Apostila Controle - 22 - Projeto Avanço / Atraso Analítico

8/6/2019 Apostila Controle - 22 - Projeto Avanço / Atraso Analítico

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Controle de Sistemas Mecânicos

Avanço ou atraso analítico Avanço ou atraso analítico

Método baseado na resposta em freqüênciaMétodo baseado no lugar das raízes




Método analíticoMétodo analítico

Há dois métodos analíticos

• Com base na resposta em freqüência, onde a referênciapara o projeto do controlador é a margem de fase desejada

• Com base no lugar das raízes, onde a referência para oprojeto do controlador é um par de pólos complexos

desejadoPara o primeiro caso:

• Na freqüência de cruzamento de ganho futura têm-se amargem de fase desejada, portanto amplitude de 0 dB e

margem de fase φmf

Para o segundo caso:• No pólo desejado corresponde ao ponto –1 , portanto têm-

se amplitude de 0 dB com fase -180 °




Base metodológicaBase metodológica

O ganho de malha, incluindo o controlador e a planta, é

dado por

Para uma dada freqüência ω D sobre o eixo imaginário, pode-se escrever para a planta

que corresponde à resposta em freqüência

11

)()()()(+

+==

TsTs

K s P s K s P s L cα

P j

P D em j P θ

ω =)(




ContinuandoContinuando

Para a mesma freqüência ω D, pode-se escrever para o

controlador

Considerando ω D =ω cg a freqüência de cruzamento de ganho

e portanto

( ) ( ) ( ) s P s K s=

)()(1 K P K P j K P

j K

j P mf emmemem θ θ θ θ φ π +==+−

K j K

cg

cg ccg em

Tj

Tj K j K θ

ω

ω α ω =

+

+=

1

1)(

K p j j K p

cg

cg ccg cg eemm

Tj

Tj K j P j L θ θ

ω

ω α ω ω =

+

+=

1

1)()(




FormulaçãoFormulação

Chega-se assim às duas fórmulas básicas para

a amplitude e a fase do controlador

ou ainda,

1k p

k p mf

m m

θ θ π φ

=

+ = − +

1k p

k mf p

mm

θ π φ θ

=

= − + −




ConcluindoConcluindo

)(cos11)( K K K

j K

cg

cg ccg jsinmem

TjTj K j K K θ θ

ω ω α ω θ +==

++=

Uma vez encontrada a amplitude e a fase

necessárias ao controlador para atender àespecificação da margem de fase, pode-seescrever,

e finalmente

K K cg

cg c

K K cg

cg c

sinmT

T K

mT

T K

θ ω

α ω

θ ω

ω α

=+

−

=+

+

1

)1(

cos1

)1(

22

22

22




ComentáriosComentários

São duas equações e duas incógnitas

O K c em geral é encontrado a partir da especificação doerro estacionário

)(11)( s P

TsTs K sG c +

+= α 1 0

1 1lim ( )est n

n i s

e K s K P s+

→

= =e da tabela de erroestacionário e dasconstantes de erro





)cos()cos(

cos

K K cc

K K c K

K cg K

c K K

m K K m K m

sinm K m

T

θ θ

α

θ ω θ

−

−=

−=

Finalmente resolvendo o sistemas de equações chega-

se às expressões

resp=solve('kc*(alpha*T^2*wcg^2+1)/(T^2*wcg^2+1)=mk*cos(tethak)','kc*T*wcg*(alpha-1)/(T^2*wcg^2+1)=mk*sin(tethak)',alpha,T)




ExemploExemplo

)5)(1(1

)()(

++=

s s s sU sY

Aplicar a metodologia analítica para projetar um

controlador PD com margem de fase de 45 ° , nafreqüência de cruzamento de ganho de 5 rad/s e erroestacionário a rampa de 5.




SoluçãoSolução

Valores na futura freqüência de cruzamento de

ganho

clear all clear all

closeclose all all ,, clc clc s=tf('s');s=tf('s');P=1/(s*(s+1)*(s+5));P=1/(s*(s+1)*(s+5));figure(1), bode(P)figure(1), bode(P)





Projeto do controlador PDwcg wcg =5.0; MF=45*pi/180;=5.0; MF=45*pi/180;np=1;np=1; dpdp == poly poly ([0 ([0 --11 --5]); kc=1;5]); kc=1;P=P= tf tf (np,(np, dpdp ); );rprp ==freqrespfreqresp (P,j* (P,j* wcg wcg ); );mp=mp= absabs ( ( rprp ); );

tethaptethap ==angleangle ( ( rprp ) )tethak tethak =( =( -- pi+MF pi+MF --tethaptethap ); );mk mk =1/mp=1/mpT=T= --(kc (kc --mk mk * * coscos ( ( tethak tethak ))/ ))/ wcg wcg / / mk mk / / sinsin ( ( tethak tethak ); );alphaalpha ==mk mk *(kc* *(kc* coscos ( ( tethak tethak ) ) --mk mk )/kc/(kc )/kc/(kc --mk mk * * coscos ( ( tethak tethak )); ));nk nk =kc*[ =kc*[ alphaalpha *T 1];*T 1];dk dk =[T 1];=[T 1];K=K=tf tf ( ( nk nk ,,dk dk ); );L=P*K;L=P*K;figure(2),figure(2), marginmargin (L)(L)




ResultadoResultado

-150

-100

-50

0

50

M a g n i t u d e

( d B )

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-180

-90

0

P h a s e ( d e g )

Bode Diag ramGm = 14.3 dB (at 12.6 rad/s ec ) , Pm = 45 deg (a t 5 rad/s ec )

Frequency (rad/sec)




Método analítico Lugar das RaízesMétodo analítico Lugar das Raízes

O método que será visto agora tem base no

lugar das raízes , com o seu desempenhodeterminado pela posição dos pólos de malhafechadaO objetivo assim é projetar um controlador demodo a que o sistema de malha fechadaapresente os pólos especificados os quaisasseguram o desempenho desejado

No pólo desejado corresponde ao ponto –1 , portanto têm-se amplitude de 0 dB com fase-180 °




Base metodológicaBase metodológica

)(1)(

)()()(

s L sG

s R sY sT

+==

Considerando um sistema de malha fechada, onde a

malha aberta é formada por um controlador em sériecom a planta segundo

Assim um pólo de malha fechada corresponde a uma

raiz do denominador, ou seja

)()()( s K s P s L =

°−=−==+ 18011)(0)(1 D D s L s L




Método baseado no lugar das raízesMétodo baseado no lugar das raízes

O ganho de malha, incluindo o controlador e a planta, é

dado por

Para um ponto desejado qualquer no plano s, s D=σ D+j ω D, pode-se escrever para a planta

11

)()()()(+

+==

TsTs

K s P s K s P s L cα

P j P D em s P θ =)(





Para esse ponto s D=σ D+j ω D , pode-se escrever para ocontrolador

Considerando s D=σ D+j ω D o pólo desejado

e portanto

K j K

D D

D Dc D em

jT jT

K s K θ

ω σ ω σ α

=++

++=

1)(1)(

)(

)1)(1)(

)((1)(++

+++=−=

D D

D Dc D D D jT

jT K j P s L

ω σ ω σ α

ω σ π

)(1 K P K P j K P

j K

j P emmemem θ θ θ θ π +==−




FormulaçãoFormulação

Chega-se assim às duas fórmulas básicas para

a amplitude e a fase do controlador

ou ainda,

π θ θ −=+

=

K P

K P mm 1

P K

K P mm

θ π θ −−=

=1




Para o pólo desejadoPara o pólo desejado

Uma vez encontrada a amplitude e a fase necessárias ao

controlador para s D corresponder ao pólo, pode-seescrever

)sin(cos1)(1)(

)( K K K j

K D D

D Dc D jmem

jT jT

K s K K θ θ ω σ ω σ α θ +==

++

++=

)sin(cos)1)(()1)(( K K K D D D Dc jm jT jT K θ θ ω σ ω σ α +++=++

)sinsincos(cossincos K K K K D K K D K K K K D K K D

Dcc Dc

mmT mT jmmT mT

T jK K T K

θ θ σ θ ω θ θ ω θ σ

ω α σ α ++++−=

=++




ComparandoComparando

Igualando os termos reais e imaginários,

obtém-se duas equações

K K K K D K K Dc Dc mmT mT K T K θ θ ω θ σ σ α cossincos +−=+

K K K K D K K D Dc mmT mT T K θ θ σ θ ω ω α sinsincos ++=





Novamente, são duas equações e duas incógnitas, o

que pode ser resolvido facilmente

)(sincossin

22

D D K K

K K D Dc K K D

mm K m

T ω σ θ

θ ω ω θ σ +

−+−=

)cossin()sincos(

K K D Dc K K Dc

K Dc K D K Dc K

m K m K K m K m

θ ω ω θ σ θ σ ω θ ω

α −+

+−=





11

)()()()( +

+== Ts

Ts K s P s K s P sG c

α

Havendo uma especificação do erro estacionário, aconstante K C pode ser encontrada através de

1 0

1 1lim ( )est n

n i se K s K P s+

→

= =

est si

nn e

s P K s K 1

)( 01 ===+




ExemploExemplo

)5)(1(1

)()(

++=

s s s sU sY

Para a planta abaixo, aplicar a metodologia analítica

para projetar um controlador que assegure um PSS de5% e um tempo de estabilização de 4 segundos.




SoluçãoSolução

Dado o PSS encontra-se o fator de amortecimento

desejado usando

Encontra-se a freqüência natural usando

)100

(ln

)100

ln(

22

PSS

PSS

+

=

π ζ

en

ne T

T ζ

ω ζω

44 ==




Resposta ao degrau Resposta ao degrau

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Res ponse

Time (s ec )

A m p l i t u

d e

1

4

%5

=

=

=

c

e

K

sT

PSS




Posição dos pólosPosição dos pólos

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Pole-Ze ro Map

Real Axis

I m a g i n a r y

A x i s




FinalizandoFinalizando

Uma vez projetado checar os requisitos. Caso não

satisfaça, analisar e fazer as devidas correções

4.4

4%5

=

=

=

c

e

K

sT PSS

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Pole-Ze ro Map

Real Axis

I m a g i n a r y

A x i s




FinalizandoFinalizando

Uma vez projetado checar os requisitos. Caso nãosatisfaça, analisar e fazer as devidas correções

4.4

8.3%5

=

=

=

c

e

K

sT PSS

Step Res ponse

Time (s ec )

A m p l i t u d e

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 System: HPeak amplitude: 1.04Overshoot (%): 3.64At time (s ec): 3.15

Sys tem: HSe ttling Time (s ec ): 3.98




ExercícioExercício

Considerando o motor CC controlado por armadura abaixo,aplique a metodologia analítica para encontrar um controlador avanço ou atraso de posição que apresente a um PSS de 4% eum tempo de estabilização de 2 s.

20.2

0.2 /

0.2 / /

0.1 / / 2

0.1 / /

a

a

T

b

L Hy

K N m A

K V rad seg

J N m rad seg

C N m rad seg

= Ω

=

= −

=

= −

= −

+

-c

V a

I a

τ θ

Ra La

K T

Κ bΩ

+

-J




Diagrama de blocosDiagrama de blocos

Motor CC controlado por armadura




SoluçãoSolução

Substituindo os valores respectivos o DB fica




FT deFT de malha abertamalha aberta

Função de transferência da planta

dp=poly([ -1 -10]);np=10p1=tf(np,dp);p2=feedback(p1,0.2);p3=tf(1,[1 0]);P=p3*p2;

2

( ) 10( ) ( 11 12)r

sV s s s s

Θ=

+ +

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