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Você verá por aqui...
Prezado aluno, considerando que a nossa disciplina, Desenho Técnico,
requer, dentre outros assuntos importantes, o conhecimento em Desenho
Geométrico, iremos começar nossa empolgante jornada de trabalho introduzindo
alguns conceitos fundamentais desse conteúdo; falar um pouco da sua história, bem
como da sua importância, tanto para esta disciplina, como para o desempenho
profissional futuro de vocês.
Objetivo
Conceituar Geometria e estudar seus elementos.
Conceituar Desenho Geométrico e estudar suas principais
entidades geométricas.
Conhecer a história e a importância do Desenho Geométrico no
contexto do Desenho Técnico.
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Para começo de conversa...
“No século XVIII, o Desenho Geométrico aparece como uma das bases
mais fortes, no discurso dos que vislumbram novos tempos”.
(MENEZES, Alexandre Monteiro de Multimídia Interativa para o Ensino do Desenho
Arquitetônico: in: X SIGRADI - La Sociedad Iberoamericana de Gráfica Digital, 2006 – Educaión y
Desarrollo Acadêmico).
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Para saber mais...
Leia o artigo completo “Multimídia Interativa para o Ensino do Desenho
Arquitetônico”, através do endereço eletrônico:
http://cumincades.scix.net/data/works/att/sigradi2006_p049b.content.pdf
Afinal de contas, qual é a finalidade do
Desenho Geométrico?
O Desenho Geométrico tem por finalidade representar figuras planas e
resolver, com régua e compasso, os problemas relativos à Geometria Plana.
Geometria Plana?
Geometria Plana é o estudo das propriedades relativas a pontos, linhas,
planos e superfícies.
Como tudo começou? Em seu livro didático intitulado “Elementos de
Geometria e Desenho Geométrico”, Putnoki (1989) faz
um breve relato da História do Desenho Geométrico.
Segundo o referido autor, como linguagem de
comunicação e expressão, a arte do desenho
antecede em muito a da escrita. Indaga-nos com a
seguinte questão: o que é a escrita se não a
combinação de pequenos símbolos desenhados? E discorre que é através de
gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos
relacionados com o seu cotidiano, deixando indicadores importantes para os
pesquisadores modernos estudarem os ancestrais de nossa espécie. Enfim, a arte
do desenho é inerente ao homem. Não se sabe quando, ou onde, alguém formulou
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pela primeira vez, em forma de desenho, um problema que pretendia resolver -
talvez tivesse sido um "projeto" de moradia ou templo, ou algo semelhante. Mas
esse passo representou um avanço fundamental na capacidade de raciocínio
abstrato, pois representava algo que não existia. Essa ferramenta, gradativamente
aprimorada, foi bastante importante para o desenvolvimento das civilizações
babilônias e egípcias, os quais realizaram verdadeiras façanhas arquitetônicas. Uma
outra civilização, os gregos, deram um molde dedutivo à matemática. A obra
Elementos, de Euclides (aproximadamente 300 a.C.), é um marco de valor
inestimável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na
geometria grega que surge o Desenho Geométrico. Na realidade, não havia entre os
gregos uma diferenciação entre Desenho Geométrico e Geometria. O primeiro
aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geométricas, após a
exposição de um item teórico dos textos de Geometria. Essa conduta euclidiana é
seguida até hoje em países como França, Suíça, Espanha etc.
Atividade 01
Antes de darmos início ao estudo dos elementos
fundamentais da Geometria, consulte, dentre outras
referências, REIS (2007, p. 8), para compreender melhor a
importância Desenho Geométrico e em que contexto
histórico ele se desenvolveu. Ao término da leitura, faça
uma breve auto-avaliação do que você acabara de ler, tendo em vista que
consideramos de suma importância a compreensão histórica do Desenho
Geométrico no contexto da Geometria, bem como da sua função no mundo do
Desenho Técnico. Assim sendo, busque responder as seguintes questões:
1) Em que momento histórico é considerado o surgimento o Desenho
Geométrico?
2) Qual é a função do Desenho Geométrico?
3) Podemos afirmar que a Geometria e o Desenho Geométrico foram
importantes para o desenvolvimento de civilizações antepassadas? Por
quê?
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Elementos fundamentais da Geometria
Por serem considerados entes primitivos, o ponto, a reta e o plano, elementos
fundamentais da Geometria, não possuem definição.
O ponto
O ponto é representado graficamente pela interseção de duas
entidades geométricas, tais como: duas retas; uma reta e um arco
ou dois arcos. O ponto não tem dimensão e é indicado por (A, B,
C...), conforme figura 01.
A linha
A linha é o resultado do deslocamento de um ponto no espaço
ou num plano. Em desenho, é expressa graficamente pelo
deslocamento do lápis sobre o papel. Desse modo, podemos
interpretar a linha no mundo do desenho como sendo a trajetória
descrita por um ponto ao se deslocar. Como vemos, a linha tem
uma só dimensão: o comprimento (figura 02).
A B C
FIGURA - 01
FIGURA - 02
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Dada a importância e características especiais deste ente geométrico e sua grande aplicação em Geometria e Desenho, faremos seu estudo de forma mais detalhada a
seguir.
A reta
A reta pode ser considerada como o resultado do
deslocamento linear de um ponto, não possuindo, portanto, início e
fim. Possui apenas uma dimensão, o comprimento, e é
representada graficamente por um traço retilíneo, cuja
representação tem como indicação (a, b, c...) (figura 03). Observe
que a reta possui infinitos pontos, porém pode ser determinada por
apenas dois pontos distintos (AB). Ademais, podem ser traçadas
infinitas retas que passam por um único ponto, portanto, podemos
afirmar que um único ponto num plano define infinitas retas. (figuras
04 e 05).
r
FIGURA - 03
FIGURA - 05
A B C
r1
r2
rn
FIGURA - 04
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O plano
O Plano tem sua representação gráfica indicada por letras do
alfabeto grego, tais como: alfa, beta, gama... (figura 06). É
importante ressaltar que, como a reta, o plano possui infinitos
pontos. Também, sabe-se que por três pontos não colineares –
pontos que não pertencem a uma mesma reta – ou um ponto e uma
reta, que não o contenha, também definem um plano.
Atividade 02
Pense e responda as seguintes questões:
1) Quais são os entes fundamentais da
Geometria e por que eles são considerados
como fundamentais?
2) Como são representados os pontos?
3) Uma sucessão de pontos numa seqüência
infinita nos dá idéia de quê?
4) Como são representadas as retas?
5) Como são representados os planos?
6) Dê três exemplos que nos sugerem a idéia
de plano.
α
FIGURA - 06
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A semi-reta A semi-reta pode ser entendida como o deslocamento linear de um ponto,
sem variar a direção, entretanto, tem um ponto como origem. Desse modo, a semi-
reta é infinita em apenas uma direção. Assim sendo, pode-se afirmar que um ponto
qualquer, pertencente a uma determinada reta, divide-a em duas semi-retas. Para
compreender melhor o acima descrito, leia os itens “a”, “b” e “c” que se seguem,
observando as figuras 07, 08 e 09, respectivamente.
a) Semi-reta de origem no ponto A e que passa pelo ponto B (AB)
(figura 07).
b) Semi-reta de origem no ponto C e que passa pelo ponto D
(CD) (figura 08).
c) Um ponto qualquer, pertencente a uma reta, divide a mesma
em duas semi-retas (figura 09).
O segmento de reta
O segmento de reta é a porção de uma reta, a qual fica limitada por dois de
seus pontos. O segmento de reta é, portanto, limitado e podemos atribuir-lhe um
comprimento. Sua representação á dada pelos dois pontos que o limitam e que são
chamados de extremidades do segmento. Abaixo, podemos observar alguns
exemplos de segmentos de reta: segmentos de reta AB, MN e PQ (figura 10).
A B
Figura - 07
D C
Figura - 08
P
Figura - 09
10
Sendo uma parte limitada da reta, o segmento pode ser medido.
medir uma grandeza significa comparar, estabelecendo diferenças
ou semelhanças.
Exemplo de unidade de medida linear: O metro, seus múltiplos e
submúltiplos.
Ponto médio de segmento
Ponto médio de um segmento de reta é o ponto desse segmento que o divide
em dois segmentos congruentes.
A
B
M N
P
Q
FIGURA - 10
Calma, Amigo! Segmentos
congruentes são aqueles que
possuem a mesma medida!
Epa, epa, epa: Segmentos
congruentes?
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Segmentos colineares
São segmentos de reta que pertencem a uma mesma reta, a qual
denominamos de reta suporte (figura 11).
Segmentos consecutivos
São segmentos de reta dispostos um após o outro, cuja extremidade de um
coincide com a extremidade do outro. Como exemplo, temos os segmentos
consecutivos AB, BC e CD. Também, os segmentos HI, IJ e JP (figura 12).
Saiba que...
Duas ou mais retas que pertencem ao mesmo plano, denominam-se retas
coplanares.
Retas concorrentes ou secantes, por sua vez, são retas coplanares que
concorrem, isto é, cruzam-se num mesmo ponto. Por conseguinte, esse ponto é
comum às duas retas.
A
B G
H
s AB e GH pertencem a s.
FIGURA - 11
A B C
H
I
D
J P
s
FIGURA - 12
12
Posições de uma reta
Horizontal - é a posição de uma reta que corresponde à linha do
horizonte marítimo (figura 13).
Vertical - é a posição de uma reta que corresponde à direção do
fio de prumo1 (figura 14).
FIGURA - 13
h
v
FIGURA - 14
É verdade! Mas, por falar em reta,
vejamos...
Poxa, já vimos bastante conteúdo...
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Oblíqua ou inclinada – consiste na exceção às duas posições de
reta acima mencionadas. Isto significa dizer que a reta oblíqua ou
inclinada não está nem na posição horizontal, nem na posição
vertical (figura 15).
Você sabia que...
Duas ou mais retas, cujos pontos de uma são também pontos da outra, chamam-
se retas coincidentes?
Retas paralelas são aquelas que não possuem pontos em comum. Dizemos,
então, que duas ou mais retas têm a mesma direção se elas são paralelas entre si.
Por fim, duas retas são denominadas retas perpendiculares quando são
concorrentes e formam um ângulo de 90º (ângulo reto) entre si.
1 Instrumento utilizado pelo pedreiro, cuja finalidade é a de alinhar verticalmente uma parede ou muro.
FIGURA - 15
i
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Mediatriz de um segmento de reta Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular ao segmento e que
passa pelo ponto médio desse segmento (figura 16).
FIGURA - 16
Distâncias
Um outro assunto de grande relevância para nossa disciplina é a determinação das
seguintes distâncias:
a) entre dois pontos: dados dois pontos A e B, chama-se de
distancia de A e B a medida do segmento AB, cuja notação é d(A,B)
(figura 17).
b) de um ponto a uma reta: consideremos um ponto P e uma reta
r. Chama-se de distância de um ponto P a reta r, a medida do
segmento que tem uma extremidade em P e a outra em r e que é
perpendicular a r. A notação neste caso é d(P,r) (figura 18).
c) entre duas retas paralelas entre si: chama-se de distância de
duas retas paralelas, a distância de um ponto qualquer de uma
delas a outra reta. Sua notação é d(r,s) (figura 19).
FIGURA - 17
A
B
d(A,B)
A M B
m
Observe que...
AM é congruente à MB.
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Atividade 03
1) Podemos afirmar que uma reta não possui início nem fim?
2) Podemos medir um segmento de reta? Por quê?
3) Sabe-se que Ponto médio de um segmento de reta é o ponto desse
segmento que o divide em dois segmentos congruentes. Assim sendo,
busque exemplificar a utilização desse conhecimento para a resolução de
uma situação-problema prática possivelmente vivida por você.
4) O que é Mediatriz e qual é a sua relação com o Ponto Médio de um
Segmento de Reta?
5) Quantas e quais posições particulares uma reta pode assumir em um
determinado plano?
6) Como você pode medir a distância entre duas retas paralelas entre si?
FIGURA - 18
P r
d(P,
r)
FIGURA - 19
r
s
d(r,
s)
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Definição de Ângulo
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem
(figura 20).
Elementos de um ângulo
Vértice - é o ponto de origem comum das duas semi-retas.
Lado – é cada uma das semi-retas.
Abertura - é a região compreendida entre as duas semi-retas. Ela
define a região angular, que é a região que delimita o próprio ângulo.
Representação de um ângulo
Um ângulo é representado, por exemplo, por AÔB, BÔA, Ô, ou ainda uma
letra grega, conforme podemos ver na figura 20.
Você sabia que a unidade de medida mais empregada para medir ângulos
é o grau, cujo símbolo é o “°”?
Um grau corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais. Seus
submúltiplos são: o minuto e o segundo, cujas relações são, respectivamente:
1º=60’ e 1’=60”.
Os ângulos são medidos através de um instrumento chamado transferidor, o qual
o apresentaremos no nosso próximo encontro.
Dois ângulos de mesma medida denominam-se ângulos congruentes.
O
A
B
FIGURA
- 20
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Classificação de um ângulo
Um ângulo se classifica, quanto à abertura dos lados, em:
reto, quando a sua abertura mede 90º;
agudo, quando sua medida é maior que 0º e menor que 90º;
obtuso, quando sua medida é maior que 90º e menor que 180º;
raso ou de meia volta, quando mede 180º;
de volta inteira, quando mede 360º;
nulo, quando não existe abertura, ou seja, mede 0º.
Posições relativas de ângulos
Dois ou mais ângulos podem ocupar posições particulares entre si, as quais
recebem nomes específicos, tais como:
Ângulos consecutivos, quando possuem em comum o vértice e um dos
lados.;
Ângulos adjacentes são, antes de mais nada, ângulos consecutivos, e que
não têm pontos internos comuns.
Ângulos complementares, quando a soma de suas medidas é igual a 90º;
Ângulos suplementares, quando a soma de suas medidas é igual a 180º;
Ângulos replementares, quando a soma de suas medidas é igual a 360º.
Atenção!
Caro aluno, para encerrarmos o conteúdo desse nosso primeiro
momento juntos, escolhemos para apresentar uma entidade geométrica
importantíssima para o nosso estudo. Estamos falando da Bissetriz de um
ângulo.
Vejamos...
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A bissetriz de um ângulo é a semi-reta que tem origem no vértice do ângulo
e o divide em dois ângulos adjacentes e congruentes (figura 21).
Resumo
Nesta aula, conceituamos a Geometria e estudamos seus elementos fundamentais:
o ponto, a linha (reta) e o plano; falamos sobre a finalidade e importância do
Desenho Geométrico, através da sua conceituação e estudo das suas principais
entidades geométricas (a semi-reta, o segmento de reta, o ângulo etc.), além de
abordarmos em que contexto histórico ele surgiu; por fim, conhecemos uma das
mais importantes “personagens” na “história” do Desenho Geométrico: a bissetriz de
um ângulo.
Auto-Avaliação
Objetivando resgatar o conteúdo por nós estudado na presente aula, preparamos
um breve exercício, no qual você precisa preencher as lacunas de modo que as
afirmações fiquem corretas.
Bom trabalho e até o próximo encontro...
O
A
B
FIGURA - 21
α/2
α/2
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(a) Tem por finalidade representar figuras planas e resolver, com régua e compasso, os problemas relativos a geometria plana, estamos nos referindo a(o) ........................................................................
(b) São os elementos fundamentais da geometria: O(a) ............., a(o) .............. e o(a) .............. .
(c) Os entes primitivos da Geometria não possuem .....................
(d) Por um ponto podemos passar .................. retas.
(e) Podemos dizer que ........................... pontos definem uma reta.
(f) Uma reta e um ponto exterior a essa reta definem um(a)..................................
(g) três pontos não colineares definem um(a) ....................................
(h) Reta, Segmento de reta e Semi-reta possuem as seguintes notações, respectivamente: ............, ............. e ..............
(i) Chama-se ............................ de um segmento de reta AB o ponto desse segmento que o divide em dois segmentos congruentes.
(j) Medir uma grandeza significa ....................., estabelecendo diferenças ou semelhanças.
(k) Segmentos que possuem medidas iguais e estão dispostos um após o outro, em uma determinada reta suporte, são denominados, respectivamente: ........................................ e .............................................
(l) Chama-se ........................ a reta perpendicular ao segmento e que passa pelo ponto médio desse segmento.
(m) A região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem é denominada ............................ .
(n) A unidade de medida mais usada para medir um ângulo é o(a)............ .
(o) Um ângulo se classifica, quanto à sua grandeza, em: Ângulo................., Ângulo................., Ângulo................., Ângulo................., Ângulo.................., e Ângulo........................ .
(p) Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 90o, denominam-se: ................................... .
(q) Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 180o, denominam-se:................................... .
(r) Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 360o, denominam-se: ................................... .
(s) Dois ou mais ângulos são........................... quando possuem a mesma medida.
(t) À semi-reta que tem origem no vértice do ângulo e o divide em dois ângulos adjacentes congruentes, estamos falando da(o)............................... .
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Referências
CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: ed. Ao Livro
Técnico,3ª edição,1993.
PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico. São Paulo: ed. Moderna,
vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991.
PUTNOKI, José Carlos. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São
Paulo: ed. Scipione, vol. I e 2 , 1ª edição, 1989.
REIS, Jorge Henrique de Jesus. Apostila: Desenho Geométrico. Universidade do
Estado do Pará-UEPA. Pará, 2007.
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Você verá por aqui...
Prezado aluno, estamos de volta ao mundo maravilhoso do desenho, em
particular, ao do Desenho Geométrico, capítulo importante do Desenho Técnico,
objeto desta disciplina. Você deve estar de posse do material e instrumentos de
Desenho Técnico solicitados na apresentação desta disciplina. Dando continuidade
aos nossos trabalhos, vamos conhecer mais de perto o uso adequado desse
ferramental a ser utilizado para a produção do desenho no decorrer das nossas
atividades vindouras. Assim sendo, faremos a sua apresentação e, logo em seguida,
daremos a orientação necessária ao bom uso e manutenção dos mesmos.
Objetivo Identificar o material e instrumentos utilizados no Desenho
Técnico.
Aprender a manusear e cuidar adequadamente do material e
instrumentos do Desenho Técnico.
Aprender a traçar entidades geométricas básicas (retas,
circunferências, ângulos etc.) com precisão.
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Atenção!
É importantíssimo que você tenha todo esse material e instrumentos em
mãos para que possamos realizar todas as construções geométricas corretamente.
Não se esqueça, daqui por diante, esses aparatos serão as nossas “ferramentas de
trabalho”.
Para começo de conversa... Para obtermos um bom desempenho no desenvolvimento do Desenho
Geométrico, precisamos, além de conhecer todo o Material e instrumentos de
Desenho, desenvolver algumas qualidades especificas tais como: a limpeza, a
ordem, a atenção, o capricho, a exatidão e, sobretudo, a perseverança. Um
Desenho para ser bem executado, exige uma técnica que vai desde a qualidade do
papel, do lápis, da borracha e dos demais materiais e instrumentos, à sua postura
laboral.
Não podemos, no entanto, nos esquecer que nós, meu caro aluno,
necessitamos tomar consciência de que o aprendizado flui com mais facilidade
quando existe o espírito de equipe. A experiência acadêmica e do mundo do
trabalho nos mostra que a troca de informações se faz necessária entre aqueles que
desenvolvem uma atividade laboral. Nesse contexto, chamamos a atenção para o
desenho, tendo em vista que necessitamos, não apenas, acumular conteúdo
teórico, mas desenvolver a nossa habilidade motora, utilizando corretamente os
instrumentos do desenho para que venhamos a produzir com satisfação e
qualidade.
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Instrumentos do desenho Certamente você dispõe em sua sala de aula uma infra-estrutura básica para
trabalho com pranchetas, réguas “T” e/ou paralelas, uma sala bem iluminada e
arejada ou climatizada. Bem, se a situação real não for à acima descrita, não se
desespere, pois, o nosso desenho poderá ser estudado e desenvolvido em
condições um pouco menos favorável. Comecemos pela prancheta.
Atividade 01
Segundo CRUZ (2006, p. 31), "ao direcionar-se a uma sala de desenho,
deve-se ter cuidado com as sombras ocasionadas pela régua ou mãos do
desenhista...". Diante desse e de outros aspectos que devem ser observados em
uma sala de desenho convencional sobre pranchetas, sugerimos que, com o auxílio
do tutor, você e os seus colegas de sala organizem-se e realizem a seguinte
atividade: relacionem toda a infra-estrutura disponível para você e seus colegas
desenharem em sua sala de aula e faça uma reflexão com seus pares sobre o que
está bom e o que poderia melhorar com ações simples e eficazes, como por
exemplo: verificar se a posição das pranchetas, em relação à iluminação local, está
adequada, confortável e segura para sua visão, durante o desenvolvimento dos
trabalhos.
Certamente, Amigo! Cuidarei dos
meus instrumentos e material de desenho como se fossem meus filhos!
Não se esqueça,
Amiga, Limpeza, em todo o processo de trabalho, é fundamental!
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Para saber mais...
Sugerimos que você leia a dissertação de mestrado intitulada
"Avaliação Pós-ocupação e Apreciação Ergonômica do Ambiente
Construído: um estudo de caso". CRUZ, Helga Rossana Rêgo da
Silva. Universidade Federal de Pernambuco. Programa de Pós-
graduação em Engenharia de Produção, 2006, 186p., através dos
endereços eletrônicos:
http://www.bdtd.ufpe.br/tedeSimplificado//tde_arquivos/26/TDE-2006-
12-04T131731Z-280/Publico/HRRSC.pdf.
http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?sele
ct_action=&co_obra=30637.
Prancheta
A prancheta se constitui em uma mesa para desenho, com
mecanismos que proporcionam mudança na inclinação do tampo e
da sua altura, cujo tampo de madeira encontra-se, normalmente,
revertido com plástico branco, verde ou azul (figuras 01a e 01b).
Encontra-se acompanhada de um banco, cuja altura depende do
tipo da prancheta utilizada e do poder aquisitivo do usuário,
possibilitando maior ou menor conforto ao usuário ou, ainda, maior
ou menor durabilidade (figura 02).
Devemos manter a prancheta e o banco sempre limpos. Toda
atenção deverá ser dada ao tampo da prancheta, tendo em vista
que o mesmo receberá o papel e os demais materiais e
instrumentos do desenho que, se não estiverem em boas condições
de higiene, poderão prejudicar a qualidade final do trabalho
produzido. Para tal limpeza, podemos utilizar um pano levemente
umedecido ou embebido com álcool.
6
FIGURA – 01a
FIGURA – 01b
FIGURA - 02
Régua “T”
Instrumento utilizado em
desenho técnico para o traçado
de linhas retas paralelas, a
régua “T” serve como base
para o traçado de retas que
formam um determinado
ângulo com a horizontal,
empregando o par de
esquadros (veremos este instrumento logo em seguida). Pode ser
fabricada em madeira, com bordas de plástico inquebrável ou
acrílico. Essa régua pode ser fixa ou acoplada a um cabeçote móvel,
com transferidor, permitindo o traçado de retas inclinadas (figura
03). Deverá estar sempre limpa. Tal limpeza poderá ser realizada
com um pano levemente umedecido ou embebido com álcool.
Régua Paralela
Instrumento utilizado em desenho técnico para o traçado de
linhas retas paralelas com precisão. Deslizando horizontalmente
sobre a prancheta, fixada em um sistema mecânico constituído de
cordões em nylon especial e roldanas, serve como base, como a
régua "T", para o traçado de retas que formam um determinado
ângulo com a horizontal, empregando o par de esquadros. É
Figura 03
7
confeccionada em material acrílico cristal, podendo ter proteção de
alumínio anodizado (figuras 04a e 04b). Deverá estar sempre limpa.
Tal limpeza poderá ser realizada com um pano levemente
umedecido ou embebido com álcool.
FIGURA – 04a FIGURA – 04b
Régua Graduada
Instrumento usado para medir e executar traços retos. É
aconselhável o uso de régua transparente, graduada em
centímetros (cm) e milímetros (mm), com 30cm de comprimento
(figura 05).
Recomendamos que seja em acrílico, pois proporciona mais
precisão no traçado de retas e marcação das medidas lineares e
apresenta mais durabilidade. Quando suja, deve ser limpa com
flanela levemente umedecida ou embebida com álcool ou lavada m
água fria.
Figura - 05
8
Par de Esquadros
Como o nome está dizendo, é composto de dois
instrumentos utilizados para traçar retas paralelas, retas
perpendiculares e construção de ângulos, processos que serão
vistos oportunamente. Devemos dar preferência aos esquadros
transparentes e sem graduação, pois a finalidade dos
esquadros não é medir. Ao adquirirmos um par de esquadros,
devemos verificar se eles podem ser dispostos como na figura
06, pois existem esquadros de vários tamanhos. Por possuírem
dimensões médias e, conseqüentemente, mais mobilidade,
recomendamos a aquisição do par de esquadros de número 25
ou 26. Sugerimos, também, que sejam em acrílico, pois
proporcionam mais precisão no traçado de retas e apresentam
mais durabilidade. Quando sujos, devem ser limpos com
flanela levemente umedecida ou embebida com álcool ou
lavados em água fria.
Figura - 06
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Transferidor
É o instrumento que se utiliza para medir e traçar ângulos.
Recomendamos que sejam em acrílico e transparente, pois
proporciona mais precisão na identificação e/ou marcação dos
ângulos e apresenta mais durabilidade. Existem dois modelos: o de
meia volta (1800) (figura 07a) e o de volta inteira (360
0) (figura 07b).
Quando sujos, devem ser limpos com flanela levemente umedecida
ou embebida com álcool ou lavados em água fria.
Figura - 07a Figura – 07b
Escalímetro
O escalímetro é um instrumento bastante utilizado no Desenho
Técnico como um todo, particularmente nos desenhos técnicos
aplicados às engenharias e à
Arquitetura (figura 08). Sua função é facilitar o processo de
produção e de leitura de desenhos técnicos aplicando escalas, as
quais poderão ser de redução, natural ou de ampliação.
Oportunamente utilizaremos o escalímetro que contém as
escalas: 1:100, 1:50, 1:25, 1:20 etc. Normalmente são fabricados
em plástico resistente e indeformável e não devem servir para o
traçado de linhas retas, papel destinado às réguas “Ts”, paralelas,
algumas réguas graduadas e aos esquadros. Quando sujo, deve ser
10
limpo com flanela levemente umedecida ou embebida com álcool ou
lavada em água fria.
Figura - 08
Lápis ou Lapiseira
Utilizados para desenhar ou escrever, você poderá escolher
entre o uso do lápis ou da lapiseira, conforme nos apresentam as
figuras 09 e 10, respectivamente. O lápis deve ter perfil hexagonal,
para melhor manipulação. O lápis ou a lapiseira devem estar seguros
na mão, mas não preso, isto é, devem mover-se com facilidade. Em
muitas situações, o peso do próprio lápis ou lapiseira é suficiente para
darmos um traço leve. Com o lápis ou lapiseira podemos conseguir
diferentes tonalidades através da pressão aplicada aos mesmos.
Tanto o lápis quanto a lapiseira têm na parte interna um material
denominado grafite ou mina de grafite ou, simplesmente, mina. O
lápis deve estar sempre bem apontado com uma lixa em formato
cônico e a mina da lapiseira sempre bem afiada.
FIGURA - 09 FIGURA - 10
11
Atenção!
Caro aluno, por ser mais prática em seu manuseio como um todo,
consideraremos, daqui por diante, a lapiseira como o instrumento padrão para o
traçado de linhas à grafite.
Atividade 02
Pense e responda as seguintes questões:
1) Qual(ais) instrumento(s) é(são) utilizado(s) para traçar retas paralelas,
retas perpendiculares e, inclusive, pode ser utilizado na construção de
ângulos?
2) Se você fosse escolher entre a régua Tê e a régua Paralela, qual você
optaria? Por que?
3) Que instrumento é utilizado para medir e traçar ângulos? Quais são os
tipos disponíveis no mercado?
4) Para que serve um escalímetro?
5) Por que adotaremos a lapiseira como o instrumento padrão para o
traçado de linhas à grafite?
Classificação da Grafite
A mina de grafite apresenta grau de dureza variável e por isso é
classificada de três modos: por números, letras ou números e letras,
a saber:
Por número
N . 1 - grafite macia - de traço forte é usada para destacar
traços e fazer esboços.
N . 2 - grafite média - de traço médio é usada para escrita em
geral e traços pouco relevantes.
N 3 - grafite dura - de traço fraco é usada para traços que não
precisem ser destacados, mas necessitam de muita exatidão.
Por letras
12
Letra B - grafite macia - equivalente à grafite N . 1.
Letra HB e F - grafite média - equivalente à grafite N . 2.
Letra H - grafite dura - equivalente à grafite N . 3.
Por Números e Letras
2B, 3B, .... , 6B - grafites muito macias.
2H, 3H, .... , 9H - grafites muito duras
É importante destacar que nesta classificação os números que
antecedem as letras indicam o aumento ou a diminuição do grau de
dureza da grafite.
Para saber mais...
A grafite foi descoberta na Baviera por volta de 1400, não lhe tendo sido
dado na época o devido valor.
A história do lápis remonta a 1564, quando se descobriu na Inglaterra um
filão de grafite pura. A coroa inglesa mandou então abrir minas para se obter grafite
como material de desenho. Estas minas forneceram grafite a toda a Europa, até se
esgotarem as suas reservas no séc. XIX. O mineral era misturado com gomas,
resinas e colas. Esta mistura era então colocada numa ranhura de um pedaço de
madeira geralmente de cedro e atado com um cordel. À medida que se ia gastando
a grafite, o cordel era desenrolado e repunha-se a mina no extremo.
Em 1761, na Alemanha, Faber criou uma pequena oficina de fabrico de lápis.
Misturava duas partes de grafite com uma de enxofre. Napoleão, no séc. XVIII,
encomendou a Conté a exploração de processos de fabricar lápis para substituir os
importados. Apareceu então uma nova espécie de lápis que consistia na mistura de
terra (argilas), grafite e água, que eram solidificados por cozedura e colocados em
ranhuras de madeira.
Este foi o antecessor do lápis que conhecemos. No passado usaram-se
certos materiais na confecção das minas como ceras, goma-laca, resinas, negro de
fumo, etc. Atualmente algumas das melhores minas fazem-se misturando grafites de
grande qualidade com polímeros especiais.
13
Encontramos no mercado uma enorme variedade de qualidades de grafite.
Envolvida em madeira (lápis), em minas simples de várias espessuras para porta
minas, desde as mais vulgares 0,5mm, 0,7 mm, 1,2 mm, até às mais grossas
apenas envolvidas em plástico para desenhos que exigem um grande depósito de
grafite.
Existem também em muitas durezas, desde extra-duras a extra-macias. As
mais duras permitem traços finos cinzento pálido, as mais macias produzem traços
mais grossos e mais negros, pois depositam mais grafite no papel. Assim, temos
basicamente a seguinte escala de grafites:
dura média macia
8H, 7H, 6H, 5H, 4H, 3H, 2H, H, HB, F, B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, 8B, 9B
Por "H" entende-se "Hard" - uma mina dura.
Por "B" entende-se "Brand" ou "Black" - uma mina macia ou preta.
Por "HB" entende-se "Hard/Brand"- uma mina de dureza média
Associados ao uso da grafite estão sempre os afiadores ou canivetes para
afiar, as borrachas mais ou menos macias e os porta-minas.
A grafite pode ser usada praticamente em todas as superfícies, exceto nas
plastificadas, onde adere mal. Quase todos os tipos de papel - lisos, texturados,
rugosos - são também um suporte adequado. Papéis como o "Ingres" ou "Canson"
são óptimos suportes para trabalhos em valores de cinzento e "degradés". O tipo de
papel que se usa é importantíssimo pois determina a forma como a grafite se vai
comportar. Papéis coloridos são também freqüentemente usados para trabalhos de
desenho a grafite.
Em: http://desmat.no.sapo.pt/mit_grafite.html
Acesso: 16/06/2008.
14
Lapiseira com estilete
Existem vários modelos de lapiseira.
Aconselhamos, no entanto, o uso da
lapiseira com estilete. Estilete é um
pequeno cilindro metálico que reveste a
mina de grafite da lapiseira (figura 11).
O estilete contribui bastante para
melhorar a precisão e qualidade do
traçado de linhas.
FIGURA - 11
Saiba que...
Existem lapiseiras com minas de grafite de vários diâmetros (0,3mm, 0,5mm,
0,9mm etc.).
Precisaremos, apenas, da lapiseira 0,5mm com mina de grafite “B” ou “HB”
para realizarmos os nossos trabalhos. As espessuras e tonalidades das linhas a
serem traçadas dependerão da força aplicada sobre a lapiseira, bem como da
dureza da grafite utilizada. Somente experimentando, na prática, você descobrirá as
minas que melhor se adéquam ao seu estilo. Caso queira, você poderá adquirir
lapiseiras de outros diâmetros para facilitar o seu traçado diferenciado (em
tonalidade e/ou em espessura).
É importante frisar que as Lapiseiras do tipo 0,3mm, 0,5mm e 0,7mm
apresentam minas de grafite finas, que não precisam ser apontadas. No entanto, se
faz necessária a manutenção da uma ponta da mina de grafite com formato cônico,
o qual você obtém esfregando a referida ponta sobre uma folha de papel, formando
um ângulo de aproximadamente 450 com essa folha, ao mesmo tempo em que
rotaciona a lapiseira em torno do seu próprio eixo.
Compasso
Preferencialmente de precisão, o compasso é um instrumento
utilizado para traçar circunferências, arcos de circunferências e
15
transportar medidas lineares, processos que estudaremos
oportunamente (figura 12a). A ponta-seca (de metal) (figura 12b) e a
de grafite (figura 12c) devem estar praticamente no mesmo nível. A
ponta de grafite poderá estar levemente menor que a ponta seca.
Deve ser lixada obliquamente e a parte lixada (chanfro) deve ficar
para o lado de fora do compasso (figuras 12d e 12e).
FIGURA – 12a FIGURA – 12b FIGURA – 12c
FIGURA – 12d FIGURA – 12e
Atenção!
Estimado aluno, utilizaremos a mina de grafite do compasso com a dureza
“B” para realizarmos os nossos trabalhos.
É importante saber que a mina de grafite do compasso precisa ser macia,
tendo em vista que é difícil aplicarmos uma força significativa sobre o compasso
durante o seu uso, de maneira que o traço produzido por uma mina dura seja forte.
Borracha Plástica – Sintética
Utilizada para apagar erros, existem diversas marcas e tipos no
mercado, mas as borrachas sintéticas ou bem macias são mais
16
apropriadas para o nosso uso (figura 13a). Para limpá-las,
devemos esfregá-las num papelão grosso. Nunca devemos lavá-
las. Para erros muito pequenos, podemos usar o lápis-borracha,
que tem uma ponta fina e deve ser apontado como um lápis (figura
13b).
FIGURA – 13a FIGURA – 13b
Papel sulfite formato A4
Podemos trabalhar com blocos, cadernos ou folhas avulsas, de
preferência, papel peso 40. Há, entanto, a folha de papel para
impressão no formato A4 (210mm x 297mm) no comércio em geral,
a qual pode ser, por nós, utilizada perfeitamente.
Fita adesiva tipo gomada – crepe
Pensando na fixação da folha
de papel sobre a mesa de trabalho,
dê preferência a uma fita adesiva
que não deixe resíduo de cola no
papel ou na superfície do tampo da
prancheta depois de retirada (figura
14a). Para que a folha de papel sobre a mesa fique alinhada e bem
apoiada no tampo da prancheta, sua fixação da deverá ocorrer
obedecendo aos seguintes passos:
Coloque a folha de papel embaixo da régua “T” ou paralela;
Nivele a borda inferior da folha de papel, tomando como base
o alinhamento da supracitada régua;
Figura – 14a
17
Comece a fixar a folha de papel com um pequeno pedaço de fita adesiva, cujo primeiro ponto de fixação e os demais devem
obedecer à figura 14b.
Figura – 14b
Fonte: MOURA, 2007 (c).
Adaptação: Borges, Aldan Nóbrega, 2008.
Trincha de 21/2” para limpeza
Os resíduos de gerados com o uso
da borracha devem ser retirados com
uma trincha (figura 15) ou qualquer
artefato dessa natureza para que esse
processo não suje ou manche o seu
trabalho.
Figura - 15
18
Atenção!
Caro aluno, nunca passe a mão sobre o papel, nem tampouco sopre, para
retirar a sujeira produzida pelo ato de apagar alguma linha desenhada, pois você
corre o risco de manchar o seu trabalho.
Lixa – serrinha de unha
Com intuito de fazer e manter a ponta da mina de grafite do
compasso “afiada”, aconselhamos o uso de uma lixa ou,
simplesmente, de uma serrinha de unha, artefato facilmente
encontrado em “toda esquina” (figura 16).
Figura - 16
Álcool e Flanela
Para auxiliar na limpeza e manutenção de alguns instrumentos
do desenho, providencie uma pequena quantidade de álcool
comum. Para complementar, traga junto, uma flanela.
Pasta plástica para a guarda do material
Finalmente, para a guarda e transporte de
todo material e instrumentos do desenho que
iremos trabalhar daqui por diante, pensamos
numa pasta plástica com altura suficiente
para tal função (figura 17). Figura - 17
19
Atividade 03
Pense e responda as seguintes questões:
1) Você utilizaria uma mina de grafite mais mole em sua lapiseira para traçar linhas
mais escuras? Por que?
2) O que é e qual é a importância do estilete em uma lapiseira?
3) Como se denomina o instrumento que é utilizado para traçar circunferências,
arcos de circunferências e transportar medidas lineares?
4) Por que a mina de grafite do compasso precisa ser macia?
5) Como devemos limpar uma borracha plástica?
6) Que preocupação devemos ter ao adquirirmos uma fita adesiva?
7) De posse de todo esse material e instrumentos do desenho, manuseie-os, de tal
forma, que se familiarize com os mesmos, além de preparar a lapiseira e o
compasso para o “doce combate” que estamos a enfrentar. Sugerimos que essa
atividade seja acompanhada pelo tutor e socializada com os demais colegas de
classe, tomando como base as orientações contidas nesta aula, visando o bom
manuseio desse material e instrumentos do desenho convencional.
Estou ansiosa!
Poxa, que legal! Finalmente aprenderemos
como trabalhar com os instrumentos básicos do
desenho.
20
Utilização adequada da régua “T” ou paralela
Para utilizarmos as réguas “T” ou paralela, devemos atentar para o
seguinte:
Verificar o estado de conservação das mesmas;
Verificar se estão bem apoiadas sobre o tampo da prancheta;
Deslizá-las verticalmente sobre o tampo da prancheta, de
modo a não pressioná-las sobre o papel, para não deslocá-lo do
lugar previamente fixado.
Utilização adequada da régua graduada
A régua graduada é um dos instrumentos de desenho mais
conhecido de todos nós. A forma correta de utilizá-la requer apenas
um pouco de atenção. Assim sendo, devemos atentar para o
seguinte:
Verificar o estado de conservação da mesma;
Não traçar linhas retas no lado que contém a marcação das
unidades centímetro e milímetro;
Verificar se a régua está bem apoiada sobre o papel;
Posicionar a régua paralela ao segmento de reta a ser medido;
Procurar medir sempre a partir do número zero da graduação.
Efetuar a medição, conforme exemplo (figura 18).
Figura - 18
1. O segmento de reta AB mede 8,0cm (Lê-se oito vírgula zero centímetros).
2. O segmento de reta AC mede 9,6cm (Lê-se nove centímetros e seis
milímetros ou nove vírgula seis centímetros).
21
Utilização adequada do par de esquadros
O par de esquadros é um dos mais importantes instrumentos de desenho
técnico convencional (sobre prancheta). A forma correta de utilizá-los requer apenas
um pouco de cuidado. Assim sendo, devemos atentar para o seguinte:
Verificar o estado de conservação dos mesmos;
Verificar se os esquadros estão bem apoiados sobre o papel.
Vejamos como traçar retas paralelas e perpendiculares com o par de esquadros.
Observe na figura 19 as medidas dos ângulos internos dos dois esquadros e como
eles se denominam.
Figura – 19
Fonte: MOURA, 2007 (c).
Adaptação: Borges, Aldan Nóbrega, 2008.
Atenção!
Para o traçado de retas paralelas e/ou perpendiculares, mantenha um dos
esquadros fixo sobre o papel, segurando-o com uma das mãos e movimente o outro
esquadro para realizar a tarefa desejada.
22
Vejamos como traçar retas paralelas com o par de esquadros (figura 20).
Fonte: MOURA, 2007 (c).
Adaptação: Borges, Aldan Nóbrega, 2008.
FIGURA – 20
23
Veja abaixo na figura 21b como traçar retas perpendiculares com o par de
esquadros:
Fonte: MOURA, 2007 (c).
Adaptação: Borges, Aldan Nóbrega, 2008.
FIGURA – 21b
24
Utilização adequada da lapiseira
De acordo com o anteriormente explicitado, precisaremos,
apenas, da lapiseira 0,5mm com mina de grafite “B” ou “HB” para
realizarmos os nossos trabalhos. A forma correta de utilizá-la requer
apenas um pouco de cuidado. Assim sendo, devemos atentar para o
seguinte:
Verificar o estado de conservação da mesma;
Verificar a lapiseira se encontra bem apoiada em suas mãos.
Traçar as linhas retas de acordo com as figuras 22a, 22b e
22c, ou seja, inclinar a lapiseira para o lado em que se está
realizando o traço.
Atenção: evitar traçar as linhas retas de acordo com as figuras
23a e 23b.
Atenção! Evitar...
FIGURA – 22a FIGURA – 22b FIGURA – 22c
FIGURA – 23a FIGURA – 23b
25
Utilização adequada do transferidor
O Transferidor é mais um instrumento de desenho técnico
convencional (sobre prancheta). A forma correta de utilizá-lo requer
atenção. Assim sendo, devemos observar o seguinte:
Verificar o estado de conservação do mesmo;
O transferidor pode ser de meia volta ou volta inteira, como já
vimos anteriormente. É composto pelos seguintes elementos (figura
24a):
1. Graduação ou limbo: correspondem à circunferência ou semicircunferência externa, dividida em 180 ou 360 graus, respectivamente.
2. Linha de fé: segmento de reta que corresponde ao diâmetro do transferidor, passando pelas graduações de 0
0 e 180
0.
3. Centro: corresponde ao ponto médio da linha de fé.
Efetuar a medição ou marcação de um ângulo, conforme a
figura 24b.
Fonte: MOURA, 2007.
Adaptação: Borges, Aldan Nóbrega, 2008.
FIGURA – 24a
26
Fonte: MOURA, 2007.
Adaptação: Borges, Aldan Nóbrega, 2008.
FIGURA – 24b
Utilização adequada do compasso
Por fim, vamos ver a maneira correta de se traçar
circunferências e arcos de circunferências utilizando corretamente o
compasso, instrumento importantíssimo para desenvolvermos o
nosso trabalho. A forma correta de utilizá-lo requer treinamento e um
pouco de cuidado. Assim sendo, devemos atentar para o seguinte:
Verificar o estado de conservação do mesmo;
Verificar se a ponta seca está em bom estado e pontiaguda;
Verificar se a ponta de grafite está devidamente chanfrada e
imediatamente inferior à ponta seca;
Verificar o modo de se manipular o compasso:
1. Repousar a ponta seca do compasso sobre o ponto central da circunferência ou do arco de circunferência a ser traçado;
2. Não pressionar o compasso sobre o papel;
3. Traçar as linhas curvas de acordo com as figuras 25a e 25bc, ou seja, inclinar o compasso apenas para o lado em que se está realizando o traço;
4. Atenção: evitar traçar as linhas curvas de acordo com a figura 26.
27
FIGURA – 25a FIGURA – 25b
Atenção! Evitar...
Figura - 26
28
Atividade 04
Pense e responda as seguintes questões:
1) Cite um dos aspectos que devemos atentar para que venhamos a utilizar a régua
"T" ou paralela adequadamente.
2) Cite dois aspectos que devemos atentar para que venhamos a utilizar o par de
esquadros adequadamente.
3) Relaciones os passos que devemos seguir para que utilizemos a lapiseira de
modo adequado.
4) O que devemos evitar fazer quando utilizamos o compasso?
Atividade 05
Aproveite este momento para exercitar um pouco. Reúna um grupo de
colegas e convide-os para compartilhar com você a realização da seguinte tarefa:
fixe o papel sobre a prancheta com a fita adesiva, conforme orientação anterior, e
faça o seguinte:
1) Trace linhas retas utilizando a régua “T” ou paralela.
2) Marque pontos sobre essas linhas retas e, com a régua graduada,
marque segmentos de reta diversos (por exemplo: 2,0cm, 4,5cm, 10,2cm
etc.).
3) Trace linhas retas paralelas e perpendiculares entre si utilizando o par
de esquadros.
4) Construa ângulos quaisquer e faça suas medições utilizando o
transferidor.
5) Construa ângulos específicos utilizando o transferidor (por exemplo:
300, 450; 900; 2700; 45,50 etc.).
6) Marque pontos (A, B, C etc.) sobre o papel e escolha diversas
aberturas do compasso (por exemplo: 3,0cm, 3,5cm, 5,1cm etc.) e trace
circunferências utilizando adequadamente o compasso.
29
Resumo
A presente aula nos permitiu conhecer os instrumentos e matérias do
desenho que vamos utilizar durante nossa disciplina. Aprendemos a manusear e
cuidar adequadamente desse ferramental de importância primaz para o bom
desempenho das atividades vindouras. Por fim, aprendemos a traçar entidades
geométricas básicas (retas, circunferências, ângulos etc.) com precisão.
Auto-avaliação
Objetivando resgatar o conteúdo por nós estudado na presente aula,
preparamos um breve exercício, no qual você deve ler atentamente as proposições
expostas a seguir, de modo a executá-las com a tenção e esmero.
1) Sem recorrer a qualquer tipo de anotação, relacione todos os materiais
e instrumentos de desenho que você utilizará neste curso.
2) Descreva a importância de cada um desses materiais e instrumentos
de desenho.
3) Relacione os cuidados que você deverá ter para manter
adequadamente os respectivos materiais e instrumentos de desenho em
perfeita condição de uso.
4) Descreva os passos que você deverá seguir de maneira que o uso de
cada material e instrumento de desenho seja correto.
Bom trabalho e até o próximo encontro...
30
Referências
CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: ed. Ao Livro
Técnico,3ª edição,1993.
INED - Instituto Nacional de Ensino a Distância. Curso de Formação de Técnicos em
Transações Imobiliárias - TTI. Técnico em Transações Imobiliárias. Noções de
Desenho Arquitetônico e Construção Civil - Módulo 06. Gráfica e Editora Equipe
LTDA. Brasília, 2005. Disponível em www.ineddf.com.br.
MOURA, Chateaubriand Vieira (a). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico.
Curso Técnico Integrado de Informática. Centro de Educação Tecnológica de
Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1a. 2007, 59p.
MOURA, Chateaubriand Vieira (b). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico,
Técnico e Arquitetônico. Curso Técnico em Construção Civil - Modular. Centro
de Educação Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 15a. 2007, 139p.
MOURA, Chateaubriand Vieira (c). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico e
Técnico. Curso Técnico Integrado em Construção Civil. Centro de Educação
Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1a. 2007, 148p.
PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico. São Paulo: ed. Moderna,
vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991.
PUTNOKI, José Carlos. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São
Paulo: ed. Scipione, vol. I e 2 , 1ª edição, 1989.
REIS, Jorge Henrique de Jesus. Apostila: Desenho Geométrico. Universidade do
Estado do Pará-UEPA. Pará, 2007.
1
2
Você verá por aqui...
Prezado aluno, seja bem vindo! É com grande satisfação que estamos de volta ao mundo
maravilhoso do desenho, em particular, ao do Desenho Geométrico, capítulo importante do Desenho
Técnico, objeto desta disciplina. Como você já sabe conceituar Geometria e conheceu seus
elementos fundamentais; sabe a finalidade do Desenho Geométrico e estudou suas principais
entidades geométricas; e aprendeu a manusear os materiais e instrumentos do desenho técnico,
daremos início à construção geométrica propriamente dita, estreando essa nova etapa da nossa
espetacular jornada de trabalho, estudando as operações básicas com segmentos e ângulos.
Objetivo
Aprender a transportar, somar e subtrair segmentos de reta.
Aprender a multiplicar um segmento de reta por um escalar.
Aprender a determinar geometricamente a reta Mediatriz e o Ponto Médio
de um segmento de reta.
Aprender a dividir um segmento de reta em dois segmentos
congruentes.
Aprender a transportar, somar e subtrair ângulos.
Aprender a multiplicar um ângulo por um escalar.
3
Atenção!
Objetivando obedecer ao conceito e finalidades do Desenho Geométrico,
ressaltamos que, daqui por diante, utilizaremos apenas a régua e o compasso como
instrumentos básicos de desenho para a resolução dos problemas geométricos
propostos. Assim sendo, o traçado, a construção e as operações gráficas deverão
dispensar o uso do par de esquadros durante todo nosso estudo que envolve
diretamente o Desenho Geométrico.
Para começo de conversa... É perfeitamente compreensível que você esteja ansioso para começar a
utilizar os instrumentos e materiais de desenho nas construções geométricas.
Sabemos que o ato desenhar é uma ação extremamente prática; requer que
tenhamos vários atributos, dentre eles, uma boa coordenação motora. No entanto,
temos a certeza de que é imprescindível que tenhamos uma base teórica do
assunto a ser trabalhado, aliás, esta é uma regra geral em todo conhecimento:
teoria e prática devem andar sempre lado a lado, razão pela qual insistimos em
estudar os conceitos fundamentais da Geometria e do Desenho Geométrico nas
aulas anteriores. Chegou a hora, portanto, de aplicarmos esses conhecimentos
teóricos, anteriormente adquiridos, no desenvolvimento das construções
geométricas vindouras. Para tal, iniciaremos com as operações básicas com
segmentos e ângulos.
4
Transporte de segmentos Transportar um segmento de reta significa traçar, sobre uma reta suporte,
outro segmento que seja congruente ao primeiro. Operação esta bastante simples,
em que o compasso é o instrumento extremamente útil no cumprimento dessa
tarefa.
Aplicação 1
Dado o segmento de reta AB, transportá-lo para uma reta suporte r:
Operação gráfica
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suporte r;
Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto A sobre a reta r;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre A e
sua ponta de grafite sobre B em AB dado;
Conservando a abertura do compasso obtida na operação anterior,
centre-o em A e trace um arco, de tal maneira que cruze a reta r.
Desse modo, obtemos o novo segmento de reta AB, sobre a reta
suporte r, cuja medida linear é exatamente a mesma do segmento
AB dado graficamente.
Agora, vamos deixar de conversa e mãos a
obra...
5
Figura(s) demonstrativa(s)
Aplicação 2
Dada reta r, trace o segmento de reta AB, cuja medida é igual a
4,1cm.
Operação gráfica
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suporte r;
Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto A sobre a reta r;
Com o auxílio do compasso e da régua, coloque sua ponta seca
na graduação 0 (zero) da régua e a de grafite sobre a graduação
4,1cm;
Conservando a abertura do compasso obtida na operação
anterior, centre-o em A e trace um arco, de tal maneira que cruze a
reta r.
Desse modo, obtemos o novo segmento de reta AB, sobre a reta
suporte r, cuja medida linear é exatamente 4,1cm.
Observe que...
A(s) solução(ões) gráfica(s) deve(m) ser sempre destacada(s) com um traço mais
forte (espesso).
AB = 4,1cm
6
Atividade 01
Exercícios: pense e responda às questões abaixo:
1. Qual é o significado da palavra medir?
2. Quais são as unidades de medidas (linear e angular) que utilizamos
freqüentemente no estudo do Desenho Geométrico?
3. O que significa med (GH) = 5,3cm?
4. Quando dizemos que um segmento de reta é congruente a um outro
segmento de reta?
5. O que é transporte de segmentos de reta?
6. Quais são os instrumentos fundamentais para a resolução gráfica em
Desenho Geométrico
Soma e diferença entre segmentos de reta Com base nos conhecimentos adquiridos no transporte de segmentos,
podemos afirmar que somar (ou subtrair) dois ou mais segmentos de reta significa
transportá-los consecutivamente sobre uma reta suporte, respeitando-se o
acréscimo ou o decréscimo linear que essa operação proporciona, conforme
estejamos operando uma soma ou uma subtração, respectivamente. Operação esta
bastante simples, em que o compasso é o instrumento extremamente útil no
cumprimento dessa tarefa. Dessa maneira, recorremos a exemplos práticos para
compreendermos melhor a afirmação supracitada.
Aplicação
Dados os segmentos AB e CD, faça o que se pede a seguir:
Aplicação – Soma
Sobre uma reta suporte s, determine a soma AB + CD.
7
Operação gráfica
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suportes s;
Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto 1 sobre a reta s;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre A e
sua ponta de grafite sobre B, em AB dado;
Conservando a abertura do compasso obtida na operação
anterior, centre-o em 1 e trace um arco, de tal maneira que cruze a
reta s, obtendo-se 2.
Repita a operação anterior, marcando consecutivamente a 12 e a
partir do ponto 2, o segmento de reta CD, conforme figura abaixo.
Desse modo, obtemos o novo segmento de reta 13, sobre a reta
suporte s, cuja medida linear corresponde graficamente a soma
solicitada.
Figura(s) demonstrativa(s)
Aplicação – Diferença
Sobre uma reta suporte u, determine a diferença AB - CD.
8
Operação gráfica
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suportes u;
Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto 1 sobre a reta u;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre A e
sua ponta de grafite sobre B, em AB dado;
Conservando a abertura do compasso obtida na operação anterior,
centre-o em 1 e trace um arco, de tal maneira que cruze a reta s,
obtendo-se 2.
Repita a operação anterior, marcando consecutivamente a 12 e a
partir do ponto 2, o segmento de reta CD, observando que, como se
trata de uma subtração, o segmento de reta CD deve ser marcado
da direita para a esquerda, conforme figura abaixo.
Desse modo, obtemos o novo segmento de reta 13, sobre a reta
suporte u, cuja medida linear corresponde graficamente a diferença
solicitada.
Figura(s) demonstrativa(s)
9
Atividade 02
Exercícios: pense e responda às questões abaixo:
1. O que significa somar (ou subtrair) dois ou mais segmentos de reta?
2. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da soma s1
+ s2, sabendo que s1 = 2,8cm e s2 = 5,1cm?
3. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da diferença
s2 - s1, sabendo que s1 = 2,8cm e s2 = 5,1cm?
4. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da diferença
s1 – s2), sabendo que s1 = 2,8cm e s2 = 5,1cm?
5. Compare os resultados obtidos nas questões 3 e 4, acima.
Multiplicação de um segmento de reta por
um escalar (um número) A multiplicação de um segmento de reta por um número, nada mais é do que
a soma consecutiva desse segmento por ele mesmo, quantas vezes sejam
necessárias, de modo a atender ao número de vezes desejado. Operação esta
bastante simples, em que o compasso é o instrumento extremamente útil no
cumprimento dessa tarefa. Vamos, então, recorrer a exemplos práticos para
compreendermos melhor a afirmação acima descrita.
Aplicação
Dado o segmento de reta AB, trace o segmento de reta de
medida igual a 3 x AB:
Operação gráfica
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta suporte s
qualquer;
Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto 1 sobre a reta s;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre A e
sua ponta de grafite sobre B, em AB dado;
10
Conservando a abertura do compasso obtida na operação
anterior, centre-o em 1 e trace um arco, de tal maneira que cruze a
reta s, obtendo-se 2.
Repita a operação anterior por duas vezes, marcando
consecutivamente a 12 e a partir do ponto 2, o segmento de reta
AB, conforme figura abaixo.
Desse modo, obtemos o novo segmento de reta 14, sobre a reta
suporte s, cuja medida linear corresponde graficamente a
multiplicação solicitada.
Figura(s) demonstrativa(s)
Atividade 03
Exercícios: pense e responda às questões abaixo:
1. O que significa a multiplicação de um segmento de reta por um
escalar?
2. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da seguinte
operação: 2 x s1, sabendo que s1 = 2,6cm?
3. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da seguinte
operação: 3 x s1, sabendo que s1 = 2,6cm?
4. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da seguinte
operação: (3 x s1) – (2 x s2), sabendo que s1 = 2,6cm e s2 = 1,8cm?
11
Atividade 04
Exercícios práticos: sabendo-se que o segmento de reta ED mede 7,4cm e o
segmento de reta FG mede 3,6cm, determine graficamente o seguinte:
1. ED + FG;
2. ED – FG;
3. (2 x ED) – (3 X FG).
Determinação ou Construção da reta
Mediatriz De acordo com o que estudamos na primeira aula da nossa disciplina
Desenho Técnico, onde abordamos os conceitos fundamentais da Geometria e do
Desenho Geométrico, expressamos que Mediatriz de um segmento de reta é a reta
perpendicular ao segmento e que passa pelo ponto médio desse segmento,
dividindo-o, conseqüentemente, em dois segmentos consecutivos e congruentes.
Utilizando-se, sobretudo, do compasso, vamos, então, recorrer a exemplos práticos
para compreendermos melhor a afirmação acima descrita.
Aplicação
Determinar a Mediatriz do segmento de reta AB, dado:
Operação gráfica
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre A e,
com uma abertura qualquer do compasso, trace uma circunferência
cujo raio seja maior do que a metade do segmento dado;
Conservando a abertura do compasso obtida na operação
anterior, centre-o em B e repita a operação anterior, observando que
as circunferências se cruzam formando dois pontos: 1 e 2.
Os pontos 1 e 2, obtidos anteriormente, determinarão a reta
Mediatriz desejada, tendo em vista que ambos, 1 e 2, se posicionam
no plano de trabalho (folha) de modo que ficam eqüidistantes dos
extremos do segmento de reta AB dado.
Passando por 1 e 2, trace a reta Mediatriz (m) solicitada.
12
Figura(s) demonstrativa(s)
Observe que...
A reta Mediatriz (m) determina, ao cruzar com o segmento de reta AB dado,
o Ponto Médio (M) desse segmento e o divide em dois segmentos
congruentes (AM e MB).
Para saber mais...
A Mediatriz de um dado segmento de reta AB é o Lugar Geométrico dos
pontos eqüidistantes dos extremos desse segmento, ou seja, dos pontos A e B.
Lugar Geométrico, por sua vez, é o lugar onde todos os pontos de uma figura, e
somente eles, gozam de certas propriedades.
13
Atividade 05
Exercícios: pense e responda às questões abaixo:
1. O que é mediatriz?
2. O que é Lugar Geométrico?
3. Por que uma mediatriz pode ser considerada como um Lugar
Geométrico?
4. Dê um exemplo prático em que a mediatriz serviria como uma
ferramenta de grande valor.
Atividade 06
Exercícios práticos: sabendo-se que o segmento de reta JK mede 10,7cm,
determine graficamente o seguinte:
1. O Ponto Médio desse segmento de reta;
2. Divida o segmento de reta JK em dois segmentos consecutivos e
congruentes entre si.
Transporte de ângulos Noticiamos na primeira aula da nossa disciplina Desenho Técnico, onde
abordamos os conceitos fundamentais da Geometria e do Desenho Geométrico,
que ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma
origem. Um ângulo pode ser medido e, conseqüentemente, pode ser somado a
outro ângulo ou subtraído de outro ângulo, além de poder ser multiplicado por um
escalar (um número). Vejamos, então, exemplos práticos para compreendermos
melhor a afirmação acima mencionada.
14
Aplicação
Transporte o ângulo AÔB dado para a semi-reta de origem G, dada:
Operação gráfica e figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre O e,
com uma abertura qualquer, trace um arco de circunferência maior
que a abertura do ângulo dado, conforme a figura abaixo.
Com essa operação, encontramos os pontos 1 e 2, os quais
determinam, graficamente, uma corda do arco de circunferência
traçado. Observando atentamente, percebemos que a corda 12
corresponde à abertura do ângulo dado;
Com o auxílio do compasso, trace outro arco de mesmo raio,
tomando G como ponto de origem e, logo em seguida, transporte a
corda 12 para o ponto 3, encontrando, assim, o ponto 4.
15
Trace uma semi-reta de origem G, passando pelo ponto 4 e
destaque a solução do problema com um traço mais forte e com a
indicação do ângulo transportado, conforme podemos observar
abaixo:
O ângulo 4Ô3 é a solução do problema, tendo em vista que é
congruente ao ângulo AÔB.
Soma e diferença entre ângulos
Da mesma forma que podemos somar ou subtrair segmentos
de reta, as operações aritméticas em pauta se aplicam aos ângulos.
Todo o procedimento resolutivo e soluções ocorrem de forma
completamente gráfica, atendendo à finalidade do Desenho
Geométrico.
16
As aplicações práticas que se seguem contribuirão para
elucidar melhor essas afirmações.
Aplicação
Dados os ângulos AÔB e CÔD, faça o que se pede a seguir:
Aplicação – Soma
Determine o ângulo resultante da soma AÔB + CÔD.
Operação gráfica e figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, transporte o ângulo AÔB para a
semi-reta de origem Z;
Consecutivamente, transporte o ângulo CÔD, adjacente ao
ângulo AÔB, conforme podemos ver na figura abaixo.
O ângulo 2Z3 é, portanto, a solução do problema.
17
Aplicação – Diferença
Determine o ângulo resultante da diferença AÔB - CÔD.
Operação gráfica e figura(s) demonstrativa(s)
Igualmente a soma, transporte, com o auxílio do compasso, o ângulo AÔB para a semi-reta de origem Z;
Consecutivamente, transporte o ângulo CÔD, adjacente ao
ângulo AÔB, conforme podemos ver na figura abaixo. Observe que
a marcação do ângulo CÔD ocorre no sentido horário, tendo em
vista que queremos obter um ângulo resultante da subtração de
ângulos.
O ângulo 2Z3 é, portanto, a solução do problema.
Atividade 07
Desafio: tomando como base as operações com segmentos e ângulos
realizadas até o presente momento, elabore e resolva um exercício de maneira que
se obtenha um ângulo resultante da multiplicação de um ângulo qualquer dado por
um escalar.
18
Resumo
A presente aula nos deu oportunidade de aprendermos a transportar, somar
e subtrair segmentos de reta, além de trabalharmos a multiplicação de um segmento
de reta por um escalar. Outro tema estudado e de extrema importância, foi a
determinação geométrica da reta Mediatriz e do Ponto Médio de um segmento de
reta. Quanto aos ângulos, aprendemos a transportá-los, a somar ou subtrair ângulos
entre si e, por fim, aprendemos a multiplicar um ângulo por um escalar,este, por sua
vez, trabalhado em forma de desafio.
Auto-avaliação Objetivando avaliar o grau de assimilação do conteúdo por nós estudado na
presente aula, preparamos um breve exercício, no qual você deve ler atentamente
as proposições, de modo a executá-las com atenção e esmero.
1. Sem recorrer a qualquer tipo de anotação, faça uma síntese do conteúdo
visto nesta aula e destaque o assunto que você mais gostou.
2. Por que utilizaremos, daqui por diante, apenas a régua e o compasso como
instrumentos básicos de desenho para a resolução dos problemas
geométricos propostos?
3. Podemos somar dois ou mais segmentos de reta? Por que?
4. Podemos subtrair um ou mais segmentos de reta de um segmento dado? Por
que?
5. Podemos multiplicar um segmento de reta por um número? Por que?
6. Podemos dividir um segmento de reta em dois segmentos congruentes e
adjacentes? Como?
7. Podemos somar dois ou mais ângulos? Por que?
8. Podemos subtrair um ou mais ângulos de um ângulo dado? Como?
Bom trabalho e até o nosso próximo encontro...
19
Referências
CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: ed. Ao Livro
Técnico,3ª edição,1993.
INED - Instituto Nacional de Ensino a Distância. Curso de Formação de Técnicos em
Transações Imobiliárias - TTI. Técnico em Transações Imobiliárias. Noções de
Desenho Arquitetônico e Construção Civil - Módulo 06. Gráfica e Editora Equipe
LTDA. Brasília, 2005. Disponível em www.ineddf.com.br.
LOPES, Elizabeth Teixeira e KANEGAE, Cecília Fujiko. Desenho Geométrico. São
Paulo: ed. Scipione, vol. I, 7ª edição, 1991.
MOURA, Chateaubriand Vieira (a). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico.
Curso Técnico Integrado de Informática. Centro de Educação Tecnológica de
Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1a. 2007, 59p.
MOURA, Chateaubriand Vieira (b). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico,
Técnico e Arquitetônico. Curso Técnico em Construção Civil - Modular. Centro
de Educação Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 15a. 2007, 139p.
MOURA, Chateaubriand Vieira (c). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico e
Técnico. Curso Técnico Integrado em Construção Civil. Centro de Educação
Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1a. 2007, 148p.
PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico. São Paulo: ed. Moderna,
vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991.
PUTNOKI, José Carlos. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São
Paulo: ed. Scipione, vol. I e 2 , 1ª edição, 1989.
REIS, Jorge Henrique de Jesus. Apostila: Desenho Geométrico. Universidade do
Estado do Pará-UEPA. Pará, 2007.
1
2
Você verá por aqui...
Prezado aluno, seja bem vindo! É com grande satisfação que estamos de volta ao mundo
maravilhoso do Desenho Geométrico. Iniciamos na aula passada a construção geométrica
propriamente dita, estreando essa nova etapa da nossa espetacular jornada de trabalho estudando as
operações básicas com segmentos e ângulos. Dando continuidade às construções geométricas,
trabalharemos, na presente aula, o tema denominado de Construções Fundamentais. Trata-se de
aplicarmos os conhecimentos até aqui adquiridos no traçado de bissetrizes; na divisão de ângulos em
dois ângulos congruentes; na construção de ângulos exatos com auxílio do compasso; no traçado de
retas perpendiculares e paralelas entre si; na divisão de segmentos em partes iguais; e, na divisão de
segmentos em partes proporcionais a segmentos dados.
Objetivo
Aprender a traçar bissetrizes de ângulos.
Aprender a dividir ângulos em dois ângulos congruentes.
Aprender a construir ângulos exatos com auxílio do compasso.
Aprender a traçar retas perpendiculares e paralelas entre si.
Aprender a dividir segmentos de reta em partes iguais e em partes
proporcionais a segmentos dados.
3
Atenção!
É bom lembrar que devemos obedecer ao conceito e finalidades do Desenho
Geométrico. Assim sendo, utilizaremos apenas a régua e o compasso como
instrumentos básicos de desenho para a resolução dos problemas geométricos
propostos. Desse modo, o traçado, a construção e as operações gráficas deverão
dispensar o uso do par de esquadros durante todo nosso estudo que envolve
diretamente o Desenho Geométrico.
Como podemos construir um ângulo
exato utilizando apenas o compasso,
Amiga?
Calma, logo veremos como é bastante fácil de fazer!
4
Construções fundamentais
Traçados de bissetriz
Como vimos em aulas anteriores, bissetriz é uma semi-reta que
nasce na origem de um dado ângulo e o divide em dois ângulos
adjacentes e congruentes entre si. Veremos agora a sua construção
e aplicação na resolução de problemas gráficos envolvendo
ângulos.
Aplicação 1
Dado o ângulo beta, conforme a figura 01, traçar a sua
bissetriz:
FIGURA 01
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
a origem O e, com qualquer abertura, trace um arco, de modo
que este cruze os lados de beta, determinando os pontos 1 e
2;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
1 e, com qualquer abertura, trace um arco, em busca de um
ponto eqüidistante de 1 e 2;
5
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
2 e, com a mesma abertura do compasso utilizada no passo
anterior, trace um arco que cruze o arco determinado
anteriormente, encontrando o ponto 3;
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a semi-reta
que tem origem em O e passa por 3. Esta, portanto, é a
solução do problema.
Observe que...
A(s) solução(ões) gráfica(s) deve(m) ser sempre destacada(s) com um traço
mais forte (espesso).
Aplicação 2
Dividir o ângulo Alfa dado em duas partes iguais (figura 02).
FIGURA 02
6
Observe que...
Esta aplicação tem uma grande semelhança com a aplicação anterior. Trata-
se, pois, de um mesmo assunto, cuja diferenciação acontece da seguinte forma:
a bissetriz traçada na aplicação 1 é a solução do problema. Na aplicação 2, a
bissetriz é uma ferramenta, a qual é utilizada para dividirmos um ângulo em duas
partes iguais.
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
a origem O e, com qualquer abertura, trace um arco, de modo
que este cruze os lados de beta, determinando os pontos 1 e
2;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
1 e, com qualquer abertura, trace um arco, em busca de um
ponto eqüidistante de 1 e 2;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
2 e, com a mesma abertura do compasso utilizada no passo
anterior, trace um arco que cruze o arco determinado
anteriormente, encontrando o ponto 3;
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a semi-reta que
tem origem em O e passa por 3. Esta é bissetriz que dividirá
esse ângulo em dois ângulos congruentes e adjacentes,
conforme destacado na última figura demonstrativa.
7
Aplicação 3
Traçar a bissetriz de um ângulo formado por duas retas não
paralelas entre si, cujo encontro dessas retas (vértice do
ângulo) é desconhecido (figura 03).
FIGURA 03
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace duas retas
transversais quaisquer às retas dadas, determinando, assim,
os pontos 1, 2, 3 e 4.
Utilizando-se da mediatriz como ferramenta, determine os
pontos médios (Pm1 e Pm2) dos segmentos de reta 12 e 34,
respectivamente;
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta que passa
por Pm1 e Pm2, a qual será a solução do problema, conforme
pode ser observado na última figura demonstrativa.
8
Atividade 01
Pense e responda às questões abaixo:
1. Quais são os instrumentos fundamentais para a resolução gráfica em
Desenho Geométrico?
2. O que significa transportar ângulos?
3. Quando podemos afirmar que um ângulo é congruente a outro ângulo?
4. Quando podemos afirmar que um ângulo é adjacente a outro ângulo?
5. O que é bissetriz de um ângulo?
Construção de ângulos
No início da presente aula nos propomos a aprender a
construir ângulos exatos utilizando-se do compasso como
instrumento básico do desenho. Portanto, daremos início
construindo o ângulo de 600, tendo em vista que este é um ângulo
básico para o traçado dos demais ângulos que serão construídos
adiante.
Aplicação 1
Construir um ângulo de 60º a partir da origem da semi-reta OA
dada (figura 04). Aproveitando a construção do ângulo de 60º,
construir o ângulo de 30º:
FIGURA 04
9
Observe que...
O comprimento de uma circunferência é calculado por C = π.d, onde π é
uma constante e d é o diâmetro da circunferência. Ademais, a circunferência
equivale a C = 3600.
O domínio da definição do conceito e da construção de uma Bissetriz de um
ângulo é de fundamental importância para resolução deste problema.
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
a origem O da semi-reta dada e, com qualquer abertura, trace
um arco bastante generoso (ângulo obtuso), determinando o
ponto 1 nessa semi-reta;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
o ponto 1 e, com a mesma abertura, trace um arco em busca
de encontrar o ponto 2. Observe que o segmento de reta 12 é
congruente ao raio do primeiro arco traçado, significando que o
ângulo 2Ô1 mede 600, pois o triângulo 2O1 é eqüilátero;
Traçando a bissetriz do ângulo de 600, iremos obter o ângulo
de 300, conforme pode ser observado na última figura
demonstrativa abaixo.
10
Observe que...
Um Triângulo Eqüilátero possui os três lados congruentes entre si e os três
ângulos internos também congruentes entre si. Temos, como conseqüência, que
cada um desses ângulos mede 600, tendo em vista que a soma dos ângulos
internos de um triângulo é igual a 1800 (figura 05).
FIGURA 05
Aplicação 2
Construir um ângulo de 90º e outro de 75º a partir da origem
da semi-reta OA dada (figura 06):
FIGURA 06
Observe que...
75º = 60º + 15º = 90º - 15º.
11
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
a origem O da semi-reta dada e, com qualquer abertura, trace
um arco bastante generoso (ângulo obtuso), determinando o
ponto 1 nessa semi-reta;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
o ponto 1 e, com a mesma abertura, trace um arco em busca
de encontrar o ponto 2. Observe que o segmento de reta 12 é
congruente ao raio do primeiro arco traçado, significando que o
ângulo 2Ô1 mede 600, conforme foi visto anteriormente;
Da mesma forma e com o auxílio do compasso, repouse sua
ponta seca sobre o ponto 2 e, com a mesma abertura, trace
um arco em busca de encontrar o ponto 3. Observe que o
ângulo 3Ô1 mede 1200;
Utilizando-se do mesmo recurso, repouse a ponta seca do
compasso sobre o ponto 2 e, com a mesma abertura
anteriormente utilizada, trace um arco em busca do ponto 4.
Este ponto será determinado no momento em que traçarmos
um outro arco de mesmo raio a partir do ponto 3. Observe que
o ponto 4 eqüidista dos pontos 2 e 3. Desse modo, o ângulo
4Ô1 mede 900, como pode ser observado na penúltima figura
demonstrativa;
Traçando a bissetriz do ângulo 5Ô2, o qual mede 300, a
partir da determinação do ponto 6 que eqüidista de 5 e 2,
iremos obter o ângulo de 750, pois, conforme pode ser
observado na última figura demonstrativa abaixo, 750 = 60
0 +
150 = 90
0 - 15
0.
Atividade 02
Com base nas aplicações anteriores, trace semi-retas e, a partir de cada
origem dessas semi-retas, construa os ângulos de 45º, 105º, 120º, 135º, 150º e
165º, respectivamente.
12
Traçado de retas perpendiculares e paralelas entre si
Traçado de retas perpendiculares entre si
Aplicação 1
Por um ponto A, dado, traçar uma reta perpendicular à reta r
dada. Neste caso, o ponto A pertence à reta r (figura 07).
Observe que...
O domínio da definição do conceito e construção de Mediatriz é de
fundamental importância para resolução deste problema.
FIGURA 07
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
o ponto A dado e, com qualquer abertura, trace dois arcos de
modo que os mesmos cruzem a reta r dada, determinando os
pontos 1 e 2, eqüidistantes de A;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
o ponto 1 e, com abertura qualquer – desde que seja maior
que a metade do segmento 12 -, trace um arco em busca de
encontrar o ponto 3. Repita essa operação a partir do ponto 2,
utilizando-se da mesma abertura anterior do compasso;
Por fim, trace a reta determinada pelos pontos 3 e A, a qual
é a solução do problema, como pode ser vista na última figura
demonstrativa. Observe que a reta solução é a mediatriz do
segmento de reta 12.
13
Aplicação 2
Por um ponto A, dado, traçar uma reta perpendicular à reta r
dada. Neste caso, o ponto A não pertence à reta r (figura 08).
Observe que...
O domínio da definição do conceito e construção de Mediatriz é de
fundamental importância para resolução deste problema.
FIGURA 08
14
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
o ponto A dado e, com uma abertura maior do que a distância
de A à r, trace um arco de modo que cruze a reta r e determine
os pontos 1 e 2, eqüidistantes de A.
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
o ponto 1 e, com abertura qualquer – desde que seja maior
que a metade do segmento 12 -, trace um arco em busca de
encontrar o ponto 3. Repita essa operação a partir do ponto 2,
utilizando-se da mesma abertura anterior do compasso;
Por fim, trace a reta determinada pelos pontos 3 e A, a qual
é a solução do problema, como pode ser vista na última figura
demonstrativa. Observe que a reta solução é a mediatriz do
segmento de reta 12.
Aplicação 3
Traçar, a partir da origem da semi-reta OA dada, uma reta
perpendicular (figura 09). Neste caso, a reta perpendicular a
15
ser traçada deve ser levantada a partir da construção do
ângulo de 90º:
FIGURA 09
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
a origem O da semi-reta dada e, com qualquer abertura, trace
um arco bastante generoso (ângulo obtuso), determinando o
ponto 1 nessa semi-reta;
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
o ponto 1 e, com a mesma abertura, trace um arco em busca
de encontrar o ponto 2. Observe que o segmento de reta 12 é
congruente ao raio do primeiro arco traçado, significando que o
ângulo 2Ô1 mede 600, conforme foi visto anteriormente;
Da mesma forma e com o auxílio do compasso, repouse sua
ponta seca sobre o ponto 2 e, com a mesma abertura, trace
um arco em busca de encontrar o ponto 3. Observe que o
ângulo 3Ô1 mede 1200;
Utilizando-se do mesmo recurso, repouse a ponta seca do
compasso sobre o ponto 2 e, com a mesma abertura
anteriormente utilizada, trace um arco em busca do ponto 4.
Este ponto será determinado no momento em que traçarmos
um outro arco de mesmo raio a partir do ponto 3. Observe que
o ponto 4 eqüidista dos pontos 2 e 3. Desse modo, o ângulo
4Ô1 mede 900, como pode ser observado na penúltima figura
demonstrativa. Assim sendo, a reta definida pelos pontos 4 e O
é a solução do problema, conforme a última figura
demonstrativa.
16
Aplicação 4
Traçar, a partir da origem da semi-reta OA dada, uma reta
perpendicular (figura 10). Neste caso, a reta perpendicular a
ser traçada deve ser levantada a partir da aplicação do
Teorema de Pitágoras:
FIGURA 10
Observe que...
Em um triângulo retângulo a relação entre os lados é: c2 = a
2 + b
2, onde a
menor relação inteira é 5, 3 e 4 respectivamente (figura 11).
FIGURA 11
17
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
a origem O da semi-reta dada e, com abertura igual a 3
unidades quaisquer (pode ser utilizado o centímetro), trace um
arco que cruze essa semi-reta, determinando o ponto 1;
Novamente sobre a origem O da semi-reta dada, trace um
arco que cruze uma linha imaginária perpendicular a OA a
partir de O, cuja abertura seja igual a 4 unidades.
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
o ponto 1 e, com abertura igual a 5 unidades, trace um arco
que cruze o arco traçado anteriormente em busca de encontrar
o ponto 2. Observe que o segmento de reta 12 mede 5un, o
segmento 2O mede 4un e o segmento O3 mede 3un,
formando assim o conhecido triângulo 345.
Por fim, trace a reta determinada pelos pontos 2 e O, a qual
é a solução do problema, como pode ser vista na última figura
demonstrativa.
18
Traçado de retas paralelas entre si
Aplicação 1
Traçar uma reta paralela a reta r e que passe pelo ponto A
dados. Neste caso, utilizaremos o transporte de ângulos como
ferramenta (figura 12).
FIGURA 12
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta
transversal qualquer à reta r dada que passe pelo ponto A,
determinando, assim, o ponto 1;
19
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre
o ponto 1 e, com abertura qualquer, trace um arco que cruze a
reta r e a reta transversal, determinando os pontos 2 e 3;
Repita a operação passada, tomando o ponto A como
origem. Desse modo, determinamos o ponto 3’;
Com a abertura igual ao segmento de reta 23, trace um arco
com origem em 3’ até encontrar o ponto 2’.
Por fim, trace a reta determinada pelos pontos A e 2’, a qual
é a solução do problema, como pode ser vista na última figura
demonstrativa.
20
Observe que...
Este problema foi resolvido tomando como ferramenta o transporte de ângulos,
haja vista que as retas paralelas formam os mesmos ângulos correspondentes com
a reta transversal auxiliar traçada.
Aplicação 2
Traçar uma reta paralela à reta r e que passe pelo ponto A
dados. Neste caso, tomaremos como base o conhecimento em
quadriláteros e suas principais propriedades (figura 13).
FIGURA 13
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, trace um arco com abertura
maior que a distância entre o ponto A e a reta r dados,
tomando o ponto A como centro e cruzando a reta r,
determinando, assim, o ponto 1;
Repita a operação passada, tomando o ponto 1 como
origem. Desse modo, o arco passa pelo ponto A e, ao cruzar a
reta r, determina o ponto 2;
Com abertura 2A, centre o compasso em 1 e trace um arco
que determine o ponto 3;
21
Por fim, trace a reta determinada pelos pontos A e 3, a qual
é a solução do problema, como pode ser vista na última figura
demonstrativa.
Observe que...
Este problema foi resolvido tomando como princípio a formação de um
quadrilátero, através da ligação, por meio de segmentos de reta, dos pontos A, 1, 2
e 3.
22
Atividade 03
Pense e responda às questões abaixo:
1. Em que situação uma reta é perpendicular a uma outra reta?
2. Em que situação uma reta é paralela a uma outra reta?
3. Por que o domínio da definição do conceito e construção de Mediatriz
é de fundamental importância para traçarmos uma reta perpendicular
a uma outra reta a partir de um ponto pertencente ou não a essa
reta?
4. Ao construirmos um ângulo de 900 estamos, automaticamente,
construindo duas retas perpendiculares entre si?
5. Qual é a importância do conhecimento do Teorema de Pitágoras no
contexto do traçado de retas perpendiculares entre si?
Divisão de segmentos
Divisão de segmentos em partes iguais
Dividir um segmento de reta em partes iguais significa dizer
que esse segmento será dividido em segmentos de retas
congruentes entre si.
Aplicação 1
Dividir o segmento de reta AB em 4 (quatro) partes iguais
(figura 14):
FIGURA 14
23
Observe que...
O domínio da definição do conceito e construção de Mediatriz é de fundamental
importância para resolução deste problema.
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio do compasso, encontre o ponto médio do
segmento de reta AB, doravante denominado P1. Ao encontrar
P1, o segmento reta AB fica dividido em duas partes iguais;
Com o auxílio do compasso, encontre o ponto médio do
segmento de reta AP1, doravante denominado Pm2. Ao
encontrar Pm2, o segmento reta AP1 fica dividido em duas
partes iguais;
Com o auxílio do compasso, encontre o ponto médio do
segmento de reta P1B, doravante denominado P3. Ao
encontrar P3, o segmento de reta P1B fica dividido em duas
partes iguais;
Observemos, por fim, que o segmento de reta AB foi dividido
em 4 partes iguais, conforme solicitado no enunciado do
problema. Esse resultado pode ser visto na última figura
demonstrativa.
24
Aplicação 2
Dividir o segmento de reta AB em 3 (três) partes iguais (figura
15):
FIGURA 15
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma semi-reta,
a partir do ponto A, formando um ângulo qualquer com o
segmento de reta a ser dividido;
Como temos que dividir o segmento dado em 3 partes
iguais, marcamos, consecutivamente, 3 arcos com raio
qualquer, porém, congruentes entre si, obtendo-se os pontos 1,
2 e 3;
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta que
passe pelos pontos B e 3, os quais são extremos dos
segmentos em operação;
Transporte o ângulo Alfa, cuja origem é o ponto 3, para os
pontos 2 e 1. Esse transporte de ângulos gera retas (r2 e r3),
paralelas a r1 que interceptam o segmento de reta AB de
forma a dividi-lo em 3 segmentos congruentes e consecutivos;
Por fim, podemos afirmar que os segmentos A1’, 1’2’ e 2’B
correspondem a 1/3 do segmento AB, a qual é a solução do
problema, como pode ser vista na última figura demonstrativa.
25
Observe que...
Esse método poderá ser aplicado na divisão de segmentos de reta em
qualquer número, seja ele par, seja ele ímpar.
Dividir um segmento de reta em n partes iguais é dividi-lo em n partes
proporcionais a 1 (um).
Divisão de segmentos em partes proporcionais
Dividir um segmento de reta em partes proporcionais
significa dizer que esse segmento será dividido em segmentos
de retas proporcionais entre si, tomando como fundamento o
Teorema de Tales, o qual será anunciado logo em seguida.
26
Para saber mais...
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas ou mais transversais
quaisquer segmentos de uma proporcionais aos segmentos correspondentes nas
outras (Putnoki, 1989) (figura 16). Assim sendo, temos como exemplo:
c:d :: e:f c
d
e
f
c
e
d
f c:e :: d:f
Leia-se: c está para d, assim como, e está para f.
c d
a
e f
b
g h
FIGURA 16
Aplicação 1
Dado o segmento de reta AB, dividi-lo em partes proporcionais aos
segmentos a e b dados (figura 17).
FIGURA 17
27
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma semi-reta,
a partir do ponto A, formando um ângulo qualquer com o
segmento de reta a ser dividido;
Como temos que dividir o segmento dado em partes
proporcionais aos segmento a e b, dados, marcamos
consecutivamente a e b através do traçado de 2 arcos com
raios congruentes aos referidos segmentos, respectivamente,
obtendo-se os pontos 1 e 2;
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta que
passe pelos pontos B e 2, os quais são extremos dos
segmentos em operação;
Transporte o ângulo Alfa, cuja origem é o ponto 2, para o
ponto 1. Esse transporte de ângulo gera a reta r2, paralela a r1
que intercepta o segmento de reta AB de forma a dividi-lo em 2
segmentos proporcionais à a e b;
Por fim, podemos afirmar que os segmentos a1 e b1 respeitam a proporcionalidade solicitada, ou seja: a1:a::b1:b, a qual é a solução do problema, como pode ser vista na última figura demonstrativa
28
Aplicação 2
Determinar a quarta proporcional entre os segmentos a, b e
c, dados (figura 18):
FIGURA 18
29
Para saber mais...
Chama-se Quarta Proporcional entre os segmentos a, b e c, citados nessa
ordem, o segmento x que se obtém na proporção: a:b::c:x (Putnoki, 1989) (figura
19).
Leia-se: a está para b, assim como, c está para x.
a b
c x
FIGURA 19
Epa, epa, epa: Que papo é esse de quarta proporcional? Isso é
novo para nós, não??
Fique tranqüila,
Amiga: veja o que vem a seguir!
30
Observe que...
O conhecimento da definição do conceito do Teorema de Tales é de
fundamental importância para resolução deste problema.
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace duas semi-retas
a partir de um único ponto origem O, formando um ângulo
qualquer entre si;
Como precisamos determinar a quarta proporcional, ou seja:
encontrar o quarto segmento de reta envolvido na seguinte
proporção: a:b::c:x, marcamos consecutivamente os segmento
dados a, b e c, seguindo a citada proporção, através do
traçado de 3 arcos com raios congruentes aos referidos
segmentos, respectivamente, obtendo-se os pontos 1, 2 e 3;
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta r1 que
passe pelos pontos 1 e 2, os quais são extremos dos
segmentos a e b em operação;
Transporte o ângulo Alfa, cuja origem é o ponto 1, para o
ponto origem 3. Esse transporte de ângulos gera a reta r2,
paralela a r1 que intercepta a semi-reta na qual será definido o
seguimento x procurado;
Por fim, podemos afirmar que os segmentos a, b, c e x
respeitam a proporcionalidade solicitada, ou seja: a:b::c:x:, a
qual é a solução do problema, como pode ser vista na última
figura demonstrativa.
31
32
Aplicação 3
Dados os segmentos de reta a e b, determinar a terceira
proporcional entre os segmentos dados (figura 20):
FIGURA 20
Para saber mais...
Chama-se Terceira Proporcional entre os segmentos a e b, citados nessa
ordem, o segmento y que se obtém na proporção: a:b::b:y (Putnoki, 1989) (figura
21).
Leia-se: a está para b, assim como, b está para y.
a b
b y
FIGURA 21
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Observe que...
O conhecimento da definição do conceito do Teorema de Tales é de
fundamental importância para resolução deste problema.
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace duas semi-retas
a partir de um único ponto origem O, formando um ângulo
qualquer entre si;
Como precisamos determinar a terceira proporcional, ou
seja: encontrar o terceiro segmento de reta envolvido na
seguinte proporção: a:b::b:y, marcamos consecutivamente os
segmento dados a e b, seguindo a citada proporção, através
do traçado de 3 arcos com raios congruentes aos referidos
segmentos, respectivamente, obtendo-se os pontos 1, 2 e 3;
Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta r1 que
passe pelos pontos 1 e 2, os quais são extremos dos
segmentos a e b em operação;
Transporte o ângulo Alfa, cuja origem é o ponto 1, para o
ponto origem 3. Esse transporte de ângulos gera a reta r2,
paralela a r1 que intercepta a semi-reta na qual será definido o
seguimento y procurado;
Por fim, podemos afirmar que os segmentos a, b e y
respeitam a proporcionalidade solicitada, ou seja: a:b::b:y:, a
qual é a solução do problema, como pode ser vista na última
figura demonstrativa.
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35
Atividade 04
Pense e responda às questões abaixo:
1. Dividir um segmento de reta em partes iguais equivale a dizer o que?
2. Dividir um segmento de reta em partes proporcionais equivale a dizer o
que?
3. Qual é a importância do conhecimento da definição do conceito do
Teorema de Tales para a determinação da quarta proporcional?
4. Qual é a importância do conhecimento da definição do conceito do
Teorema de Tales para a determinação da terceira proporcional?
5. Expresse matematicamente o seguinte: a está para b, assim como, c está
para x.
Atividade 05
1. Dadas as retas (r) e (s) e os pontos (A), (B), (C) e (D). Pede-
se:
(a) Pelo ponto (A) uma paralela a (r); (b) Pelo ponto (B) uma perpendicular a (S); (c) Pelo ponto (C) uma perpendicular a (r); (d) Pelo ponto (D) uma paralela a (s).
r
C
A s
D B
2. Sabendo que o ângulo alfa mede 45
0 e o ângulo beta mede
900, faça o que se pede a seguir:
(a) Construa alfa e beta; (b) Determine graficamente: 3 x alfa - beta.
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Obs.: Desenhe cada ângulo dado para depois empregá-los na solução do problema. 3. Dados os segmentos de reta m=3,0cm, n=3,5cm e p=2,7,
Determinar o segmento de reta z, tal que z = n.p/m:
Obs.: Desenhe cada segmento dado para depois empregá-los na solução do problema. 4. Dados os segmentos de reta a=3,0cm e b=3,5cm. Determinar
o segmento de reta x, tal que x = b2/a.
Obs.: Desenhe cada segmento dado para depois empregá-los na solução do problema. 5. Dividir o segmento de medida igual a 7cm em 5(cinco) partes
proporcionais a 1(um).
Obs.: Desenhe o segmento dado para depois transportá-lo.
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Resumo
Dando continuidade às construções geométricas, a presente aula nos deu
oportunidade de aprendermos a traçar bissetrizes de ângulos; a dividirmos ângulos
em dois ângulos congruentes, utilizando-se da bissetriz como ferramenta; a
construirmos ângulos exatos com auxílio do compasso; a traçarmos retas
perpendiculares e paralelas entre si; a dividirmos segmentos em partes iguais; e, por
fim, aprendemos a dividir segmentos em partes proporcionais a segmentos dados,
onde o Teorema de Tales tem importância primaz na compreensão do tema.
Auto-avaliação
Buscando avaliar o grau de apropriação do conteúdo por nós estudado na
presente aula, preparamos um breve exercício, no qual você deve ler atentamente
as proposições, de modo a executá-las com atenção e esmero. Assim sendo,
responda as questões abaixo sem recorrer a qualquer tipo de anotação, num
primeiro momento:
1. Faça uma síntese do conteúdo visto nesta aula e destaque o assunto que
você mais gostou e o que você sentiu mais dificuldade para aprender.
2. Qual entidade geométrica é utilizada para dividirmos um ângulo em dois
ângulos adjacentes e congruentes entre si?
3. Podemos afirmar que mediatriz é sinônimo de bissetriz? Por quê?
4. Qual ângulo tem corda congruente ao seu raio?
5. Podemos construir ângulos exatos com auxílio do compasso? Em caso
positivo, dê um exemplo.
6. Podemos utilizar o transporte de ângulo para traçarmos uma reta paralela a
uma outra reta dada?
7. Podemos utilizar a reta mediatriz como ferramenta para traçarmos uma reta
perpendicular a uma outra reta dada?
8. Podemos afirmar que dividir um segmento de reta em n partes iguais é dividi-
lo em n partes proporcionais a 1 (um)? Por quê?
Bom trabalho e até o nosso próximo encontro...
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Referências
CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: ed. Ao Livro
Técnico,3ª edição,1993.
INED - Instituto Nacional de Ensino a Distância. Curso de Formação de Técnicos em
Transações Imobiliárias - TTI. Técnico em Transações Imobiliárias. Noções de
Desenho Arquitetônico e Construção Civil - Módulo 06. Gráfica e Editora Equipe
LTDA. Brasília, 2005. Disponível em www.ineddf.com.br.
LOPES, Elizabeth Teixeira e KANEGAE, Cecília Fujiko. Desenho Geométrico. São
Paulo: ed. Scipione, vol. I, 7ª edição, 1991.
MOURA, Chateaubriand Vieira (a). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico.
Curso Técnico Integrado de Informática. Centro de Educação Tecnológica de
Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1a. 2007, 59p.
MOURA, Chateaubriand Vieira (b). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico,
Técnico e Arquitetônico. Curso Técnico em Construção Civil - Modular. Centro
de Educação Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 15a. 2007, 139p.
MOURA, Chateaubriand Vieira (c). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico e
Técnico. Curso Técnico Integrado em Construção Civil. Centro de Educação
Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1a. 2007, 148p.
PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico. São Paulo: ed. Moderna,
vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991.
PUTNOKI, José Carlos. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São
Paulo: ed. Scipione, vol. I e 2 , 1ª edição, 1989.
REIS, Jorge Henrique de Jesus. Apostila: Desenho Geométrico. Universidade do
Estado do Pará-UEPA. Pará, 2007.