Post on 31-Jul-2015
Universidade Anhanguera Uniderp
Centro de Educação a Distância
CURSO: ADMINISTRAÇÃO – 3º SEMESTRE
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA E
CONTABILIDADE
Alexandre Bastos dos Santos – RA 285817 – ADM
Joedson Cabrini Alvarenga – RA – 300988 – ADM
Leda Maria dos Santos Pereira Boone – RA – 290282 - ADM
Luiz Cesar Xavier – RA 294020 – ADM
Sandryelle Christina da Silva Corrêa – RA 336128 – ADM
Silvana das Neves Rosa Reis - RA 290281- ADM
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS - MATEMÁTICA APLICADA
PROFESSOR TUTOR: ENIR LUIZ DE BARROS
PROFESSORA EAD: IVONETE MELO DE CARVALHO
VITÓRIA/ES, 15 DE ABRIL DE 2.012.
Neste desafio abordaremos os principais conteúdos e conceitos relacionados à
matemática aplicada a administração, e alguns exemplos práticos que envolvem as funções
estudadas em sala de aula, desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico, reconhecer e
definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente.
Palavras-chave: profissões, função, exemplos, conceitos
1
Sumário
Introdução.............................................................................................................................3
Etapa 1...................................................................................................................................4
1.1 Profissões........................................................................................................................4
2.1 Médico Infectologista......................................................................................................4
3.1 Entrevista com médica especialista em Infectologia........................................................6
Etapa 2.....................................................................................................................................7
História das descobertas dos conceitos básicos da matemática ..............................................7
2. Passo 2 – Exercícios............................................................................................................22
Etapa 3....................................................................................................................................25
1. Passo 1 – equações polinomiais...........................................................................................25
Algumas aplicações.................................................................................................................26
Fractais.....................................................................................................................................26
Geometria.................................................................................................................................26
2. Passo 2..................................................................................................................................28
Resolver as seguintes situações-problemas...............................................................................28
Etapa 4 – 1.Passo 1...................................................................................................................29
Geometria Analítica..................................................................................................................29
2.Passo 2....................................................................................................................................38
Resolver as seguintes situações-problemas...............................................................................38
3. Passo 3 – Diferenciação Implícita.........................................................................................40
Referências Bibliográficas........................................................................................................42
2
INTRODUÇÃO
Se perguntarmos por que esta disciplina; a matemática está incluída na administração?
É muito interessante fazermos uma análise deste fato, pois através de matérias e
artigos sobre a matemática aplicada na administração, concluímos que a mesma está
profundamente inserida na administração, assim como faz parte de nosso cotidiano.
Fica claramente definido que a matemática contribui bastante para o administrador
proporcionando a ele novas técnicas de planejamento, sejam no controle de finanças, na
produção, na comercialização, negociações, ate mesmo na área de recursos humanos e em
processo que envolve a administração em geral, bem como no desenvolvimento de seu
raciocínio lógico. É formidável o apoio e as atividades exercidas que estimulam o raciocínio
lógico e critico, dentro de variados problemas. Tem como base a idéia de selecionar à melhor
tomada de decisão para diminuir riscos que podem afetar o futuro, a curto ou longo prazo.
Problemas existem e sempre vão existir, e em dos objetivos da matemática é tornar o método
de tomada decisões mais racional possível, para a resolução de problemas. No entendimento
dos fatos, concluímos que a matemática tem como objetivo capacitar o administrador a
formular o problema, estabelecer as regras a serem aplicadas para conduzir ao melhor
resultado.
O administrador pode contar com a ajuda significante da tecnologia de informação
para o processamento de dados, produzindo informação, que ajudará a visualizar e analisar
gráficos, projetos, relatórios, simulação de vendas, planejamentos das despesas, análise de
receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc.
O fato de você ter se formado levando a sério o seu Curso de Administração que é o
segundo melhor curso valorizado do mundo, em um ambiente de pesquisa, de ter sido
habituado a questionar, buscar novas soluções, verificar suas idéias e compará-las com as de
outros será uma vantagem no mercado de trabalho (empresas de consultoria, por exemplo).
Você estará mais bem preparado para enfrentar os desafios de seu futuro profissional do que
alguém que recebeu apenas treinamento técnico. As técnicas estão mudando a cada instante; o
que é hoje a última palavra estará, em poucos anos, completamente superado. Para ser bem
sucedido no mercado de trabalho é preciso estar preparado para sempre aprender mais durante
toda a vida (FORMAÇÃO CONTINUADA). 3
ETAPA 1
Pesquisa realizada nos jornais A Gazeta e A Tribuna (01/03 a 24/03/2012)
1. Passo 1
1.1 Profissões
1 - Cirurgiões-dentistas: 26%
2 – Médicos: 24% (Pediatra, cardiologista, clinica geral, endocrinologista e infectologista).
3 – Engenheiros: 07% (engenheiro do trabalho, civil e agrônomo).
4 – Administrador: 6%
5 – Advogados: 4%
6 - Profissionais em RH: 7% (analistas e gerentes)
7 – Gerentes: 4% ( nas áreas de venda e segurança)
8 – Contador: 4%
9 – Professor: 6%
10 – Nutricionista: 6%
2. Passo 2
2.1 Médico Infectologista
Infectologia é a área do conhecimento médico que se ocupa do estudo das doenças
causada por microrganismos, sejam eles bactérias, vírus, protozoários, helmintos entre outros.
A infectologia é uma especialidade médica, reconhecida pelo Conselho Federal de Medicina,
tendo três áreas de atuação: Infectologia hospitalar, infectologia pediátrica e medicina de
viagem. O infectologista atua na prevenção primária (educação em saúde, vacinação etc.), e
na prevenção secundária (tratamento de doenças infecciosas e prevenção de incapacidade
causada por estas doenças). O foco do infectologista é na prevenção de doenças ou agravos
ocasionados por agentes infecciosos e animais peçonhentos.
4
Um médico geral pode ter especialização em Infectologia, como um Infectologista
pode estar especializado em Medicina Geral, podendo analisar o paciente em vários aspectos.
Atualmente as doenças infecciosas são responsáveis por grande parte das consultas médicas
ambulatoriais e em pronto-socorro. No entanto, devido à carência de infectologistas em
algumas regiões e à falta de informação da população sobre o papel do infectologista, a
grande maioria desses pacientes é atendida por médicos de outras especialidades.
Por ser um especialista acostumado a lidar com doenças localizadas nos mais
variados órgãos do corpo, em geral o infectologista também tem uma visão global do
paciente, também freqüentemente exercendo a prática de clínica geral.
O papel do infectologista está dividido em quatro grandes áreas:
- Controlar e assistir a infecções hospitalares.
- Tratamento e análise de doenças infecciosas.
- Imunização (vacinação)
- Aconselhamento no uso de antibióticos.
A grande parte dos pacientes que estão febris tem uma doença infecciosa subjacente.
Porém a febre também pode ocorrer devido a outras doenças, como reumatológicas ou
neoplásicas (câncer). E nesses poucos casos o infectologista encaminha o paciente para o
especialista na área.
CCIH
A atuação na prevenção de doenças transmissíveis é uma das atividades mais
nobres do médico infectologista. Por meio da avaliação clínica pormenorizada, considerando
as particularidades do cliente, os riscos e os mecanismos de transmissão das doenças, o
médico indica medidas de prevenção como cuidados básicos, vacinas e medicamentos, se
forem o caso. Profissional atuante nas comissões de controle de infecções hospitalares, o
infectologista concentra os esforços para a prevenção destes agravos e a interrupção precoce
de surtos dentro de ambientes hospitalares. Nos melhores hospitais e estabelecimentos de
saúde, há um ou mais médicos infectologistas no corpo clínico, atuando na redução dos riscos.
No campo da biossegurança, o especialista apresenta elevado conhecimento na prevenção e
tratamento a agentes biológicos no ambiente de trabalho.
5
Recentemente, o especialista tem sido cada vez mais requisitado para dar orientações
à viajante com o objetivo de prevenir doenças relacionadas às viagens, sobretudo quando o
destino por locais mais distantes ou exóticos. O infectologista é o melhor profissional para
proporcionar uma viagem segura, avaliando o cliente antes do embarque, atuando como
médico de referência bilíngüe para discussão com outros colegas estrangeiros e avaliando a
integridade da saúde do cliente na ocasião do retorno. Este novo campo de atuação é
conhecido como medicina de viagem.
O desconhecimento sobre o campo de atuação do médico infectologista faz com que,
na maioria das vezes, a população procure outras especialidades médicas quando acometida
por doenças infecciosas.
O infectologista é, sem dúvida, o especialista com maior familiaridade na
investigação e diagnóstico das doenças febris. Estudos apontam que a grande maioria dos
pacientes que apresenta febre como principal sintoma tem uma doença infecciosa subjacente.
Febre também pode ocorrer no curso de outras doenças, notadamente as reumatológicas e
neoplásicas (câncer).
3. Passo 3
3.1 Entrevista com Médica especialista em Infectologia
Nome: Glaucia Glene Ferraz
Empresa onde trabalha e tempo de atuação na profissão: Hospital Evangélico de Vila Velha e
Hospital da Unimed, com 10 anos de profissão.
Atividades básicas da profissão: Controle de infecções hospitalares, mas também assistindo a
pacientes internados com patologias infecciosas ( ex.: dengue, celulite, herpes zoster,
tuberculose,...) e atendimento em consultório.
Média salarial do profissional na área: 4 a 5 mil mensais com carga horária de 40 horas
semanais.
Cursos de formação e aperfeiçoamento: Programa de DST/AIDS, tuberculose, hanseníase,
hepatites virais.
6
ETAPA 2
1. Passo 1
1.1. A idéia antes da invenção dos logaritmos de Napier:
1.1.1. Babilônios:
Algumas considerações a respeito da matemática babilônica tornam-se relevantes
neste momento, visto que eles já dominavam certos métodos e técnicas de cálculo que
influenciaram a criação dos logaritmos.
Os babilônios utilizavam um sistema sexagesimal, ou seja, de base 60, e cuja origem
é incerta. O que se sabe é que as influências desta notação podem ser sentidas ainda hoje nas
unidades de tempo e medida de ângulo.
Consta que os babilônios estenderam o princípio posicional numérico também às
frações e desta forma, segundo Boyer (2003), demonstrava domínio computacional
equivalente ao que ocorre nos dias de hoje com a moderna notação decimal para frações.
Existe uma tableta de argila babilônica em Yale contendo o cálculo de com três
casas sexagesimais. A resposta, utilizando uma simbologia mais familiar, poderia ser escrita
como 1;24,51,10. O ponto-e-vírgula separa a parte inteira da parte fracionária e a vírgula
separa as ordens (posições) sexagesimais. É impressionante perceber que o valor babilônico
para a raiz quadrada de dois é aproximadamente 1,414222 (na base decimal).
Em outras tabletas de argila aparecem potências sucessivas de um dado número e
que, segundo Boyer (2003), seriam muito semelhantes às nossas tabelas de logaritmos.
Segundo este autor, foi encontrado tabletas de argila com tabelas exponenciais em que se
podem observar as dez primeiras potências para diferentes bases.
Um dos problemas descritos nestas tabletas pergunta a que potência se deve elevar
certo número dado para que se obtenha um determinado número como base. A questão é
similar a: “qual o logaritmo do número b (b > 0) tendo como base o número a (a≠1, a >0)?”
Existiam grandes lacunas entre valores nas tabelas exponenciais dos babilônios,
contudo, eles habilmente interpolavam partes proporcionais para conseguir obter valores
intermediários aproximados. Este método, conhecido como interpolação linear, pode ser
7
percebido num problema prático encontrado em uma tableta e que pergunta quanto tempo
levaria certa quantia em dinheiro para dobrar, a vinte por cento ao ano.
Assim, como podemos perceber, apesar de não terem inventado oficialmente os
logaritmos e as equações exponenciais, os babilônios as utilizavam com perícia em sua base
sexagesimal e posicional.
A denominação dada a estes cálculos ocorreu séculos depois, mas isto não muda em
nada o fato de que tais métodos de cálculo já eram conhecidos e familiares aos babilônios
quatro mil anos antes da era cristã.
1.1.2. Arquimedes:
A participação de Arquimedes na história da matemática é inquestionável. Sua
contribuição para os logaritmos e os exponenciais foi dada em uma de suas obras conhecida
como Psammites (contador de areia).
Nesta obra, Arquimedes trabalhava com números grandes e afirmava poder escrever
um número que fosse maior do que o número de grãos de areia necessários para encher o
universo.
Ele tentou prever todas as possíveis dimensões do universo, mostrando para isso que
era capaz de enumerar os grãos de areia necessários para preencher o universo.
O que nos interessa nesta obra é exatamente algo que ele mencionou. Arquimedes,
segundo Boyer, citou o princípio que séculos depois influenciaria Napier em sua invenção.
Foi em conexão com esse trabalho sobre números imensos que Arquimedes
mencionou, muito incidentalmente, o princípio que mais tarde levou à invenção dos
logaritmos – a adição das “ordens” dos números ( o equivalente de seus expoentes quando a
base é 100.000.000) corresponde a achar o produto dos números.
1.1.3. Matemática árabe:
A matemática árabe desempenhou papel fundamental no desenvolvimento da
matemática da Europa ocidental. Algumas histórias curiosas chegaram até os dias de hoje,
como, por exemplo, a do califa al-Mamum (809-833) que diz ter sonhado com Aristóteles e
que devido a isso ordenou que se fizessem cópias em árabe de todas as obras gregas. Nesta
empreitada foi traduzido para o árabe o Almajesto de Ptolomeu e a versão completa dos 8
Elementos de Euclides.
Em Bagdá, por exemplo, foi criada a Bait al-hikma (Casa da Sabedoria) que era o
equivalente árabe ao antigo museu de Alexandria. Um dos grandes matemáticos deste período
foi Mohammed ibu Musa al-Khowarizmi. Ele escreveu dois livros que exerceram um papel
central na história da matemática, um sobre aritmética e outro sobre álgebra, De numero
hindorum (Sobre a arte hindu de calcular) e Al-jabr Wa’l muquabalah. Do título do segundo
livro nasceu o termo álgebra.
Os árabes sofreram grande influência da matemática dos hindus e, neste sentido, a
trigonometria árabe foi quase que totalmente baseada no sistema hindu.
Com relação à trigonometria que herdaram das obras gregas os árabes souberam
utilizar o pensamento hindu que os influenciava para acrescentar novas fórmulas. Deve-se a
dois árabes, ibn-Yunus (morreu em 1008) e ibn-al-Haitham “Alhazen” (956-1039) a
introdução da fórmula: 2.cosx.cosy = cos(x + y) + cos(x - y).
Essa é uma das quatro fórmulas de ‘produto para soma’ que na Europa do século
XVI serviram, antes da invenção dos logaritmos, para converter produtos em somas pelo
método dito de prosthaphaeresis (adição e subtração em grego).
Além disso, vem dos árabes, com possíveis influências da China o costume de
trabalhar com frações decimais que, posteriormente, tomariam um papel central com os
logaritmos.
Atribui-se ao matemático al-Khashi (morreu em 1436) a invenção das frações
decimais e sua utilização em detrimento das frações sexagesimais.
1.1.4. Nicolas Chuquet:
Da França, no período da renascença, surge uma obra intitulada Triparty em la
science des nombres, escrita por Nicolas Chuquet (morreu por volta de 1500). Pouco se sabe a
respeito dele, contudo, nesta obra ele utilizou uma notação exponencial que seria de grande
importância.
A potência das quantidades desconhecidas era representada por um expoente
associado aos coeficientes dos termos. Assim, por exemplo, era representado por
Além disso, ele trabalhava com expoentes iguais a zero e também negativos de forma que, um
9
número da forma era representado como Esta notação revelou-se útil na medida
em que desvelava as regras entre coeficientes e expoentes. Ele foi capaz de efetuar a divisão
de 72x por 8x³, fornecendo como resultado , ou seja,
Ele elaborou uma tabela de valores com as potências de 2 e que em muito se
assemelhava as tabelas de logaritmos. A respeito disso Boyer comenta:
Desta forma, como podemos perceber, mesmo antes da invenção dos logaritmos de
Napier, alguns conceitos de relevância para a invenção dos logaritmos foram se firmando de
forma gradativa na mente dos homens. Desde a Babilônia até o período da Renascença muitas
foram as contribuições que serviram às mentes criativas do século XVI e, conseqüentemente,
ao próprio Napier.
1.2. Transição do Renascimento para a modernidade:
Inicialmente é importante destacar que o conceito que está associado aos logaritmos
está intimamente ligado ás potências e, em particular, às seqüências geométricas. Assim,
consideramos relevante tomar “invenção” dos logaritmos como um marco na história da
matemática.
O que se pode afirmar é que foi a partir da publicação de Mirifici logarithmorum
canonis descripti (Descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos) em 1614, por John
Napier (1550-1617), que o nome “logaritmo” passou a fazer parte do universo dos estudiosos
e cientistas da Europa, alcançando também a China e, posteriormente, todo o mundo.
Maor (2003) cita, em seu livro “ e: A história de um número” a relevância da
invenção dos logaritmos, destacando que de 1614 até 1945 (data em que o primeiro
computador eletrônico passou a funcionar) os logaritmos, suas tabelas e as réguas de cálculo
eram praticamente o único meio de se realizar cálculos difíceis.
Antes de nos determos mais especificamente em John Napier e em seus logaritmos, é
adequado pintar um quadro geral do período em que este homem viveu. É fato conhecido que
10
houve grande expansão do conhecimento científico e técnico em diversas áreas entre os
séculos XVI e XVII. Geografia, cartografia, astronomia, física e matemática são alguns dos
exemplos mais citados.
Apenas para se perceber as quanto certas invenções impulsionaram outras tantas,
basta citar o caso da impressão com tipos móveis. “O primeiro livro impresso na Europa
Ocidental data de 1447, e pelo fim do século mais de 30000 edições de várias obras estavam
circulando.” (BOYER, 2003, pp.184).
A capacidade de atingir grande quantidade de pessoas com suas idéias e se fazer
ouvir pode ser considerado um dos fatores primordiais da grande explosão de conhecimento
deste período. Algo semelhante só se verificaria muito tempo depois com a invenção da
televisão e posteriormente dos computadores e, principalmente, da internet.
O homem, desde o renascimento - por volta de 1453, com a queda de Constantinopla
- passou a perceber o universo a sua volta sob novos prismas o que, certamente, culminou
com a vitória do heliocentrismo em detrimento do geocentrismo (Copérnico). Além disso, o
mundo europeu presenciou um grande avanço técnico que possibilitou a expansão marítima: a
circunavegação do globo feito em 1521 por Magalhães.
O intervalo de tempo, segundo Boyer (2003), que vai aproximadamente de 1540 até
1690 pode ser considerado como o período de transição da renascença para a modernidade.
É importante citar ainda que neste período muitas das obras matemáticas da
Antigüidade já haviam sido recuperadas influenciando alguns trabalhos da época. Além disso,
a matemática árabe já havia “conquistada o mundo” e influenciado a Europa ocidental. A
trigonometria, por sua vez, que por muito tempo representou uma eficiente ferramenta para os
astrônomos havia atingido o status de disciplina independente.
É neste período que algumas figuras importantes despontam na história da ciência e,
em particular, na história matemática.
Reproduzimos alguns nomes de destaque deste período: Fançois Viète (1540-1603);
Simon Stevin (1548-1620); John Napier (1550-1617); Henry Briggs (1561-1639); Galileu
Galilei (1564-1642); Johann Kepler (1571-1630); Albert Girard (1590-1633); Bonaventura
Cavalieri (1598-1647).
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Consta que um dos primeiros matemáticos a utilizar a “invenção” de Napier foi
Johannes Kepler (1571-1630) no cálculo das órbitas planetárias. Não é de se espantar que isto
tenha ocorrido, visto que Kepler e Napier foram contemporâneos numa época de
efervescência cultural e científica. Um período em que a divulgação de estudos e pesquisas foi
facilitada pela impressão.
Uma característica geral dos matemáticos desta época era a preocupação com
diferentes áreas de pesquisa. Boaventura Cavalieri (1598-1647), por exemplo, escreveu textos
relacionados à matemática e à física (geometria, trigonometria, astronomia, ótica) e é
considerado o primeiro autor italiano a utilizar os logaritmos. Em 1632 ele publicou um
trabalho (Directum Universale Uranometricum) com tabelas de logaritmos com até oito casas
decimais.
Após esta visão geral podemos tratar mais detalhadamente da gênese da “invenção” e
a vida do “inventor” dos logaritmos, John Napier.
1.3. Napier e a contribuição de Briggs:
1.3.1. John Napier e suas motivações e inspirações:
John Napier nasceu em 1550, no castelo Merchiston, próximo a Edimburgo na
Escócia. Estudou religião na infância e na fase adulta demonstrou muito interesse no ativismo
religioso. Era protestante e mantinha posição radicalmente oposta ao papado. Em um de seus
livros de cunho religioso chegou a afirmar que o papa era o anticristo.
Ele possuía título de nobreza (barão de Merchiston) e, portanto, era dono de terras e
se preocupava também com a melhoria das colheitas e do gado. Seu interesse diversificado,
voltado para preocupações práticas, o levou a inventar “um parafuso hidráulico para controlar
o nível da água nas minas de carvão”(MAOR, 2003, pp.16).
Com relação a preocupações militares ele demonstrou conhecer as histórias
relacionadas a Arquimedes e, segundo consta, planejou construir espelhos de grandes
proporções para incendiar navios inimigos. O fato é que não se sabe se isto realmente
aconteceu ou se ele chegou a construir realmente algum tipo de armamento.
Napier, não era matemático profissional, mas é lembrado nos dias de hoje não pelo
seu ativismo religioso ou preocupações com a terra, mas sim por uma idéia que lhe consumiu
anos de trabalhos e esforços: os logaritmos. Com relação à matemática ele tinha interesse
especial na computação numérica e trigonometria.
A motivação dele pode ser mais bem compreendida a partir do trecho a seguir:
12
O desenvolvimento científico e tecnológico do período em que Napier se encontrava
impôs uma problemática específica de cunho prático relacionado às grandes quantidades de
dados numéricos e os cálculos envolvendo números grandes. Isto exigia “algo” que facilitasse
tal atividade e foi pensando nisso que Napier começou a desenvolver os logaritmos.
Ao que parece os logaritmos não “surgiram do nada”. Duas das fontes de inspiração
de Napier eram os trabalhos de Arquimedes (por volta de 287–212 a.c.) e Stifel (1487-1567)
que trabalhavam com potências sucessivas de um dado número. Nestes casos, as seguintes
relações saltam aos olhos:
Além dessas inspirações, os cálculos que eram efetuados nos observatórios
astronômicos da Dinamarca também serviram de matéria prima para a sua criação. Tais
observatórios utilizavam as chamadas regras de prosthaphaeresis da trigonometria, que eram
regras que transformavam um produto de funções numa soma (ou diferença).
Em 1590 James VI da Escócia e uma comitiva viajaram para a Dinamarca para
encontrar Anne da Dinamarca, sua futura esposa. E, segundo consta, foi o Dr. John Craig,
médico de James VI, que presumivelmente fazia parte desta comitiva quem informou Napier
da utilização das regras de prosthaphaeresis na Dinamarca.
Cabe destacar que as fórmulas 2.cos(x).cos(y)= cos(x+ y)+cos(x - y) e
2.sen(x).sen(y)= cos(x - y) - cos(x+ y) eram chamadas neste período por “fórmulas de
Werner” (Johannes Werner 1468-1528), pois se difundiu a informação de que foram
utilizadas por Werner para simplificar cálculos astronômicos.
Assim podemos considerar que Napier estava rodeado de boas idéias que já eram
conhecidas e utilizadas, e que contribuíram para “criar” seus logaritmos.
1.3.2. A base “( 1 – 1/107)” de Napier:
Com base no que foi relatado na seção anterior podemos ter uma noção exata do que
Napier desejava fazer. Basicamente era transformar uma operação mais complicada em uma
mais simples e, para tanto, bastava ter algumas tabelas com valores já calculados. Isto
simplificaria muito o trabalho de cientistas envolvidos com grandes e enfadonhos cálculos.
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Percebam que é relativamente mais simples somar e subtrair que multiplicar e
dividir. Assim, o objetivo de Napier era o de obter uma relação tal que:
f(x.y) = f(x) + f(y) e f(x/y) = f(x) – f(y).
Napier provavelmente percebeu que seus problemas diminuiriam substancialmente
se fosse capaz de converter produto em soma e divisão em subtração seguindo os exemplos já
conhecidos para a trigonometria e para as seqüências de potências de mesma base.
Chamamos a atenção para o fato de que Napier não utilizava potências de dez, ou
seja, não utilizava base decimal, na verdade, nem mesmo pensava no conceito de base.
Logaritmo é uma palavra que significa número proporcional. Napier criou o termo logaritmo
a partir da junção de “logos” e “arithmos”, que significam respectivamente, “razão” e
“número”. Ele pensava nos logaritmos como razões entre segmentos, de forma dinâmica,
apesar de converter sua idéia em forma numérica por meio de tabelas.
Para montar suas tabelas ele pensou nos logaritmos como valores de uma seqüência
geométrica. Michael Stifel (1487-1567) havia estabelecido, anos antes, uma relação entre os
termos de uma progressão geométrica e os expoentes dos respectivos termos.
Considere a seqüência geométrica Stifel percebeu
que Além disso, ele havia percebido que os
expoentes formavam uma progressão aritmética. Napier, ao que parece, inspirou-se nestes
resultados obtidos por Stifel.
Ele desejava escrever os expoentes de maneira a formar uma faixa contínua (ou
quase) de valores. Napier sabia que em tais seqüências, para conservar os termos “próximos”,
deveria tomar um valor “pequeno” para base. Um valor que fosse uma fração da unidade. Ele
escolheu como unidade , pois era prática comum em sua época, no trabalho com a
trigonometria, dividir o raio do círculo unitário em partes. Napier apenas seguiu o que se
fazia em sua época e, como base, escolheu o número
Com isto ele era capaz de conservar próximos os termos de sua progressão
geométrica de potências inteiras. Esta escolha que nos parece estranha hoje tem um motivo.
As frações já eram bem conhecidas na época de Napier, porém, elas eram entendidas
como proporções entre números inteiros. As frações decimais, contudo, haviam sido
recentemente introduzidas na Europa por Simon Stevin. Isto implicava num certo desconforto
ao se lidar com este tipo de frações.
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Assim, ele usou como um tipo de “proporção” para construir uma tabela
de valores a partir da unidade, que para ele era igual subunidades.
Ele iniciou sua tabela com , seguida de
Os termos desta seqüência eram
obtidos subtraindo-se do termo anterior sua parte. Ele, com isso, montou uma primeira
tabela com 101 elementos. Posteriormente ele continuou este trabalho, ampliando a tabela
original.
Todo este serviço, que durou cerca de 20 anos, foi realizado com papel e pena. Ele
não possuía computador, calculadora ou outro recurso que agilizasse o serviço e por isso
mesmo preferiu evitar as frações decimais com as quais não estava acostumado e ainda era
pouco familiar a grande maioria dos europeus.
1.3.3. Os logaritmos de Napier e os nossos logaritmos, algumas diferenças:
Os logaritmos de Napier eram substancialmente diferentes dos logaritmos com os
quais estamos habituados e estudamos nos dias de hoje, o que, em hipótese alguma, diminui a
relevância de sua empreitada e esforço em busca de um método que fosse capaz de simplificar
cálculos grandes e cansativos.
Uma das diferenças básicas entre o que se estuda nos dias de hoje e o que foi criado
por ele diz respeito à forma como ele concebeu sua invenção. Napier não tinha em mente o
conceito de base de logaritmos e, além disso, todos os princípios eram explicados em termos
geométricos.
Napier imaginou os seus logaritmos de forma dinâmica, pensando em segmentos,
semiretas e em velocidades. A seguir tentaremos explicitar a forma como ele a concebeu:
(i) Suponha, por exemplo, o segmento de reta AB e a semi-reta DX.
(ii) Tome AB como unidade, no caso de Napier
iii) Suponha um ponto C percorrendo o segmento AB e um ponto F percorrendo a
semi-reta DX de forma que ambas iniciam o movimento simultaneamente a partir dos
extremos A e D respectivamente.
(iv) Suponha ainda que C e F possuam a mesma velocidade inicial.
15
(v) Admitamos que a velocidade de C seja dada pela medida CB e que a velocidade
F seja constante (igual à velocidade inicial de C).
(vi) Nessas condições Napier pensou no logaritmo do número x = CB como sendo o
número y = DF (o conceito de base não interfere neste tipo de definição).
Note que neste contexto o ponto C parte de A e se move ao longo de AB com
velocidade variável, decrescendo em proporções com sua distância a B e que a velocidade de
F, apesar de constante, está relacionada à velocidade inicial de C.
A respeito desta concepção, Boyer (2003) ilustra um exemplo, similar ao que foi
exposto, utilizando outros pontos (P em lugar de C, C em lugar de D, Q em lugar de F, etc.) e
comenta que Napier presumivelmente poderia ter utilizado um sistema de logaritmos na base
1/e. Veja o trecho a seguir:
Outra diferença diz respeito às operações com logaritmos. A soma e a subtração dos
logaritmos de Napier diferem do que fazemos hoje. Para ele, por exemplo, admitindo
a operação de fato, isto
ocorre por termos
Segundo Boyer (2003) o conceito de função logarítmica estava implícito na definição
de Napier assim como em todo o seu trabalho a respeito dos logaritmos. Ainda segundo o
referido autor, este conceito não aflorou na mente de Napier visto que ele estava
fundamentalmente preocupado com a simplificação das computações numéricas,
especialmente dos produtos e quocientes.
Apenas em 1614 ele publicou a “invenção” dos logaritmos num trabalho intitulado
Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Sua invenção foi rapidamente aceita e utilizada
em toda a Europa, dando notoriedade ao seu inventor.
16
1.3.4. Briggs e sua contribuição ao trabalho de Napier:
Henry Brigs (1561-1631) era professor de geometria e trabalhava em Londres.
Consta que ele, empolgado com a nova invenção, foi à Escócia para visitar pessoalmente John
Napier. Isto ocorreu em 1615 e, neste encontro, eles discutiram modificações nos métodos de
cálculo dos logaritmos e em sua estrutura.
Briggs propôs a adoção de potências de dez e, além disso, propôs fazer o logaritmo
de 1 igual a zero, ou seja, log1 = 0. Pode-se dizer que Briggs, neste encontro, introduziu o
conceito de base na invenção de Napier.
Com a morte do inventor dos logaritmos em 1617, apenas dois após este encontro,
coube a Briggs construir a primeira tabela de logaritmos “briggsianos”, ou, como Boyer e
Maor citam logaritmo comum de N, ou ainda o logaritmo de N na base 10, isto é,
Seu trabalho foi publicado em 1624 e suas tabelas davam os logaritmos de base 10
para todos os inteiros de 1 a 20000 e de 90000 a 100000 com precisão de quatorze casas
decimais. A forma como Briggs fez isto é descrito por Boyer:
Cabe ressaltar que nas tabelas elaboradas por Briggs todas as relações hoje
conhecidas e demonstradas se aplicavam e, assim sendo, nada diferiam do que se conhece
atualmente a menos da notação.
Uma última informação a respeito de Henry Briggs é que foi a partir de seu trabalho
em 1624 que as palavras “mantissa” e “característica” passaram a ser utilizadas nas operações
com logaritmos a partir das tabelas de valores.
1.4. A questão do infinito, a invenção do Cálculo e as funções exponenciais e
logarítmicas:
A palavra Cálculo é utilizada indistintamente como sinônimo da subárea da
matemática conhecida como Cálculo Diferencial e Integral. A palavra em si tem sua origem
associada à palavra latina “calculus” e que nos remete ao uso de pedras na atividade de
contagem, algo como o ábaco. Esta denominação é devida, sobretudo, a Leibniz, um dos
inventores desta nova área da matemática.
1.4.1. Fermat, a questão da quadratura e o Cálculo:
Uma das questões que inquietou muitos matemáticos no decorrer dos séculos foi à
questão da quadratura de curvas. O problema se resume basicamente à procura de uma figura
17
geométrica plana fechada que tenha mesma área de outra figura geométrica considerada. No
caso dos polígonos na geometria Euclidiana sempre é possível dissecar os polígonos em
triângulos, o que torna a questão da quadratura bem mais simples do que, por exemplo, se
considerarmos figuras curvas como o círculo, a hipérbole ou a parábola.
A hipérbole foi uma das curvas que mais resistiu ao problema da quadratura,
vencendo até mesmo Arquimedes e o seu método da exaustão. Foi a partir do método dos
indivisíveis, com Cavalieri, que as tentativas de quadratura da hipérbole ficaram mais
próximas de uma solução.
Considerando a hipérbole e tomando para análise a parte do gráfico
que está no primeiro quadrante, consideramos a área sob a hipérbole como sendo a área entre
o gráfico, o eixo X e as linhas verticais x = 1 e x = n, com n >1. A área será então uma função
da forma A(n) e, a questão da quadratura da hipérbole se resume a encontrar tal função.
Fermat foi um dos matemáticos da época que se debruçou sobre este problema e que
posteriormente inspirou Newton na invenção do seu Cálculo. Além dele, Descartes e a sua
geometria, que utilizava métodos algébricos para solucionar problemas geométricos, também
serviram de fonte inspiradora para o Cálculo de Newton e Leibniz.
Foi dividindo um intervalo do domínio da função y = 1/x, x ¹ 0, em um número
infinito de pequenos retângulos, muito próximos da curva considerada, de maneira que suas
áreas formassem uma seqüência geométrica, que Fermat obteve a quadratura da hipérbole.
Modernamente encontramos nos livros de cálculo a expressão
para representar esta área sob o gráfico da hipérbole.
Fermat conseguiu a quadratura não apenas de uma hipérbole, mas também de
diferentes curvas que podiam ser obtidas a partir de
18
A questão da quadratura, como foi exposta, levou Fermat naturalmente ao caminho
que posteriormente Newton viria retomar para a invenção do Cálculo.
Newton, a partir das séries binomiais, utilizando os resultados de Fermat e abordando
problemas relativos à área da hipérbole chegou a conclusão que a área delimitada pela curva
para , o eixo X, x=0 e x= t, fornecia como resultado log (t+1).
Além disso, levado a pesquisar sobre este resultado, concluiu que
para todos os valores de t em (-1,1]. Ele conjeturou que
esta série poderia ser utilizada para calcular os logaritmos de vários números, mas que sua
convergência lenta tornaria tal tarefa impraticável.
1.4.2. Definições formais das funções exponenciais e logarítmicas no Cálculo:
Com o desenvolvimento do Cálculo, passou-se, em geral, a se preferir definir
inicialmente os logaritmos utilizando o conceito de integral e em seguida trabalhar a função
exponencial. Esta abordagem é uma inversão do avanço histórico do conceito de logaritmo,
contudo, parece trazer algumas facilidades no tratamento das propriedades relativas a
logaritmos e exponenciais.
Consideremos o conjunto dos números reais positivos e a função
definida como chamaremos de logaritmo de x, ou ainda,
logaritmo natural de x, o número y = f(x) e denotaremos por log (x) este número. Sabemos do
Cálculo que:
19
Do teorema fundamental do Cálculo obtém-se que para
todo x maior que zero. Logo f (x) = log(x) é monótona crescente e, em particular, ela é
infinitamente derivável, ou seja,
Demonstremos agora a propriedade fundamental dos logaritmos:
log (a.b) = log(a) + log(b) (a, b > 0)
De fato:
De (i) e (ii), podemos concluir que log(a.b) = log(a) + log(b).
Assim, de forma análoga, demonstram-se os demais resultados conhecidos dos
logaritmos.
Observe ainda que, como f (x) = log(x) é uma bijeção de podemos
garantir que existe um elemento do domínio cuja imagem seja igual a 1, ou seja, existe
tal que Este elemento será o número e (número de Euler) e é
denominado base do logaritmo natural. É comum encontrarmos a notação ln(x) em lugar de
para os logaritmos naturais.
É no mínimo curioso perceber que uma expressão relacionada às questões financeiras
(juros compostos) está associada aos exponenciais e aos logaritmos por meio do Cálculo. Tais
questões deram origem ao número e (número de Euler) e a função
Consideremos a expressão que calcula o montante da aplicação de
um capital C a juros compostos durante um tempo de aplicação t e com uma taxa i. Tal
fórmula pode variar de acordo com as condições do problema considerado, contudo, no caso
em que , chegamos à expressão e
montando uma tabela de valores podemos perceber que quanto maior o valor de x, mais
próximo a expressão fica de um valor, a saber, o número e.
20
Intuitivamente pode-se crer que a expressão vai se estabilizar próximo
de 2,71828... para valores arbitrariamente grandes de x, contudo, esta questão não é tão
simples como parece e só foi totalmente respondida com o desenvolvimento do Cálculo, do
estudo da convergência de séries e o desenvolvimento da Análise.
Sabemos hoje que:
A função exponencial é definida nesta abordagem como sendo a função inversa da
função log (x). Assim, se escrevermos exp(x) = y, então teremos exp(x) = y Ûln( y) = x.
Como a função exponencial, neste caso, é definida a partir da função logarítmica
usando a relação inversa, podemos deduzir várias de suas propriedades com base nas
propriedades da função logarítmica como, por exemplo, exp (a + b) = exp(a).exp(b). De fato,
como as funções são inversas, considerando x = exp(a) e y = exp(b), então temos que ln(x) =
a e ln(y) = b. Além disso, ln(x) + ln(y) = ln(x.y), donde a + b = ln(xy), logo exp(a+b) =
exp(ln(xy)) = x.y
Note que, como ln (e) = 1, então, temos que exp (1) = e.
21
Além disso, a função exponencial tem uma importante característica a ser destacada,
a saber, [exp(x)]’= exp(x). É comum denotarmos isto como
Isto parece claro, pois da definição temos que x = ln(y) e, daí, diferenciando ambos
os lados da igualdade encontramos
Desta operação resulta que 1 = [Dx(y)]/y, donde
Isto posto, pode-se concluir que . Segue deste fato
também que
2. Passo 2
1. (UERJ) Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um
feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:
Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior;
Nas 8 – t horas restantes diminuem 10% em relação ao número de frutas da hora anterior.
Calcular:
a) O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda,
supondo t=2;
Resposta: Vamos chamar de Q a quantidade inicial de frutas
Depois de 1 hora a quantidade fica:
Q – 0,20Q = Q(1-020)
Depois de 2 horas a quantidade será:
Q(1-020) – 0,20Q(1-020) = Q(1-0,20)²
Assim, depois de t horas a quantidade será:
F(t) = Q(1-0,20)^t = Q * 0,80^t
Assim, depois de 2 horas a quantidade de frutas fica:
F(t) = Q * 0,80² = 0,64Q
22
Como a quantidade inicial era Q, logo depois de 2 horas resta 0,64 de Q ou 64% da
quantidade inicial.
b) O valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das
frutas que havia, inicialmente. Considere log2 – 0,30 e log3 – 0,48.
Resposta: Seja um determinado valor de t que vamos chamar de k. Assim, depois de k horas a
quantidade de frutas será:
F(k) = Q0,80^k
Porém, depois de k horas a quantidade diminui num ritmo de 10% , ou seja:
F(t) = [Q * 0,80^k] * (1 - 0,10)^(t - k) = Q0,80^k0,90^(t-k)
Para t=8, o valor de F(t) = 0,32Q, ou seja:
Q0,80^k0,9^(8 - k) = 0,32Q
0,80^k * 0,9^(8 - k) = 0,32
Tomando logaritmos de ambos os membros:
klog0,8 + (8 - k) log(0,9) = log(0,32)
0,8 = 8/10=2^3/10
0,9=9/10=3^2/10
0,32 = 32/100=2^5/100
log0,8 = 3log2 - log10 = 3 * 0,30 - 1 = -0,10
log0,9 = 2log3 - log10 = 2 * 048 – 1 = -0,04
log0,32 = 5log2 - 2 = 1,50 - 2 = 0,50
-0,10k - (8 - k)* 0,04 = -0,50
-0,10k - 0,32 + 0,04k = -0,50
-0,06k = -0,18
k = -0,18 / -0,06 = 3 ---t = 3
23
2. (ANGLO) Num certo mês dois jornais circulam com 100.000 e 400.000
exemplares diários, respectivamente. Se, a partir daí, a circulação do primeiro jornal cresce
8,80 % cada mês e a do segundo decresce 15% cada mês, qual o número mínimo de meses
necessários para que a circulação do primeiro jornal supere a do segundo? (use log2=0,301).
Resposta: Usando as taxas mensais:
100000 * (1,088) ^ t = 400000 * (0,85) ^ t
1,088 ^ t = 400000 * (0,85) ^ t / 100000
1,088 ^ t = 4 * 0,85 ^ t
1,088 ^ t = 2 ² * 0,85 ^ t
log(1,088 ^ t) = log(2 ² * 0,85 ^ t)
t * log1,088 = 2 * log2 + t * log0,85
t * (log1,088 – log0,85) = 2 * log2
t * log (1,088 / 0,85) = 2 * 0,301
t * log1,28 = 0,602
t * 0,107 = 0,602
t = 0,602 / 0,107
t = 5,626
t~= 6 meses
24
ETAPA 3
1. PASSO 1
Por volta do século XVI, os matemáticos afirmavam não existir raiz quadrada de um
número negativo, pois um número negativo não é quadrado de nenhum número, pensamento
que foi pregado por Bhaskara, desde o século XII.
Em 1545, o matemático italiano Girolamo Cardano propôs no capítulo 37 de Ars
Magna o seguinte problema: “Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40”.
Ele mostrou que e eram as soluções do problema. Entretanto,
apesar de Cardano ter acrescentado que estas expressões eram sofísticas e sua manipulação
era tão sutil quanto inútil, creditamos a ele a honra de ter sido o primeiro matemático fazer
operações com os números complexos.
É de se acrescentar que os matemáticos da época procuravam maneiras de se evitar o
uso dos números complexos. As primeiras tentativas bem sucedidas de caracterização destes
novos números foram do engenheiro italiano Rafael Bombelli, que revelou regras para se
operar com a unidade imaginária, reconheceu a existência dos números complexos e
demonstrou a insuficiência dos números reais:
Até o século XVIII muitos matemáticos trabalharam com os números complexos. No
início do século XIX, Wessel e Argand, foram os primeiros a compreender que os complexos
não têm nada de “irreal”, são apenas os pontos (ou vetores) do plano, que se somam através
da composição de translações, e que se multiplicam através da composição de rotações e
dilatações.
Albert Girard introduziu a notação e Gauss, o uso da expressão “números
complexos”. Os termos reais e imaginários foram empregados por Descartes em 1637. Nomes
como números sofísticos, impossíveis, imaginários foram atribuídos aos números complexos.
Há de se falar de Leonhard Euler, que dominou com excelência o campo complexo,
investigando o fechamento do conjunto sob operações algébricas e transcendentes.
25
Todos estes estudos contribuíram para o entendimento que temos hoje de números
complexos. Sabemos, em linguagem atual, que os números reais estão contidos no conjunto
dos números complexos, sendo este escrito na forma , onde a e b são números
reais e , os números reais podem ser colocados na forma .
ALGUMAS APLICAÇÕES
1 ) Fractais
Nas últimas décadas Benoit Mandelbrot investigou entidades geométricas com
propriedades especiais e características, denominadas fractais. Nesta geometria são
encontradas formas de descrever os vários fenômenos na natureza, onde não podem ser
utilizadas as geometrias tradicionais. Ainda antes de Mandelbrot, já havia questionamentos
sobre esta deficiência na matemática, questionada por estudiosos como Galileu e Descartes,
que não aceitavam as pouquíssimas e pobres formalizações dos fenômenos naturais que não
podiam ser descritos por Euclides em seus Elementos.
Um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos.
As nuvens, por exemplo, parecem muito irregulares. Em algum momento da vida,
provavelmente as observamos e vimos como suas formas diversificadas são capazes de
assemelharem-se com muitos objetos comuns, animais e pessoas. As nuvens são fractais
como muitos outros objetos na natureza. Esta propriedade é a auto-similaridades, em que um
objeto tem partes que apresentam as mesmas propriedades em várias escalas, como melhor
observamos no caso do triângulo Siepinski:
2 ) Geometria
As aplicações geométricas das operações entre os números complexos não são
exploradas, o que não leva o aprendiz a interpretar as operações como transformações
geométricas.
26
Tratar do significado geométrico dos números complexos beneficia a riqueza da
visualização e elimina do aluno a visão demasiado formal e algebrizante do conjunto
complexo. Um número complexo como um par ordenado de números reais (a,b), e este por
sua vez, pode ser visto como um ponto P no plano cartesiano, isto é P(a,b), ou como um vetor
determinado pelo segmento orientado , onde o seu módulo é a distância de P até a
origem, enquanto que o conjugado de a+bi é o simétrico de P em relação ao eixo das
abscissas, como mostra a figura.
Outro exemplo é a representação geométrica da soma dos complexos (a+bi) + (c+di)
= (a+c) + (b+d) * i traduzida na soma vetorial (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d), podendo ser
visualizada como rotações no plano, como mostra o paralelogramo a seguir:
As raízes de uma equação binomial, onde é um número complexo, é os vértices um
polígono regular de lados. Por exemplo, as raízes de representam no plano complexo um
triângulo eqüilátero inscrito, como mostra a figura.
27
2. Passo 2
Resolver as seguintes situações-problema:
1. Expresse o texto por meio de uma relação. Dê o domínio e a imagem e uma
fórmula, quando possível: Uma costureira recebe R$ 2,00 por blusa que costura. O seu salário
mensal s está determinado pelo número de blusas n que costura. Ela consegue costurar um
mínimo de 20 e um máximo de 30 blusas por mês.
Resposta: Domínio: n natural, 20 <= n <= 30
Imagem: y natural, 40 <= y <= 60
f(n) = 2,00 * n
f(n) = 2,00 * 20 = 40,00 e f(n) = 2,00 * 30 = 60,00
Assim, Domínio = [ 20 ; 30 ] e Imagem = [ 40,00 ; 60,00 ]
2. Sabe-se que o lucro total de uma empresa de cosméticos é dado pela fórmula L =
R – C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa
empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) = 6000x – x² e C(x) = x² - 2000x.
Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual
o valor mínimo do custo?
Resposta: L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 6000x – x² - x² + 2000x --- L(x) = 8000x – 2x²
Lucro, coeficiente de x² < 0, possui ponto máximo.
28
L(x) = 8000x – 2x² --- x = -b / 2 * a = -8000 / 2 * -2 = -8000 / -4 = 2000
O lucro será máximo para uma produção de 2000 unidades.
C(x) = x² - 2000x
Coeficiente de x² > 0 possui ponto mínimo.
C(x) = -b / 2 * a = 2000 / 2 * (1) = 2000 / 2 = 1000
O valor mínimo do custo é de R$ 1.000,00
ETAPA 4
1. PASSO 1
GEOMETRIA ANALITICA
1 – Introdução
A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processos
particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo,
uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de
métodos algébricos.
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII, e devem-se ao
filósofo e matemático francês René Descartes (1596 – 1650), inventor das coordenadas
cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica
de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece
à célebre frase em latim “Cogito ergo sum” , ou seja: “Penso, logo existo”.
1.1 – Coordenadas cartesianas na reta
Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.
Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de
O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.
29
O comprimento do segmento OU é igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). É
fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o
conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados
abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0 (zero), a
abscissa do ponto A é 1, etc. A reta r é chamada eixo das abscissas.
1.2 – Coordenadas cartesianas no plano
Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos
estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que
se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:
Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P.
O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OU é denominado eixo das ordenadas.
O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES.
No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º
quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.
Observe que todos os pontos do eixo OX têm ordenadas nula e todos os pontos do eixo OU
tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OU
é x = 0.
Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja
equação evidentemente é y = x.
Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem
uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x.
30
Os eixos OX e OU são denominados eixos coordenados.
Logo, a alternativa correta é a letra B.
2 – Fórmulas da distância entre dois pontos do plano cartesiano
Dados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o
teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontos A e B:
Esta fórmula também pode ser escrita como: d2AB = (Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2, obtida da
anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.
3 – Ponto médio de um segmento
Dado o segmento de reta AB, o ponto médio de AB é o ponto M AB tal que AM
= BM. Nestas condições, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) as coordenadas do ponto
médio M(xm , ym) serão dadas por:
4 – Baricentro de um triângulo
Sabemos da Geometria plana, que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de
encontro das 3 medianas. Sendo G o baricentro, temos que AG = 2.GM onde M é o ponto
médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas
condições, as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb ,
yb) e C(xc , yc) é dado por :
Conclui-se, pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às
médias aritméticas das coordenadas dos pontos A, B e C.31
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo
ABC onde A(3,5), B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6,4). Verifique com o uso direto das
fórmulas.
5 – O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica
5.1 – Área de um triângulo
Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc). A área S desse
triângulo é dada por S = ½ . D onde D é o módulo do determinante formado pelas
coordenadas dos vértices A, B e C.
Temos, portanto:
A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)
Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos à conhecida e prática regra de
Sarrus.
5.2 – Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se pertencem a uma mesma reta.
É óbvio que se os pontos A, B e C estão alinhados, então o triângulo ABC não existe, e
podemos, pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ). Fazendo S = 0 na fórmula de área do
item 1.1, concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja
nulo, ou seja: D = 0.
6 – Equação geral da reta.
Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb). Seja P(x , y) um ponto
qualquer desta reta . Pela condição de alinhamento de 3 pontos, podemos escrever:
32
Desenvolvendo o determinante acima obtemos:
(Ya – Yb) . x + (Xa – Xb) . y + (XaYb – XbYa) = 0 .
Fazendo Ya – Yb = a, Xa – Xb = b e XaYb – XbYa = c , decorre que todo ponto P(x,y)
pertencente à reta , deve verificar a equação : ax + by + c = 0, que é chamada equação geral
da reta r .
7 – Posição relativa de duas retas
Sabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser:
Paralelas: r s =
Concorrentes: r s = { P }, onde P é o ponto de interseção.
Coincidentes: r = s.
Dadas as retas r: ax + by + c = 0 e s: a’x + b’y + c’ = 0, temos os seguintes casos:
as retas são coincidentes.
as retas são paralelas.
as retas são concorrentes .
8 – Outras formas de equação da reta
Vimos na seção anterior a equação geral da reta, ou seja, ax + by + c = 0. Vamos
apresentar em seqüência, outras formas de expressar equações de retas no plano cartesiano:
8.1 – Equação reduzida da reta
Seja a reta r de equação geral ax + by + c = 0. Para achar a equação reduzida da reta,
basta tirar o valor de y, ou seja: y = (- a/b)x – c/b. Chamando - a/b = m e - c/b = n 33
obtemos y = mx + n que é a equação reduzida da reta de equação geral ax + by + c = 0. O
valor de m é o coeficiente angular e o valor de n é o coeficiente linear da reta. Observe que
na equação reduzida da reta, fazendo x = 0, obtemos y = n, ou seja, a reta r intercepta o eixo
dos y no ponto (0, n) de ordenada n.
Quanto ao coeficiente angular m, considere a reta r passando nos pontos A(x1, y1) e
B(x2, y2). Sendo y = mx + n a sua equação reduzida, podemos escrever:
y1 = mx1 + n e y2 = mx2 + n .
Subtraindo estas equações membro a membro , obtemos y1 – y2 = m (x1 – x2) . Logo, a
fórmula para o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos (x1 , y1) e (x2
, y2) é :
Se considerarmos que as medidas Y2 – Y1 e X2 – X1 são os catetos de um triângulo
retângulo, conforme figura abaixo pode concluir que o valor de m é numericamente igual à
tangente trigonométrica do ângulo . Podemos então escrever m = tg onde o ângulo é
denominado inclinação da reta. É o ângulo que a reta faz com o eixo dos x.
A tg como vimos é igual a m , e é chamada coeficiente angular da reta. Fica, portanto
bastante justificada a terminologia coeficiente angular para o coeficiente m. Observe que se
duas retas são paralelas, então elas possuem a mesma inclinação; logo, concluímos que os
seus coeficientes angulares são iguais.
9 - Equação segmentária da reta
Considere a reta representada na fig. a seguir:
34
Verificamos que a reta corta os eixos coordenados nos pontos (p,0) e (0,q). Sendo G(x,y) um
ponto genérico ou seja um ponto qualquer da reta, através da condição de alinhamento de 3
pontos, chegamos facilmente à equação segmentária da reta:
Nota: se p ou q for igual a zero, não existe a equação segmentária (Lembre-se: não existe
divisão por zero); portanto, retas que passam na origem não possuem equação segmentária.
10 - Equações paramétricas da reta
Quando um ponto qualquer P(x, y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y
expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse
caso as equações paramétricas da reta.
x = f(t) onde f é uma função do 1º grau
y = g(t) onde g é uma função do 1º grau
Nestas condições, para se encontrar a equação geral da reta, basta se tirar o valor de t em uma
das equações e substituir na outra.
11 - Retas perpendiculares
Sabemos da Geometria Plana que duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e
formam entre si um ângulo reto (90º). Sejam as retas r: y = mr x + nr e s: y = ms x + ns.
Nestas condições podemos escrever a seguinte relação entre os seus coeficientes angulares: ms
= - 1 / mr ou mr . ms = -1
Dizemos então que se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus coeficientes
angulares é igual a -1.
12 - Ângulo formado por duas retas
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Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente, a tangente
do ângulo agudo formado pelas retas é dado por :
Notas: 1 - Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0 e 90º.
2 - Observe dois casos particulares da fórmula anterior, que merecem ser mencionados:
a) se as retas r e s, ao invés de serem concorrentes, fossem paralelas, o ângulo seria nulo e,
portanto tg = 0 (pois tg 0 = 0). Nestas condições, o denominador da fórmula teria que ser
nulo, o que resultaria em mr = ms, ou seja, os coeficientes angulares teriam que ser iguais. Já
vimos isto num texto anterior, mas é bom repetir: RETAS PARALELAS POSSUEM
COEFICIENTES ANGULARES IGUAIS.
b) se as retas r e s fossem além de concorrentes, PERPENDICULARES, teríamos = 90º.
Neste caso a tangente não existe ( não existe tg 90º, sabemos da Trigonometria); mas se
considerarmos uma situação limite de um ângulo tão próximo de 90º quanto se queira, sem,
entretanto nunca se igualar a 90º, a tangente do ângulo será um número cada vez maior,
tendendo ao infinito. Ora, para que o valor de uma fração seja um número cada vez maior,
tendendo ao infinito, o seu denominador deve ser um número infinitamente pequeno,
tendendo a zero. Nestas condições, o denominador da fórmula anterior 1+mr . ms seria um
número tão próximo de zero quanto quiséssemos e no limite teríamos 1 + mr . ms = 0.
Ora, se 1 + mr . ms = 0, podemos escrever que mr . ms = -1, que é a condição
necessária e suficiente para que as retas sejam perpendiculares, conforme já vimos num texto
anterior publicado nesta página. Assim, é sempre bom lembrar: RETAS
PERPENDICULARES POSSUEM COEFICIENTES ANGULARES QUE
MULTIPLICADOS É IGUAL A MENOS UM.
13 - Estudo simplificado da circunferência
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Considere a circunferência representada no plano cartesiano, conforme abaixo, cujo
centro é o ponto C(xo , yo), cujo raio é igual a R, sendo P(x, y) um ponto qualquer pertencente
à circunferência.
Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre dois pontos, já vista em outro
texto publicado nesta página, teremos: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2, que é conhecida como
equação reduzida da circunferência de centro C(x0,y0) raio R. Assim, por exemplo, a
equação reduzida da circunferência de raio 5 e centro no ponto C(2,4) é dada por:
(x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.
Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir com a origem do sistema de
coordenadas cartesianas, ou seja, o ponto O(0,0), a equação reduzida da circunferência fica:
x2 + y2 = R2.
Para obter a Equação Geral da circunferência, basta desenvolver a equação
reduzida. Temos: x2 - 2x . xo + xo2 + y2 - 2y . yo + yo
2 - R2 = 0. Fazendo -2xo = D, -2yo = E e
xo2 + yo
2 - R2 = F, podemos escrever a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 Equação geral da
circunferência). Então, concluímos que quando os coeficientes de x² e y² forem unitários, para
determinar as coordenadas do centro da circunferência, basta achar a metade dos coeficientes
de x e de y, com os sinais trocados, ou seja, x0 = - D / 2 e y0 = - E / 2. Se os coeficientes de x²
e y² não forem unitários, temos que dividir a equação pelo coeficiente de x² que é sempre
igual ao coeficiente de y², no caso da circunferência.
Para o cálculo do raio R, observemos que F = xo2 + yo
2 - R2.
Mas, xo = - D / 2 e yo = - E /2. Logo, podemos escrever a seguinte equação para o cálculo do
raio R a partir da equação geral da circunferência:
Cuidado! Para que a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0, possa representar uma
circunferência, tem de ser atendida a condição D2 + E2 - 4.F 0, pois não existe raiz 37
quadrada real de número negativo . Observe que se D2 + E2 - 4.F = 0 a equação x2 + y2 + D x
+ E y + F = 0 representa apenas um ponto do plano cartesiano! Por exemplo: x2 + y2 + 6x - 8y
+ 25 = 0 a equação de um ponto! Verifique.
Qual a sua interpretação para o caso D2 + E2 - 4F ser negativo? Ora, como não
existe raiz quadrada real de número negativo, conclui-se facilmente que a circunferência não
existe neste caso!
Exemplo: Dada a equação x2 + y2 - 6x + 8y = 0, temos: D = - 6 , E = 8 e F = 0.
Logo, pelas igualdades anteriores, podemos determinar as coordenadas do centro e o raio
como segue: xo = - (-6) / 2 = 3; yo = - 8 / 2 = -4 e R = 5 (faça as contas).
Portanto, o centro é o ponto C(3, -4) e o raio é igual a 5 u.c (u.c = unidade de comprimento).
2. PASSO 2
Resolver as seguintes situações problemas:
1. Sendo R(q) = q² - 7q = 8 a função da receita de uma empresa de brinquedos,
encontre algebricamente a função derivada de R em relação à quantidade de brinquedos
vendidos. Qual será a receita se a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassarem 1.000
unidades?
Resposta:
R(q) = q² - 7q = 8
R(q) = q² -7q - 8
A função derivada de R :
R’(q) = 2q – 7
A receita para a quantidade de 1.000 unidades de brinquedos vendidos:
R(q) = q² - 7q - 8
R(1000) = 1000² - 7 * (1000) - 8
R(1000) = 1000000 – 7000 - 8
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R(1000) = R$ 992.992,00
2. Uma indústria tem seu custo total representado pela função C(q) = q² - 6q + 8,
onde q representa a quantidade de tijolos produzidos e C(q) o custo total em reais. Para
obtermos a equação do custo marginal, devemos obter a derivada dessa função. Dessa forma:
a) Encontrar algebricamente, a função derivada do custo marginal.
Resposta:
C(q) = q² - 6q + 8
C’(q) = 2q – 6
b) Determinar a equação da reta tangente à curva de C(q) = q² - 6q + 8 no ponto q = 1,
construindo seu gráfico.
Resposta:
C’(q) = 2q – 6
C’(1) = 2 * 1 – 6
C’(1) = 2 – 6 = -4, logo C’(1) = -4
Para q = 1, temos:
C(1) = (1)² - 6 * (1) + 8 = 1 – 6 + 8 = 3, portanto o ponto (1;3)
Para calcular a equação da reta tangente à curva:
y – yo = f’(xo) * (x – xo)
Para : yo = 3 , xo =1 e f’(xo) = -4
y – 3 = -4 * (x – 1)
y – 3 = -4x + 4
y = -4x + 4 + 3
y = -4x + 7
A equação da reta tangente à curva C(q) = q² - 6q + 8, no ponto P(1;3), é y = -4x + 7
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3. PASSO 3
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA
Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é uma
função explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da
função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra,
dizemos que y é uma função implícita de x. Vejamos, por exemplo, a equação y = 2x² - 3.
Observamos que y é uma função explícita de x, pois podemos escrever y = f (x), onde f (x) =
2x² - 3. Entretanto, a equação 4x² - 2y = 6 define a mesma função, pois isolando y obtemos
y = 2x² - 3. Quando escrita na forma 4x² - 2y = 6, dizemos que y é uma função implícita de x.
Observação: É necessário tomar cuidado, pois muitas vezes uma equação em x e y pode
definir mais de uma função implícita.
EXEMPLOS:
1) Mostre que a reta tangente à circunferência dada por x² + y² = r², em um ponto qualquer
sobre ela, é perpendicular à reta que passa por este ponto e a origem (reta que contém o raio
este ponto).
Solução:
Seja um ponto qualquer sobre a circunferência. Como o coeficiente angular da reta
tangente é dado pela derivada da função no ponto, então, derivando a equação da
circunferência em relação à x, temos:
Assim, o coeficiente angular da reta tangente à circunferência x² + y² = r² no ponto é
dado por .
Por outro lado, geometricamente é fácil ver que o coeficiente angular da reta que contém o
raio passando por , é dado por
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Assim, fazendo o produto, temos:
o que implica que a reta que contém o raio passando por
é perpendicular à reta tangente à curva neste ponto. Como tomamos um ponto
qualquer sobre a circunferência, o resultado vale para todos os pontos sobre ela. Vejamos o
gráfico:
2) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante tem interesse em
produzir x mil unidades, onde a oferta e o preço estão relacionados pela equação:
Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é R$ 9,00 e está aumentando à
taxa de 20 centavos por semana?
Solução:
Sabemos que para p = 9, dp/dt = 0,20. Queremos saber qual o valor de dx/dt.
Inicialmente observamos que para p = 9, temos:
já que x = – 8 não tem significado físico para o problema.
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Agora, derivando implicitamente os dois membros da equação de oferta em relação ao tempo,
obtemos:
Fazendo x = 14, p = 9 e dp/dt = 0,20 nesta equação, obtemos:
Isolando dx/dt e fazendo os cálculos necessários, encontramos
Como a oferta é dada em milhares de unidades, concluímos que a oferta está aumentando à
taxa de 206 unidades por semana.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
< http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/15/PA07.pdf>. Acesso em 15 nov. 2010.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Volume único. 1° Ed. São Paulo: Ática, 2005.
< http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/>. Acesso em 15 nov. 2010.
ROSA, Mário Servelli. Números Complexos: Uma abordagem histórica para aquisição do
conceito. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática). São Paulo: Pontifícia
Universidade Católica, 1998.
BOYER, Carl B.(1996) História da Matemática: 2º edição. São Paulo: Edgard Blucher.
DANTE, L.R.(2004). Matemática (Ensino Médio), Vol.2. São Paulo: Ática.
MAOR, Eli.(2003). e:A história de um número. Rio de Janeiro:Record.
http://www.paulomarques.com.br/arq6.htm
Jornal A tribuna – Vitória/ ES
Jornal A Gazeta – Vitória – ES
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