Post on 11-Jan-2017
Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
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Email:
Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
AULA
24
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
Nessa aula, definiremos
volumes de sólidos cujas
seções transversais
(região plana formada pela
interseção entre o sólido e
um plano) são regiões
planas.
Relembrando que o volume de um sólido é
dado por: Volume = área da base x altura.
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
Se a seção do sólido S em
cada ponto x no intervalo
[a, b] é uma região R(x) de
área A(x), e A é uma
função contínua de x,
podemos definir e calcular
o volume do sólido S
como uma integral
definida:
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
a = x0 < x1 < ... <xn = b.
Dividimos [a, b] em
subintervalos de largura
(comprimento) ∆xk e fatiamos
os sólido (como faríamos
com um pão) por planos
perpendiculares ao eixo x
nos pontos de partição
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
DEFINIÇÃO – VOLUME
O volume de um sólido
compreendido entre os planos
x = a e x = b e cuja seção
transversal por x é uma
função integrável A(x), é a
integral:
b
a
dxxAV
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
Para calcular o volume de um sólido faça:
1 – Esboce o sólido e uma seção
transversal típica.
2 – Encontre uma fórmula para A(x), a
área de uma transversal típica.
3 – Encontre os limites de integração.
4 – Integre A(x).
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
EXEMPLO 2
Princípio de Cavalieri.
O princípio do volume
de Cavalieri diz que
sólidos com mesma
altura e com áreas das
seções transversais
iguais em cada altura tem
o mesmo volume.
EXEMPLO 2
Isso se segue
imediatamente à
definição de volume,
pois a função área de
seção transversal
A(x) e o intervalo [a,b]
são iguais para ambos
sólidos.
EXERCÍCIO 1
Determine o volume de um sólido situado
entre dois planos perpendiculares ao eixo x em
x=0 e x=4. As seções transversais
perpendiculares ao eixo x, no intervalo
0 ≤ x ≤ 4, são quadrados cujas diagonais vão da
parábola .xyparábolaàxy
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 2
Calcular o volume do sólido
que situa-se entre planos
perpendiculares ao eixo x em
x= -1 e x=1.
As seções transversais
perpendiculares ao eixo x são
discos circulares cujos
diâmetros vão da parábola
.2 22 xyparábolaàxy
SOLUÇÃO
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
Sólido de Revolução: o método do disco
Um sólido gerado pela rotação de uma
região plana em torno de um eixo no plano
desse eixo é chamado sólido de revolução.
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
Para determinar o volume de
um sólido como o mostrado
ao lado, precisamos somente
observar que a área da
seção transversal A(x) é um
disco de raio R(x) (que é a
distância entre a fronteira da
região bidimensional e o eixo
de revolução).
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
A área é, portanto
:,
22
temosvolumededefiniçãopelaE
xRraioxA
b
a
b
a
dxxRdxxAV2
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
Esse método para
calcular o volume de um
sólido de revolução
geralmente é denominado
método do disco, pois
uma seção transversal é
um disco circular de raio
R(x).
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
SOLUÇÃO
EXEMPLO 2
Determine seu volume.
Calcular o volume de uma esfera.
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
Exemplo de um sólido de revolução (rotação em torno da reta y = 1)
Exemplo de um sólido de revolução (rotação em torno da reta y = 1)
Exemplo de um sólido de revolução (rotação em torno da reta y = 1)
O volume é:
Exemplo de um sólido de revolução em torno do eixo y
Determine o volume do sólido obtido com a
rotação, em torno do eixo y, da região
compreendida entre o eixo y e a curva x = 2/y,
1≤ y ≤ 4.
SOLUÇÃO
Ao lado estão as figuras
mostrando a região, um raio
típico e o sólido gerado.
O volume é
Exemplo de um sólido de revolução em torno do eixo vertical
Determine o volume do sólido obtido com a
rotação, em torno da reta x = 3, da região
compreendida entre a parábola x = y2 +1 e a
reta x = 3.
SOLUÇÃO
Desenhamos as figuras
mostrando a região, um raio
típico e o sólido gerado.
O raio é dado pela distância
da reta x = 3 até a fronteira
da parábola (x = y2 + 1)
SOLUÇÃO
As interseções entre a
parábola e a reta se dão nos
pontos
2,32,3 e
SOLUÇÃO
Então o intervalo, no eixo
y, vai de
22 a
SOLUÇÃO
Girando o gráfico
para a direita, fica
fácil perceber que o
volume será dado
por:
EXERCÍCIO 3
Determine o volume do sólido obtido com a
rotação da região sombreada em torno do
eixo dado.
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 4
Determine o volume do sólido obtido com a
rotação da região sombreada em torno do
eixo y.
SOLUÇÃO
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
O método do anel
Se a região que girarmos para
gerar um sólido não atingir ou
cruzar o eixo de revolução, o
sólido resultante terá um
orifício no meio
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
As seções transversais
perpendiculares ao eixo
de revolução serão anéis
e não discos.
As dimensões de um anel
típico são
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
Raio externo: R(x)
Raio interno: r(x)
A área do anel é
22
22
xrxR
xrxRxA
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS
Consequentemente, de
acordo com a definição
de volume, temos:
b
a
b
a
xrxRdxxAV22
Exemplo: Uma seção transversal em forma de anel (rotação em torno do eixo x)
A região limitada pela curva y = x2 +1 e pela
reta y = - x + 3 gira em torno do eixo x para
determinar um sólido.
Determine o volume do sólido.
SOLUÇÃO
Desenhe a região.
Determine os raios interno e
externo do anel que seria
gerado se a região girasse em
torno do eixo x.
Raio externo: R(x) = - x+3
Raio interno: r(x) = x2+1
SOLUÇÃO
Procure os limites de integração
determinando as abscissas dos
pontos de interseção da curva
com a reta.
SOLUÇÃO
Calcule o volume.
Exemplo: Uma seção transversal em forma de anel (rotação em torno do eixo y)
A região compreendida entre a parábola
y = x2 e a reta
y = 2x no primeiro quadrante gira em torno
do eixo y para gerar um sólido.
Determine o volume do sólido.
SOLUÇÃO
Primeiro, esboce a
região.
Os raios do anel
gerado pelo são:
A reta e a parábola se cortam em y = 0 e
y = 4, portanto os limites de integração são
c = 0 e d = 4.
2
)(y
yreyyR
SOLUÇÃO
Integramos para
determinar o volume:
EXERCÍCIO 5
Determine o volume do sólido obtido com a
rotação das regiões sombreadas em torno
do eixo indicado.
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 6
Determine o volume do sólido obtido com a
rotação, em torno do eixo x, da região
limitada pelas retas e curvas:
.01; xeyxy
SOLUÇÃO
FIM
DA AULA
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