Post on 09-Dec-2015
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OFICINA DE VETORES
Ensinando Vetores com metros de pedreiro
Maria Antonieta Teixeira de Almeida antoniet@if.ufrj.br
Valdeci Telmo vtelmo@if.ufrj.br
Atividade 1 1.1 Desloque o cartão número 1 de 102 cm. Existe outra forma de deslocar o cartão? Responda deslocando os outros cartões (2, 3 e 4). De quantas formas é possível obedecer a essa instrução?__________ Todos os cartões saíram do mesmo ponto. Eles chegam ao mesmo ponto? ___________________________________________________________ Retorne todos os cartões ao ponto de partida. 1.2 Desloque o cartão número 1 de 102 cm perpendicular à parede que contém
quadro negro. Existe outra forma de deslocar o cartão? Responda deslocando os outros cartões (2, 3 e 4). De quantas formas é possível obedecer a essa instrução?__________ Todos os cartões saíram do mesmo ponto. Eles chegaram ao mesmo ponto?_________ Retorne todos os cartões ao ponto de partida. 1.3 Desloque o cartão número 1 de 102cm perpendicular à parede que contém
quadro negro aproximando-o do quadro. Existe outra forma de deslocar o cartão? Responda utilizando os outros cartões (2,3 e 4). De quantas formas é possível obedecer a essa instrução?__________ Todos os cartões saíram do mesmo ponto. Eles chegam ao mesmo ponto?_________ Retorne todos os cartões ao ponto de partida. Qual o desenho que representa um deslocamento? 1.4 Os números reais são representados simbolicamente por uma letra. Você representaria o seu deslocamento também por uma letra (pela letra d, por exemplo)? Por quê?_____________
1.5 Utilize três metros de pedreiro para fazer os seguintes deslocamentos: Deslocamento Módulo Direção Sentido
1d
102 cm Perpendicular à parede do quadro (AB)
Aproximando-se do quadro
Deslocamento Módulo Direção Sentido
2d
102 cm Forma um ângulo de 45o no sentido anti-horário com a parede AB que é perpendicular à parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição do ângulo.
Aproximando-se da parede do quadro. (ver figura 1)
Deslocamento Módulo Direção Sentido
3d
102 cm Forma um ângulo de 45o no sentido horário com a parede AB que é perpendicular à parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição do ângulo.
Aproximando-se da parede do quadro. (ver figura 1)
1.6 Complete: O desenho que representa um deslocamento é um ___________________. Representamos um número real por uma _______. Representamos o deslocamento por uma ___________________________.
Figura 1
A
B
Posição do relógio no chão
Aluno
-Vista de cima
Atividade 2 A PARTIR DE AGORA VAMOS UTILIZAR COMO UNIDADE DE MEDIDA A PARTE DA PALHETA VÍSIVEL DA ORDEM DE 17,5 cm, QUE DENOMINARAMOS pm. 2.1 Faça com os metros de pedreiro os seguintes deslocamentos. Deslocamento Módulo Direção Sentido
1d
1 pm Perpendicular à parede do quadro
Aproximando-se do quadro
2d
3 pm Perpendicular à parede do quadro
Aproximando-se do quadro
3d
3 pm Perpendicular à parede do quadro
Afastando-se do quadro
2.2 Complete a tabela 3 com as relações entre os deslocamentos 2d
e 1d
, e entre os deslocamentos 3d
e 1d
. Tabela 2
=2d
____ 1d
=3d
____ 1d
2.3 Relacione na Tabela 3 as propriedades dos deslocamentos 2d
e 3d
com as propriedades do deslocamento 1d
Tabela 3 A direção de 2d
é _______________
direção de 1d
A direção de 3d
é _____________
direção de 1d
O sentido de 2d
é ________________
sentido de 1d
O sentido de 3d
é _____________
sentido de 1d
O módulo de 2d
________________ módulo de 1d
O módulo de 3d
_____________
módulo de 1d
2.4 Complete a lacunas: Se o número real α é positivo o delocamento d
α tem ______ direção do
deslocamento d ,_______sentido do deslocamento d
e módulo igual a
=d
α _______.
Se o número real α é negativo o delocamento d
α tem ______ direção do deslocamento d
, sentido _______ do deslocamento d
e módulo igual a
=d
α _______.
Atividade 3 3.1 Marque com giz no piso dois pontos separados pela distância 8 pm. Denomine um dos pontos por A e o outro de B. Agora se desloque do ponto A até o ponto B. Construa com um metro de pedreiro o deslocamento entre os pontos A e B. Denomine esse deslocamento por d
, escolha na caixa o cartão com esse símbolo e
coloque-o junto ao metro. 3.2 Coloque embaixo do metro de pedreiro a figura com forma de paralelogramo como mostra a figura 2. Imagine agora que a figura é um obstáculo intransponível. Parta do ponto A e se desloque até o ponto B. Represente no chão, com metros de pedreiro, os deslocamentos realizados. Nomeie os novos deslocamentos por
mddd
,...,, 21 . Escolha na caixa os cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Como os metros são objetos reais com área e volume a sua representação no piso não será perfeita. Não se preocupe com pequenas diferenças. 3.3 Observe no piso os deslocamentos d
, 1d
e 2d
que você construiu com os metros de pedreiro e complete as lacunas. O início do deslocamento 2d
coincide com _______ do deslocamento ____. O início do
deslocamento d
vai do ______ do deslocamento ___ até o ______do deslocamento _____. 3.4 Existem outras formas (simples) de se chegar ao ponto B a partir do ponto A, imaginando que o paralelogramo de papel é um objeto intransponível? ______ Se existir, represente tais deslocamentos com os metros de pedreiro. Escolha na caixa os cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. ___________________________________________________________ Todos os deslocamentos são diferentes? Se existirem deslocamentos iguais, nomeie-os com cartões contendo o mesmo símbolo. ___________________________________________________________
Figura 2
A
B
Todos os deslocamentos que possuem mesmo módulo, mesma direção e sentido, independente do ponto de aplicação, são considerados iguais. 3.5 Observe os metros no piso e responda: Quanto vale 12 dd + ? 3.6 Complete a seguinte relação: 1221 ___ dddd
++ . Logo a soma de deslocamentos é
_________. 3.7 Qual o módulo, a direção e o sentido de um deslocamento nulo? 3.8 Faça com o metro de pedreiro um deslocamento qualquer 1d
. Escolha um cartão da caixa
com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Faça com outro metro de pedreiro um deslocamento 2d
que, somado ao deslocamento 1d
, forneça um deslocamento nulo. Escolha
um cartão da caixa com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Escreva a representação simbólica dessa soma. 3.9 Marque com giz no piso dois pontos separados pela distância 9 pm. Denomine um dos pontos por A e o outro de B. Desloque-se de A para B. Construa no chão com um metro de pedreiro o deslocamento entre os pontos A e B. Denomine esse deslocamento por d
. Escolha um cartão da caixa com esse símbolo e coloque-o junto ao
metro. 3.10 Coloque embaixo do metro de pedreiro a folha com forma de polígono como mostra a figura 4. Imagine agora que a folha é um obstáculo intransponível. Parta a do ponto A e se desloque até o ponto B (contornando o polígono). Represente com metros de pedreiro no chão os deslocamentos realizados. Nomeie os novos deslocamentos por mddd
,...,, 21 . Escolha os
cartões da caixa com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Como os metros são objetos reais com área e volume a sua representação no piso não será perfeita. Não se preocupe com pequenas diferenças. 3.11 Com os deslocamentos construídos, calcule: 321 )( ddd
++ = _________
)( 321 ddd
++ =__________
Figura 3
A
B
Atividade 4 4.1 Construa com o metro de pedreiro os deslocamentos: Tabela 5 Deslocamento Módulo Direção Sentido
1d
1 pm Perpendicular à parede do quadro Aproximando-se do quadro
2d
2 pm Perpendicular à parede do quadro Aproximando-se do quadro
3d
3 pm Perpendicular à parede do quadro Afastando-se do quadro
Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Definição: _Um deslocamento com módulo 1 é denominado deslocamento unitário e é representado simbolicamente por uma letra com acento circunflexo em cima. O deslocamento 1d
é unitário.
4.2 Complete na tabela 6 as relações dos deslocamentos 2d
e 3d
com o vetor unitário u . Tabela 6
=2d
=3d
4.3 Faça no piso, com o metro de pedreiro, um deslocamento 4d
com as propriedades da tabela 7. Escolha na caixa um cartão com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Tabela 7 Vetor Módulo Direção Sentido
4d
5 pm Forma um ângulo de 45o no sentido horário com a parede AB, que é perpendicular a parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição do ângulo.
(ver figura 1)
Aproximando-se da parede do quadro.
(ver figura 1)
Existe alguma relação simples entre 4d
e o unitário u ? Por quê?
Existe algum pedaço do deslocamento 4d
que tem a direção do unitário u ?
Figura 1
A
B
Posição do relógio no chão
Aluno
Atividade 5 Vetores são grandezas que tem módulo, direção e sentido. Eles possuem uma regra de soma igual a dos deslocamentos, e uma regra de multiplicação por um número real igual a da multiplicação de um número real pelo deslocamento. 5.1 Os deslocamentos são vetores?______ Para projetar um vetor d
na direção de um unitário u é preciso passar, por suas
extremidades, retas perpendiculares à direção do unitário. O vetor projetado ud
tem o módulo igual à menor distância entre essas duas retas
perpendiculares, tem a direção do unitário e o sentido do vetor que foi projetado. 5.2 Coloque o vetor unitário u na direção perpendicular à parede do quadro e mesmo sentido do vetor 4d
. Projete com o auxílio das varetas de solda o vetor 4d
na direção do unitário u .
Faça com o metro de pedreiro o vetor projetado. Denomine o vetor projetado de ud4
. Escolha na caixa um cartão com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Meça com a unidade de medida pm o tamanho do vetor projetado ud4
. Escreva na tabela 8 a relação entre ud4
e u .
Tabela 8 =ud4
5.3 Se a componente ud de um vetor na direção de um unitário u é o número que se deve
multiplicar o unitário para se obter o vetor projetado, qual é a componente ud4 ? ud4 =_____ 5.4 Coloque no piso, afastado do vetor 4d
, o metro de pedreiro que representa o deslocamento
5d
com as propriedades da tabela 9. Escolha na caixa um cartão com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Coloque o vetor unitário u (com a direção perpendicular à parede do quadro e com sentido contrário do vetor 5d
) próximo ao vetor 5d
.
Tabela 9 Vetor Módulo Direção Sentido
5d
5 pm Forma um ângulo de 45o no sentido anti-horário com a parede AB, que é perpendicular a parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição do ângulo. (ver figura 1)
Afastando-se da parede do quadro.
(ver figura 1)
Figura 1
A
B
Posição do relógio no chão
Aluno
5.5 Projete com o auxílio das varetas de solda o vetor 5d
na direção do unitário u . Faça com
o metro de pedreiro o vetor projetado ud5
. Meça com a unidade de medida pm o tamanho do
vetor projetado ud5
. Escreva na tabela 10 a relação entre ud5
e u . Tabela 10
=ud5
Se a componente ud de um vetor na direção de um unitário u é o número que se deve
multiplicar o unitário para se obter o vetor projetado, qual é a componente ud5 ? _____5 =ud 5.6 Observando as componentes dos vetores 4d
e 5d
na direção do unitário u você pode concluir: O módulo da componente de um vetor na direção do unitário mede ______, e o sinal informa __________. Orientação ao tutor: A componente de um vetor na direção de um unitário u é o pedaço do vetor na direção desse unitário. 5.7 Se você quiser representar o outro pedaço do 4d
, o que é preciso fazer?
5.8 Construa um sistema de eixos coordenados com as varetas de solda. Denomine um dos eixos de OX e o outro eixo de OY. Escolha o sentido dos eixos colocando uma seta na ponta deles. Construa com dois metros de pedreiro um unitário paralelo ao eixo OX com o mesmo sentido do eixo e outro com a direção do eixo OY e com o sentido dele. Denomine os unitários dos eixos de x e y (No material eles são denominados de i e j . Se você preferir utilize essa notação). Escolha cartões da caixa com esses símbolos e coloque-os junto aos unitários. 5.9 Projete utilizando as varetas de solda o vetor 4d
nas direções dos unitários x e y . Faça
com os metros de pedreiro os vetores projetados yx dd 44 e
. Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Meça com a unidade de medida pm o tamanho dos vetores projetados. Represente os vetores projetados na tabela 11. Tabela 11
5.10 Copie o resultado da tabela 11 na tabela 12 e escreva as componentes do vetor 4d
. Tabela 12 Vetor componente Componente
=xd4
=xd4
=yd4
=yd4
5.11 Observando os metros de pedreiro no piso é possível estabelecer uma relação entre os vetores 4d
, xd4
e yd4
? Qual?________________
=xd4
=yd4
Quadro negro A
B Figura 2
Atividade 6 6.1 Utilize os metros de pedreiro para fazer os deslocamentos 21 ded
descritos a seguir.
Deslocamento Módulo Direção Sentido
1d
4 pm Forma um ângulo de 45o no sentido horário com a parede AB, que é perpendicular à parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição dos ângulos.
Aproximando-se do quadro.
(ver figura 2).
Deslocamento Módulo Direção Sentido
2d
2 pm Forma um ângulo de aproximadamente 50o no sentido anti-horário com a parede AB, que é perpendicular à parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição dos ângulos.
Afastando-se do quadro.
(ver figura 2).
Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. 6.2 Some 1d
com 2d
. Faça com um metro de pedreiro um deslocamento que represente a
soma dos deslocamentos 1d
e 2d
. Denomine-o 3d
. Escolha um cartão da caixa com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. 6.3 Projete os vetores 1d
, 2d
e 3d
no eixo OX. Denomine os vetores projetados por xd1
, xd2
e
xd3
, respectivamente. Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Preencha a tabela 13. Tabela 13
Vetor Vetor componente Componente
1d
=xd1
=yd1
=xd1 =yd1
2d
=xd2
=yd2
=xd2 =yd2
3d
=xd3
=yd3
=xd3 =yd3
6.4 A observação da tabela 13 permite tirar alguma relação entre a componente da soma de vetores e a soma das componentes? Qual?__________________
Posição do relógio no chão
6.5 Utilize os metros de pedreiro para fazer os deslocamentos 21 ded
descritos a seguir.
Deslocamento Módulo Direção Sentido
1d
4 pm Forma um ângulo de 45o no sentido horário com a parede AB, que é perpendicular à parede do quadro.
Aproximando-se do quadro.
Deslocamento Módulo Direção Sentido
2d
2 pm Forma um ângulo de 50o no sentido anti-horário com a parede AB, que é perpendicular à parede do quadro.
Aproximando-se do quadro. (ver figura 2)
Considere o A ponto de partida para medição dos ângulos. Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. 6.6 Some 1d
com 2d
. Faça com um metro de pedreiro um deslocamento que represente a
soma desses deslocamentos, denominando-o 3d
. Escolha na caixa um cartão com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. 6.7 Projete os vetores 1d
, 2d
e 3d
no eixo OX. Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Preencha a tabela 14. Tabela 14 Vetor Vetor componente Componente
1d
=xd1
=yd1
=xd1 =yd1
2d
=xd2
=yd2
=xd2 =yd2
3d
=xd3
=yd3
=xd3 =yd3
6.8 A observação da tabela 14 permite tirar alguma relação entre a componente da soma de vetores e a soma das componentes? Qual?__________________ 6.9 O que você concluiu vale também para as componentes no eixo OY?____ 6.10 Complete as lacunas. A componente da soma de um vetor é igual a soma das componentes dos vetores somados. Porém, para essa definição ser válida, é preciso considerar o sinal das componentes.
_________________; se Portanto, 33213 ==⇒+= yx ddddd
, independentemente dos sentidos dos vetores.
AVALIANDO O APRENDIZADO 1. Utilize os vetores cba e, para realizar as seguintes operações: 1.a) ba
+
1.b) ba
− 1.c) ca
+ 1.d) ca 2− 2. Projete os vetores das figuras 2-1,2-2 e 2-3 nas direções dos eixos OX e OY. Encontre as suas componentes nestes eixos e coloque nas tabelas 2-1,2-2 e 2-3.
Componente Sinal Módulo
d1x=
d1y=
Componente Sinal Módulo
d2x=
d2y=
Componente Sinal Módulo
d3x=
d3y=
O
X
Yo45=θ
O
Y
O
Yo30=θ
X
X
i
j
i
j
i
j
1d
2d
3d
Figura-2-3
Figura-2-2
Figura-2-1
Tabela-2-1
Tabela-2-2
Tabela-2-3
a c
b
3. Projete os vetores da figura-3 nas direções dos eixos OX e OY. Encontre os vetores componentes nestes eixos. 4. Encontre as componentes do vetor 21 2dd
− . Utilize os vetores 1d
e 2d
da figura 3.
Componente Sinal Módulo
=xd1
=yd1
Componente Sinal Módulo
=xd2
=yd 2
Componente Sinal Módulo
=xd3
=yd3
Componente Sinal Módulo
=− xdd )2( 21
=− ydd )2( 21
O
X
Yo45=θ
O
Y
O
Yo30=θ
X
X
i
j
i
j
i
j
1d
2d
3d
Figura-3