade dos tempos entre chegadas ao sistema consecutivas.O tipo mais comum de padrão de chegada éa distribuição de Poisson. Neste caso, as chegadas ao sistema ocorrem aleatoriamente, mas com uma certa média λ.
CaracterCaracteríísticassticas
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Tamanho da fila (finito ou infinito)
A fila é caracterizada pelo máximo número de clientes que pode conter. Este número pode ser considerado finito ou infinito e isto vai depender das limitações físicas do sistema (espaço disponível). É mais fácil trabalhar analiticamente filas de comprimento infinito.
CaracterCaracteríísticassticas
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A disciplina da fila
A disciplina da fila é a ordem pela qual os clientes que chegam ao sistema são selecionados para serem atendidos.
Tipos : FCFS, LCFS, SIRO
CaracterCaracteríísticassticas
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FCFS - first come, first served (o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido). É o tipo mais comum
LCFS - last come, first served (o último a chegar é o primeiro a ser atendido). Ex: uma pilha de pratos esperando para serem lavados. O último prato a ser colocado é o primeiro a ser lavado.
CaracterCaracteríísticassticas
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SIRO - service in random order(atendimento em ordem aleatória).
Exemplo: Um pátio de uma concessionária na qual os carros esperam para serem comprados. A ordem de compra éaleatória.
CaracterCaracteríísticassticas
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Número de canais de atendimento (singular ou múltiplo “n”)
O atendimento pode ser processado por meio de um único atendente ou por meio de dois ou mais canais de atendimento. No primeiro caso diz-se que o atendimento é feito por um canal e no segundo diz-se canal múltiplo.
CaracterCaracteríísticassticas
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Teorema
Para qualquer sistema de filas no qual exista uma distribuição em regime constante, são válidas as seguintes relações:
L = λ.WLq = λ.WqLn = λ.Wn
CaracterCaracteríísticassticas
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Cada Sistema de Filas é descrito por 6 características: (1 / 2 / 3) : (4 / 5 / 6)
(1) Tipo de tempos de chegada(2) Tipo de tempos de antendimento(3) Número de canais de atendimento(4) Número máximo de usuários no
sistema.(5) Tamanho da população que usa o
sistema.(6) Disciplina da fila: FCFS, LCFS, SIRO
NotaNotaçção de filasão de filas
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(1) Tipo de tempos de chegada (intervalos de tempo de chegada são indepedentese...)
M - aleatórios com distribuição exponencial
D - determinísticosE - aleatórios tendo distribuição de ErlangG – com distribuição genérica (pode
englobar as anteriores)
NotaNotaçção de filasão de filas
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(2) Tipo de tempos de atendimento (intervalos de tempo de chegada são indepedentes e...)
M - aleatórios com distribuição exponencial
D - determinísticosE - aleatórios tendo distribuição de ErlangG – com distribuição genérica (pode
englobar as anteriores)
NotaNotaçção de filasão de filas
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(3) Número de canais de atendimenton
(4) Número máximo de usuários no sistema.
c(5) Tamanho da população que usa o
sistema.
(6) Disciplina da filaFCFS, LCFS, SIRO ou G (genérica)
NotaNotaçção de filasão de filas
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Sistema de um canal com comprimento infinito de fila.
Este é o modelo básico para servidor simples. É o mais comum de todos.
Intervalo entre chegadas exponencial = MTempo de atendimento exponencial = M
Canais de atendimento = 1Capacidade do sistema = ∞Tamanho da população = ∞
Disciplina da fila = FCFS
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
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FórmulasSistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
λρµ
=
1Po ρ= −
. nPn Po ρ=
L λµ λ
=−
( )2
.Lq λ
µ µ λ=
−
1Wµ λ
=−
( ).Wq λ
µ µ λ=
−58
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Exemplo:
Pacientes chegam a um posto médico para receber a inoculação de uma vacina numa taxa de 100 pessoas por hora seguindo a distribuição de Poisson. Cada pessoa consome 15 segundos de uma única enfermeira que aplica a vacina. Os tempos de serviços realizados seguem a distribuição exponencial. Responda:
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
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Exemplo (continuação):a) Qual a chance de que um paciente que
acaba de chegar, não tenha que esperar?
b) Qual a chance de haver exatamente três pacientes no sistema?
c) Qual é o número médio de pacientes no sistema?
d) Qual o número médio de pacientes esperando na fila? (não inclua o paciente recebendo a vacina).
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
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Exemplo (continuação):
e) Em média, quanto tempo um paciente gasta para chegar, receber a inoculação e sair?
f) Qual é o tempo médio de espera antes que o paciente possa estar com a enfermeira?
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
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Solução:
a) Qual a chance de que um paciente que acaba de chegar, não tenha que esperar?
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
λρµ
= = 0,417= 0,417
1Po ρ= − = 0,583= 0,583
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Solução:
b) Qual a chance de haver exatamente três pacientes no sistema?
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
P3 = 0,042P3 = 0,042. nPn Po ρ=
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Solução:
c) Qual é o número médio de pacientes no sistema?
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
L λµ λ
=−
L = 0,714 clientes
L = 0,714 clientes
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Solução:
d) Qual o número médio de pacientes esperando na fila? (não inclua o paciente recebendo a vacina).
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
( )2
.Lq λ
µ µ λ=
−Lq = 0,298
clientesLq = 0,298
clientes
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Solução
e) Em média, quanto tempo um paciente gasta para chegar, receber a inoculação e sair?
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
1Wµ λ
=−
W = 0,007143 h ou
W = 25,7 segundos
W = 0,007143 h ou
W = 25,7 segundos
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Solução
f) Qual é o tempo médio de espera antes que o paciente possa estar com a enfermeira?
Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
( ).Wq λ
µ µ λ=
−Wq = 0,002976 h ou
Wq = 10,7 segundos
Wq = 0,002976 h ou
Wq = 10,7 segundos
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Sistema de um canal com comprimento finito de fila.
O comprimento da fila agora é limitado. Este tipo de restrição não é usual mas épossível considerar os limites físicos de um sistema de filas.
Intervalo entre chegadas exponencial = MTempo de atendimento exponencial = M
Canais de atendimento = 1Capacidade do sistema = c Tamanho da população = ∞
Disciplina da fila = FCFS
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
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ObservaçãoQuando “c” clientes estão no sistema, se
chegar algum outro cliente, este vai embora e não volta mais.
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
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FórmulasSistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
λρµ
=
1
11 cPo ρ
ρ +
−=
−
. com n cnPn Po ρ= ≤
( )1Lq L Po= − −
( ). 1LW
Pcλ=
−
( ) 1
1
1 .1 1
c
c
cL
ρρρ ρ
+
+
⎛ ⎞+= − ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
( ). 1LqWq
Pcλ=
−
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Exemplo:Os pacientes chegam numa taxa de 100 pessoas por hora seguindo a distribuição de Poisson. Cada pessoa consome 15 segundos de uma única enfermeira que aplica a vacina. Os tempos de serviços realizados seguem a distribuição exponencial. Devido ao pequeno tamanho da sala de espera, a capacidade das instalações é igual a três pessoas.
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
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Exemplo (continuação):
Qual o efeito desta restrição quando comparamos este novo sistema com o anterior? As perguntas são as mesmas. Responda:
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
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Exemplo (continuação):a) Qual a chance de que um paciente que
acaba de chegar, não tenha que esperar?
b) Qual a chance de haver exatamente três pacientes no sistema?
c) Qual é o número médio de pacientes no sistema?
d) Qual o número médio de pacientes esperando na fila? (não inclua o paciente recebendo a vacina).
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
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Exemplo (continuação):
e) Em média, quanto tempo um paciente gasta para chegar, receber a inoculação e sair?
f) Qual é o tempo médio de espera antes que o paciente possa estar com a enfermeira?
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
74
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Solução:
a) Qual a chance de que um paciente que acaba de chegar, não tenha que esperar?
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
λρµ
= = 0,417 (não mudou)= 0,417 (não mudou)
Era Po= 0,583Era Po= 0,583
1
11 cPo ρ
ρ +
−=
−Po= 0,601Po= 0,601
75
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Solução:
b) Qual a chance de haver exatamente três pacientes no sistema?
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
P3 = 0,104P3 = 0,104. nPn Po ρ=
Era P3 = 0,042Era P3 = 0,042
76
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Solução:
c) Qual é o número médio de pacientes no sistema?
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
Era L = 0,714Era L = 0,714
( ) 1
1
1 .1 1
c
c
cL
ρρρ ρ
+
+
⎛ ⎞+= − ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠L = 0,59 clientes
L = 0,59 clientes
77
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Solução:
d) Qual o número médio de pacientes esperando na fila? (não inclua o paciente recebendo a vacina).
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
Era Lq = 0,298Era Lq = 0,298
( )1Lq L Po= − − Lq = 0,191Lq = 0,191
78
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Solução
e) Em média, quanto tempo um paciente gasta para chegar, receber a inoculação e sair?
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
Era W = 25,7 segundosEra W = 25,7 segundos
( ). 1LW
Pcλ=
−W = 0,00616 h ou
W = 22,2 segundos
W = 0,00616 h ou
W = 22,2 segundos
79
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Solução
f) Qual é o tempo médio de espera antes que o paciente possa estar com a enfermeira?
Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)
Era Wq = 10,7 segundosEra Wq = 10,7 segundos
( ). 1LqWq
Pcλ=
−Wq=0,002 h ou
Wq = 7,19 segundos
Wq=0,002 h ou
Wq = 7,19 segundos
80
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1- Num sistema de atendimento composto de um único servidor e uma única fila oriunda de população infinita, os clientes chegam numa taxa de 3 pessoas/min. Sabendo que são atendidas 5 pessoas/min. e que sistema segue distribuição de Poisson, calcule:
a) O número médio de clientes no sistemab) O número médio de clientes na filac) A probabilidade do sistema estar ocioso
ExercExercíícios propostoscios propostos
81
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d) A probabilidade do sistema estar ocupado
e) O tempo médio de espera no sistemaf) O tempo médio de espera na fila
ExercExercíícios propostoscios propostos
82
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2 - Resolva o exercício anterior considerando que o sistema agora tem capacidade limitada a c=4.
ExercExercíícios propostoscios propostos
83
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MODELAGEM EMMODELAGEM EM
PROGRAMAPROGRAMAÇÇÃO LINEARÃO LINEAR
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Uma das técnicas mais utilizadas em Pesquisa Operacional é a programação linear. Exemplo:
Função objetivo a ser maximizada:Lucro = 2x1 + 3x2
Restrições: Técnicas 4x1+3x2 ≤10
6x1-x2 ≥ 20
Não negatividade x1 ≥ 0x2 ≥ 0
ProgramaProgramaçção Linearão Linear
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1 – Conhecimento do problemaTabela
2 – Variáveis de decisãox1, x2, ....
3 – Função objetivoEquação
4 – RestriçõesInequações e ou equações
5 – ModeloFunção objetivo e restrições
RoteiroRoteiro
86
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1 – Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. Os lucros unitários dos produtos P1 e P2 são R$1.000 e R$1.800 respectivamente. A empresa precisa de 20 h para fabricar uma unidade de P1 e de 30 h para P2. O tempo anual de produção disponível é de 1.200 h. A demanda anual esperada para cada produto é de 40 unidades para P1 e 30 para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso.
ExemploExemplo
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SoluSoluççãoão
1200Total disponível
30180030P240100020P1
DemandaLucroHoras necessáriasProdutos
1 – Conhecimento do problema
88
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2 – Variáveis de decisão
x1 = quantidade anual a produzir de P1x2 = quantidade anual a produzir de P2
3 – Função objetivo
O objetivo é maximizar o lucro:Lucro total: L = 1 000x1 + 1800x2
Objetivo: maximizar L = 1 000x1 + 1800x2
SoluSoluççãoão
89
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4 – Restriçõesa) Disponibilidade de horas para a produção:
1200 hHoras ocupadas com P1: 20x1Horas ocupadas com P2: 30x2
Total em horas ocupadas na produção: 20x1 + 30x2
disponibilidade: 1.200 horas.
Restrição: 20x1 + 30x2 ≤ 1200
SoluSoluççãoão
90
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4 – Restriçõesb) Disponibilidade de mercado para os
produtos (demanda)
Disponibilidade para P1: 40 unidadesRestrição: x1 ≤ 40
Disponibilidade para P2: 30 unidadesRestrição: x2 ≤ 30
SoluSoluççãoão
91
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5 – ModeloFunção objetivo e restrições
Maximizar L = 1000x1 + 1800x2Sujeito a:
20x1 + 30x2 ≤ 1200x1 ≤ 40x2 ≤ 30x1≥0x2≥0
SoluSoluççãoão
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2 – Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 un. por dia e a de proteínas de 36. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 un. de vitaminas e 6 un. de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 un. de vitaminas e 6 de proteínas.
Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível ?
ExemploExemplo
93
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Minimizar C = 3x1 + 2,5x2Sujeito a:
4x1 + 8x2 ≥ 326x1+6x2 ≥ 36x1≥0x2≥0
SoluSoluçção finalão final
94
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1 – Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1un de sapato e 1 un de couro para fabricar um cinto.
Sabendo-se que o total disponível de couro éde 6 un e que o lucro unitário por sapato é de R$5 e o do cinto é de R$2, pede-se o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
ExercExercíícioscios
95
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2 – Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de R$100 e o de P2 é de R$150. A empresa necessita de 2h para fabricar uma unidade de P1 e 3h para P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 h. As demandas esperadas para os 2 produtos P1 e P2 não devem ultrapassar 40 un e 30 un por mês respectivamente.Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa
ExercExercíícioscios
96
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3 – Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a R$20 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a R$10 e no mínimo 200 caixas de tangerinas a R$30.
De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.
ExercExercíícioscios
97
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4 – Uma emissora de rádio transmite 2 programas A e B. O programa "A" com 20 minutos de música e 1 min de propaganda conquista 30.000 ouvintes, enquanto o programa "B", com 10 min de música e 1 min de propaganda conquista 10.000 ouvintes. No decorrer de uma semana, o patrocinador exige no mínimo, 5 min para sua propaganda e diz que não há verba para mais de 80 min de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser irradiado para obter maior audiência? Construa o.modelo do sistema.
ExercExercíícioscios
98
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5 – Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1 requer o dobro do tempo de fabricação do modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos usam fivelas diferentes cujas disponibilidades diárias são 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de R$4 para M1 e R$3 para M2. Construa, o modelo que maximiza o lucro diário da empresa.
ExercExercíícioscios
99
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6 – Uma empresa está com disponibilidade de 3 recursos produtivos: R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois produtos: P1 e P2. Sabe-se que P1 daria um lucro de R$120 por unidade e P2 R$150. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.
ExercExercíícioscios
100
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6 – (continuação)ExercExercíícioscios
12090100Disponibilidade de recursos
324P2532P1
Recurso R3
Recurso R2
Recurso R1Produtos
101
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7 –Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas:A (Arrendamento) - Destinar alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que paga pelo aluguel da terra R$300 por alqueire por ano.P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. Isto requer adubação (100 kg/Alq) e irrigação (100.000 l de água/Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$400 por alqueire por ano.
ExercExercíícioscios
102
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S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de água/Alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$500,00/alqno ano.Disponibilidade de recursos por ano:12.750.000 l de água; 14.000 kg de adubo; 100 alqueires de terra.Quantos alqueires deverá destinar para cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão.
ExercExercíícios (continuacios (continuaçção)ão)
103
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8 – O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2.
As alternativas são:a) Investir em um programa institucional com
outras empresas do mesmo ramo.Esse programa requer um investimento mínimo de R $3.000 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada R$1.000 investidos.
ExercExercíícioscios
104
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8 – (continuação)
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada R$1.000 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, para P2 o retorno é de 10%.
A empresa dispõe de R$ 10.000 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.
ExercExercíícioscios
105
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SOLUSOLUÇÇÃO POR ÃO POR
MMÉÉTODO GRTODO GRÁÁFICOFICO
106
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Conceito
Consiste em representar o sistema num gráfico cartesiano e encontrar a solução por meio de um gráfico contendo algumas retas e regiões
MMéétodo Grtodo Grááficofico
107
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Seja o exemplo:Maximizar L = 4x1 + x2Sujeito a:
2x1 + 3x2 ≤ 12 (a)2x1 +x2 ≤ 8 (b)x1, x2 ≥0
Para resolver:1 – Traçar os gráficos das regiões (a) e (b)
conforme a seguir2 – Traçar a função objetivo3 – Encontrar a solução
MMéétodo Grtodo Grááficofico
108
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0
4
8
0 2 4 6
1 – Reta (a)MMéétodo Grtodo Grááficofico
6x1=4x2=0x2=0x1 =
2x1 + 3x2=12
x1
x2
109
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1 – Região (a)MMéétodo Grtodo Grááficofico
6x1=4x2=0x2=0x1 =
2x1 + 3x2 ≤ 12
0
4
8
0 2 4 6x1
x2
110
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0
4
8
0 2 4 6
1 – Reta (b)MMéétodo Grtodo Grááficofico
4x1=8x2=0x2=0x1 =
2x1 + x2=8
x1
x2
111
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0
4
8
0 2 4 6
1 – Região (b)MMéétodo Grtodo Grááficofico
x1
x2
4x1=8x2=0x2=0x1 =
2x1 + x2 ≤ 8
x2
112
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0
4
8
0 2 4 6
(a) (b)
1 – Regiões (a) e (b) juntasMMéétodo Grtodo Grááficofico
x1
x2
Região de solução
113
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2 – Função objetivoMMéétodo Grtodo Grááficofico
0
4
8
0 2 4 6x1
x2As retas
são paralelas:
L maior, reta mais afastada
1x1=4x2=0x2=0x1 =
L=4x1+x2=4
2x1=8x2=0x2=0x1 =
L=4x1+x2=8
L=8L=4
114
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0
4
8
0 2 4 6
3 – Encontrar a soluçãoA solução é um ponto da região de solução
com o maior L (para maximização)
MMéétodo Grtodo Grááficofico
Solução:
x1=4
X2=0
L=4.4+0=16L=8
L=4
L=?x2
x1
115
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Problema Fundamental
A solução ocorre sempre em pelo menos um vértice da figura
MMéétodo Grtodo Grááficofico
116
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Resolver usando método gráfico:
1 - Maximizar L = x1 + 4x2Sujeito a: 2x1 + 3x2 ≤ 12
2x1 +x2 ≤ 8 x1, x2 ≥0
2 - Maximizar L = 6x1 + 5x2Sujeito a: 2x1 + 3x2 ≤ 12
2x1 +x2 ≤ 8x1, x2 ≥0
ExercExercíícioscios
117
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3 - Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2Sujeito a: -x1 + 2x2 ≤ 4
x1 + 2x2 ≤ 6x1 + 3x2 ≤ 9x1, x2 ≥0
4 - Maximizar Receita = 0,3x1 + 0,5x2Sujeito a: 2x1 + x2 ≤ 2
x1 + 3x2 ≤ 3x1, x2 ≥0
ExercExercíícioscios
118
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5 - Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2Sujeito a: x1 + 3x2 ≤ 9
-x1 + 2x2 ≤ 4x1 + x2 ≤ 6x1, x2 ≥0
6 - Minimizar Custo = 10x1 + 12x2Sujeito a: x1 + x2 ≤ 20
x1 + x2 ≥ 105x1 + 6x2 ≥ 54x1, x2 ≥0
ExercExercíícioscios
119
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7 - Minimizar Z = 7x1 + 9x2Sujeito a: -x1 + x2 ≤ 2
x1 ≤ 5x2 ≤ 63x1 + 5x2 ≥ 155x1 + 4x2 ≥ 20x1, x2 ≥0
ExercExercíícioscios
120
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8 -Duas fábricas ,AeB, produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6t de papel médio e 28t de grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de produção na fábrica A é de R$1.000 e o da B é R$2.000 por dia. Afábrica A produz 8t de papel fino, 1t de médio e 2t de grosso por dia; a fábrica B produz 2t de papel fino, 1t de médio e 7t de grosso. Quantos dias cada fabrica deve operar para suprir os pedidos mais economicamente?
ExercExercíícioscios
121
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9 - Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo "A" tem 2 m³ de espaço refrigerado e 3m³ não refrigerados; o tipo "B" tem 2m³ refrigerados e 1 m3 não refrigerados. O cliente quer transportar um
produto que necessita de 16m³ refrigerados e 12 m³ não refrigerados. A companhia calcula em 1.100 l. o combustível para uma viagem com o caminhão "A" e 750 l para o caminhão “B“. Quantos caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte para o menor consumo de combustível?
ExercExercíícioscios
122
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10 - Uma companhia fabrica dois produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos produtivos: matéria-prima, forja e polimento. Cada unidade de P1 exige 4 h de forjaria, 2 h de polimento e utiliza 100 u de matéria-prima. Cada unidade de P2 requer 2 h de forjaria, 3 h de polimento e 200 u. de matéria-prima. O preço de venda de P1 éR$1.900 o de P2, R$2.100. Toda produção tem mercado garantido. As disponibilidades são de: 20 h de forja; 10 h de polimento e 500 unidades de matéria-prima, por dia.
ExercExercíícioscios
123
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10 – continuação...Determinar as quantidades a produzir de P1 e
P2 que otimizem a receita diária
ExercExercíícioscios
124
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MMÉÉTODOTODO
SIMPLEXSIMPLEX
125
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Embora seja possível encontrar a resolução de um problema de programação linear resolvendo sistemas de equações lineares e calculando o valor da função objetivo (mesmo sem gráfico, usando o problema fundamental) isto não deve ser feito pois é muito trabalhoso.
O Método Simplex é uma maneira mais simples de encontrar as soluções sem utilizar gráficos
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
126
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O método Simplex é capaz de apontar:
• Qual o sistema de equações deve ser resolvido;
• Qual o próximo sistema a ser resolvido fornecendo uma solução melhor que os anteriores;
• Que a solução atual é a solução ótima, se for o caso.
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
127
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Seja o exemplo:Maximizar L = 4x1 + x2Sujeito a:
2x1 + 3x2 ≤ 12 2x1 +x2 ≤ 8x1, x2 ≥0
Solução:1 – Preparação da função objetivoBasta passar todos os membros para a
esquerda.L – 4x1 – x2 = 0
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
128
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Solução:2 – Reescrever cada restrições com variáveis
de folga:2x1 + 3x2 ≤ 12 Note que o lado esquerdo é
menor ou igual ao direito, acrescentando a folga fica:
2x1 + 3x2 +x3 = 122x1 +x2 ≤ 8 com a folga fica:
2x1 +x2 + x4 = 8Observe que cada restrição requer a sua folga
e que para ≥ a folga deve subtrair
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
129
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Solução:3 – Sistema modificadoMaximizar L – 4x1 – x2 + 0x3 + 0x4 = 0Sujeito a: 2x1 + 3x2+ x3 + 0x4 = 12
2x1 +x2 + 0x3 + x4 = 8x1, x2, x3, x4 ≥0
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
130
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4 – Dispositivo práticoMMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
000-1-4L81012x4
120132x3bx4x3x2x1BASE
0Coef. Função obj.modif.L
Lado direito
igualdade
Coeficientes das restrições
Variáveis de folga
bTodas variáveisBASE
131
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5 – Solução inicialA solução inicial para o problema é obtida
fazendo as variáveis originais do modelo: x1 e x2 iguais a zero e calculando as demais.
x3=12 x4=8 (variáveis básicas “≠0”)L=0
Igual ao mostrado no 1° quadro !
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
000-1-4L81012x4
120132x3bx4x3x2x1BASE
132
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5 – Segunda solução (a)
A primeira variável a entrar na base, ou seja, a ficar “≠0” é a que mais contribui no lucro x1. Isto indica a coluna pivô. Observe o valor mais negativo da linha “L”.
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
000-1-4L81012x4
120132x3bx4x3x2x1BASE
133
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5 – Segunda solução (b)A variável a sair da base, ou seja, a ficar “=0”
é a que permite que x1 cresça mais e atenda às restrições.
Sabe-se que x2=0Por: 2x1 + 3x2+ x3 = 12 fazendo x3=0 temos
x1=12/2=6Mas por 2x1 +x2 + x4 = 8 fazendo x4=0
temos x1=8/2=4 (se x1 for “6” não dá para atender a segunda restrição)
Logo x4 deve sair da base e portanto indica a linha pivô (4 é menor que 6)
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
134
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5 – Segunda solução (c)Veja no quadro a coluna e a linha pivô
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
000-1-4L8/2=481012x412/2=6120132x3
b/col. pivôbx4x3x2x1BASE
Coluna Pivô Linha Pivô Menor valor
4<6
135
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5 – Segunda solução (c)No segundo quadro x4 sai para x1 entrar na
baseA linha pivô é dividida pelo elemento pivô num
processo similar ao escalonamento
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
000-1-4L8/2=41/20/2=01/22/2=1x1
120132x3bx4x3x2x1BASE
136
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5 – Segunda solução (d)No terceiro as demais linhas, exceto a pivô
são recalculadas:Lx3 = -2 .Lpivô + Lx3 L = 4.Lpivô + L
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
000-1-4L41/201/21x1
120132x3bx4x3x2x1BASE
137
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5 – Segunda solução (d)No terceiro as demais linhas, exceto a pivô
são recalculadas:Lx3 = -2.[1 ½ 0 ½ 4]+[2 3 1 0 12]=[0 2 1 -1 4]Lx3 = 4.[1 ½ 0 ½ 4]+[-4 -1 0 0 0]=[0 1 0 2 16]
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
162010L41/201/21X14-1120X3bx4x3x2x1BASE
138
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5 – Segunda solução (e)Na última linha não há valores negativos. A
solução ótima foi encontrada:x3=4 x1=4 (variáveis básicas)
x2=0 x4=0 (variáveis não básicas “fora da base”) L=16
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
162010L41/201/21X14-1120X3bx4x3x2x1BASE
139
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ATENÇÃO
Se na última linha existirem valores negativos, os passos 5(a) até 5(e) devem ser aplicados até não haver mais negativos
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
140
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Exemplo:
Resolva pelo processo SIMPLEX
Maximizar L = 3x1 + 5x2Sujeito a: x1 ≤ 4
x2 ≤ 63x1 + 2x2 ≤ 18x1, x2 ≥0
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
141
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Sistema originalMaximizar L = 3x1 + 5x2Sujeito a: x1 ≤ 4
x2 ≤ 63x1 + 2x2 ≤ 18x1, x2 ≥0
Sistema modificadoMaximizar L – 3x1 – 5x2 +0x3+0x4+0x5 = 0Sujeito a: x1 + 0x2 +1x3+0x4+0x5 = 4
0x1 + x2 +0x3+1x4+0x5 = 63x1 + 2x2 +0x3+0x4+1x5 = 18
x1,x2,x3,x4,x5 ≥0
MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
142
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Quadro 1MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
0000-5-3L91810023x46601010x4
4/0=400101x3
b/col. Pivôbx5x4x3x2x1Base
∃
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Quadro 2 - IdênticoMMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
0000-5-3L91810023x56601010x2
4/0=400101x3
b/col. Pivôbx5x4x3x2x1Base
∃
144
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Quadro 3MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
300500-3L61-2003x5601010x2400101x3bx5x4x3x2x1Base
Há -3 (número negativo), repetir o processo.
145
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Quadro 4MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
300500-3L261-2003x4
6/0 !601010x24400101x3
b/col. Pivôbx5x4x3x2x1Base
146
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Quadro 5MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
6001005-3L
20,33-0,67001x1
601010x2
400101x3
bx5x4x3x2x1Base
147
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Quadro 6 (último)MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX
3613000L
20,33-0,67001x1601010x2
2-0,330,667100x3
bx5x4x3x2x1Base
x1=2 x2=6 x3=2 x4=0 x5=0 L=36
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Resolva utilizando o método SIMPLEX1 - Maximizar Receita = 10x1 + 12x2Sujeito a: x1 + x2 ≤ 100
2x1 + 3x2 ≤ 270x1, x2 ≥0
Quadro 1
ExercExercíícios com respostacios com resposta
000-12-10R
902701032x41001000111x3
b/colpivôbx4x3x2x1Base
149
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Quadros 2 e 3ExercExercíícios com respostacios com resposta
1080400-2R
135900,333010,667x2
3010-0,333100,333x3000-12-10R
900,333010,667x21000111x3
b/colpivôbx4x3x2x1Base
150
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Quadros 4 e 5ExercExercíícios com respostacios com resposta
11402600R701-210x230-1301x1
1080400-2R900,333010,667x230-1301x1bx4x3x2x1Base
x1=30 x2=70 x3=0 x4=0 x5=0 L=1140
151
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2 - Maximizar Receita = 2x1 + 3x2 + 4x3Sujeito a: 2x1 ≤ 4
x1 + x2 + x3 ≤ 1002x1 + x2 ≤ 210x1 ≤ 80x1, x2, x3 ≥0
ExercExercíícioscios
152
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ExercExercíícioscios
400004012L
801000080x6210010012x5100001111x3
0000-4-3-2L80/0 !801000080x6
210/0 !210010012x5100100001111x4
b/colpivôbx6x5x4x3x2x1Base
x1=0 x2=0 x3=100 x4=0 x5=210 x6=80 L=400
153
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3 - Maximizar Receita = 0,2x1 + 2x2 + 4x3Sujeito a: x1 + 2x2 ≤ 20
3x1 + x3 ≤ 50x1 + x2 –x3 ≤ 15x1, x2, x3 ≥0
ExercExercíícioscios
154
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ExercExercíícioscios
2000400-211,8Z6565110014X6
50/0!50010103x31020001021x400000-4-2-0,2Z
-1515100-111x65050010103x5
20/0!20001021x4
b/colpivôbx6x5x4x3x2x1Base
155
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ExercExercíícioscios
2200410012,8Z5511-0,5003,5x650010103x310000,5010,5x22000400-211,8Z65110014x650010103x310000,5010,5x2bx6x5x4x3x2x1Base
x1=0 x2=10 x3=50 x4=0 x5=0 x6=55 Z=220 156
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4 - Maximizar Z = 5x1 - 3x2 + 4x3 –x4Sujeito a: x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 600
2x1 + x3 ≤ 280x2 + 3x4 ≤ 150x1, x2, x3 ≥0
ExercExercíícioscios
157
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ExercExercíícioscios
00001-43-5Z1501003010x7
14014000,5000,501x16006000011111x5
00001-43-5Z150/01501003010x71402800100102x66006000011111x5
b/colpivôbx7x6x5x4x3x2x1Base
158
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ExercExercíícioscios
70002,501-1,530Z1501003010x72800100102x34600-0,5110,510x570002,501-1,530Z
150/01501003010x728014000,5000,501x19204600-0,5110,510x5
b/colpivôbx7x6x5x4x3x2x1Ba
se
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ExercExercíícioscios
11200401033Z1501003010x72800100102x33200-11101-1x5bx7x6x5x4x3x2x1Base
x1=0 x2=0 x3=280 x4=0 x5=320 x6=0 x7=150 Z=1120
160
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5 - Maximizar Z = 2x1 + 4x3Sujeito a: x1 + 2x2 + x3 ≤ 8000
2x1 ≤ 6000x2 + x3 ≤ 620x1, x2, x3 ≥0
ExercExercíícioscios
161
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ExercExercíícioscios
248040004-2Z620/0!620100110x330006000010002x573807380-101011x4
0000-40-2Z620620100110x6
6000/0!6000010002x580008000001121x4
b/colpivôbx6x5x4x3x2x1Base
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ExercExercíícioscios
8480410040Z620100110x3
300000,50001x14380-1-0,51010x4248040004-2Z620100110x3300000,50001x17380-101011x4
bx6x5x4x3x2x1Base
x1=3000 x2=0 x3=620 x4=4380 x5=0 x6=0 L=400
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6 - Maximizar Z = 9x1 + 3x2Sujeito a: 2x1 + x2 ≤ 14
2x1 + 3x2 ≤ 24x1, x2 ≥0
7 - Maximizar Z = 5x1 + 5x2Sujeito a: 8x1 + 4x2 ≤ 32
x1 + 2x2 ≤ 8x1, x2 ≥0
ExercExercíícios propostoscios propostos
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8 - Maximizar Receita = 16x1 + 12x2Sujeito a: 2x1 ≤ 4
2x1 + 3x2 ≤ 122x1 + x2 ≤ 8x1, x2 ≥0
9 - Maximizar Z = 3x1 + 5x2 + x3Sujeito a: 2x1 + 4x2 + x3 ≤ 16
6x1 + 2x2 ≤ 242x2 ≤ 6x1, x2, x3 ≥0
ExercExercíícioscios
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10 - Uma pequena manufatura produz dois modelos, standard e luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo standardrequer 3horas de lixação e 1h de polimento. Cada unidade do modelo luxo exige 1h de lixação e 4h de polimento. A fábrica dispõe de duas lixadoras e três polidoras cada uma trabalhando 40 horas semanais. Os lucros são R$24 e R$32 para os modelos standard e luxo respectivamente. Não existem restrições de demanda.Elabore o modelo maximiza o lucro do fabricante e resolva por SIMPLEX
ExercExercíícioscios
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Artifícios para colocar o modelo na forma padrão estudada:1 – A minimização de Z é igual à maximização de –Z.
Ex: Min Z=2x1+3x2 ↔ Max z=-2x1-3x22 – As desigualdades ≤ ou ≥ podem ser trocadas multiplicando por “-1”.
Ex: 2x1 -3 ↔ -2x1 ≥ 33 – Uma equação pode ser substituída por duas desigualdades opostas. Ex:5x1+2x2=7 ↔ 5x1+2x2 ≤ 7 ; 5x1+2x2 ≥ 7
Simplex Simplex –– Aspectos SingularesAspectos Singulares
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INTERPRETAINTERPRETAÇÇÃO ÃO ECONÔMICAECONÔMICA
ANANÁÁLISE DE LISE DE SENSIBILIDADESENSIBILIDADE
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Seja o modelo abaixo (já calculado)Maximizar L = 3x1 +5x2Sujeito a: x1 + x3 = 4 (recurso A)
x2 + x4 = 6 (recurso B)3x1 + 2x2 + x5 = 18 (recurso C)x1,x2,x3,x4,x5 ≥0
Onde: x1= qtd de produto 1 a ser feitax2= qtd de produto 2 a ser feitax3= folga da utilização do recurso Ax4= folga da utilização do recurso Bx5= folga da utilização do recurso C
InterpretaInterpretaçção Econômicaão Econômica
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O quadro final é:InterpretaInterpretaçção Econômicaão Econômica
3613000L20,33-0,67001x1601010x22-0,330,667100x3bx5x4x3x2x1Base
x1=2 x2=6 x3=2 x4=0 x5=0 L=36Vamos interpretar os coeficientes das
variáveis fora da base “=0” e os coeficientes da última linha L
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Análise para escassez de uma unidade de x4x4=1
Cálculo da variação em x3
3613000L20,33-0,67001x1601010x22-0,330,667100x3bx5x4x3x2x1Base
AnAnáálise de Sensibilidadelise de Sensibilidade
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Para x4 (para folga de 1 unidade x4=1, x5=0):AnAnáálise de Sensibilidadelise de Sensibilidade
23 . 4 2 para x4=1 temos:3
2 43 2 33 3
x x
x novo x novo
+ =
= − → =
43 3 3 23
233
x x novo x
x
∆ = − = −
−∆ =
172
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3613000L20,33-0,67001x1601010x22-0,330,667100x3bx5x4x3x2x1Base
AnAnáálise de Sensibilidadelise de SensibilidadeAnálise para escassez de uma unidade de x4
x4=1
Cálculo da variação em x2