Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

AULA

32

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

DOMÍNIO E IMAGEM

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Os pontos interiores de uma região, como

um conjunto, compõem o interior da região.

Os pontos de fronteiras da região compõem

sua fronteira.

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Uma região é aberta se

consiste inteiramente em

pontos interiores.

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Uma região é

fechada se

contém todos os

seus pontos de

fronteira.

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

DEFINIÇÕES

Uma região no plano é limitada se está dentro

de um disco de raio fixo.

Caso contrário não é limitada.

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Exemplos de conjuntos limitados no plano:

Segmentos de reta;

Triângulos;

Retângulos; e

Circunferências.

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Exemplos de conjuntos não limitados no

plano:

As retas;

Os eixos coordenados;

Os gráficos de funções definidas em

intervalos infinitos;

Quadrantes; e

Semi-planos.

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Exemplo

Descreva o domínio da função:

2, xyyxf

SOLUÇÃO

Então o domínio de f é dado por:

.0 22 xyxy

Temos

., 22 xyRyxfD

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Como podemos ver, o

domínio é a região fechada,

não limitada, mostrada na

figura.

A parábola y = x2 é fronteira

do domínio.

Os pontos acima da parábola

compõem o interior do

domínio.

GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

DEFINIÇÕES

O conjunto de pontos no plano onde uma

função f(x,y) tem um valor constante

f(x,y) = c é denominado curva de nível de f.

O conjunto de todos os pontos (x,y,f(x,y)) no

espaço, para (x,y) no domínio de f, é

chamado gráfico de f.

O gráfico de f também é conhecido como

superfície z = f(x,y).

GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Exemplo

Represente graficamente e trace as curvas

de nível, no domínio de f no plano,

solicitadas, para:

.75,

51,,0,

:

100, 22

yxfe

yxfyxf

níveldeCurvas

yxyxf

GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

SOLUÇÃO

O domínio de f é o plano xy inteiro, e a

imagem de f é o conjunto de números reais

menores ou iguais a 100.

GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

O gráfico é o paraboloide

mostrado ao lado.

A curva de nível f(x,y)=0

é o conjunto de pontos no

plano xy nos quais:

.10

,100

0100,

22

22

origemnacentrado

raiodenciacircunferêuma

équeyxou

yxyxf

GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

As demais curvas

de nível são as

circunferências:

EXERCÍCIO 1

Encontre (a) o domínio da função, (b) a

imagem, (c) descreva as curvas de nível, (d)

encontre a fronteira do domínio, (e) determine

se o domínio é uma região aberta, fechada

ou nenhuma das duas e (f) decida se o

domínio é limitado ou ilimitado para

xyyxf ,

Solução (a)

EXERCÍCIO 2

Encontre (a) o domínio da função, (b) a

imagem, (c) descreva as curvas de nível, (d)

encontre a fronteira do domínio, (e) determine

se o domínio é uma região aberta, fechada

ou nenhuma das duas e (f) decida se o

domínio é limitado ou ilimitado para

2216

1,

yxyxf

SOLUÇÃO (a)

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

No plano, os pontos onde uma função de

duas variáveis independentes tem um

valor constante f(x,y)=c perfazem uma

curva no domínio da função.

No espaço, os pontos onde uma função de

três variáveis independentes tem um valor

constante f(x,y,z)=c perfazem uma

superfície no domínio da função.

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

DEFINIÇÃO – Superfície de nível

O conjunto de pontos (x,y,z) no espaço

onde uma função de três variáveis

independentes tem um valor constante

f(x,y,z)=c é chamado superfície de nível de

f.

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

Como os gráficos de funções de três variáveis

consistem em pontos do tipo:

(x,y,z,f(x,y,z))

em um espaço quadridimensional, não

podemos esboça-los em nosso sistema de

coordenadas tridimensional de referência.

Contudo, podemos ver como a função se

comporta analisando suas superfícies de nível

tridimensionais.

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

Exemplo:

Descreva as superfícies de nível da função

222,, zyxzyxf

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

O valor de f é a distância da

origem ao ponto (x,y,z).

Cada superfície de nível

é uma esfera de raio c

centrada na origem.

A figura mostra um corte de

três dessas esferas.

,0,222 cczyx

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

A superfície de nível

0222 zyx

consiste apenas da origem.

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

DEFINIÇÕES

Um ponto (x0,y0,z0) em

uma região R no

espaço é um ponto

interior de R se é centro

de uma esfera sólida

que está inteiramente

em R.

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

DEFINIÇÕES

Um ponto (x0,y0,z0) em

uma região R no espaço é

um ponto de fronteira de

R se toda esfera centrada

em (x0,y0,z0) contém

pontos que estão fora R

assim como pontos que

estão dentro de R.

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

DEFINIÇOES

O interior de R é o conjunto dos pontos

interiores de R.

A fronteira de R é o conjunto dos pontos de

fronteira de R.

Uma região é aberta se consiste inteiramente

de pontos interiores.

Uma região é fechada se ela contém a sua

fronteira.

EXERCÍCIO 3

Encontre uma equação para a curva de nível

da função dada que passa pelo ponto dado.

2,22,16, 22 yxyxf

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 4

Encontre uma equação para a superfície de

nível da função dada que passa pelo ponto

dado.

.1,1,3,ln,, zyxzyxf

SOLUÇÃO

FIM

DA AULA

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