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21/08/2013
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Revisão de Circuitos Elétricos
1
Disciplina: Circuitos Elétricos 2
Prof. Leonardo R.A.X de Menezes
ENE-FT-UnB
Sumário
• Conceitos Básicos
• Componentes de Circuito
• Leis de Kirchoff
• Circuitos Resistivos
• Técnicas de Resolução
• Teoremas de Circuito
• Circuitos com Elementos Reativos
Conceitos Básicos
• Nossos circuitos serão:
– Lineares
– Invariantes no Tempo
• Além disto teremos com objetivo em
Circuitos Elétricos 2 utilizar álgebra para
resolução de circuitos
– Evitar resolver Equações Diferenciais
Ordinárias
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Conceitos Básicos
• Elemento linear
– Satisfaz duas propriedades
• Superposição
– Se
– Então
• Homogeneidade
– Se
– Então
)( 11 ifv )( 22 ifv
)()()( 212121 ififiifvv
)( 11 ifv
)()( 111 ikfkifkv
Conceitos Básicos
• Elemento invariante no tempo
– Tem sua relação constitutiva (relação entre
as variáveis de circuito) invariante a uma
translação no tempo
– qualquer t. Ou seja, este dispositivo
apresenta o mesmo comportamento ao ser
ligado agora ou daqui a quinze minutos.
))(()( tt tiftv
Conceitos Básicos
• Elementos de circuito mais utilizados
são: • resistor, capacitor, indutor, fontes dependentes
e independentes.
– Este elementos são descritos por: – Símbolos: é a representação gráfica do elemento em
questão
– Relações Constitutivas: é a representação
matemática do elemento em questão. Descreve o
relacionamento entre corrente e tensão no elemento
– Convenção de sinal: indica se o elemento é passivo
ou ativo. É fundamental para a resolução correta do
circuito.
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Componentes de Circuito
• Resistor
– Ligação direta entre as variáveis de corrente
e tensão de circuito
• código de cores para leitura
Componentes de Circuito
• Resistor
– Este elemento tem como efeito fundamental a
dissipação térmica de energia.
• A corrente que flui pelo elemento é unicamente
definida pela tensão dissipada entre seus terminais.
• Símbolo:
• Relação constitutiva:
– Caso genérico
– Caso linear
))(()( tirtv
)()( tRitv
Componentes de Circuito
• Resistor
– Convenção:
– Convenção passiva: corrente flui do terminal
positivo para o negativo.
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Componentes de Circuito
• Capacitor
– Ligação direta entre as variáveis de carga e
tensão de circuito
Componentes de Circuito
• Capacitor
– Este elemento tem como efeito fundamental o
armazenamento de carga elétrica.
• A tensão nos terminais do elemento é definida
unicamente pela carga acumulada no elemento
• Símbolo:
• • Relação constitutiva:
– Caso genérico
– Caso linear
dt
tdvtvc
dt
tdv
dv
vdctitvctq
)())(('
)()()())(()(
dt
tdvCtitCvtq
)()()()(
Componentes de Circuito
• Capacitor
– Convenção:
– Convenção passiva: corrente flui do terminal
positivo para o negativo.
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Componentes de Circuito
• Indutor
– Ligação direta entre as variáveis de corrente
e fluxo magnético de circuito
Componentes de Circuito
• Indutor
– Este elemento tem como efeito fundamental o
armazenamento de fluxo magnético.
• A corrente que flui pelo elemento é definida
unicamente pelo fluxo magnético do elemento.
• Símbolo:
• • Relação constitutiva:
– Caso genérico
– Caso linear
dt
tditil
dt
tdi
di
idltvtilt
)())(('
)()()())(()(
dt
tdiLtvtLit
)()()()(
Componentes de Circuito
• Indutor
– Convenção:
– Convenção passiva: corrente flui do terminal
positivo para o negativo.
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Componentes de Circuito
• Fontes Independentes
– Este elemento tem como efeito fundamental o
fornecimento de energia ao circuito em que
está ligado.
• Dois tipos: tensão e corrente.
• As fontes são independentes quando a variável de
circuito gerada é independente da variável
restante.
– Exemplo: uma fonte de corrente independente gera
somente corrente. A tensão que irá surgir nos seus
terminais depende do circuito a que está ligada.
Componentes de Circuito
• Fontes Independentes
– Podem ser reais ou ideais.
• As fontes reais incluem outros elementos de
circuito para modelar de forma mais adequada seu
funcionamento
• As fontes ideais tem somente os elementos
geradores sem outros elementos de circuito
Componentes de Circuito
• Fontes independentes
– Fonte de tensão ideal
• Símbolo:
• Relação constitutiva:
• Convenção:
• Convenção ativa: corrente flui do terminal negativo
para o positivo.
)()( 0 tvtv
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Componentes de Circuito
• Fontes independentes
– Fonte de tensão real
• Símbolo:
• Relação constitutiva:
• Convenção:
– Mesma da fonte ideal
)()()( 0 tritvtv
Componentes de Circuito
• Fontes independentes
– Fonte de corrente ideal
• Símbolo:
• Relação constitutiva:
• Convenção:
• Convenção ativa: corrente flui do terminal negativo
para o positivo.
)()( 0 titi
Componentes de Circuito
• Fontes independentes
– Fonte de corrente real
• Símbolo:
• Relação constitutiva:
• Convenção:
– Mesma da fonte ideal
r
tvtiti
)()()( 0
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Componentes de Circuito
• Fontes dependentes
– Fonte de tensão controlada a corrente
– Fonte de tensão controlada a tensão
– Fonte de corrente controlada a corrente
– Fonte de corrente controlada a tensão
Leis de Kirchoff
• Para resolvermos um circuito genérico
temos de definir suas ligações. Vamos
considerar o seguinte arranjo de fios
1
2
3
Leis de Kirchoff
• O elemento 1 (verde) e chamado de ramo
(note que ele conecta um elemento a
somente outro elemento)
• O elemento 2 (vermelho) e chamado de
nó (note que ele conecta vários ramos)
• O elemento 3 (laranja) e chamado de laço
(note que ele realiza um percurso
fechado)
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Leis de Kirchoff
• Na realidade podemos descrever da
seguinte forma:
– O nó conecta diversos ramos em um único
ponto
– O laço conecta diversos ramos fazendo um
percurso fechado e não percorrendo o
mesmo nó mais de uma vez
– O ramo contem somente um elemento de
circuito e e conectado aos nós
Leis de Kirchoff
• Portanto, podemos descrever qualquer
circuito utilizando esta nomenclatura
– Quando descrevemos os nós dos circuito e
os elementos entre cada nó, estamos
descrevendo o circuito
• Esta descrição fornece a topologia do
circuito.
• De posse da topologia e das relações
constitutivas estamos quase prontos.
Leis de Kirchoff
• Vamos fazer um exemplo simples:
– Considere o circuito
– Temos o nó 1 e o nó 2
• Entre o nó 1 e o nó 2 temos uma fonte (ramo A)
• Entre o nó 1 e o nó 2 temos um resistor (ramo B)
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Leis de Kirchoff
• Para estarmos prontos só falta saber
como e que as tensões e correntes se
comportam nos nós e laços.
• Já sabemos como se comportam nos
ramos - relações constitutivas
• Na realidade só precisamos saber como
– A corrente se comporta nos nós
– A tensão se comporta nos laços
Leis de Kirchoff
• Das equações de Maxwell obtemos as
Leis de Kirchoff generalizadas
dt
dqi
dt
dv
Leis de Kirchoff
• Estas leis são genéricas e valem para
qualquer tipo de circuito em qualquer
freqüência.
• No entanto, elas podem ser simplificadas
para o caso que as freqüências são
baixas os suficiente para desprezarmos os
termos do lado direito
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Leis de Kirchoff
• Desta forma temos as Leis de Kirchoff
simplificadas
– Lei de Kirchoff das tensões (KVL)
– Lei de Kirchoff das correntes (KCL)
0v
0i
Leis de Kirchoff
• Em termos das definições anteriores as
leis dizem o seguinte
– KVL (LKT):
• A soma das tensões em um laço (percurso
fechado) é zero
– KCL (LKC):
• A soma das correntes que entram e saem de
um nó é zero
Circuitos Resistivos
• Sumarizando:
– Circuitos DC são analisados a partir das Leis
de Kirchoff simplificadas
– Circuitos DC não tem capacitores (aberto) e
indutores (curto)
– Circuitos DC lineares são circuitos resistivos
lineares
– Circuitos resistivos lineares de baixas
frequências tem resposta proporcional para
AC e DC
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Técnicas de Resolução
• Para resolver circuitos temos duas
técnicas principais:
– Análise Nodal – Baseado em KCL (lei de
Kirchoff das Correntes)
– Método dos Laços – Baseado em KVL (lei de
Kirchoff das Tensões)
• Não são as únicas possíveis, mas são as
mais usadas
– Principalmente para simplificar
Analise Nodal
• Como o próprio nome diz:
– A analise nodal se concentra em resolver
circuitos baseados nas equações dos nós
• Portanto a Lei de Kirchoff utilizada na análise
nodal é KCL
• De forma bem simples
– Aplica-se KCL nos nós
– Substituem-se as correntes pelas relações
constitutivas
– Resolve-se o circuito para as tensões
Analise Nodal
• Repetindo:
– KCL (aplica-se KCL em todos os nós menos
um - este será o chamado no de referencia -
terá a tensão arbitraria de zero)
– Utilizam-se as relações constitutivas (as
correntes conhecidas são substituídas por
seus valores e as desconhecidas pela Lei de
Ohm)
– Resolve-se o sistema de equações para a
tensão
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Analise Nodal
• Um exemplo fala mais do que mil
palavras: Considere o caso a seguir
Analise Nodal
• A diagonal principal da a soma de todas
as condutâncias associadas ao no em
questão
– Por exemplo
• No 1: temos três condutâncias associadas G1, G2
e G3
• O primeiro elemento e a soma destas
condutâncias
02
1
433
3321 0
iv
v
GGG
GGGG
Analise Nodal
• No 2: O elemento da diagonal principal e a
soma das condutâncias ligadas ao no 2
– Por exemplo:
• No 2: Condutâncias G3 e G4
02
1
433
3321 0
iv
v
GGG
GGGG
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Analise Nodal
• Os elementos restantes negativo das
condutâncias entre o no em questão e
outro no
– Por exemplo
• Entre o no 1 e o no 2 tem a condutância G3
02
1
433
3321 0
iv
v
GGG
GGGG
Analise de Laços
• A analise dos nós consiste
– Aplicação do KCL e substituição das relações
constitutivas
– Resolução do sistema para as tensões nodais
• E a analise dos laços consiste
– Aplicação de KVL e substituição das relações
constitutivas
– Resolução do sistema para as correntes de
laço
Analise de Laços
• A analise dos laços merece um exemplo
bem explicado
– Considere o circuito a seguir
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Analise de Laços
• Para aplicar a analise dos laços vamos
primeiro numerar os laços que vemos
1 2
Analise de Laços
• Depois vamos considerar o sentido do
KVL (horário)
1 2
Analise de Laços
• No primeiro KVL temos
• No segundo KVL temos
• Vamos considerar agora que o KVL do
laço 1 e causado por uma corrente I1 indo
no sentido horário e o KVL do laço 2 e
causado por uma corrente I2 no mesmo
sentido
02311 RRR VVVV
05423 RRR VVVV
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Analise de Laços
• Neste caso teremos as relações
constitutivas
255
244
2133
122
111
iRV
iRV
iiRV
iRV
iRV
R
R
R
R
R
Analise de Laços
• Note que VR3 e causado por duas corrente
circulando sobre o resistor R3 (uma no
sentido positivo da corrente (i1) e outra no
sentido negativo da corrente (i2)
– Portanto o KVL se torna
012213111 iRiiRiRV
025242213 iRiRViiR
Analise de Laços
• Rearranjando as equações temos
– Primeiro laço
– Segundo laço
1231321 ViRiRRR
2254313 ViRRRiR
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Analise de Laços
• Montando em um sistema de equações
• Note a similaridade com o sistema da
analise nodal
– A diagonal principal e a soma das
resistências no laço
– Os elementos restante são as resistências
entre os laços
2
1
2
1
5433
3321
V
V
i
i
RRRR
RRRR
Uma forma geral
• Como explicado estas não são as únicas
técnicas.
– Podemos utilizar KCL (LKC) e KVL (LKT)
junto com as relações constitutivas e resolver
mesmo assim
– Para tanto temos que arbitrar algumas
convenções
• Exemplo: Corrente saindo é positiva e o laço de
KVL (LKT) é positivo no sentido horário
• Pode ser diferente, o importante é seguir a
convenção
Uma forma geral
• Exemplo
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Uma forma geral • Exemplo
– KVL KCL
– Relações Constitutivas
0
0
0
04
432
21
VV
VVV
VV
R
RRR
RR
0
0
043
321
iii
iii
RR
RRR
0
0
0
0
444444
333333
222222
111111
RRRR
RRRR
RRRR
RRRR
iRViRV
iRViRV
iRViRV
iRViRV
Uma forma geral
• Exemplo – Montando o sistema
0
0
0
0
0
0
0
0000000
0100000
0010000
0001000
11100000
00110000
00001100
00000111
0
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
i
V
V
V
V
i
i
i
i
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Uma forma geral
• Esta forma de solução pode ser utilizada
tanto com fontes de corrente, quanto de
tensão
• É a mais genérica
– Mas precisa da inversão de uma matriz bem
maior que nos casos nodais ou de laço
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Teoremas de Circuito
• Superposição
• Dualidade
• Transformação de Fonte
• Teorema de Thevenin
• Teorema de Norton
• Maxima Transferência de Potência
Superposição
• O teorema da superposição e valido somente para
circuitos lineares
– Essencialmente ele diz:
• Seja um circuito com N elementos lineares conectados em uma
topologia arbitraria a K fontes de tensão e/ou corrente
independentes
• A resposta deste circuito a K fontes independentes e equivalente a
soma das respostas de K circuitos aonde em cada um K-1 fontes
diferentes foram colocadas em repouso.
)(...)()()()...( 321321 kk vGvGvGvGvvvvGI
Superposição
• Em português: como o circuito e linear podemos nos
valer da propriedade de superposição da linearidade
para resolver o circuito
– Como: vamos supor um circuito com duas fontes independentes
quaisquer. O que o teorema diz e que a resposta do circuito a
estas duas fontes e igual a soma das respostas dos circuitos
aonde cada uma das fontes foi desligada alternadamente
• Exemplo
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Superposição
• Podemos resolver este circuito através de
superposição
– Fica mais fácil de utilizar os métodos que já
conhecemos
– =
Superposição
• Portanto o principio da superposição pode
ser utilizado com fontes independentes e
transformar o problema de varias fontes
diferentes em um problema mais simples
– Sem o uso do superno ou da supermalha
Superposicao
• Resolvendo os dois circuitos podemos
encontrar a resposta final como a soma
das duas respostas!
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Dualidade
• A dualidade é um resultado que diz que se as equações
montadas para a tensão tem uma forma e as equações
para a corrente tem a mesma forma, então os circuitos
são duais.
– Em outras palavras se eu substituir I por V, R por G eu terei o
mesmo resultado.
– Exemplo fonte de tensão real e fonte de corrente real
VRiVS iGviS
Transformação de Fonte
• O que leva a outra pergunta
– Sabemos que os circuitos são duais. Mas sob que condições os
dois são equivalentes para uma carga genérica R
• No caso da fonte de corrente - ela precisa apresentar a mesma
tensão da fonte de tensão
• No caso da fonte de tensão - ela precisa apresentar a mesma
corrente da fonte de corrente
Transformação de Fonte
• A tensão que R apresenta para as fontes
e:
• De modo similar a corrente que R
apresenta para as fontes e
S
x
VRR
RV
S
y
yi
RR
RRV
x
S
RR
Vi
S
y
yi
RR
Ri
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Transformação de Fonte
• Portanto as duas fontes são iguais se e
somente se:
– Portanto se as resistências das fontes forem
iguais e a tensão da fonte de tensão for igual
ao produto da corrente da fonte de corrente
pela resistência da fonte
• As duas são iguais!
SyS iRV yx RR
Transformação de Fonte
• Qual a vantagem deste teorema?
– Podemos transformar uma fonte de tensão
em uma fonte de corrente e vice-versa
– Isto permite simplificar alguns dos circuitos
que analisamos
Teorema de Thevenin
• O teorema de Thevenin e um dos mais
importantes de circuito:
– Qualquer circuito linear resistivo com fontes
independentes pode ser substituído por uma
combinação serie de uma fonte de tensão
Voc e resistência Req, onde Voc e a tensão
de circuito aberto entre seus terminais e Req
é a resistência equivalente vista de seus
terminais quando todas as fontes
independentes estão em repouso
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Teorema de Thevenin
• Isto e muito importante pois diz que
qualquer circuito linear com fontes
independentes pode ser substituído por
– Onde R é Req
– Onde Vs é Voc
Teorema de Norton
• O teorema de Norton e o dual do teorema
de Thevenin e diz que:
– Qualquer circuito linear resistivo com fontes
independentes pode ser substituído por uma
combinação paralela de uma fonte de
corrente Isc e resistência Req, onde Isc é a
corrente de curto circuito entre seus terminais
e Req é a resistência equivalente vista de
seus terminais quando todas as fontes
independentes estão em repouso
Teorema de Norton
• Se prestarmos atenção veremos que o
teorema de Norton é o dual do teorema de
Thevenin
– Ele explica para uma fonte de corrente o que
já foi mostrado para uma fonte de tensão
– O ponto mais interessante diz a respeito de
como podemos calcular o equivalente de
Norton e de Thevenin de um circuito
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Teorema de Norton
• Da mesma forma que Thevenin, qualquer
circuito linear com fontes independentes
pode ser substituído por
– Onde Is é Isc
– Onde R é Req
Teorema de Norton
• A vantagem dos teoremas de Norton e
Thevenin esta em simplificar o calculo de
circuitos
• Mas como aplicá-los na pratica
Teorema de Norton
• Ora sabemos que os dois são
equivalentes portanto isto só e valido se e
somente se
• Ou seja se calcularmos a corrente de
curto circuito e a tensão de circuito aberto
temos a resistência equivalente
SCeqOC iRV SC
OCeq
i
VR
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Teorema de Norton
• Vamos aplicar a uma caso prático
– Qual o Thevenin em relação a terminal AB
Teorema de Norton
• Vamos aplicar a uma caso pratico
– Passo 1 calcular tensão de circuito aberto
• Divisor de tensão simples
Soc VRR
RV
21
2
Teorema de Norton
• Vamos aplicar a uma caso pratico
– Passo 2: calcular a corrente de curto-circuito
• Ligamos através de um fio o terminal AB e
calcularmos a corrente que passa por ele
1R
VI S
sc
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Teorema de Norton
• Vamos aplicar a uma caso pratico
– Passo 3: calcular a resistência equivalente
• Dividimos a tensão de circuito aberto pela corrente
de curto circuito
21
21
1
21
2
RR
RR
R
V
VRR
R
I
VR
S
S
sc
oc
eq
Teorema de Norton
• Agora podemos obter tanto Thevenin
como Norton do circuito pois temos
– Tensão de Circuito aberto
– Corrente de Curto Circuito
– Resistência equivalente
Teorema de Norton
• Desafio: quais são os valores da resistência
de base Rb e Tensão V que fazem estes dois
circuitos a seguir serem equivalentes
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Máxima Transferência de
Potencia • O teorema da máxima transferência de
potencia é um dos mais úteis de circuitos.
– Ele diz
• A máxima transferência de potencia da fonte para
uma carga RL ocorre quando a carga e igual a
resistência equivalente de Thevenin Req
Máxima Transferência de
Potencia • Para provar este teorema consideremos
um circuito genérico que e substituído
pelo seu equivalente de Thevenin
Máxima Transferência de
Potencia • Ora a tensão e corrente na carga R são
• Portanto a potencia e
S
eq
VRR
RV
RR
VI
eq
S
2
2 S
eq
VRR
RVIP
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Máxima Transferência de
Potencia • Fazendo
• Temos
eqR
R
disp
eq
S PR
VP
2
2
211
Máxima Transferência de
Potencia • Ora: pode variar de zero ate infinito
– O maior valor de potencia será encontrado
derivando a equação em relação a e
igualando a zero.
• Fazendo isto temos
0
1
121
14
2
2
dispdisp PP
d
dP
Máxima Transferência de
Potencia • A solução e claro e =+1 e =-1
– A segunda solução resulta em potencia
infinita e apenas indica que a carga esta
gerando energia própria
– A primeira solução diz que a resistência R
deve ser igual a Req para que a potencia
transferida seja máxima
eq
eq
RRR
R 1
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Máxima Transferência de
Potencia • Outro ponto interessante e saber qual e o
valor desta potencia
– Substituindo
411
12
disp
disp
PPP
Circuitos com um elemento
reativo • Considere o circuito a
seguir:
Considere que o capacitor
tem uma carga inicial Q0
no instante t=0
S1
R1C1
Circuitos com um elemento reativo
• Para resolver este circuito vamos montar
a equação diferencial
– Sabemos que a corrente do capacitor e
proporcional a derivada da tensão no mesmo
– Portanto se utilizarmos KCL no nó entre o
resistor e o capacitor teremos como montar a
EDO
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Circuitos com um elemento reativo
• Montando o KCL
• Como o capacitor esta carregado, ele ira
descarregar no resistor
• Rearranjando
0 capacitorresistor ii
0dt
dvC
R
v
0RC
v
dt
dv
Circuitos com um elemento reativo
• Como o circuito não possui fontes, temos
somente o capacitor descarregando no
resistor
– A EDO e homogênea
– Portanto a resposta e
– Utilizando a condição inicial (capacitor com carga
Q0)
RC
t
Betv
)(
RC
t
eC
Qtv
C
Qv
0
0
)(
)0(
Circuitos com dois elementos
reativos • Considere o circuito a
seguir:
– A chave K1 muda de
posição em t=0
– Como se comporta a
tensão e a corrente neste
circuito?
– Este circuito possui um
capacitor e um indutor.
• Como se comportara?
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Circuitos com dois elementos
reativos
• Para resolver este circuito vamos montar
a equação diferencial • Sabemos que a corrente do capacitor e
proporcional a derivada da tensão no mesmo
• Sabemos que a tensão no indutor e proporcional a
derivada da corrente no mesmo
– Portanto se utilizarmos KVL no ramo do
resistor, indutor e o capacitor teremos como
montar uma EDO
Circuitos com dois elementos
reativos
• Montando o KVL
• As relações constitutivas dizem
0 capacitorindutorresistor vvv
dt
diLv
C
qv
Riv
indutor
capacitor
resistor
Circuitos com dois elementos
reativos
• Como o circuito não possui fontes, temos
somente o indutor e o capacitor
descarregando no resistor
– A EDO e homogênea
– Esta pode ser montada de diversas formas
0C
q
dt
diLRi
02
2
C
q
dt
dqR
dt
qdL 0
2
2
C
i
dt
diR
dt
idL
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Circuitos com dois elementos
reativos
• No entanto existe uma maneira mais
interessante
– Lembrando que:
2
2
2
2
dt
vdLC
dt
qdL
dt
diLv
vC
qv
dt
dvRC
dt
dqRRiv
capacitor
indutor
capacitorcapacitor
capacitor
resistor
Circuitos com dois elementos
reativos
• Portanto podemos montar a EDO como
• Re-arranjando
• Aonde v e a tensão no capacitor
02
2
vdt
dvRC
dt
vdLC
02
2
LC
v
dt
dv
L
R
dt
vd
Circuitos com dois elementos
reativos
• Antes de encontrarmos a resposta vamos
dar uma olhada nas condições iniciais
– Estas condições são: a tensão em t=0 e a
derivada da tensão em t=0
– Note que a derivada da tensão em t=0 é igual
a corrente no capacitor
• Esta corrente pelas Leis de Kirchoff é igual a
corrente no indutor
• Portanto temos de saber a tensão no capacitor e a
corrente no indutor
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Circuitos com dois elementos
reativos
• Ora tínhamos uma fonte Vs ligada, vamos
supor que esta era uma fonte DC
• Portanto, antes da chave abrir:
– O capacitor se comportava como um circuito
aberto
– O indutor se comportava como um curto-
circuito
Circuitos com dois elementos
reativos
• Logo a tensão no capacitor e a corrente
no indutor serão
• Com este conhecimento vamos resolver a
EDO e o circuito
0
dt
dvC
dt
dqi
Vv
capacitor
indutor
scapacitor
Circuitos com dois elementos
reativos
• A resposta e uma função exponencial
– No entanto, a forma desta exponencial
dependera da solução genérica
– A solução tem a forma
• Naturalmente, isto já permite encontramos a
solução para parte do problema com as
condições iniciais já calculadas
tteAeAtv 21
21)(
21/08/2013
34
Circuitos com dois elementos
reativos
• Condição inicial:
– Tensão no capacitor
– Derivada da tensão no capacitor (corrente no
indutor)
sVAAeAeAv 21
0
2
0
121)0(
0)0(
2211
0
22
0
1121 AAeAeA
dt
dv
Circuitos com dois elementos
reativos
• Portanto temos duas equações e duas
incógnitas
• O resultado e
sVAA 21
02211 AA
12
2
1
sV
A12
1
2
sV
A
Circuitos com dois elementos
reativos
• Portanto a solução genérica e:
• Vamos agora encontrar as raízes para
esta equação
– As raízes são calculadas supondo uma
solução genérica
tts eeV
tv 21
12
12
)(
tetv)(
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35
Circuitos com dois elementos
reativos
• Sendo que a substituição desta solução
na equação resulta em
• Ou
02
2
LC
e
dt
de
L
R
dt
edttt
012
LCL
R
Circuitos com dois elementos
reativos
• Esta equação e conhecida como equação
característica
– As raízes desta equação são fatores de
separação da EDO
– Resolvendo:
012
LCL
R
LCL
R
L
R 4
2
1
2
2
1
LCL
R
L
R 4
2
1
2
2
2
Circuitos com dois elementos
reativos
• Portanto temos que sempre a resposta
terá um caráter exponencial decrescente
LCL
R
L
R 1
22
2
22
2
1
2
L
R
LCL
R
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36
Circuitos com dois elementos
reativos
• No entanto existem três casos possíveis
– Sobre-amortecido
– Amortecimento critico
– Sub-amortecido
01
2
2
LCL
R
01
2
2
LCL
R
01
2
2
LCL
R
Circuitos com dois elementos
reativos
• Vamos ver cada caso, rearranjando:
– Sobre-amortecido
– Amortecimento critico
– Sub-amortecido
C
LR 2
C
LR 2
C
LR 2
Circuitos com dois elementos
reativos
• Fazendo:
– Temos o caso genérico
• Assim:
• Logo
C
LR 2
0
1
2
12
2
LCC
L
LL
R
11
22
2
00
2
LCL
R
L
R
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37
Circuitos com dois elementos
reativos
• Reescrevendo a ultima equação temos
• Assim se
– >1 o circuito e sobre-amortecido
– =1 o circuito tem amortecimento-crítico
– <1 o circuito e sub-amortecido
12
01
12
02
Circuitos com dois elementos
reativos
• A freqüência 0 e chamada de freqüência natural ou freqüência de ressonância do circuito
• Esta freqüência e inerente a todos os circuitos de segunda-ordem
• Vamos ver o que acontece quando mudamos o valor de para 2,1 e 0.5
Circuitos com dois elementos
reativos
• Para =2 tem-se
• Note que temos duas exponenciais:
– Uma rápida (2)
– Uma lenta (1)
– A lenta e chamada de dominante
0001 27.032142
0002 73.332142
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38
Circuitos com dois elementos
reativos
• Em termos gráficos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo - inverso de w0
Ma
gnitud
e
Comportamento das duas constantes de tempo
Circuitos com dois elementos
reativos
• No caso a resposta final será a soma das
duas após a aplicação das condições
iniciais
– Estas condições são a tensão no capacitor
(Vs)
– Corrente no indutor (I=0)
• Utilizando estes dados na solução
tts eeV
tv 21
12
12
)(
Circuitos com dois elementos
reativos
• Portanto a solução para este caso será:
tt
s eeVtv 00 73.327.0077.0077.1)(
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo - inverso de w0
Ma
gnitud
e
Comportamento da resposta total
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39
Circuitos com dois elementos
reativos
• No caso de amortecimento critico =1.
– Como utilizar a resposta já obtida neste
caso?
– Não é possível pois 1=2 !!!
tts eeV
tv 21
12
12
)(
Circuitos com dois elementos
reativos
• Neste caso não é possível utilizar a
resposta anterior e temos de fazer outra
resposta.
– Vamos começar com a resposta
– Reescrevendo
tts eeV
tv 21
12
12
)(
tt
stt
s eeV
eeV
tv
1212
12
1
12
1
)(
Circuitos com dois elementos
reativos
• Vamos utilizar a serie de Taylor em =0
para obter a resposta
• Notem que a resposta
...
21)(
22
212111
ttAAeeAAetf
ttt
......1
)(
11212
12
12
12
11
1
12
1
teV
teV
eeV
eeVtv
t
s
t
s
tt
s
tt
s
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Circuitos com dois elementos
reativos
• Portanto
• Ou fazendo a diferença =0:
• Ou
...)(
12
22
121
12
121
12
121
tteVtv
t
s
01)( 11 teVtvt
s
teVtvt
s 1)(
Circuitos com dois elementos
reativos
• A resposta neste caso quando =1 e =-
0.
teVtvt
s 01)( 0
0 2 4 6 8 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo - inverso de w0
Ma
gnitud
e
Comportamento da resposta total
Circuitos com dois elementos
reativos
• Note que a resposta de amortecimento
critico atravessa o eixo do zero.
• Este comportamento vai depender
naturalmente das condições de contorno.
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41
Circuitos com dois elementos
reativos
• Resta portanto somente a resposta de
sub-amortecimento
– Neste caso a raiz será complexa!
2
0
2
01 11 j
2
0
2
02 11 j
Circuitos com dois elementos
reativos
• Antes de exemplificar, vamos ver o que
este fato causa no nosso circuito
• A resposta e:
tts eeV
tv 21
12
12
)(
tjtj
s ejejjj
Vtv
20
1
20 1
2
0
12
02
0
2
0
1111
)(
Circuitos com dois elementos
reativos
• Reescrevendo
• Esta pode ser reescrita como
tjtj
t
s ejejj
eVtv
20
20
0
1212
211
12)(
2
112
2
11
121
12)(
20
20
20
20
0
j
eej
j
eeeVtv
tjtjtjtjt
s
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Circuitos com dois elementos
reativos
• Se utilizarmos a identidade de Euler
• Teremos
tjte
tjte
tj
tj
sincos
sincos
tjtj
tjtj
eetj
eet
sin2
cos2
Circuitos com dois elementos
reativos
• Utilizando estas identidades na resposta
• Reescrevendo
tteVtv
t
s
2
0
2
02
1cos1sin1
)( 0
tteVtv
t
s
2
02
2
0 1sin1
1cos)( 0
Circuitos com dois elementos
reativos
• A resposta gráfica será para =0.5
0 2 4 6 8 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo - inverso de w0
Ma
gnitud
e
Comportamento da resposta total
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Circuitos com dois elementos
reativos
• Um ponto interessante e quando a
freqüência aumenta e a diminui
0 2 4 6 8 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo - inverso de w0
Ma
gnitud
e
Comportamento da resposta total
Conclusão
• Revisados os conceitos gerais de circuitos
1
• Métodos de resolução
• Teoremas de Circuito
• Circuitos com elementos reativos