Árvores

Prof. Dr. rer. nat. Daniel Duarte Abdala

DAS 5102 – Fundamentos da Estrutura da Informação

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Motivação

• Estrutura de dados muito utilizada– Permite a representação de dados de maneira

hierárquica;– Fornece maneiras eficientes de busca;

• Quais são seus usos comuns?– Manipular dados hierárquicos– Manipular listar ordenadas de dados– Em algoritmos de roteamento de pacotes

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Motivação - exemplo

• Objetivo: Ir de Floripa para Blumenau!3

FloripaSão José

Tubarão

Biguaçu

Joinville

Palhoça

Garopaba

Blumenau

Árvore de Busca

4

Floripa

Biguaçu São José Garopaba

PalhoçaBiguaçu TubarãoBlumenau Garopaba

Árvores - Grafos

A

B C

FED G

A

B C

FE

D

G

A

B C

FE

D

G

• É uma árvore– Conectado– acíclico– Não orientado

• Não é uma árvore– Conectado– Cíclico– Não orientado

• É uma arborecência– disconectado– acíclico– Não orientado

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• É uma árvore nada mais é que um tipo particular de grafo. Para que um grafo seja uma árvore o mesmo deve ser:– Conectado, – acíclico, – Não orientado

A

B C

ED

A

B C ED

Nível 2

Nível 1

Nó raiz

Nomenclatura

A

C

FED G

Nível 0

altura daárvoreB

Nós internos

Folhas

B

E

Nó pai

Nó filho

6

Árvores Binárias

A

C

FED G

B

Subárvore esquerda Subárvore direita

7

• Todo nó possui exatamente dois nós filhos– Exceto os nos folha, que devem possuir exatamente 0 filhos

• É muito útil para modelar situações em que precisam ser tomadas decisões bidirecionais em cada ponto de um processo

Árvores Binárias - Definições

• Árvore Binária Completa de nível d– Todas as folhas estejam no nível d

• Se contiver m nós no nível l, ela conterá no máximo 2m nós no nível l+1

• Uma árvore binária completa de nível d contém exatamente 2l nós em cada lível l entre 0 e d (profundidade d com exatamente 2d nós no nível d

8

Árvores Binárias - Definições

• Número total de nós

9

d

j

jnnt

0

210 22222 12 1 dnt

Por indução

• Também é possível calcular o nível d de uma árvore binária completa se o número tn for conhecido.

1)1(log2 ntd xx 2lognote que em geral,

log2x x

3 15

10 1.024

≈20 1.000.000

Árvore Binárias Quase Completas

A

B C

F

D E

G

A

B

H

D E

I

D

G

J

F

K

A

B

H

D E

I

D

GF

1. Todas as folhas da árvore devem estar localizadas no nível d ou no nível d-1;

2. Para cada nó nd na árvore com um descendente direto no nível d, todos os descendentes esquerdos de nd que forem folhas estiverem também no nível d.

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Numeração de nós de árvores binárias

A

B

H

D E

I

D

GF

1

2 3

4 5 6 7

8 9

11

• Os nós de uma árvore binária quase completa podem ser numerados

• 1 para a raiz• Filho esquerdo = dobro do n. do pai• Filho direito = dobro + 1 do n. do pai• A numeração ajuda na

implementação como será visto na aula prática

(implementação por vetores)

• Facilita na localização de itensA B D D E F G H I

Exemplo: encontrar repetições

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• Encontrar todas as repetições numa lista de números– Comparar cada número com todos os que o

prescedem– Por meio de uma árvore binária

4 3 6 5 4 9 9 1 2

Encontrar Repetições – Árvore Binária

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• Inserção:– pegue o primeiro elemento da lista e o faça a raiz

da árvore binária;– Para cada elemento seguinte:

4

3

1 2

6

95

1. Comparar com o nó raiza. Se igual, acusar repetiçãob. Se menor, examinar a subárvore

esquerdac. Se maior, examinar a subárvore da

direitad. Se vazio, inserir o elemento sendo

examinado4 3 6 5 4 9 9 1 2

Percurso de Árvores Binárias

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• Não existe uma ordem “natural” para se percorrer uma árvore binária

• Existem três formas básicas:– Ordem Anterior (percurso em profundidade)– Ordem (ou em ordem simétrica)– Ordem Posterior

Algorítmos Recursivos

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ordemAnterior(no)

IMPRIMA no.valor

SE no.esq ≠ null ENTAO

ordemAnterior(no esq)

SE no.dir ≠ null ENTAO

ordemAnterior(no.dir)

emOrdem(no)

SE no.esq ≠ null ENTAO

emOrdem(no.esq)

IMPRIMA no.valor

SE no.dir ≠ null ENTAO

emOrdem(no.dir)

ordemPosterior(no)

SE no.esq ≠ null ENTAO

emOrdem(no.esq)

SE no.dir ≠ null ENTAO

emOrdem(no.dir)

IMPRIMA no.valor

Exemplo – ordemAnterior

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A

B

D E

C

GF

5. H (4.a)

6. I (4.b)

7. E (3.b)

8. C (2.b)a. ant(F)

b. ant(G)

9. F (8.a)

10.G (8.b)

IH

1. ant([A,B,C,D,E,F,G,H,I])(init)

2. Aa. ant([B,D,E,H,I])

b. ant([C,F,G])

3. B (2.a)a. ant([D,H,I])

b. ant([E])

4. D (3.a)a. ant([H])

b. ant([I])

1. ord([A,B,C,D,E,F,G,H,I])(init.)

2. ord([B,D,E,H,I])

3. ord([D,H,I])

4. ord([H])

5. H

6. D

7. ord(I)

8. I

9. B

10.ord([E])

Exemplo – emOrdem

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A

B

D E

C

GF

IH

11.ord([C,F,G])

12.ord([F])

13.F

14.C

15.ord([G])

16.G

Revisitando... Encontrar Repetições

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9 8 9 7 6 5 4 3 4 3 4 5 4 7 7 9 8 9

9

8

7

6

5

4

3

3

4

5

6

7

8

9A ordem dos elementos na lista pode levar a criação de uma árvore não balanceada

Laboratório Desta Semana

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• Implementar uma árvore Binária– Usando arrays como estrutura de armazenamento– Usando ponteiros– Resolver o problema da identificação de números

repetidos usando árvores binárias– Implementar os métodos de percurso

• Modificar a árvore binária para que seus nós possam armazenar diferentes tipos de dados (números e operadores)

Bibliografia da Aula

• A. A. Tenenbaum, Y. Langsam, M. J. Augenstein. Estruturas de Dados Usando C. Makron Books Ed. 1995. pp. 303—406. (cap. 5)

• R. Sedegewick. Algorithms in C. Princeton University. Addison-Wesley Publishing Company. 1990. pp 35—50. (cap. 4)

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