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8/6/2019 Apostila Controle - 22 - Projeto Avanço / Atraso Analítico
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Controle de Sistemas Mecânicos
Avanço ou atraso analítico Avanço ou atraso analítico
Método baseado na resposta em freqüênciaMétodo baseado no lugar das raízes
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Controle de Sistemas Mecânicos
Método analíticoMétodo analítico
Há dois métodos analíticos
• Com base na resposta em freqüência, onde a referênciapara o projeto do controlador é a margem de fase desejada
• Com base no lugar das raízes, onde a referência para oprojeto do controlador é um par de pólos complexos
desejadoPara o primeiro caso:
• Na freqüência de cruzamento de ganho futura têm-se amargem de fase desejada, portanto amplitude de 0 dB e
margem de fase φmf
Para o segundo caso:• No pólo desejado corresponde ao ponto –1 , portanto têm-
se amplitude de 0 dB com fase -180 °
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Controle de Sistemas Mecânicos
Base metodológicaBase metodológica
O ganho de malha, incluindo o controlador e a planta, é
dado por
Para uma dada freqüência ω D sobre o eixo imaginário, pode-se escrever para a planta
que corresponde à resposta em freqüência
11
)()()()(+
+==
TsTs
K s P s K s P s L cα
P j
P D em j P θ
ω =)(
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuandoContinuando
Para a mesma freqüência ω D, pode-se escrever para o
controlador
Considerando ω D =ω cg a freqüência de cruzamento de ganho
e portanto
( ) ( ) ( ) s P s K s=
)()(1 K P K P j K P
j K
j P mf emmemem θ θ θ θ φ π +==+−
K j K
cg
cg ccg em
Tj
Tj K j K θ
ω
ω α ω =
+
+=
1
1)(
K p j j K p
cg
cg ccg cg eemm
Tj
Tj K j P j L θ θ
ω
ω α ω ω =
+
+=
1
1)()(
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Controle de Sistemas Mecânicos
FormulaçãoFormulação
Chega-se assim às duas fórmulas básicas para
a amplitude e a fase do controlador
ou ainda,
1k p
k p mf
m m
θ θ π φ
=
+ = − +
1k p
k mf p
mm
θ π φ θ
=
= − + −
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Controle de Sistemas Mecânicos
ConcluindoConcluindo
)(cos11)( K K K
j K
cg
cg ccg jsinmem
TjTj K j K K θ θ
ω ω α ω θ +==
++=
Uma vez encontrada a amplitude e a fase
necessárias ao controlador para atender àespecificação da margem de fase, pode-seescrever,
e finalmente
K K cg
cg c
K K cg
cg c
sinmT
T K
mT
T K
θ ω
α ω
θ ω
ω α
=+
−
=+
+
1
)1(
cos1
)1(
22
22
22
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ComentáriosComentários
São duas equações e duas incógnitas
O K c em geral é encontrado a partir da especificação doerro estacionário
)(11)( s P
TsTs K sG c +
+= α 1 0
1 1lim ( )est n
n i s
e K s K P s+
→
= =e da tabela de erroestacionário e dasconstantes de erro
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ComentáriosComentários
)cos()cos(
cos
K K cc
K K c K
K cg K
c K K
m K K m K m
sinm K m
T
θ θ
α
θ ω θ
−
−=
−=
Finalmente resolvendo o sistemas de equações chega-
se às expressões
resp=solve('kc*(alpha*T^2*wcg^2+1)/(T^2*wcg^2+1)=mk*cos(tethak)','kc*T*wcg*(alpha-1)/(T^2*wcg^2+1)=mk*sin(tethak)',alpha,T)
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ExemploExemplo
)5)(1(1
)()(
++=
s s s sU sY
Aplicar a metodologia analítica para projetar um
controlador PD com margem de fase de 45 ° , nafreqüência de cruzamento de ganho de 5 rad/s e erroestacionário a rampa de 5.
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SoluçãoSolução
Valores na futura freqüência de cruzamento de
ganho
clear all clear all
closeclose all all ,, clc clc s=tf('s');s=tf('s');P=1/(s*(s+1)*(s+5));P=1/(s*(s+1)*(s+5));figure(1), bode(P)figure(1), bode(P)
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ContinuandoContinuando
Projeto do controlador PDwcg wcg =5.0; MF=45*pi/180;=5.0; MF=45*pi/180;np=1;np=1; dpdp == poly poly ([0 ([0 --11 --5]); kc=1;5]); kc=1;P=P= tf tf (np,(np, dpdp ); );rprp ==freqrespfreqresp (P,j* (P,j* wcg wcg ); );mp=mp= absabs ( ( rprp ); );
tethaptethap ==angleangle ( ( rprp ) )tethak tethak =( =( -- pi+MF pi+MF --tethaptethap ); );mk mk =1/mp=1/mpT=T= --(kc (kc --mk mk * * coscos ( ( tethak tethak ))/ ))/ wcg wcg / / mk mk / / sinsin ( ( tethak tethak ); );alphaalpha ==mk mk *(kc* *(kc* coscos ( ( tethak tethak ) ) --mk mk )/kc/(kc )/kc/(kc --mk mk * * coscos ( ( tethak tethak )); ));nk nk =kc*[ =kc*[ alphaalpha *T 1];*T 1];dk dk =[T 1];=[T 1];K=K=tf tf ( ( nk nk ,,dk dk ); );L=P*K;L=P*K;figure(2),figure(2), marginmargin (L)(L)
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ResultadoResultado
-150
-100
-50
0
50
M a g n i t u d e
( d B )
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-180
-90
0
P h a s e ( d e g )
Bode Diag ramGm = 14.3 dB (at 12.6 rad/s ec ) , Pm = 45 deg (a t 5 rad/s ec )
Frequency (rad/sec)
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Método analítico Lugar das RaízesMétodo analítico Lugar das Raízes
O método que será visto agora tem base no
lugar das raízes , com o seu desempenhodeterminado pela posição dos pólos de malhafechadaO objetivo assim é projetar um controlador demodo a que o sistema de malha fechadaapresente os pólos especificados os quaisasseguram o desempenho desejado
No pólo desejado corresponde ao ponto –1 , portanto têm-se amplitude de 0 dB com fase-180 °
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Base metodológicaBase metodológica
)(1)(
)()()(
s L sG
s R sY sT
+==
Considerando um sistema de malha fechada, onde a
malha aberta é formada por um controlador em sériecom a planta segundo
Assim um pólo de malha fechada corresponde a uma
raiz do denominador, ou seja
)()()( s K s P s L =
°−=−==+ 18011)(0)(1 D D s L s L
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Controle de Sistemas Mecânicos
Método baseado no lugar das raízesMétodo baseado no lugar das raízes
O ganho de malha, incluindo o controlador e a planta, é
dado por
Para um ponto desejado qualquer no plano s, s D=σ D+j ω D, pode-se escrever para a planta
11
)()()()(+
+==
TsTs
K s P s K s P s L cα
P j P D em s P θ =)(
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ContinuandoContinuando
Para esse ponto s D=σ D+j ω D , pode-se escrever para ocontrolador
Considerando s D=σ D+j ω D o pólo desejado
e portanto
K j K
D D
D Dc D em
jT jT
K s K θ
ω σ ω σ α
=++
++=
1)(1)(
)(
)1)(1)(
)((1)(++
+++=−=
D D
D Dc D D D jT
jT K j P s L
ω σ ω σ α
ω σ π
)(1 K P K P j K P
j K
j P emmemem θ θ θ θ π +==−
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FormulaçãoFormulação
Chega-se assim às duas fórmulas básicas para
a amplitude e a fase do controlador
ou ainda,
π θ θ −=+
=
K P
K P mm 1
P K
K P mm
θ π θ −−=
=1
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Para o pólo desejadoPara o pólo desejado
Uma vez encontrada a amplitude e a fase necessárias ao
controlador para s D corresponder ao pólo, pode-seescrever
)sin(cos1)(1)(
)( K K K j
K D D
D Dc D jmem
jT jT
K s K K θ θ ω σ ω σ α θ +==
++
++=
)sin(cos)1)(()1)(( K K K D D D Dc jm jT jT K θ θ ω σ ω σ α +++=++
)sinsincos(cossincos K K K K D K K D K K K K D K K D
Dcc Dc
mmT mT jmmT mT
T jK K T K
θ θ σ θ ω θ θ ω θ σ
ω α σ α ++++−=
=++
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ComparandoComparando
Igualando os termos reais e imaginários,
obtém-se duas equações
K K K K D K K Dc Dc mmT mT K T K θ θ ω θ σ σ α cossincos +−=+
K K K K D K K D Dc mmT mT T K θ θ σ θ ω ω α sinsincos ++=
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ComentáriosComentários
Novamente, são duas equações e duas incógnitas, o
que pode ser resolvido facilmente
)(sincossin
22
D D K K
K K D Dc K K D
mm K m
T ω σ θ
θ ω ω θ σ +
−+−=
)cossin()sincos(
K K D Dc K K Dc
K Dc K D K Dc K
m K m K K m K m
θ ω ω θ σ θ σ ω θ ω
α −+
+−=
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ComentáriosComentários
11
)()()()( +
+== Ts
Ts K s P s K s P sG c
α
Havendo uma especificação do erro estacionário, aconstante K C pode ser encontrada através de
1 0
1 1lim ( )est n
n i se K s K P s+
→
= =
est si
nn e
s P K s K 1
)( 01 ===+
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ExemploExemplo
)5)(1(1
)()(
++=
s s s sU sY
Para a planta abaixo, aplicar a metodologia analítica
para projetar um controlador que assegure um PSS de5% e um tempo de estabilização de 4 segundos.
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SoluçãoSolução
Dado o PSS encontra-se o fator de amortecimento
desejado usando
Encontra-se a freqüência natural usando
)100
(ln
)100
ln(
22
PSS
PSS
+
=
π ζ
en
ne T
T ζ
ω ζω
44 ==
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Resposta ao degrau Resposta ao degrau
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Res ponse
Time (s ec )
A m p l i t u
d e
1
4
%5
=
=
=
c
e
K
sT
PSS
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Posição dos pólosPosição dos pólos
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Pole-Ze ro Map
Real Axis
I m a g i n a r y
A x i s
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FinalizandoFinalizando
Uma vez projetado checar os requisitos. Caso não
satisfaça, analisar e fazer as devidas correções
4.4
4%5
=
=
=
c
e
K
sT PSS
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Pole-Ze ro Map
Real Axis
I m a g i n a r y
A x i s
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FinalizandoFinalizando
Uma vez projetado checar os requisitos. Caso nãosatisfaça, analisar e fazer as devidas correções
4.4
8.3%5
=
=
=
c
e
K
sT PSS
Step Res ponse
Time (s ec )
A m p l i t u d e
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 System: HPeak amplitude: 1.04Overshoot (%): 3.64At time (s ec): 3.15
Sys tem: HSe ttling Time (s ec ): 3.98
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ExercícioExercício
Considerando o motor CC controlado por armadura abaixo,aplique a metodologia analítica para encontrar um controlador avanço ou atraso de posição que apresente a um PSS de 4% eum tempo de estabilização de 2 s.
20.2
0.2 /
0.2 / /
0.1 / / 2
0.1 / /
a
a
T
b
L Hy
K N m A
K V rad seg
J N m rad seg
C N m rad seg
= Ω
=
= −
=
= −
= −
+
-c
V a
I a
τ θ
Ra La
K T
Κ bΩ
+
-J
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama de blocosDiagrama de blocos
Motor CC controlado por armadura
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Controle de Sistemas Mecânicos
SoluçãoSolução
Substituindo os valores respectivos o DB fica
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Controle de Sistemas Mecânicos
FT deFT de malha abertamalha aberta
Função de transferência da planta
dp=poly([ -1 -10]);np=10p1=tf(np,dp);p2=feedback(p1,0.2);p3=tf(1,[1 0]);P=p3*p2;
2
( ) 10( ) ( 11 12)r
sV s s s s
Θ=
+ +
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