Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA

VINTE E

DOIS

Porque toda a lei se cumpre em só preceito, a saber:Amarás o teu irmão como a ti mesmo.

Gálatas, 5-14

ÁREA

Desde os tempos mais antigos os

matemáticos se preocupam com o problema

de determinar a área de uma figura plana.

O procedimento mais usado foi o método da

exaustão, que consiste em aproximar a

figura dada por meio de outras, cujas áreas

são conhecidas.

ÁREA

Como exemplo,

podemos citar o

círculo.

Para definir sua

área, consideramos

um polígono regular

inscrito de n lados,

que denotamos por

Pn.

ÁREA

Seja An a área do polígono

Pn.

Então

,nTn AnA

ÁREA

Onde

É a área do triângulo de base ln e altura hn.

nTA

ÁREA

Fazendo n crescer cada vez mas, isto é,

n→+∞,

O polígono Pn torna-se uma aproximação do

círculo.

O perímetro Pn aproxima-se do comprimento da

circunferência 2πr e a altura h aproxima-se do

raio r.

ÁREA

ÁREA

Para definir a área de uma figura plana

qualquer, procedemos de forma análoga.

Aproximamos a figura por polígonos cujas

áreas possam ser calculadas pelos métodos da

geometria elementar.

ÁREA

Consideremos agora o

problema de definir a

área de uma região

plana S, delimitada pelo

gráfico de uma função

contínua não negativa f,

pelo eixo dos x e por

duas retas x = a e x = b.

ÁREA

Para isso, fazemos uma partição do

intervalo [a, b], isto é, dividimos o intervalo

[a, b] em n subintervalos, escolhendo os

pontos:

ÁREA

ÁREA

ÁREA

ÁREA

ÁREA

ÁREA

ÁREA

DEFINIÇÃO: Seja y = f(x) uma função

contínua, não negativa em [a, b].

A área sob a curva y = f(x), de a até b, é

definida por:

],,[int

,,,1

,

1

10lim

ii

i

n

i

iix

xxervalodo

arbitráriopontouméc

nicadaparaonde

xcfA

INTEGRAL DEFINIDA

A integral definida está associada ao limite

da definição anterior.

Ela nasceu com a formalização matemática

dos problemas de áreas e problemas

físicos.

De acordo com a terminologia introduzida

em aulas anteriores, temos a seguinte

definição.

INTEGRAL DEFINIDA

DEFINIÇÃO: Seja f uma função definida no

intervalo [a,b] e seja P uma partição qualquer

de [a,b].

A integral definida de f de a até b, dada por:

Desde que o limite do 2º membro exista.

:

,

pordenotadaé

dxxfb

a

,lim1

0

b

a

n

i

iixmáx

xcfdxxfi

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Se f é contínua sobre [a,b] e se F é uma

primitiva de f neste intervalo, então:

. b

a

aFbFdttf

INTEGRAL DEFINIDA

EXEMPLO.

Calcular a integral definida:

3

1

.xdx

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 1

Calculo a integral definida:

.cos2

0

dtt

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 2

Calculo a integral definida:

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 3

Calculo a integral definida:

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 4

Calculo a integral definida:

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 5

Calculo a integral indefinida:

dtgcos

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 6

Calculo a integral indefinida, usando o método

da substituição:

4t

t

e

dte

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 7

Calculo a integral indefinida, usando o método

da integração por partes:

dxx3cos

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 8

Determine a seguinte derivada:

dxx

x

dy

dy

3

2 9

2

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 9

Determine a seguinte derivada:

1

dtsenttd

d

SOLUÇÃO

FIM

DA AULA

VINTE E DOIS