Aula vinte e dois calculo um 2016 aluno
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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
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AULA
VINTE E
DOIS
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Porque toda a lei se cumpre em só preceito, a saber:Amarás o teu irmão como a ti mesmo.
Gálatas, 5-14
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ÁREA
Desde os tempos mais antigos os
matemáticos se preocupam com o problema
de determinar a área de uma figura plana.
O procedimento mais usado foi o método da
exaustão, que consiste em aproximar a
figura dada por meio de outras, cujas áreas
são conhecidas.
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ÁREA
Como exemplo,
podemos citar o
círculo.
Para definir sua
área, consideramos
um polígono regular
inscrito de n lados,
que denotamos por
Pn.
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ÁREA
Seja An a área do polígono
Pn.
Então
,nTn AnA
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ÁREA
Onde
É a área do triângulo de base ln e altura hn.
nTA
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ÁREA
Fazendo n crescer cada vez mas, isto é,
n→+∞,
O polígono Pn torna-se uma aproximação do
círculo.
O perímetro Pn aproxima-se do comprimento da
circunferência 2πr e a altura h aproxima-se do
raio r.
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ÁREA
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ÁREA
Para definir a área de uma figura plana
qualquer, procedemos de forma análoga.
Aproximamos a figura por polígonos cujas
áreas possam ser calculadas pelos métodos da
geometria elementar.
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ÁREA
Consideremos agora o
problema de definir a
área de uma região
plana S, delimitada pelo
gráfico de uma função
contínua não negativa f,
pelo eixo dos x e por
duas retas x = a e x = b.
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ÁREA
Para isso, fazemos uma partição do
intervalo [a, b], isto é, dividimos o intervalo
[a, b] em n subintervalos, escolhendo os
pontos:
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ÁREA
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ÁREA
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ÁREA
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ÁREA
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ÁREA
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ÁREA
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ÁREA
DEFINIÇÃO: Seja y = f(x) uma função
contínua, não negativa em [a, b].
A área sob a curva y = f(x), de a até b, é
definida por:
],,[int
,,,1
,
1
10lim
ii
i
n
i
iix
xxervalodo
arbitráriopontouméc
nicadaparaonde
xcfA
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INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida está associada ao limite
da definição anterior.
Ela nasceu com a formalização matemática
dos problemas de áreas e problemas
físicos.
De acordo com a terminologia introduzida
em aulas anteriores, temos a seguinte
definição.
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INTEGRAL DEFINIDA
DEFINIÇÃO: Seja f uma função definida no
intervalo [a,b] e seja P uma partição qualquer
de [a,b].
A integral definida de f de a até b, dada por:
Desde que o limite do 2º membro exista.
:
,
pordenotadaé
dxxfb
a
,lim1
0
b
a
n
i
iixmáx
xcfdxxfi
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
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INTEGRAL DEFINIDA
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Se f é contínua sobre [a,b] e se F é uma
primitiva de f neste intervalo, então:
. b
a
aFbFdttf
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INTEGRAL DEFINIDA
EXEMPLO.
Calcular a integral definida:
3
1
.xdx
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 1
Calculo a integral definida:
.cos2
0
dtt
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 2
Calculo a integral definida:
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 3
Calculo a integral definida:
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 4
Calculo a integral definida:
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 5
Calculo a integral indefinida:
dtgcos
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 6
Calculo a integral indefinida, usando o método
da substituição:
4t
t
e
dte
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 7
Calculo a integral indefinida, usando o método
da integração por partes:
dxx3cos
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 8
Determine a seguinte derivada:
dxx
x
dy
dy
3
2 9
2
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 9
Determine a seguinte derivada:
1
dtsenttd
d
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SOLUÇÃO
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FIM
DA AULA
VINTE E DOIS