Post on 18-Apr-2015
Coordenadas Polares
Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares é usado para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões.
Relação entre coordenadas polares e coordenadas
cartesianas
seny r
tgy
x
Coordenadas Cilíndricas
Em três dimensões, há uma sistema de coordenadas, chamado coordenadas cilíndricas que é análogo às coordenadas polares e dá a descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente. Como veremos, algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas.
Coordenadas Cilíndricas
seny r z z
tgy
x
z z
Conversão
Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as equações
enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos
seny r z z
tgy
x z z
Exemplo 1
(a) Marque o ponto com coordenadas cilíndricas e encontre suas coordenadas retangulares.
(b) Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto em coordendas retangulares
(2,2 / 3,1)
(3, 3, 7).
Coordenadas Cilíndricas
(a)
Coordenadas Retangulares
Logo, o ponto em coordenadas retangulares
é
( 1, 3,1).
2 32sen 2 3
3 2y
Coordenadas cilíndricas
(b)
Logo, o ponto em coordenadas cilíndricas é
(3, 3, 7)
3 7tg = 1 2
3 4n
(3 2,7 / 4, 7) ou (3 2, / 4, 7) ou ...
Utilidade das Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo e o eixo é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria.
z
Exemplo
eixo cilindro circular
(em coordenadas
cilíndricas)
Exemplo 2
Descreva a superfície cuja equação em
coordenadas cilíndricas é
Solução: A equação diz que o valor de ou altura, de cada ponto da superfície é o mesmo que a distância do ponto ao eixo Como não aparece, ele pode variar. Assim, qualquer corte horizontal no plano é um círculo de raio
.z r
,z
,r.z
( 0)z k k .k
Exemplo 2
equação de um cone
circular cujo o eixo
é o eixo .z
Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
onde
2 2
1 1
( ) ( cos , sen )
( ) ( cos , sen )( , , ) ( cos , sen , ) .
h u r r
h u r rE
f x y z dV f r r z r dz dr d
cos senx r y r z z
Um sólido está contido no cilindro abaixo do plano e acima
do parabolóide(veja a figura). A densidade em qualquer
ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de
Exemplo 3
E2 2 1,x y 4z
2 21z x y
.E
Exemplo 3
Exemplo 3
Em coordenadas cilíndricas, O cilindro é O parabolóide é Então podemos escrever
Função densidade
Exemplo 3
Exemplo 4
Calcule
Exemplo 4
Projeção de sobre o plano é o disco E xy2 2 4.x y
Região descrita em coordenadas cilíndricas