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8/19/2019 Aula de Sistemas de Equações
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Sistemas de equações do 1° grau a duas variáveis
Introdução
Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a
duas variáveis.
Nesse caso, diz-se que as equações ormam um sistema de equações do 1º grau a duas variáveis, que
indicamos escrevendo as equações abrigadas por uma c!ave. "e#a os e$emplos%
a&
'
( )
x y
x y
+ =
− = b&
* 1+
1
x y
x y
− =
+ =
par ordenado que veriica ao mesmo tempo as duas equações c!amado solução do sistema. /ndicamos pela
letra 0, de solução.
or e$emplo, o par 23,*& solução do sistema
1+
* (
x y
x y
+ =
− = −
ois veriica as duas equações. u mel!or%
3 * 1+
3 *.2*& (
+ =
− = −
Resolução de sistemas de equações do 1° grau ( 2 x 2)
s processos ou mtodos mais comuns são% o mtodo da substituição, mtodo da adição, mtodo da
comparação, alm do mtodo gráico.
Mtodo da su!stituição
ara aprender a trabal!ar com esse mtodo, voc4 deve acompan!ar os passos indicados nos e$emplos a seguir%
1º exem"lo% 5esolver o sistema
3
1
x y
x y
+ =
− =1º "asso% /sola-se uma das variáveis em uma das equações. "amos isolar $ na 16 equação%
3 3 x y x y+ = ⇒ = −
2º "asso% 0ubstitui-se a e$pressão encontrada no passo 1 na outra equação. btemos então uma equação do 1º
com apenas uma inc7gnita
1
23 & 1
3 1
3 ( 1
x y
y y
y y
y
− =
− − =
− − =
− =
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#º "asso% 5esolvemos a equação obtida no (º passo%
3 ( 1
( 1 3
( 8
8
(
*
y
y
y
y
y
− =
− = −
− = −
−=
−
=
obtendo, assim, o valor de 9.
$º "asso% 2ara encontrarmos o valor de $& 0ubstitui-se o valor encontrado no *º passo em qualquer uma das
equação iniciais.
3
2*& 3
3 *
:
x y
x
x
x
+ =
+ =
= −
=
%º "asso% or ;ltimo, escrevemos a solução do sistema% 0 < =2:,*&>.
2º exem"lo% 5esolva o sistema
(
( ' *
x y
x y
=
− =
1% (
( %
( ' * (2( & ' * : ' * 1 *
*% * *
: % (
(.2 *&
8
Passo x y
Passo
x y y y y y y
Passo y y
Passo x y
x
x
=
− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − =
− = ⇒ = −
=
= −
= −
A solução do sistema % =2 8, *&>S = − −
&xer''ios de "rendi*agem
Aplicando o mtodo da substituição, resolva os seguintes sistemas ($(%
' * ( 8 :& & &
* ) * ( ( 3
x y x y x ya b c
x y x y x y
− = − = + =
+ = − = + =
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Mtodo da 'om"aração
?ste mtodo consiste, basicamente, em isolar a mesma variável nas duas equações.
1º exem"lo% 5esolver o sistema
1&
* *
x ya
x y
− =
− = −
1° "asso& /solando $ na 16 equação%
1 1 x y x y− = ⇒ = + 1
2º "asso% /solando $ na (6 equação%
* * * * x y x y− = − ⇒ = − + (
#º "asso& @omparando 1 e (, vem%
1 * ** * 1
( :
:
(
(
x x
y y y y
y
y
y
=
+ = − +− = − −
− = −−
=−
=
$º "asso& @omo $ < 19, temos%
x = 1+(2) x = 3
@on#unto-0olução% 0 < =2*,:&>
2º exem"lo% 5esolver o sistema
'
* 18
x y
x y
=
+ =
1º "asso% $ < '9 1
2º "asso% /sola-se x na (6 equação
* 18
18 * (
x y
x y
+ =
= −
*º passo% @omparando 1 e (, vem
'9 < 18 B *9
'9 *9
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$ < '.2(&
$ < 1+
A solução 0 < =21+,(&>
&xer''ios de "rendi*agem
(& Aplicando o mtodo da comparação, resolva os seguintes sistemas%
1 * ( *& & &
( * ( * 1
x y x y x ya b c
x y x y x y
− = = + = −
− + = − = + = −
?$ercCcios de i$ação
*& Aplicando o mtodo mais conveniente para o caso, resolva os seguintes sistemas%
* * 1+ (& & & &
( ) ( 1+ ( * ' ''
x y x y x y x ya b c d
x y x y x y x y
− = = + = =
+ = + = − = + =
: 3 * ) ( * +& & & &
( ' ) : 8 1( ( * 8 * ' (
' : 1 1& &
( * ' * *
x y x y x y x ye f g h
x y x y x y x y
x y x yi j
x y x y
+ = + = − = + = − = − = + = + =
+ = − = − = − = −
Mtodo da dição
Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma nova igualdade.
mtodo consiste em somar as duas equações, mas isso deve ser eito sempre de modo a eliminar uma das
variáveis na nova equação obtida. u se#a, preciso c!egar a uma s7 equação, com uma s7 inc7gnita. ara que
isso ocorra, necessário e$istam termos opostos nas duas equações 2em relação a uma mesma letra...&.
&xem"lo 1% @onsidere o sistema
' * 1'
( * 8
x y
x y
− =
+ =
bserve que a equação 1 tem o termo -*9, e a equação ( tem o termo *9 2oposto de -*9&.
?sse ato nos permite obter uma s7 equação sem a inc7gnita 9, somando as duas equações membro a membro.
' * 1' * * +, .
( * 8 , D
3 + (1
3 (1*
x y Como y y o y desaparece
x y Aí fica tdo mais f!ci"
x
x x
− = − + =⊕ → + =
+ =
==
Agora, s7 substituir o valor de $ em uma das equações do sistema%
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' * 1'
'.2*& * 1'
1' * 1'
* 1' 1'
* +
+
x y
y
y
y
y
y
− =
− =
− =
− = −
− =
=
A ;nica solução do sistema o par 2*,+&
&xem"lo 2% "amos resolver o sistema
( ' 18
* ( (
x y
x y
+ =
+ =
Aqui, seria in+til somar imediatamente as equações. @omo não observamos termos o"ostos 2que somados
resulta +&, nen!uma letra desaparece. Eas, podemos obter termos opostos.
"e#a que o EE@ entre ' e ( 2coeicientes de $ nas duas equações& 1+. FaC, multiplicamos a 16 equação por (e a (6 equação por -'%
( ' 18 2(&
* ( ( 2 '&
x y
x y
+ = ×
+ = × −
: 1+ *(
1' 1+ 1+
x y
x y
+ =⇒
− − = −
"oc4 viu bemGDDD @om isso, conseguimos termos opostos neste ;ltimo sistema.
? como 1+9 B1+9 < +, vem%
: 1+ *(1' 1+ 1+
11 + ((
11 ((
((
11
(
x y x y
x
x
x
x
+ = ⊕− − = −
− + =
− =
=−
= −
Agora, levamos $ < -( na (6 equação para encontrar o valor de 9%* ( (
*2 (& ( (
8 ( (
( ( 8
(
:
x y
y
y
y
y
y
+ =− + =
− + == +=
=
A solução o par 2-(,:&.
&xem"lo #% 5esolva pelo mtodo da adição o sistema
* *
* : *+
x y
x y
+ =
+ =
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"amos tornar opostos 2ou simtricos& os coeicientes em $. ara isso, basta multiplicar a primeira equação por
-1 2não me$er na (6&%
* * .2 1& * *
* : *+ .21& * : *+
* (3
x y x y
x y x y
y
+ = − − − = − ⇒ ⊕ + = + =
=
Fe *9 < (3, tiramos 9 < ).
@alculando $%
0ubstituCmos 9 < ) na 16 equação%* *
* 2)& *
* * )
* 8
8
*
(
x y
x
x
x
x
x
+ =
+ =
= −
= −
−=
= −
Nota importante% odemos aplicar o mtodo da adição de outra orma, neste caso procurando zerar a inc7gnita
9. "e#a%
Eultiplicamos a 16 equação por : e a (6 por 1... e então
* * .2 :& 1( : 1(
* : *+ .21& * : *+
) + 1
x y x y
x y x y
x
+ = − − − = − ⇒ ⊕ + = + =
− + =
Fe ) 1 x− = , encontramos
1(
) x = = −
− 2"iuGDD Fá o mesmo resultadoD&. ortanto, pode-se usar o processo dadição duas vezes seguidas
?$emplo :% 5esolver o sistema pelo processo da adição
8 ' 1'
3 18 1*
a b
a b
− =
− + =
Hemos que o EE@28,3& < :(. ?ntão, multiplicamos a 16 equação por 3 e a (6 por 8, temos%
8 ' 1' .23& :( *' 1+'
3 18 1* .28& :( )8 3
a b a b
a b a b
− = − = ⇒
− + = − + =
:( *' 1+'
:( )8 3
81 1*
1*
*81
a b
a b
b
b
− =⊕
− + =
=
= =
0ubstituindo b < * na (6 equação, vem%
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3 18 1*
3 18.2*& 1*
3 : 1*
3 1* :
3 *'
*'
3'
a b
a
a
a
a
a
a
− + =− + =− + =− = −− = −
−=
−=
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Mais exer''ios "ro"ostos,
?ncontre o con#unto solução dos sistemas de equações.
a&
=−
−=+
13(3
(1':
y x
y x
S= ( ){ }',1 − d&
=−
−=+
*(*'
'*
ba
ba
S= ( ){ }:,: −
b&
=−
−=+
1+':
1(8)
#m
#m
S= ( ){ }(,+ − e&
−=+
−−
=+
*1+
)8
(
1::*
y x y x
y x
S= ( ){ }(,(
c&
−=−
=+
(:*3
'11(
$ p
$ p
S= ( ){ }1,*− &
( )
( )
=+
=−
'*
1
(
*
(
1
y x
y x
S= ( ){ }8,)
****************************************************************************************
Classificação dos sistemas lineares
s sistemas lineares são classiicados, quanto ao n;mero de soluções, da seguinte orma%
Regra de Cramer
A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.
=+++
=+++=+++
##m#mm
##
##
b xa%% xa xa
%%%
%%%
b xa%% xa xa
b xa%% xa xa
((11
(((((1(1
11(1(111
%sistemao0e#a
"amos determinar a matriz A dos coeicientes das inc7gnitas%
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=
m#mm
#
#
a%%%aa
%%%
%%%
%%%
a%%%aa
a%%%aa
A
(1
((((1
11(11
"amos determinar agora a matriz A$1, que se obtm a partir da matriz A, substituindo-se a coluna doscoeicientes de $1 pela coluna dos termos independentes.
=
m#m#
#
#
x
a%%%ab
%%%
%%%
%%%
a%%%ab
a%%%ab
A
(
((((
11(1
1
ela regra de @ramer% Adet
Adet x x11 =
Fe maneira análoga podemos determinar os valores das demais inc7gnitas%
=
m##m
#
#
x
a%%%ba
%%%
%%%
%%%
a%%%ba
a%%%ba
A
1
(((1
1111
(
Adet Adet x x(( =⇔
=
#mm
x#
b%%%aa
%%%
%%%
%%%
b%%%aa
b%%%aa
A
(1
((((1
11(11
Adet
Adet x x## =⇔
Ieneralizando, num sistema linear o valor da inc7gnita $1 dado pela e$pressão%
Adet
Adet x
i
i =
→
tes.independentermosdoscoluna pela
$deescoeicientdoscolunasas
se-dosubstituinAdeobtidamatrizaA
sistema.doincompletamatrizaA
i
i
"e#amos alguns e$emplos.
1º &xem"lo- 5esolver o sistema
−=+
=−
('
3(
y x
y x
.
&eso"'o%
11'1
1(=⇒
−= Adet A
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**'(
1311 =⇒
−
−= Adet A
11(1
3((( −=⇒
−
= Adet A
*11
**1 === Adet
Adet x 1
11
11( −=−
== Adet
Adet y
&esposta ( ){ }1* −= *S
2º &xem"lo- 5esolver o sistema
=−−
=+
(
'
y x
y x
.
&eso"'o
+11
11=⇒
−−
= Adet A
3
1(
1'−=⇒
−
= x x Adet A
3(1
'1=⇒
−
= y y Adet A
+
3−==
Adet
Adet x x
impossCvel +
3==
Adet
Adet y
y
impossCvel
&esposta φ=S
#º &xem"lo- 5esolver o sistema
=++=+−
=−+
11+':*
+(
*(1
*(1
*(1
x x x x x x
x x x
.
&eso"'o
1º& @álculo do determinante da matriz incompleta.
1(8':*1+:
111
':*
1(1
−=−−−−+−=⇒
−
−= Adet A
(º& @álculo do determinante das inc7gnitas.
(:(++:1+1++
111
':1+
1(+
11 −=−+−−+=⇒
−
−= Adet A
1(+'1+*+1+
111
'1+*
1+1
(( =+−+−+=⇒
−= Adet A
+81+++(+:
111
1+:*
+(1
** =−−+++−=⇒
−= Adet A
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*º& @álculo das inc7gnitas.
(1(
(:11 =−
−==
Adet
Adet x
11(
1((( −=−
== Adet
Adet x
+1(
+** =−
== Adet
Adet x
&esposta ( ){ }+1( * *S −= 0istema ossCvel e Feterminado.
&xer''ios .ro"ostos-
1. 0olucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de @ramer.
a&
−=−=+
:*('(
y x y x
5esp% =21,(&>
b&
=+
=−
)*
1:*
y x
y x
5esp% =2*,(&>
(. @alcule os valores de x, y e nos sistemas%
a&
=−+
=+−=−+
*(**
)*(
((
+ y x
+ y x
+ y x
5esp% =21,(,*&>
b&
=−−=−−
=−+
+*
+'
+1+
+ y
+ x
y x
5esp% =28,:,1&>
.ro'esso "ara es'alonamento de um sistema linear
ara escalonar um sistema linear e depois classiicá-lo e resolv4-lo, alguns procedimentos podem ser eitos%1º ?liminamos uma equação que ten!a todos os coeicientes e o termo independente nulos.
or e$emplo% +$ +9 +z < + pode ser eliminada, pois todos os termos de n;meros reais são soluções%
2º odemos trocar a posição das equações. ?$emplo%
=−
=+⇒
=+
=−
8(*
1:
1:
8(*
y x
y x
y x
y x
#º odemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo n;mero real dierente de zero%
1+((8'* =+−⇒=+− + y x + y xodemos multiplicar os ( membros de uma equação por um mesmo n;mero real dierente de zero e
somarmos aos membros correspondentes da outra equação. ?$emplo%
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( )
=−
=+−⇒
+↵=+−
−⋅=+−
:*
3:(
(')'*
*3:(
+ y
+ y x
+ y x
+ y x
$º 0e no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeicientes nulos e o termoindependente dierente de zero, esta equação suiciente para airmar que o sistema impossCvel., isto ,
0 < ∅ .
?$emplo 1%
( )
( )
−=−
=+
=++
+↵=−
−⋅=+
=++
⇒
=+
=−
=++
⇒
+↵−=+−−
↓+↵=++
⋅−⋅=++
*(18
1*'
3(
3*
*1*'
3(
1*'
3*
3(
('*
(13(
*(3(
+
+ y
+ y x
+ y
+ y
+ y x
+ y
+ y
+ y x
+ y x
+ y x
+ y x
sistema obtido está escalonado e equivalente ao sistema dado. odemos agora resolver%
13(*(
*1*('
(18
*(
−=⇒=+⋅+
=⇒=⋅+
==
x x
y y
+
0istema possCvel e determinado, com 0 < =2-1,*,(&>
?$emplo (%
( ) ( )
⇒
=++ −=+−
=−+
⇒
+↵=−+ ↓+↵=+−
−⋅−⋅=−+
)i#ar "ime( + y x + y
+ y x
+ y x + y x
+ y x
++++:3
*(
8(:(1*
(**(
−=+−
=−+
:3
*(
+ y
+ y x
0istema possCvel e indeterminado 2escalonado e ( $ *&. "ariável livre% z.
3
:
:3
α+=
⇒−=α+−⇒α=
y
y +
3
'*
3
:(
α−=⇒=α−
α+⋅+ x x
0olução geral%
α
α+α− * *
3
:
3
'
?$ercCcios propostos%
1& ?scalone, classiique e resolva os sistemas lineares abai$o%
a&
=+=+−
=++
+(**
1*(
+ y + y x
+ y x
5esp% 0istema possCvel e determinado, com 0 < =21,-1,(&>
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