Aula de Sistemas de Equações

8/19/2019 Aula de Sistemas de Equações

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Sistemas de equações do 1° grau a duas variáveis

Introdução

Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a

duas variáveis.

Nesse caso, diz-se que as equações ormam um sistema de equações do 1º grau a duas variáveis, que

indicamos escrevendo as equações abrigadas por uma c!ave. "e#a os e$emplos%

a&

'

( )

x y

x y

+ =

− = b&

* 1+

1

x y

x y

− =

+ =

par ordenado que veriica ao mesmo tempo as duas equações c!amado solução do sistema. /ndicamos pela

letra 0, de solução.

or e$emplo, o par 23,*& solução do sistema

1+

* (

x y

x y

+ =

− = −

ois veriica as duas equações. u mel!or%

3 * 1+

3 *.2*& (

+ =

− = −

Resolução de sistemas de equações do 1° grau ( 2 x 2)

s processos ou mtodos mais comuns são% o mtodo da substituição, mtodo da adição, mtodo da

comparação, alm do mtodo gráico.

Mtodo da su!stituição

ara aprender a trabal!ar com esse mtodo, voc4 deve acompan!ar os passos indicados nos e$emplos a seguir%

1º exem"lo% 5esolver o sistema

3

1

x y

x y

+ =

− =1º "asso% /sola-se uma das variáveis em uma das equações. "amos isolar $ na 16 equação%

3 3 x y x y+ = ⇒ = −

2º "asso% 0ubstitui-se a e$pressão encontrada no passo 1 na outra equação. btemos então uma equação do 1º

com apenas uma inc7gnita

1

23 & 1

3 1

3 ( 1

x y

y y

y y

y

− =

− − =

− − =

− =


2/13

#º "asso% 5esolvemos a equação obtida no (º passo%

3 ( 1

( 1 3

( 8

8

(

*

y

y

y

y

y

− =

− = −

− = −

−=

−

=

obtendo, assim, o valor de 9.

$º "asso% 2ara encontrarmos o valor de $& 0ubstitui-se o valor encontrado no *º passo em qualquer uma das

equação iniciais.

3

2*& 3

3 *

:

x y

x

x

x

+ =

+ =

= −

=

%º "asso% or ;ltimo, escrevemos a solução do sistema% 0 < =2:,*&>.

2º exem"lo% 5esolva o sistema

(

( ' *

x y

x y

=

− =

1% (

( %

( ' * (2( & ' * : ' * 1 *

*% * *

: % (

(.2 *&

8

Passo x y

Passo

x y y y y y y

Passo y y

Passo x y

x

x

=

− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − =

− = ⇒ = −

=

= −

= −

A solução do sistema % =2 8, *&>S = − −

&xer''ios de "rendi*agem

Aplicando o mtodo da substituição, resolva os seguintes sistemas ($(%

' * ( 8 :& & &

* ) * ( ( 3

x y x y x ya b c

x y x y x y

− = − = + =

+ = − = + =


3/13

Mtodo da 'om"aração

?ste mtodo consiste, basicamente, em isolar a mesma variável nas duas equações.


1&

* *

x ya

x y

− =

− = −

1° "asso& /solando $ na 16 equação%

1 1 x y x y− = ⇒ = + 1

2º "asso% /solando $ na (6 equação%

* * * * x y x y− = − ⇒ = − + (

#º "asso& @omparando 1 e (, vem%

1 * ** * 1

( :

:

(

(

x x

y y y y

y

y

y

=

+ = − +− = − −

− = −−

=−

=

$º "asso& @omo $ < 19, temos%

x = 1+(2) x = 3

@on#unto-0olução% 0 < =2*,:&>


'

* 18

x y

x y

=

+ =

1º "asso% $ < '9 1

2º "asso% /sola-se x na (6 equação

* 18

18 * (

x y

x y

+ =

= −

*º passo% @omparando 1 e (, vem

'9 < 18 B *9

'9 *9


4/13

$ < '.2(&

$ < 1+

A solução 0 < =21+,(&>

&xer''ios de "rendi*agem

(& Aplicando o mtodo da comparação, resolva os seguintes sistemas%

1 * ( *& & &

( * ( * 1

x y x y x ya b c

x y x y x y

− = = + = −

− + = − = + = −

?$ercCcios de i$ação

*& Aplicando o mtodo mais conveniente para o caso, resolva os seguintes sistemas%

* * 1+ (& & & &

( ) ( 1+ ( * ' ''

x y x y x y x ya b c d

x y x y x y x y

− = = + = =

+ = + = − = + =

: 3 * ) ( * +& & & &

( ' ) : 8 1( ( * 8 * ' (

' : 1 1& &

( * ' * *

x y x y x y x ye f g h

x y x y x y x y

x y x yi j

x y x y

+ = + = − = + = − = − = + = + =

+ = − = − = − = −

Mtodo da dição

Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma nova igualdade.

mtodo consiste em somar as duas equações, mas isso deve ser eito sempre de modo a eliminar uma das

variáveis na nova equação obtida. u se#a, preciso c!egar a uma s7 equação, com uma s7 inc7gnita. ara que

isso ocorra, necessário e$istam termos opostos nas duas equações 2em relação a uma mesma letra...&.

&xem"lo 1% @onsidere o sistema

' * 1'

( * 8

x y

x y

− =

+ =

bserve que a equação 1 tem o termo -*9, e a equação ( tem o termo *9 2oposto de -*9&.

?sse ato nos permite obter uma s7 equação sem a inc7gnita 9, somando as duas equações membro a membro.

' * 1' * * +, .

( * 8 , D

3 + (1

3 (1*

x y Como y y o y desaparece

x y Aí fica tdo mais f!ci"

x

x x

− = − + =⊕ → + =

+ =

==

Agora, s7 substituir o valor de $ em uma das equações do sistema%


5/13

' * 1'

'.2*& * 1'

1' * 1'

* 1' 1'

* +

+

x y

y

y

y

y

y

− =

− =

− =

− = −

− =

=

A ;nica solução do sistema o par 2*,+&

&xem"lo 2% "amos resolver o sistema

( ' 18

* ( (

x y

x y

+ =

+ =

Aqui, seria in+til somar imediatamente as equações. @omo não observamos termos o"ostos 2que somados

resulta +&, nen!uma letra desaparece. Eas, podemos obter termos opostos.

"e#a que o EE@ entre ' e ( 2coeicientes de $ nas duas equações& 1+. FaC, multiplicamos a 16 equação por (e a (6 equação por -'%

( ' 18 2(&

* ( ( 2 '&

x y

x y

+ = ×

+ = × −

: 1+ *(

1' 1+ 1+

x y

x y

+ =⇒

− − = −

"oc4 viu bemGDDD @om isso, conseguimos termos opostos neste ;ltimo sistema.

? como 1+9 B1+9 < +, vem%

: 1+ *(1' 1+ 1+

11 + ((

11 ((

((

11

(

x y x y

x

x

x

x

+ = ⊕− − = −

− + =

− =

=−

= −

Agora, levamos $ < -( na (6 equação para encontrar o valor de 9%* ( (

*2 (& ( (

8 ( (

( ( 8

(

:

x y

y

y

y

y

y

+ =− + =

− + == +=

=

A solução o par 2-(,:&.

&xem"lo #% 5esolva pelo mtodo da adição o sistema

* *

* : *+

x y

x y

+ =

+ =


6/13

"amos tornar opostos 2ou simtricos& os coeicientes em $. ara isso, basta multiplicar a primeira equação por

-1 2não me$er na (6&%

* * .2 1& * *

* : *+ .21& * : *+

* (3

x y x y

x y x y

y

+ = − − − = − ⇒ ⊕ + = + =

=

Fe *9 < (3, tiramos 9 < ).

@alculando $%

0ubstituCmos 9 < ) na 16 equação%* *

* 2)& *

* * )

* 8

8

*

(

x y

x

x

x

x

x

+ =

+ =

= −

= −

−=

= −

Nota importante% odemos aplicar o mtodo da adição de outra orma, neste caso procurando zerar a inc7gnita

9. "e#a%

Eultiplicamos a 16 equação por : e a (6 por 1... e então

* * .2 :& 1( : 1(

* : *+ .21& * : *+

) + 1

x y x y

x y x y

x

+ = − − − = − ⇒ ⊕ + = + =

− + =

Fe ) 1 x− = , encontramos

1(

) x = = −

− 2"iuGDD Fá o mesmo resultadoD&. ortanto, pode-se usar o processo dadição duas vezes seguidas

?$emplo :% 5esolver o sistema pelo processo da adição

8 ' 1'

3 18 1*

a b

a b

− =

− + =

Hemos que o EE@28,3& < :(. ?ntão, multiplicamos a 16 equação por 3 e a (6 por 8, temos%

8 ' 1' .23& :( *' 1+'

3 18 1* .28& :( )8 3

a b a b

a b a b

− = − = ⇒

− + = − + =

:( *' 1+'

:( )8 3

81 1*

1*

*81

a b

a b

b

b

− =⊕

− + =

=

= =

0ubstituindo b < * na (6 equação, vem%


7/13

3 18 1*

3 18.2*& 1*

3 : 1*

3 1* :

3 *'

*'

3'

a b

a

a

a

a

a

a

− + =− + =− + =− = −− = −

−=

−=


8/13

Mais exer''ios "ro"ostos,

?ncontre o con#unto solução dos sistemas de equações.

a&

=−

−=+

13(3

(1':

y x

y x

S= ( ){ }',1 − d&

=−

−=+

*(*'

'*

ba

ba

S= ( ){ }:,: −

b&

=−

−=+

1+':

1(8)

#m

#m

S= ( ){ }(,+ − e&

−=+

−−

=+

*1+

)8

(

1::*

y x y x

y x

S= ( ){ }(,(

c&

−=−

=+

(:*3

'11(

$ p

$ p

S= ( ){ }1,*− &

( )

( )

=+

=−

'*

1

(

*

(

1

y x

y x

S= ( ){ }8,)

****************************************************************************************

Classificação dos sistemas lineares

s sistemas lineares são classiicados, quanto ao n;mero de soluções, da seguinte orma%

Regra de Cramer

A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.

=+++

=+++=+++

##m#mm

##

##

b xa%% xa xa

%%%

%%%

b xa%% xa xa

b xa%% xa xa

((11

(((((1(1

11(1(111

%sistemao0e#a

"amos determinar a matriz A dos coeicientes das inc7gnitas%


9/13

=

m#mm

#

#

a%%%aa

%%%

%%%

%%%

a%%%aa

a%%%aa

A

(1

((((1

11(11

"amos determinar agora a matriz A$1, que se obtm a partir da matriz A, substituindo-se a coluna doscoeicientes de $1 pela coluna dos termos independentes.

=

m#m#

#

#

x

a%%%ab

%%%

%%%

%%%

a%%%ab

a%%%ab

A

(

((((

11(1

1

ela regra de @ramer% Adet

Adet x x11 =

Fe maneira análoga podemos determinar os valores das demais inc7gnitas%

=

m##m

#

#

x

a%%%ba

%%%

%%%

%%%

a%%%ba

a%%%ba

A

1

(((1

1111

(

Adet Adet x x(( =⇔

=

#mm

x#

b%%%aa

%%%

%%%

%%%

b%%%aa

b%%%aa

A

(1

((((1

11(11

Adet

Adet x x## =⇔

Ieneralizando, num sistema linear o valor da inc7gnita $1 dado pela e$pressão%

Adet

Adet x

i

i =

→

tes.independentermosdoscoluna pela

$deescoeicientdoscolunasas

se-dosubstituinAdeobtidamatrizaA

sistema.doincompletamatrizaA

i

i

"e#amos alguns e$emplos.

1º &xem"lo- 5esolver o sistema

−=+

=−

('

3(

y x

y x

.

&eso"'o%

11'1

1(=⇒

−= Adet A


10/13

**'(

1311 =⇒

−

−= Adet A

11(1

3((( −=⇒

−

= Adet A

*11

**1 === Adet

Adet x 1

11

11( −=−

== Adet

Adet y

&esposta ( ){ }1* −= *S

2º &xem"lo- 5esolver o sistema

=−−

=+

(

'

y x

y x

.

&eso"'o

+11

11=⇒

−−

= Adet A

3

1(

1'−=⇒

−

= x x Adet A

3(1

'1=⇒

−

= y y Adet A

+

3−==

Adet

Adet x x

impossCvel +

3==

Adet

Adet y

y

impossCvel

&esposta φ=S

#º &xem"lo- 5esolver o sistema

=++=+−

=−+

11+':*

+(

*(1

*(1

*(1

x x x x x x

x x x

.

&eso"'o

1º& @álculo do determinante da matriz incompleta.

1(8':*1+:

111

':*

1(1

−=−−−−+−=⇒

−

−= Adet A

(º& @álculo do determinante das inc7gnitas.

(:(++:1+1++

111

':1+

1(+

11 −=−+−−+=⇒

−

−= Adet A

1(+'1+*+1+

111

'1+*

1+1

(( =+−+−+=⇒

−= Adet A

+81+++(+:

111

1+:*

+(1

** =−−+++−=⇒

−= Adet A


11/13

*º& @álculo das inc7gnitas.

(1(

(:11 =−

−==

Adet

Adet x

11(

1((( −=−

== Adet

Adet x

+1(

+** =−

== Adet

Adet x

&esposta ( ){ }+1( * *S −= 0istema ossCvel e Feterminado.

&xer''ios .ro"ostos-

1. 0olucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de @ramer.

a&

−=−=+

:*('(

y x y x

5esp% =21,(&>

b&

=+

=−

)*

1:*

y x

y x

5esp% =2*,(&>

(. @alcule os valores de x, y e nos sistemas%

a&

=−+

=+−=−+

*(**

)*(

((

+ y x

+ y x

+ y x

5esp% =21,(,*&>

b&

=−−=−−

=−+

+*

+'

+1+

+ y

+ x

y x

5esp% =28,:,1&>

.ro'esso "ara es'alonamento de um sistema linear

ara escalonar um sistema linear e depois classiicá-lo e resolv4-lo, alguns procedimentos podem ser eitos%1º ?liminamos uma equação que ten!a todos os coeicientes e o termo independente nulos.

or e$emplo% +$ +9 +z < + pode ser eliminada, pois todos os termos de n;meros reais são soluções%

2º odemos trocar a posição das equações. ?$emplo%

=−

=+⇒

=+

=−

8(*

1:

1:

8(*

y x

y x

y x

y x

#º odemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo n;mero real dierente de zero%

1+((8'* =+−⇒=+− + y x + y xodemos multiplicar os ( membros de uma equação por um mesmo n;mero real dierente de zero e

somarmos aos membros correspondentes da outra equação. ?$emplo%


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( )

=−

=+−⇒

+↵=+−

−⋅=+−

:*

3:(

(')'*

*3:(

+ y

+ y x

+ y x

+ y x

$º 0e no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeicientes nulos e o termoindependente dierente de zero, esta equação suiciente para airmar que o sistema impossCvel., isto ,

0 < ∅ .

?$emplo 1%

( )

( )

−=−

=+

=++

+↵=−

−⋅=+

=++

⇒

=+

=−

=++

⇒

+↵−=+−−

↓+↵=++

⋅−⋅=++

*(18

1*'

3(

3*

*1*'

3(

1*'

3*

3(

('*

(13(

*(3(

+

+ y

+ y x

+ y

+ y

+ y x

+ y

+ y

+ y x

+ y x

+ y x

+ y x

sistema obtido está escalonado e equivalente ao sistema dado. odemos agora resolver%

13(*(

*1*('

(18

*(

−=⇒=+⋅+

=⇒=⋅+

==

x x

y y

+

0istema possCvel e determinado, com 0 < =2-1,*,(&>

?$emplo (%

( ) ( )

⇒

=++ −=+−

=−+

⇒

+↵=−+ ↓+↵=+−

−⋅−⋅=−+

)i#ar "ime( + y x + y

+ y x

+ y x + y x

+ y x

++++:3

*(

8(:(1*

(**(

−=+−

=−+

:3

*(

+ y

+ y x

0istema possCvel e indeterminado 2escalonado e ( $ *&. "ariável livre% z.

3

:

:3

α+=

⇒−=α+−⇒α=

y

y +

3

'*

3

:(

α−=⇒=α−

α+⋅+ x x

0olução geral%

α

α+α− * *

3

:

3

'

?$ercCcios propostos%

1& ?scalone, classiique e resolva os sistemas lineares abai$o%

a&

=+=+−

=++

+(**

1*(

+ y + y x

+ y x

5esp% 0istema possCvel e determinado, com 0 < =21,-1,(&>


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