Aula Conjuntos Numericos

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS.TUTORIA EM MATEMATICA

CONJUNTOS NUMERICOS

Cruz das Almas - BA - Dezembro de 2013.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Introducao

Enquanto os conjuntos constituem um meioauxiliar, os numeros sao um dos dois objetosprincipais de que se ocupa a Matematica.( O outro e o espaco,junto com as figurasgeometricas nele contidas.)

Introducao

Numeros sao entes abstratos, desenvolvidospelo homem como modelos que permitemcontar e medir, portanto avaliar as diferentesquantidades de uma grandeza.

Objetivos

1- Compeender o conceito de conjunto e dominar suasprincipais proporiedades e operacoes;

2-Relembrar as operacoes de adicao e multiplicacao dosnumeros reias e suas propriedades;

3-Rever os conceitos de divisibilidade, divisor e multiplo;

Objetivos

4-Rever os conceitos de fracoes, fracoes equivalentes e fracoesirredutıveis;

5-Consolidar o conhecimento adquirido ate aqui sobre os reias,com uma visao mais aprofundada, fazendo uso do queaprendemos em logica matematica.

Objetivos

4-Rever os conceitos de fracoes, fracoes equivalentes e fracoesirredutıveis;

5-Consolidar o conhecimento adquirido ate aqui sobre os reias,com uma visao mais aprofundada, fazendo uso do queaprendemos em logica matematica.

Objetivo geral

Espera-se que ao final do estudo o discente seja capaz deaplicar os axiomas dos reais em algumas demonstracoes deoutras propriedades bem como seja capaz de identificarcorretamente quais propriedades podem ser usadas emsimplificacoes de equacoes e inequacoes.

Historico

A historia nos mostra que desde muito tempo ohomem sempre teve a necessidade em contarobjetos e ter registros numericos. seja atraves depedras, ossos, desenhos , dos dedos ou outra formaqualquer, em procurava abstrair a natureza pormeio de processos de determinacao de quantidades.

Historico

Deve-se a Giussepe Peano ( 1858 -1932) aconstatacao de que se pode elaborar toda a teoriados numeros naturais a partir de quatro fatosbasicos, conhecidos atualmente como os axiomasde Peano . Em outras palavras, o conjunto N dosnumeros naturais possui quatro propriedadesfundamentais, das quais resultam, comoconsequencias logicas, todas as afirmacoesverdadeiras que se podem fazer sobre esses numeros.

Conjuntos dos numeros naturais

Nesta secao estabeleceremos a definicao de numeronatural. Suponhamos a existencia de um conjuntonao vazio N , chamado de numeros naturais.

Para estuda-los, precisamos inicialmente admitir tres conceitosprimitivos”(sem definicao). Sao eles: zero (denotado por 0 ),numero natural e a nocao de sucessor de um numero natural.Sendo n um numero natural, vamos denotar por s(n) o seusucessor. Assim, os Axiomas de Peano podem ser listados damaneira seguinte.

Nesta secao estabeleceremos a definicao de numeronatural. Suponhamos a existencia de um conjuntonao vazio N , chamado de numeros naturais.

Para estuda-los, precisamos inicialmente admitir tres conceitosprimitivos”(sem definicao). Sao eles: zero (denotado por 0 ),numero natural e a nocao de sucessor de um numero natural.Sendo n um numero natural, vamos denotar por s(n) o seusucessor. Assim, os Axiomas de Peano podem ser listados damaneira seguinte.

Aqui assumiremos que 0 (zero) nao e um numero natural etambem nao e sucessor de um numero natural, em razao doaxioma I de Peano.

I- Existe uma funcao s : N→ N, que associa a cada n ∈ N umelemento s(n) ∈ N, chamado o sucessor de n .

II- A funcao s : N→ N e injetiva.

III- Existe um unico elemento 1 no conjunto N , tal que 1 6= s(n)para todo n ∈ N .

IV - Se um subconjunto X ⊂ N e tal que 1 ∈ N e s(X ) ⊂ X ( istoe, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X ), entao X = N.

Observe que, como estamos chamando de N o conjunto dosnumeros naturais, a notacao n ∈ N siginifica que n e um numeronatural.

Como podemos observar os Axiomas listados acima nao sao nadatriviais, sendo necessario aqui reformularmos em linguagemcorrente, livre de notacao matematica, porem essa reformulacaonao deve ser levada como pretexto para nao aprofundarmos oestudo dos axiomas de Peano.

0 (zero) nao e um numero natural e tambem nao e sucessor de umnumero natural, em razao do axioma I de Peano.

I- Todo numero natural possui um unico sucessor, que tambem eum numero natural.

II- Numeros naturais diferentes possuem sucessores diferentes.( ouainda: numeros que tem o mesmo sucessor sao iguais).

III- Existe um unico natural que nao e sucessor de nenhum outro.Este numero e representado pelo sımbolo 1 e chamado de ”numeroum”.

IV - Se um conjunto de numeros naturais contem o numero 1 e,alem disso, contem o sucessor de cada um de seus elementos,entao esse conjunto coincide com N , isto e contem todos osnumeros naturais.

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.

Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

1→s 2

→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

1→s 2→s 3

→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

1→s 2→s 3→s 4

→s 5→s ...

Logo, temos

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s

Logo, temos

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

N = {1, 2, 3, 4, ..., n} .

Entre os numeros naturais estao definidas duas operacoesfundametais: a adicao (+) e a multiplicacao (·) .

• Adicao

Associa os numeros a, b ∈ N a soma a + b .

+ : N× N→ N

(a, b) 7→ a + b.

Entre os numeros naturais estao definidas duas operacoesfundametais: a adicao (+) e a multiplicacao (·) .

• Adicao

Associa os numeros a, b ∈ N a soma a + b .

+ : N× N→ N

(a, b) 7→ a + b.

• Multiplicacao

Associa os numeros a, b ∈ N ao produto a · b

· : N× N→ N

(a, b) 7→ a · b

• Multiplicacao

· : N× N→ N

(a, b) 7→ a · b

• Multiplicacao

· : N× N→ N

(a, b) 7→ a · b

• Multiplicacao

· : N× N→ N

(a, b) 7→ a · b

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

AM.1 A adicao e a multiplicacao sao bem definidas:

∀a, b, a′, b

′ ∈ N, a = a′

e b = b′ ⇒ a + b = a

′+ b

′e a · b =

a′ · b′

AM.1 A adicao e a multiplicacao sao bem definidas:

∀a, b, a′, b

′ ∈ N, a = a′

e b = b′ ⇒ a + b = a

′+ b

′e a · b =

a′ · b′

A propriedade AM.1 e a que permite somar, a ambos os lados deuma igualdade um dado numero ou multiplicar ambos os membrospor um mesmo numero.

A.1 Associatividade da soma

(a + b) + c =

a + (b + c)∀a, b e c ∈ N .

A.2 Comutativa da soma

a + b = b + a∀a e b ∈ N .

(a + b) + c = a + (b + c)∀a, b e c ∈ N .

a + b =

b + a∀a e b ∈ N .

(a + b) + c = a + (b + c)∀a, b e c ∈ N .

a + b = b + a∀a e b ∈ N .

A.3 Elemento neutro da adicao

a + 0 = a∀a ∈ N .

M.1 Associativa da multiplicacao

(ab)c =

a(bc)∀a, b, b ∈ N .

A.3 Elemento neutro da adicao

a + 0 = a∀a ∈ N .

M.1 Associativa da multiplicacao

(ab)c = a(bc)∀a, b, b ∈ N .

M.2 Comutativa da multiplicacao

ab = ba∀a e b ∈ N .

M.3 Elemento neutro da multiplicacao

a · 1 = a∀a ∈ N .

M.2 Comutativa da multiplicacao

ab = ba∀a e b ∈ N .

M.3 Elemento neutro da multiplicacao

a · 1 = a∀a ∈ N .

D. Distributiva da multiplicacao relativamente a adicao

a(b + c) =

ab + ac∀ a, b, c ∈ N .

a(b + c) = ab + ac

∀ a, b, c ∈ N .

a(b + c) = ab + ac∀ a, b, c ∈ N .

Alem destas propriedades, o conjunto N possoui :

[I.1] Integridade

Dados a, b ∈ N, tem-se a + b ∈ N e a · b ∈ N .

[L.T] Lei da tricotomia

Dados a, b ∈ N , uma , e apenas uma, das seguintes possibilidadese verdadeira.(i) a = b; (ii) ∃c ∈ N; b = a + c , (iii) ∃c ∈ N; a = b + c .

Alem destas propriedades, o conjunto N possoui :

[I.1] Integridade

Dados a, b ∈ N, tem-se a + b ∈ N e a · b ∈ N .

[L.T] Lei da tricotomia

Dados a, b ∈ N , uma , e apenas uma, das seguintes possibilidadese verdadeira.(i) a = b; (ii) ∃c ∈ N; b = a + c , (iii) ∃c ∈ N; a = b + c .

Conjunto dos numeros inteiros

Este conjunto aparece como ampliacao do conjunto dos numerosnaturais. Simbolizado pela letra Z, e o conjunto

Z = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., n} ouZ = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}

No qual estao definidas duas operacoes, a adicao e a multiplicacao,que definimos para os numeros naturais.

Z = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., n} ouZ = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}

Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)

Enunciamos 7 propriedades( axiomas ) em N que tambem saovalidas para Z , alem das quais seguem:

• Z.1 A existencia do Elemento Neutro

∀a ∈ Z, a + 0 = a e a · b = a

• Z.2 A existencia do Oposto

Para cada a ∈ Z existe um unico oposto aditivo, denotado por −atal que

a + (−a) = 0

• Z.3 Propriedade cancelativa para a multiplicacao

∀ a, b, c ∈ Z com a 6= 0 , tem-se que

a · b = a · c ⇒ b = c .

a + (−a) = 0

a · b = a · c ⇒ b = c .

a + (−a) = 0

a · b = a · c ⇒ b = c .

a + (−a) = 0

a · b = a · c ⇒ b = c .

Em Z podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;

• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .

• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;

• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .

• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .

Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades

Propriedade Cancelativa da adicao

Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .

Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que

(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)

Da propriedade associativa, temos

[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,

Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que

(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)

[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,

(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)

[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,

(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)

[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,

isto e , 0 + b = 0 + c , logo , b = c . ( c. q. d . )

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao

Para todo inteiro a tem-se que a · 0 = 0 .

Prova: Como 0 = 0 + 0 , escrevemosa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Uma vez que a · 0 = a · 0 + 0, temos

a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 ,

E pela propriedade cancelativa da adicao, temos a · 0 = 0.(c.q.d.)

Proposicao

Para todo inteiro a tem-se que a · 0 = 0 .Prova: Como 0 = 0 + 0 , escrevemosa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Uma vez que a · 0 = a · 0 + 0, temos

a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 ,

Proposicao

Para todo inteiro a tem-se que a · 0 = 0 .Prova: Como 0 = 0 + 0 , escrevemosa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Uma vez que a · 0 = a · 0 + 0, temos

a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 ,

Proposicao

Sejam a e b inteiros , tais que a · b = 0 .Entao, a = 0 ou b = 0 .Prova: Exercıcio.

Proposicao

Sejam a e b inteiros , tais que a · b = 0 .Entao, a = 0 ou b = 0 .Prova: Exercıcio.

Proposicao( Regra dos sinais)

Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);(ii) (−a)(−b) = a · b .

Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;

(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);(ii) (−a)(−b) = a · b .

Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);

(ii) (−a)(−b) = a · b .

Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);(ii) (−a)(−b) = a · b .

Prova:

(i) Note que o oposto de um elemento a e o unico inteiro queverifica a equacao a + x = 0 .Deste modo, a verifica a equacao(−a) + x = 0 , implicando que a e o oposto de −a , que e indicadopor −(−a) .

(ii) Exercıcio.(iii) Exercıcio.

Prova:

(i) Note que o oposto de um elemento a e o unico inteiro queverifica a equacao a + x = 0 .Deste modo, a verifica a equacao(−a) + x = 0 , implicando que a e o oposto de −a , que e indicadopor −(−a) .(ii) Exercıcio.(iii) Exercıcio.

Conjuntos dos numeros inteiros

Divisibilidade

Uma importante nocao que devemos ter sobre numeros inteiros e oconceito de divisor.

Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b - Simbolo a|b -quando existe um inteiro c tal que ca = b .

a|b ⇔ (∃c ∈ Z|ca = b)

Divisibilidade

Uma importante nocao que devemos ter sobre numeros inteiros e oconceito de divisor.Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b - Simbolo a|b -quando existe um inteiro c tal que ca = b .

a|b ⇔ (∃c ∈ Z|ca = b)

Divisibilidade

Uma importante nocao que devemos ter sobre numeros inteiros e oconceito de divisor.Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b - Simbolo a|b -quando existe um inteiro c tal que ca = b .

a|b ⇔ (∃c ∈ Z|ca = b)

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 12

2◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −18

3o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 0

4o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

Importante

Quando a e divisor de b , dizemos que ”b e divisıvel por a ”ou ”b emultiplo de a ”.Para um inteiro a qualquer , indicamos com D(a) o conjunto deseus divisores e com M(a) o conjunto de seus multiplos .

Importante

Quando a e divisor de b , dizemos que ”b e divisıvel por a ”ou ”b emultiplo de a ”.

Para um inteiro a qualquer , indicamos com D(a) o conjunto deseus divisores e com M(a) o conjunto de seus multiplos .

Importante

Quando a e divisor de b , dizemos que ”b e divisıvel por a ”ou ”b emultiplo de a ”.Para um inteiro a qualquer , indicamos com D(a) o conjunto deseus divisores e com M(a) o conjunto de seus multiplos .

Exemplos

1o) D(2) = {1,−1, 2,−2}M(2) = {0,±2,±4,±6, ...}

2o) D(0) = ZM(0) = {0}

Exemplos

1o) D(2) = {1,−1, 2,−2}M(2) = {0,±2,±4,±6, ...}

2o) D(0) = ZM(0) = {0}

Exemplos

1o) D(2) = {1,−1, 2,−2}M(2) = {0,±2,±4,±6, ...}

2o) D(0) = ZM(0) = {0}

Numero Primo

Dizemos que um numero inteiro p e primo quando p 6= 0, 1 e −1 eD(p) = {1,−1, p,−p} .Isto e, um numero p qualquer e primo se for divisıvel por 1 e peloproprio p .

Exemplo

2,−2,−3, 3, 5,−5 sao primos.

Exercıcio

Quais dos seguintes elementos de Z nao sao primos:12,−13, 0, 5, 31,−4, 49, e 53 .

Conjuntos dos numeros racionais

O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

Adotam -se as seguintes operacoes:

1a - Igualdade:a

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

ad + bc

3a - Multiplicacao :a

b· cd

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

1a - Igualdade:a

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

ad + bc

b· cd

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

1a - Igualdade:a

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

ad + bc

b· cd

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

1a - Igualdade:a

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

ad + bc

b· cd

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

1a - Igualdade:a

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

ad + bc

b· cd

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

1a - Igualdade:a

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

ad + bc

b· cd

4a - O simetrico aditivo dea

be −a

5a - O inverso multiplicativo do numero racionala

b6= 0 e

6a - 0 e0

qpara qualquer q 6= 0 .

be −a

b6= 0 e

6a - 0 e0

be −a

b6= 0 e

6a - 0 e0

be −a

b6= 0 e

6a - 0 e0

Em Q podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos• Q− = conjunto dos racionais nao positivos• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos

• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos

• Q− = conjunto dos racionais nao positivos• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos

• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos• Q− = conjunto dos racionais nao positivos

• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos

• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos• Q− = conjunto dos racionais nao positivos• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos

Note que todo numero inteiro a e racional , pois a =a

1. Isto quer

dizer que Z ⊂ Q .

Vamos definir alguns tipos de fracoes

• Fracoes equivalentes:a

bc, a, b, c ∈ Z e b, c 6= 0.

Exemplo

• Fracoes proprias:a

bcom |a| < |b|, a, b ∈ Z e b 6= 0.

Exemplo

• Fracoes improprias:a

bcom |a| > |b|, a, b ∈ Z e b 6=.

Exemplo

• Fracoes aparentes :a

b, a, b ∈ Z, b 6= 0,∃c; a = bc .

Exemplo

3, onde a = 3 · 2

• Fracoes decimais

10n, a ∈ Z

e n ∈ N.

Exemplo

100, onde n = 2 · 2

• Fracoes irredutıveis

b, a, b ∈ Z, b 6= 0,mdc(a, b) = 1

Exemplo

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Divide-se em dois casos:

1o - O numero decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto e , e uma decimal exata.

Exemplo

2= 0, 5

20= 0, 05

1000= 0, 027.

2o O numero decimal tem uma quantidade infinita de algarismosque repetem periodicamente, isto e, e uma dızima periodica .

Divide-se em dois casos:1o - O numero decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto e , e uma decimal exata.

Exemplo

2= 0, 5

20= 0, 05

1000= 0, 027.

Divide-se em dois casos:1o - O numero decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto e , e uma decimal exata.

Exemplo

2= 0, 5

20= 0, 05

1000= 0, 027.

Exemplo

3= 0, 333... = 0, 3 (perıdo 3) .

6= 1, 8333... = 1, 83 (perıodo 3)

7= 0, 285714285714... = 0, 285714 ( perıodo 285714 ) .

Exemplo

3= 0, 333... = 0, 3 (perıdo 3) .

6= 1, 8333... = 1, 83 (perıodo 3)

7= 0, 285714285714... = 0, 285714 ( perıodo 285714 ) .

Podemos notar tambem que todo numero na forma decimal exata

ou de dızima periodica pode ser convertido a forma de fracaoa

portanto, represtenta um numero racional.

Quando a decimal e exata, podemos transformalo em uma fracaocujo numerador e o numeral decimal sem vırgula e cujodenominador e o algarismo I seguido de tantos zeros forem ascasas decimais do numeral dado.

Exemplo

0, 37 = 37100 2, 631 = 2631

1000 63, 4598 =634598

10000.

Quando a decimal e uma dızima periodica, devemos procurar suageratriz. Temos a seguir tres exemplos de como obter a geratriz deuma dizıma periodica .

Exemplo

0, 777...x = 0, 777...

10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

10x − x = 7⇒ 7

entao: 0, 777... =7

Exemplo

0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...

Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

10x − x = 7⇒ 7

entao: 0, 777... =7

Exemplo

0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

10x − x = 7⇒ 7

entao: 0, 777... =7

Exemplo

10x − x = 7⇒ 7

entao: 0, 777... =7

Exemplo

10x − x = 7⇒ 7

entao: 0, 777... =7

Exemplo

6, 4343...

x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

entao: 6, 43436... =637

Exemplo

6, 4343...x = 6, 434343...

100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

entao: 6, 43436... =637

Exemplo

6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...

somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

entao: 6, 43436... =637

Exemplo

6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

entao: 6, 43436... =637

Exemplo

100x − x = 637⇒ x =637

entao: 6, 43436... =637

Exemplo

100x − x = 637⇒ x =637

entao: 6, 43436... =637

Exemplo

100x − x = 637⇒ x =637

entao: 6, 43436... =637

Conjuntos dos numeros racionaisExercıcios

Exercıcio

Coloque na forma de uma fracao irredutıvel os seguintes numerosracionais:

0, 4; 0, 444...; 0, 32; 0, 323232...; 54, 2; 5, 423423423....

Conjuntos dos numeros racionaisExercıcios

Exercıcio

Coloque na forma de uma fracao irredutıvel os seguintes numerosracionais:0, 4; 0, 444...; 0, 32; 0, 323232...; 54, 2; 5, 423423423....

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Numero que nao se pode expressar como quociente de doisnumeros inteiros. Numeros cuja representacao decimal cominfinitas casas decimais nao e periodica.

Exemplo

Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.Logo sao irracionais:

√2,√

5, ...√n

com n ∈ N e n 6= de um quadrado perfeito.

Exemplo

Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.

Logo sao irracionais:

√2,√

5, ...√n

Exemplo

√2,√

5, ...√n

Exemplo

√2,√

5, ...√n

Sao irracionais os resultados da soma, subtraccao,multiplicacao e divisao de um numero irracionalcom um numero racional.

Exemplo

1 +√

3,(1 +

8− 1)

Exemplo

1 +√

(1 +√

8− 1)

Exemplo

1 +√

3,(1 +

8− 1)

Exemplo

1 +√

3,(1 +

8− 1)

Sao irracionais os numeros especiais

π = 3, 141592653589793238462643383...

e = 2,71828182845904523536028...

Sao irracionais os numeros especiais

π = 3, 141592653589793238462643383...e = 2,71828182845904523536028...

Conjuntos dos numeros reais

O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :

Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.

O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;

Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.

O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.

Alem de Q , destacamos em R tres outros subconjuntos:

R+ = conjunto dos reais nao negativos.

R− = conjunto dos reais nao positivos.R∗ = conjunto dos reais nao nulos.

R+ = conjunto dos reais nao negativos.R− = conjunto dos reais nao positivos.

R∗ = conjunto dos reais nao nulos.

R+ = conjunto dos reais nao negativos.R− = conjunto dos reais nao positivos.R∗ = conjunto dos reais nao nulos.

Operacoes em RAs operacoes de adicao e multiplicacao em R gozam das mesmaspropriedades vistas para o conjunto Q. Em R e tambem definida aoperacao de subtracao e em R∗ e definida a divisao.

Intervalos

Dados dois numeros reaisa e b , com a < b, definimos:

(a) Intervalo aberto de extremos a e b e o conjunto

]a, b[= {x ∈ R| a < x < b }

(b) Intervalo fechado de extremos a e b e o conjunto

[a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b }

Intervalos

Dados dois numeros reaisa e b , com a < b, definimos:

(a) Intervalo aberto de extremos a e b e o conjunto

]a, b[= {x ∈ R| a < x < b }

(b) Intervalo fechado de extremos a e b e o conjunto

[a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b }

Modulo ou valor absoluto

Teorema

Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado. Saoequivalentes:

(i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) |x | ≤ a.

Corolario :

Dados a, b, x ∈ R , tem-se|x − a| ≤ b ⇔ −b ≤ x − a ≤ b ⇔ a− b ≤ x ≤ a + b

Teorema

Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado. Saoequivalentes:(i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) |x | ≤ a.

Corolario :

Teorema

Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado. Saoequivalentes:(i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) |x | ≤ a.

Corolario :

Teorema.

Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;

(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.

Teorema.

Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;

(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.

Teorema.

Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;

(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.

Teorema.

Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.

b, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elementar Vol. 1.[2]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 2.[3]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 3.[4]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 7.[5]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 9.

Referencia Bibliografica Complementar

[6] LIMA, Elon L. e outros. Matematica para o ensino medioColecao do professor dematematica, Vol. 1. 5a ed. Rio de Janeiro.[7] LIMA, Elon L. e outros. Matematica para o ensino medioColecao do professor dematematica, Vol. 2. 5a ed. Rio de Janeiro.

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