APOST-METODOS_QUANTITATIVOS-2010

Universidade Nove de Julho -UNINOVE-

Material de apoio de

Métodos Quantitativos Material elaborado por: Professora Marcia Terezinha dos Reis Santos Professora Nadya Aparecida de Ávila Professor Paulo Sergio Pereira da Silva Professor Sérgio Rollo dos Santos Professora Simone Santana

São Paulo, 2010

FUNÇÃO DO 10 GRAU :Aplicações Chamamos de função do 1o grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a é não nulo.

Definição: f: IR→ IR definida por f(x) = ax + b, a ∈ IR* e b ∈ IR OBS.:

a) O gráfico da função do 1o grau é uma reta. b) O conjunto imagem da função do 1o grau é IR. c) A função do 1o grau com b = 0, ou seja, f(x) = ax é chamada linear.

Exemplo Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR. Considerar x = 0 e 1. a) f(x) = x +2 f(x)

3 2 Im 1

X f(x) = x +2 0 0 + 2 = 2 1 1 + 2 = 3

b) f(x) = 5x

X f(x) = 5x 0 5 . 0 = 0 1 5 . 1 = 5

Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto. Raiz ou zero da função do 1o grau Dada a função do 1o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para qual ax + b = 0, ou seja o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou zero da função, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equação. Exemplo Determine a raiz da seguinte equação: a) f(x) = 3x - 6 Resolução: 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 6/3 ⇒ x = 2 Observe que em f(x) = 3x – 6, f(x) = 0 e x = 2, calculado anteriormente, o ponto (2, 0) é a intersecção da reta com o eixo x .

E X E R C I C I O S 1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a função que representa seu salário mensal. R. S(x) = 0,08x + 300 b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10.000,00 em produtos. R. R$ 1100,00 2) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22. R. a = 5 3) Construir o gráfico das seguintes funções para x = 0 e x = 1 e ache suas raízes:

a) f(x) = 3x + 4 b) f(x) = 2x + 6

c) f(x) = -4x + 8 4) A empresa “KCK” comprou um equipamento por R$ 30.000,00 e o mesmo apresenta uma expectativa de se valorizar à razão constante de R$ 2.000,00 por ano. Determine a função que representa o valor previsto do bem. R. f(x) = 2000x + 30000 5) Conforme a equação representada no exercício anterior, qual será o valor do bem daqui a 2 anos? R. R$ 34.000,00 6) A venda de certos produtos fabricados pela empresa “KCK” é representada lei: p = -x2 + 34, onde x representa a quantidade em milhões de demanda e p o preço por unidade em reais. Determine a quantidade de demanda quando o preço for R$ 9,00. R. X = 5.000.000 unidades 7) Sabendo-se que a função que representa a oferta do produto fabricado pela “KCK” é qo = 80p + 720. Para uma oferta igual a 1280 unidades, qual será o preço? R. R$ 7,00 8) Um vendedor de livros ganha salário mínimo fixo mensal, mais uma comissão de R$ 2,00 por livro vendido. Sendo x o número de livros vendidos por mês, expresse o salário(S) do vendedor como função de x. R. S(x) = R$ 2,00x + ........... 9) Baseado no exercício anterior, se o vendedor vender 210 livros em um determinado mês, quanto será seu salário? R. R$ ................ 10) (ENEM – 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então podemos afirmar que:

a) M(x) = 500 + 0,4x b) M(x) = 500 + 10x c) M(x) = 510 + 0,4x d) M(x) = 510 + 40x e) M(x) = 500 + 10,4x R. ( c)

11) A curva de demanda para um artigo é qd = 10 – p/4. Assuma que qd é a quantidade e p representa o preço.

a) Determine a quantidade de demanda se o preço é de R$ 16,00; R. qd = 6uni b) Qual é o preço se a quantidade demandada é 7? R. p = R$12,00 c) Que quantidade será demandada se o artigo for oferecido gratuitamente? R. qd = 10 unid

12) A curva de oferta de um artigo é qo = 1,1p – 0,1.

a) Determine o preço se a quantidade ofertada é de 8u. R. p = R$ 7,36 b) Determine a quantidade ofertada se o preço é R$ 6,00. R. qo = 6,5 ≈ 7 unid

13) Seja uma mercadoria representada pela seguinte função oferta qo = 2,7p – 0,8:

a) Qual é o preço do produto quando a oferta é de 13 unidades? R. p = R$5,11 b) Qual é a quantidade ofertada para um preço de R$ 3,00? R. qo = 7,3 ≈ 8 unid

14) O custo total de produção de um determinado produto é representado pela função C(x) = 10x + 20. Onde C é o custo (em reais) e x é o número de unidades produzidas. Determine:

a) O custo de fabricação de 15 unidades; R . C(15) = R$ 170,00 b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 18.000. R . x = 1798unid

15) Uma empresa fabrica e vende um produto por R$ 100,00 a unidade. O departamento de Marketing da empresa trabalha com a Equação da Demanda apresentada abaixo, onde YD e XD representam, respectivamente, o preço e a quantidade da demanda. YD = -2X D + 10.100. Como um primeiro passo par a elaboração do Plano de Produção dessa empresa, indique a opção que responde à pergunta: “Quantas unidades produzir?” a) 5000 b) 5.050 c) 5.100 d) 5.150 e) 5.200 R. x = 5000

FUNÇÃO QUADRÁTICA (FUNÇÃO DO 2O GRAU): Aplicações

As funções do segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios de equivalência das funções do primeiro grau, reduzem-se à seguinte expressão:

f(x) = ax2 + bx + c

Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral.

Temos três coeficientes: onde a, b e c são números reais, com a 0, e x é a incógnita. Os números a, b e c são os coeficientes da função.

Exemplos:

a) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2 b) f(x) = -x2 + 4x a = -1 b = 4 c = 0 c) f(x) = x2 – 5 a = 1 b = 0 c = -5

Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do 2o grau e sim uma função do 1o grau.

CÁLCULO DAS RAIZES DA FUNÇÃO DO 2o GRAU

A existência e o número de soluções da função f(x)= ax2 + bx + c = 0 dependem do número b2 - 4ac, a que chamará discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiúsculo). Sempre terá duas raízes, elas até podem ser iguais.

Portanto, = b2 – 4ac

No entanto, utilizaremos a fórmula de Báskara:

Exemplos: Resolver as seguintes equações: a) x2 – 8x + 12 = 0 a = 1, b = - 8 e c = 12

(primeiro vamos calcular o valor de delta)

(substituímos a por 1, b por –8 e c por 12)

(Delta positivo)

(fórmula de Baskara)

x = -(-8) + √16 (substituímos b por – 8, delta por 16 e a por 1) 2(1)

x = 8 + 4

x’ = 12 / 2 = 6

x” = 4 / 2 = 2

S = {6 ; 2}

b) x2 – 12x + 36 = 0 a = 1, b = - 12 e c = 36

(Delta igual a zero)

S = {6}

c) 2x2 – 4x + 3 = 0

a = 2, b = - 4 e c = 3

(Delta negativo)

S = { }, não existe raiz de número real negativo

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DO 2O GRAU

- O gráfico desta função é uma curva plana denominada parábola, - O domínio: Dom(f)=R; - A imagem: Im(f)=R. Obs.: O coeficiente “a” é o termo dominante da função e indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Isso significa que se o "a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo:

Se este for negativo (a<0), a parábola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo:

Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parábola "corta" o eixo dos X. Veja no exemplo o que é "raiz" graficamente:

Exemplo: Faça o esboço gráfico da seguinte função :

Resolução: Vamos primeiro calcular as raízes usando BÁSKARA. Os coeficientes são: A=1, B=-1 e C=-2. Colocando na fórmula, temos:

As duas raízes são 2 e –1, então já sabe os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica:

Estudo do vértice O que é vértice de uma parábola? - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo. Veja os exemplos abaixo:

O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "eqüidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv.

Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Portanto a fórmula para o cálculo de Yv é:

Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c:

Se a > 0, a função assume um valor de mínimo: Se a < 0, a função assume um valor de máximo:

a4Δ Yv = - Yv = -

Exemplo Determinar os vértices (Xv e Yv) da função y = x2 - 2x + 3, escreva se a função admite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo. Resolução: Vértices

Xv = -(-2)/2 ( 1) Δ = b2 - 4ac Yv = -(-8)/4 ( 1)

Xv = 2/2 Δ = (-2)2 - 4( 1)( 3) Yv = 8/4

Xv = 1 Δ = 4 - 12 = -8 Yv = 2

S = (1, 2)

a > 0 , a função assume um valor mínimo

Yv = -a4Δ = -(-8) = 2

E X E R C I C I O S 1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes funções:

a) f(x) = x2 – 6x + 5 R. x´= 5 e x´´=1 Xv = 3 e Yv = -4 b) f(x) = -x2 + 2x -2 R. não existe raiz Xv= 1 e Yv= -1

2) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo: a) f(x) = 5x2 – 3x – 2 R. a > 0, assume um valor mínimo -49/20 b) f(x) = -x2 + 3x –2 R. a < 0, assume um valor máximo 0,25

3)Dada a função f(x) = x2 – 2x – 3, determine: a) as raízes da função; R. x´= 3 e x´´ = -1 b) vértices da parábola; R. Xv = 1 e Yv= -4

c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo; R. a > 0, assume um ponto de mínimo d) o gráfico da função para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.

4) Represente graficamente as funções a seguir. Para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3. a) f(x) = x2 + 4x + 1

b) f(x) = - x2 + 2 c) f(x) = x2 + 1 d) f(x) = - x2 + 3x - 4

5) Determine as raízes das funções, se houver: a) f(x) = 6x2 + 5x - 4 Resp. x ’= ½ e x ” = - 4/3 b) f(x) = - x2 - 2x - 1 Resp. x ’= x ” = -1 c) f(x) = 6x2 + 3x + 7 Resp. Δ < 0, ou seja Δ = -159 portanto, S = { }

6) Determinar as coordenadas do vértice das funções abaixo e dizer se assumem ponto de máximo ou de mínimo.

a) y = x2 – x – 2 Resp. Mínimo: Xv = ½ Yv = -9/4 b) y = -x2 – x + 4 Resp. Máximo: Xv = -1/2 Yv = 4,25 c) y = -x2 – 2 x Resp. Máximo: Xv = -1 Yv = 1 d) y = 3x2 + 2x + 3 Resp. Minimo: Xv = -1/3 Yv = 8/3

7) Assinale a alternativa correta: O gráfico que representa uma parábola com a > 0 e Δ < 0 pode ser: a) b) c) d) Resp. letra C 8) O gestor de uma empresa percebeu que alguns resultados não condiziam com o previsto no planejado, ocasionando assim um valor negativo em sua produção que pode ser representado através de uma das raízes da função: f(x) = x2 + 10x – 600. Assinale a alternativa que condiz com esse resultado. a) Sua área de produção apresentou o resultado de -30; b) A área de produção apresentou o resultado 20 atingindo assim a área como um todo; c) A empresa detectou um resultado de -20 na área de produção; d) Sua área de produção apresentou um resultado de 30; e) A área de produção apresentou o resultado 15, atingindo assim a área como um todo. R. (a)

PONTO CRÍTICO (BREAK-EVEN POINT) É o ponto de intersecção entre o gráfico da receita total e do custo total. Nesse ponto ocorre a indicação da quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir desse ponto que se analisa através da quantidade mínima produzida para que se tenha lucro positivo. Esse ponto onde o lucro é nulo e a receita é igual ao custo total (RT = CT). Também é denominado de ponto de nivelamento. Exemplos 1) Numa empresa, o custo total é dado pela função CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela função RT = 15.000q. Qual o ponto crítico dessa empresa ? Resolução: RT = 15.000q CT = 500.000 + 10.000q O ponto crítico será o valor de q que anula as funções, portanto: RT = CT 15.000q = 500.000 + 10.000q 15.000q – 10.000q = 500.000 5.000q = 500.000 q = 500.000 5.000 q = 100 (o ponto crítico dessa empresa será de 100 quantidades) 2) Se RT e CT são dadas, respectivamente, por RT = 14q e CT = 10q +8. Determine o ponto crítico. Resolução: RT = 14q CT = 10q + 8 RT = CT 14q = 10q + 8 14q – 10q = 8 4q = 8 q = 8 q = 2 (o ponto crítico dessa empresa será de 2 quantidades) 4

LUCRO TOTAL (Lucro positivo) Chama-se de função Lucro Total, a diferença entre a Receita Total e o Custo Total: LT =RT – (CT) Logo, para uma análise econômica, se RT > CT, teremos lucro positivo. Exemplo: Numa empresa, o custo total é dado pela função CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela função RT = 15.000q. Qual a função que representa o lucro total e o valor do lucro total para q =100 e q = 120? Resolução:

Se tivermos q = 100 ⇒ LT = zero RT = 15.000q Se tivermos q = 120 CT = 500.000 + 10.000q LT = 5000 . 120 – 500.000 LT = RT - CT LT = 600.000 – 500.000 LT = 15.000q - (500.000 + 10.000q) LT = 100.000 (lucro positivo) LT = 15.000q – 500.000 – 10.000q

LT = 5.000q – 500.000 ⇒ Função Lucro Total

PREJUÍZO (Lucro negativo) Chama-se de função prejuízo, a diferença entre Custo Total e Receita Total: PR = CT – RT. Para uma análise econômica, se RT < CT, haverá prejuízo. No exemplo anterior, se q < 100, teremos: Resolução:

Se q = 90 CT = 500.000 + 10.000q PR = 500.000 - 5.000q RT = 15.000q PR= 500.000 – 5000 . 90 PR = CT - RT PR= 500.000 – 450.000 PR = 500.000 + 10.000q – 15.000q PR= 50.000 Prejuízo (lucro negativo) PR = 500.000 - 5.000q ⇒ (função prejuízo)

E X E R C Í C I O S 1) Determine o Ponto Crítico (Break-even-point), nos casos abaixo:

a) CT = 3q + 5 e RT = 4q R. q = 5 b) CT = 0,5q + 3 e RT = 0,8q R. q = 10 c) CT = 2q + 10 e RT = 4q R. q = 5

2) Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10.000,00 por mês e o custo variável é R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento? R. q = 500 3) Determine a função que representa o lucro total nos casos abaixo:

a) CT = 3q + 5 e RT = 4q R. LT = q - 5 b) CT = 0,5q + 3 e RT = 0,8q R. LT = 0,3q - 3 c) CT = 2q + 10 e RT = 4q R. LT = 2q - 10

4) Baseado nas respostas de cada caso do exercício anterior, determine o Lucro Total para q = 20. a) R. LT = R$ 15,00 b) R. LT = R$ 3,00 c) R. LT = R$ 30,00

5) Conhecendo-se a função Custo Total CT = 16.000 + 10q e a Receita Total RT = 14q. Determine:

a) Custo fixo. R. CF = R$ 16.000,00 b) Custo variável. R. CV = 10q c) O preço unitário do produto. R. P = R$ 14,00 d) O ponto crítico. R. q = 4000 e) O lucro total (expressão). R. LT = 4q - 16000

6) O custo fixo de uma empresa é R$ 30.000,00 por mês; o preço unitário de venda é de R$ 15,00 e o custo variável por unidade é de R$ 4,00:

a) Obtenha a função lucro. R. LT = 11q - 30000 b) Obtenha a função lucro líquido, sabendo que o imposto de renda é de 30% do lucro. R. LQ = 7,70q - 21000

7) Uma impressora jato de tinta é vendida por R$ 200,00 a unidade. O custo fixo é de R$ 16.000,00 e o custo de produção de cada impressora é de R$ 120,00.

a) Expresse a função custo total de fabricação em termos do número de impressoras fabricadas.

b) Expresse a função receita total. c) A partir de quantas unidades vendidas será o lucro. d) Se forem vendidas 200 impressoras, qual será o seu lucro.

e) Quantas impressoras deverão ser vendidas para ter um lucro de R$ 2.000,00. Respostas 7:

a) CT = 120q + 16000 b) RT = 200q c) q > 200 unidades d) lucro nulo e) q = 225 unidades

8) Uma editora vende certo livro por R$ 70,00 a unidade. Se seu custo fixo é R$ 12.000,00 por mês e o custo variável por unidade é de R$ 45,00. Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a R$ 8.000,00? R. q = 800 unidades 9) O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é R$ 30,00 e o preço de venda, R$ 40,00. Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R$ 2.000,00, sabendo que o imposto de renda é de 20% do lucro? R. q = 750 unidades

MONÔMIOS E POLINÔMIOS

Multiplicação de Monômio por Polinômios Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: 4a . (2 a – 3x ) Propriedade distributiva Solução: 8 a2 – 12ax

Multiplicação de Polinômio por Polinômio Devemos multiplicar cada termo do polinômio por todos os termos do outro polinômio e a seguir reduzimos a termos semelhantes através das operações de adição e subtração. Ex: (2x+3).(4x-5) Propriedade distributiva Solução: 8x2 – 10x + 12x – 15 (Reduzindo os termos semelhantes) 8x2 + 2x – 15 Modo Prático Solução: 2x + 3 4x - 5 8x2 + 12x - 10x -15 8x2 + 2x -15

Divisão de Polinômio por Monômio Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: (15x3 – 4x2) : (- 5x)

Solução: 23

−=−

43 2 x

454 2 x

=−−

Divisão de Polinômio por Polinômio

Para efetuarmos esta divisão devemos seguir alguns passos. Ex: (2x2 – 5x – 12): (x – 4) 1º Passo: Observar se as potências de x estão em ordem decrescente; 2º Passo: Colocar a chave de divisão; 3º Passo: Dividir o primeiro termo do dividendo (2x2) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o primeiro termo do quociente 2x2 – 5x –12 x – 4 . 2x 4º Passo: Multiplicar o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor, colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. 5º Passo: Reduza a termos semelhantes ( Adição ou Subtração)

2x2 - 5x -12 x – 4 . -2x2 + 8x 2x + 3x – 12 6º Passo: Repete-se as passagens anteriores até que o dividendo termine. 2x2 - 5x -12 x – 4 . -2x2 + 8x 2x +3 + 3x -12 - 3x +12 0 Resposta: 2x+3

E X E R C I C I O S 1) Efetue: a) (2x2 - 9x + 2) + (3x2 + 7x - 1) R. 5x2 - 2x + 1 b) (x2 - 5x + 3) + (-4x2 - 2x) R. -3x2 - 7x + 3 c) (4x – y - 1) – (9x + y + 3) R. -5x - 2y - 4 d) (6x2 - 6x + 9) – (3x2 + 8x - 2) R. 3x2 - 14x + 11 e) (x2 + 2xy + y2) – (y2 + x2 + 2xy) R. 0 f) (2x3 -3x2 + 4x -1) + (x3 + 2x2 -5x + 3) R. 3x2 – x2 – x + 2 g) (4x2 +3x - 4) - (2x3 + x2 - x + 2) R. -2x3 + 3 x2 + 4x - 6 2) Calcule os produtos: a) a2 (m + a3) R. a2m + a5

b) 2x (x - 2x + 5) R. -2x2 + 10x c) (3x2- 4x -3) (x + 1) R. 3x3 - x2 - 7x - 3 d) (x2 + x + 1) (x - 3) R. x3 -2x2 - 2x - 3 e) (2x + 5)(2x - 5) R. 4x2 – 25 f) (3x + 2) 4x – 5) R. 12x2 -7x - 10 g) (x2 – 4x + 3) (x2 + 4x + 5) R. x4 – 8x2 – 8x + 15 3) Efetue as divisões: a) (x3 + 2x2 + x ) : (x) R. x2 + 2x + 1

b) (3x4 - 6x3 + 10x2) : (-2x2) R. 5323 2 −+− xx

c) (x2 + 5x + 6) : (x + 2) R. x + 3 d) (2x2 + 6x + 4) : (x + 1) R. 2x + 4 e) (x3 - 27) : (x - 3) R. x2 + 3x + 9 f) (x2 - 9) : (x - 3) R. x + 3

NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Seja a função f(x) = 2x +1, vamos dar valores para x que se aproximem de 1, pela sua direita (Valores maiores que 1) e pela sua esquerda (Valores menores que 1), e calcular y.

X y = 2x + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02

x y = 2x + 1 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98

À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 ( x → 1 ), y tende a 3 ( y 3 ), então temos a notação ... → Genericamente temos ... lim f(x) = b x a → … mesmo que em alguns casos para x = a resulte y ≠ b.

Y = 2x + 1

lim ( 2x + 1 ) = 2(1) + 1 = 3 x 1 →

PROPRIEDADES DOS LIMITES ⇒Limite da Soma ou Limite da Diferença O limite da soma ou da diferença de duas funções é igual à soma ou a diferença dessas funções, isto é: lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x) = a ± ± b x a x a x a → → → Exemplos : a) lim ( x + 4x² ) = lim x + lim 4x² = 2 + 4 . 2² = 2 + 4 . 4 = 2 + 16 = 18 x 2 x 2 x 2 → → → b) lim ( 4x² - x ) = lim 4x2 - lim x = 4 . 2² - 2 = 4 . 4 - 2= 16 - 2 = 14 x 2 x 2 x 2 → → → ⇒Limite do Produto O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é: lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) = a . b x a x a x a → → → Exemplo : a) lim 4x2 = lim 4 . lim x2 = 4 . 32 = 4 . (3 . 3) = 4 . 9 = 36 x 3 x 3 x 3 → → → ⇒ Limite do Quociente O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o limite do divisor for igual a zero), isto é:

axxgxf

→)(lim

)()(lim

Exemplo : lim ( x + 3 ) a) lim ( x + 3 ) = x 2 = 2 + 3 = 5 → x 2 ( x + 4 ) lim ( x + 4 ) 2 + 4 6 →

x 2 →

⇒ Limite de uma potência O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função, isto é:

n lim f(x)n = lim f(x) , n ∈ N* = an se a > 0 x a → Exemplo : 3 a) lim ( x² - 2 )3 = lim ( x² - 2 ) = ( 2² - 2 )3 = ( 4 – 2 )3 = 23 = 8 x 2 x→2 → ⇒ Limite de uma raiz O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função., isto é:

.0)(,)(lim)(lim * ≥∧Ν∈

→xfn

( Se f(x) ≤ 0, n é ímpar )

Exemplo :

111481222

1lim 232323

=−+=−+=→

→−+

⇒ outra propriedade (Forma indeterminada) É quando uma expressão sem significado, ou seja 0/0 não fornece uma solução para um determinado problema. Uma estratégia que pode ser utilizada para resolver este tipo de problema é a seguinte:

• Substitua a função dada por outra mais apropriada que assuma os mesmos valores que a função original em todos os pontos exceto x = a .

• Calcule o limite desta função quando x se aproxima de a Exemplos: 1) lim 4(x² - 4) (como tanto o numerador como o denominador desta expressão se aproxima de zero x 2 x - 2 quando x se aproxima de 2, temos aqui a forma indeterminada 0/0). Podemos escrever: → 4(x² - 4 ) = 4(x – 2) ( x +2) (x – 2) (x – 2) que, após cancelamento dos fatores comuns, é equivalente a 4(x + 2), e tomamos o limite quando x se aproxima de 2, obtendo: lim 4(x² - 4) = lim 4( x + 2) = 4 ( 2 +2) = 4 . 4 = 16 x 2 x - 2 x 2 → → 2 ) lim x² - 4 = lim ( x + 2 ).( x – 2 ) = lim ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4 x 2 x – 2 x 2 ( x – 2 ) x 2 → → →

► Nota-se a impossibilidade de calcularmos 24

−−2

xx para x = 2 ( Indeterminação ). Trocamos então

−−

xx por x + 2 , possibilitando assim o cálculo quando x = 2.

3 ) lim x² - 4x + 3 = lim ( x – 3 )( x – 1 ) = lim x –1 = 3 – 1 = 2 = 1 x 3 x² - 9 x→3 ( x + 3 )( x – 3 ) x 3 x + 3 3 + 3 6 3 → → 4) lim 2x3 + x2 – 4x + 1 = 0 , os polinômios se anulam. x 1 x3 – 3x2 + 5x – 3 0 → Portanto, pelo teorema de D´Alembert, são divisíveis por (x – 1), isto é, (x - 1) é um fator comum em: (2x3 + x2 – 4x + 1) e (x3 – 3x2 + 5x – 3) . Então, faz-se: 2x3 + x2 – 4x + 1 |x – 1 nnnn -2x3 + 2x2 2x2 + 3x - 1

x3 – 3x2 + 5x – 3 |x – 1 nnnn

3x2 - 4x -3x2 + 3x - x + 1 + x – 1 0 Logo: lim 2x2 + 3x – 1 = 2 x 1 x2 -2x + 3 →

E X E R C Í C I O S 1) Calcular

a ) Resposta:10 2

)432(lim 2

→=−+

b ) = Resposta:10 ( 4x3lim2x

c ) 1x

5lim0x −→

= Resposta: - 5

d ) Resposta: 2 =−→

)43(lim 2

e ) lim 3x - 9 = Resposta: 3 x 5 x - 3 → f ) lim x2 – 7x = Resposta: 0 x 7 x + 2 →

g ) lim 2x² - 3x + 1 = Resposta: 0 x 1 3x² + 2x - 1 → h) lim x5 - 4 = Resposta: 9 x - 2 x - 2 → i) lim 2x – 5 = Resposta:2 x 6 →

-x3 + x2 x2 -2x + 3 -2x2 +5x

+2x2 - 2x 3x - 3

-3x + 3 0

j) lim x² + 3 = Resposta:2 x→ 3 x2 l) lim x² + 3 Resposta: 13 x 7 4 → m) lim x² + 4x - 2 = Resposta: 43 x 5 → n) lim (5 + 3x )7 = Resposta: -1 x - 2 → o) lim | ( x – 1 ) . ( x + 4 )| = Resposta: 4 x 0 → p) lim 132 ++ xx = Resposta: 5

→ x 1

q) lim x2 + 2x -3 = Resposta: 4/7

x -1 4x - 3 →

2 r) lim 2x2 – x + 1 = Resposta: 4

x→ 1 3x - 2

s) lim 32

+++−+

xxxxx Resposta: -2

x→ - 2

t) lim 323

++−−

xxxx Resposta: 2

x - 2 →

2) Calcule os limites indicados, caso existam. a) lim x² -1 = Resposta: 2

x 1 x - 1 →

b) lim x² - 4 = Resposta: - 4

x -2 x + 2 →

c) lim 2x² - 3x = Resposta: -3

x 0 x →

d) lim 2(z2 – 4) = Resposta: 8

z 2 z - 2 →

e) lim 3x3 – 4x2 – x + 2 = Resposta: 5/3

x 1 2x3 – 3x2 + 1 →

f) lim x3 – 3x2 + 2 = Resposta: 3/5

x 1 x3 – 4x2 + 3 →

g) lim x3 – 3x2 + 6x - 4 = Resposta: 1

x 1 x3 – 4x2 + 8x - 5 →

EXE RCÍCIOS COMPLEMENTARES - L I M I T E S

1) Calcular os limites utilizando as propriedades da soma ou da diferença :

a ) Resposta: 3 2

)1(lim 2

→=−

b ) 21lim

→ xx

x Resposta: 4/5

c ) 11lim

1 −+

−→ xx

x = Resposta: não existe

d ) lim x3 - x = Resposta: 3 x 2 x → e) lim 3x + 1 = Resposta: -1 x→ -2 5

2) Propriedade do produto:

a ) lim 2x2 = Resposta: 8 x 2 →

b ) lim 2x² + 3 = Resposta: 5 x 1 →

c) lim 3x2 = Resposta: 12 x 2 →

3) Propriedade do quociente:

a) lim (x + 2) = Resposta: 3/4 x→ 1 ( x + 3) b) lim x² + 4 = Resposta: 2 x 2 2 + x → c) lim x² - 16 = Resposta: -5/3 x 1 8 + x → 4) Propriedade da potência: a) lim (x² - 2)2 Resposta: 1 x 1 → b) lim 2x² - x + 1 2 = Resposta: 4

x→ 1 3x - 2

c) lim (3x² - 5x + 2)2 = Resposta: 16 x 2 → 5) Propriedade da raiz: a) lim 232 xx − = Resposta: 12 x 2 →

b) lim 33 +x = Resposta: 2 x 1 →

c) lim x21 = Resposta: 1

x 2 → 6) Limites indeterminados: a) lim x² - 64 = Resposta: 16

x 8 x - 8 →

b) lim x² - 9 = Resposta: 6

x 3 x - 3 →

c) lim x² - 4 = Resposta: 2

x 2 x2 - 2x →

d) lim x² - 3x + 2 = Resposta: -1

x→ 1 x - 1

e) lim 3x3 – 4x2 – x + 2 = Resposta: 5/3

x 1 2x3 – 3x 2 + 1 →

f) lim x3 – 1 = Resposta: 3/2

x 1 x2 – 1 →

7) APLICAÇÃO: A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de

bilheteria é aproximada pela função T(x) = 4

+xx onde T(x) é medido em milhões de dólares e x é o

número de meses do filme em cartaz. Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro mês de lançamento? E após o segundo mês? E após o terceiro mês?

Resp. $ 24 milhões; $ 60 milhões; $ 83,076923 milhões aproximadamente $ 83,1 milhões

D E R I V A D A S

RAZAO DE VARIAÇÃO MÉDIA – OU TAXA DE VARIAÇAO MÉDIA

Seja f uma função definida num conjunto D e x0 e x0 + Δx dois pontos de D. Quando a variável

x passa do valor x0 para o valor x0 + Δx sofrendo uma variação Δx, o correspondente valor da função passa de f(x0 ) para o valor f(x0 + Δx ) sofrendo, portanto, uma variação:

Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) Conforme mostra a figura a seguir: y f(x0 + Δx)

Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) f(x0 ) Δx x0 x0 + Δx x O quociente Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) recebe o nome de razão média das variações ou taxa de Δx Δx variação média da função. EXEMPLOS 1) Seja a função f tal que f(x) = 3x + 1, com x ∈ R. Se x0 = 1; x0 + Δx = 4; portanto, Δx = 4 - 1 = 3 Então: f(x0) = 3 . 1 + 1 = 4 f(x0 + Δx) = 3(x0 + Δx) + 1 = 3 . 4 + 1 = 13 Logo, Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = 13 – 4 = 9 = 3 Δx Δx 3 3

Graficamente: y 13 Δy = 9 4 Δx 1 4 x 2) Seja a função f tal que f(x) = x2 + 5, com x ∈ R. Se x0 = 2; x0 + Δx = 4; portanto, Δx = 4 - 2 = 2 Então: f(x0) = 22 + 5 = 9 f(x0 + Δx) = 42 + 5 = 16 + 5 = 21 Logo, Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = 21 - 9 = 12 = 6 Δx Δx 2 2 3) Seja a função f tal que f(x) = x3 - 1, com x ∈ R. Se x0 = 4; x0 + Δx = 0; portanto, Δx = 0 - 4 = -4 Então: f(x0) = 43 - 1 = 64 – 1 = 63 f(x0 + Δx) = 03 - 1 = -1 Logo, Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = -1 – 63 = -64 = 16 Δx Δx -4 -4 4) Seja a função f tal que f(x) = x + 1, com x ∈ R. Se x0 = 4; x0 + Δx = 5; portanto, Δx = 5 - 4 = 1 Então: f(x0) = 4 + 1 = 5 f(x0 + Δx) = 5 + 1 = 6 Logo, Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = 6 – 5 = 1 = 1 Δx Δx 1 1

E X E R C I C I O S 1) Calcular a Taxa Média de Variação das funções abaixo para os pontos indicados: x0 x0 + Δx a) f(x) = 4x + 1 2 e 3 b) f(x) = -4x 2 e 5 c) f(x) = x + 2 2 e 10 d) f(x) = -x + 1 2 e 6 e) f(x) = 2x + 3 -5 e 5 Respo

stas a) 4 f) f(x) = -4x + 5 0 e 10 b) -4 c) 1 g) f(x) = x2 + 2 0 e 3 d) -1 e) 2 h) f(x) = x2 –12x + 13 2 e 4 f) -4 g) 3 i) f(x) = x2 – x + 1 1 e 2 h) -6 i) 2

j) f(x) = x2 2 e 3 6j) -2 l) 8 l) f(x) = 2x + 4 0 e 1 m) 12 3x - 2 2a) 15 2b) -1 m) f(x) = 2x 3 e 5

3) 3 4) 0,40 2) Determine a TVM das funções abaixo de acordo com os pontos dados: 5) 9 6) 7,50 a) f(x) = 3x – x2 (-2; -10)

b) f(x) = - x1 (3; -

3) Seja y = x2 -4x. Calcule a TVM de y em relação a x no intervalo de 3 à 4 . 4) A função demanda para um certo tipo de barracas para acampamento é dada por p(x) = - 0,1x2 + x + 40, onde p é medido em dólares e x em milhares. Calcule a TVM do preço unitário da barraca se a quantidade em demanda estiver entre 2mil e 4mil barracas. 5) As projeções são de que o Produto Interno Bruto (PIB) de certo país seja de N(t) = t2 + 2t + 50 bilhões de dólares daqui a t anos. Qual será a TVM desse país entre 2 e 5 anos próximos? 6) O faturamento mensal (em dólares) obtido com a venda de certos barbeadores elétricos está relacionado

ao preço (p) por unidade é representado através da equação R(p) = -21 p2 + 30p. Calcule o faturamento

médio quando o preço de um barbeador estiver entre $15 e $30.

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

Estamos agora interessados em estudar o comportamento dos valores da taxa média para pequenas variações Δx.

Uma das maneiras de examinarmos este comportamento consiste em avaliar o limite do quociente Δy/Δx quando Δx → 0 , pois o limite, caso exista, nos fornece um valor aproximado do quociente Δy/Δx para pequenos valores de Δx. Por exemplo, se f(x) = x2, a taxa média de variação entre os pontos x0 e x0 + Δx é dada por: Δy/Δx = 2x0 + Δx. Mas, o lim Δy = lim (2x0 + Δx) = 2x0 , que é um valor aproximado de Δy/Δx, para pequenos valores Δx→0 Δx Δx→0 de Δx. Definição: seja f uma função definida num intervalo aberto ]a, b[ e x0 um ponto deste intervalo. O limite lim Δy = lim f(x0 + Δx) - f(x0) , quando existe, isto é, quando é um número real, recebe o nome de Δx→0 Δx Δx→0 Δx derivada da função no ponto x0. Neste caso dizemos também que f é derivável no ponto x0. A derivada de f no ponto x0 . Será indicada por uma das notações seguintes: f’(x0), y’(x0) entre outras. EXEMPLOS 1) Calcular o valor da derivada da função f(x) = x2 no ponto x0 = 2. Resolução: A derivada de f(x) = x2 no ponto x0 = 2, é dada pelo limite: f’(2) = lim f(2 + Δx) - f(2) Δx→0 Δx f´(2) = (2 + Δx)2 - (22)

f´(2) = 4 + 4Δx + (Δx)2 - 4 = Δx (4 + Δx ) = 4 + Δx

Δx Δx Logo, f’(2) = lim 4 + Δx = 4 Δx→0 2) Calcular o valor da derivada da função f(x) = 2x no ponto x0 = 3. Resolução: A derivada de f(x) = 2x no ponto x0 = 3, é dada pelo limite: f’(3) = lim f(3 + Δx) - f(3) Δx→0 Δx = lim 2 (3 + Δx) - [2(3 )] = (6 + 2Δx) - 6 Δx→0 Δx Δx = lim 6 + 2 - 6 = 8 – 6 = 2 Δx→0 3) Calcular o valor da derivada da função f(x) = x2 + x no ponto x0 = 1. Resolução: A derivada de f(x) = x2 + x no ponto x0 = 1, é dada pelo limite: f’(1) = lim f(1 + Δx) - f(1) Δx→0 Δx = lim [(1 + Δx)2 + (1 + Δx)] – [ (12 + 1)] Δx→0 Δx = lim 12 + 2 . 1. Δx + (Δx)2 + 1 + Δx - [ 2 ] = 1 + 2Δx + Δx2 + 1 + Δx - 2 Δx→0 Δx Δx

= lim 3Δx + Δx2 = Δx (3 + Δx ) = 3 + Δx = 3 Δx→0 Δx Δx

E X E R C I C I O S Calcular a derivada de cada uma das seguintes funções, nos pontos indicados: a) f(x) = 3x x0 = 2 b) f(x) = 2x + 1 x0 = -3 c) f(x) = x2 x0 = 1 d) f(x) = x2 + x x0 = 1

Respostas a) 3 b) 2 c) 2 d) 3 e) 4 f) 4 g) 4 e) f(x) = 4x + 1 x0 = 3

f) f(x) = x2 + 10 x0 = 2 g) f(x) = x2 + 1 x0 = 2

REGRAS DE DERIVAÇÃO Nem sempre necessitamos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, mas esse método, além de ser repetitivo para certos tipos de funções como as lineares e polinomiais, por exemplo, só é prático para funções muito particular e simples. Por este motivo, temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida. 1.Derivada de uma função constante Seja f: R→ R definida por f(x) = c. A sua derivada em um ponto x qualquer do seu domínio é dada por:

f´(x)(c) = 0 Exemplo: Dada a função f(x) = 2 f´(x) = f(x + Δx) - f(x) = 2 – 2 = 0 Δx Δx Logo, f(x) = 2 ⇒ f’(x) = 0 2.Derivada da função potência Seja n um número natural e f(x) = xn, então: f(xn) = n . xn-1

Exemplos a) Dada a função f(x) = x2

Resolução: n = 2 f´(x) = n . (x)n-1 = 2(x)2-1 = 2(x)1 = 2x b) Dada a função f(x) = x1/4

Resolução: n = 1/4

f´(x) = n . xn-1 = 41 (x)

141−

( obs. Tira-se o m..m.c de 141− )

f’(x) = 41 x-3/4

c) Dada a função f(x) = x-4

Resolução: n = -4

f´(x) = n . xn-1 = -4x-4-1 = -4x-5 = -4 . 5

3. Derivada do produto

A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é igual ao produto da primeira função pela derivada da segunda função mais o produto da segunda função pela derivada da primeira. Analogamente, o produto de mais de duas funções diferenciáveis é igual a soma dos produtos da derivada de cada função pelas outras funções. Se f(x) = uv, onde u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis de x: f(x) = u . v´ + v. u´

Exemplo a) Se f(x) = (x3 + 4) (x + 3)

Resolução: u = (x3 + 4) v = (x + 3) u´ = 3x2 v´ = 1(x1-1) = 1

f´(x) = (x3 + 4) (1) + (x + 3)(3x2 )

f(x) = x3 + 4 = 3x3 + 9x2

f´(x) = 4x3 + 9x2 + 4

4. Derivada da soma de duas funções

A derivada da soma de um número finito de funções lineares é igual a soma das duas derivadas: Se f(x) = u + v, onde u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis de x:

f(x) = u´ + v´ Exemplos: a) Dada a função f(x) = 3x2 + 4x + 2 Resolução: u = 3x2 v = 4x u´ = 2 . 3x = 6x v´ = 1 . 4 = 4 f´(x) = 6x + 4 b) Dada a função f(x) = 4x3 - 4x2 + 1 Resolução: u = 4x3 v = -4x2 u´ = 3 . (4x2) = 12x2 v´ = 2 . (-4x) = -8x f´(x) = 12x2 – 8x 5. Derivada do quociente de duas funções

A derivada do quociente de duas funções diferenciáveis é igual ao quociente do produto do denominador pela derivada do numerador menos o produto do numerador pela derivada do denominador, dividido pelo quadrado do denominador: Se f(x) = u/v, onde u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis de x:

v . u´ - u . v´ f(x) = v2

Exemplos a) Se f(x) = x2 – 4x + 1 x - 6 Resolução: u = x2 – 4x + 1 v = x - 6 u´ = 2x - 4 v´ = 1

f´(x) =[ (x - 6) (2x –4)] – [(x2 – 4x + 1 (1)] = 2x2 – 12x – 4x + 24 – x2 + 4x - 1 (x – 6)2 x2 – (2 . x . 6) + 62

f´(x) = 2x2 –16x + 24 - x2 + 4x - 1 x2 – 12x + 36 f´(x) = x2 – 12x + 23 x2 – 12x + 36 b) Se f(x) = 4 x6

Resolução: u = 4 v = x6

u´ = 0 v´ = 6x5

f´(x) = (x6)(0) – 4 (6x5)

f´(x) = –2 4x5) = -24

x12 (x)7 DERIVADAS SUCESSIVAS DE UMA FUNÇÃO Seja f’a função derivada de uma função f, num intervalo aberto I. Se f’é derivável em I podemos considerar a função f’’ derivada de f’em I. Tal função recebe o nome de derivada segunda de f em I. De modo análogo podemos definir as derivadas terceiras, quartas etc., de f em I. Estas derivadas serão indicadas por: f’’; f(2); d2f; d2y; y’’ – derivada segunda dx2 dx2 fn; f(n) dny; dny; yn - derivada de ordem n dxn dxn EXEMPLOS

2)f(x) = x4 – x3 1) f(x) = x2

f’(x) = 4x3 – 3x2 f’(x) = 2x (derivada primeira) f’’(x) = 12x2 – 6x f’’(x) = 2 (derivada segunda) f’’’(x) = 24x - 6 f’’’(x) = 0 (derivada terceira) f(4)(x) = 24 f(4)(x) = 0 (derivada quarta) f(5)(x) = 0

E X E R C I C I O S

1) Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir: a) f(x) = 20 b) f(x) = x3 c) f(x) = 4x2 d) f(x) = 3x3 + 20 e) f(x) = 10x + 5 f) f(x) = x2 – 6x + 8 g) f(x) =x3 – 10x2 + 50 h) f(x) = x4 – 6x2 + 20

2) Calcule a derivada das funções potência abaixo: a) f(x) = x-5/3

b) f(x) = x1/2 c) f(x) = x3 d) f(x) = x3/2

3) Calcule a derivada do produto das funções: a) f(x) = (3x4 + 2) (x + 2x) b)f(x) = (3x2 + 5) (x2 + 2) c) f(x) = (x2 +1) (x3 + 2x) d) f(x) = (2x2 + 1) (x2 +2) e)f(x) = (3x + x2) (2x +1) 4) Calcule a derivada da soma das funções: a) f(x) = x + 1 b)f(x) = x2 + 3 c) f(x) = x2 - ex d) f(x) = x3 - 2 5) Calcule a derivada do quociente: a) f(x) = x + 1 x – 1 b) f(x) = x + 3 x - 1 c) f(x) = x2 + 3x + 1 x - 2 d) f(x) = x2 + 1 x + 1 e) f(x) = 3…..

2x3 6) Calcule as derivadas sucessivas f(´´´) das funções: a) f(x) = 3x2 + 5x + 6 b) f(x) = 4x2 + 2x c) f(x) = 2x + 4 d) f(x) = 3x2 e) f(x) = x6 f) f(x) = x4 - 3x3 + 2x + 1 g) f(x) = 1 – x3

h) f(x) = x4 - 6x2 + 10 i) f(x) = x2 - 5x + 8 j) f(x) = x3 – 10x2 + 2

34 x3 - 5x2 + 10 k) f(x) =

Respostas 1a) 0 b) 3x2 c) 8x d) 9x2 e) 10 f) 2x – 6 g) 3x2 – 20x h) 4x3 – 12x

2a) -35 x-8/3

3a) 45x4 +6 5a) – 2/(x –1)2 6a) 0 b) 12x3 + 22x b) –4/(x-1)2 b) 0

b) 21 x-1/2 c) 5x4 + 9x2 + 2 ) x2 – 4x - 7 c) 0 c

c) 3x2

d) 23 x1/2

d) 8x3 + 10x

(x –2)2 d) 0 e) 6x2 + 14x + 3 4a) 1 b)2x c)2x – ex d) 3x2

d) x2 + 2x - 1 e) 120x3 (x +1)2 f) 24x –18

g) –6 e) –18 4x4 h) 24x

i) 0 j) 6 k) 8

PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO

1º Momento – Cálculo das coordenadas (abscissas e ordenadas) de pontos de máximos e/ou mínimos

absolutos.

2º Momento – Cálculo de áreas e volumes de algumas figuras planas.

Demonstrações:

Consideremos y = f(x) uma função de variável real )( ℜ∈x com as seguintes condições:

- Definida – Existe o valor numérico para qualquer ponto de intervalo considerado[a,b] = }bx , seja { ax ≤≤ℜ∈ / α ∈ [a,b] – condição de )(xf ser definida: ∃ )(αf .

- Derivável – Existe o limite da função para x tendendo a qualquer ponto do intervalo considerado: ∃ )(lim xf

x α→

- Contínua – O valor numérico deverá ser igual ao limite de f(x)

)()(lim ααx→

Portanto, sendo a função dada definida, derivável e contínua podemos esboçar graficamente:

Os pontos B, D e F são pontos de mínimo relativos. O ponto F é chamado de mínimo absoluto. Os pontos A,C e E são pontos de máximo relativos. O ponto E é chamado de máximo absoluto. Nosso objetivo está focado em calcular os pontos de máximos e mínimos absolutos. Descreveremos a seguir um roteiro, ou seja, uma seqüência de procedimentos para chegarmos ao nosso objetivo: Para uma função f(x),

I) Calcular a derivada de 1ª ordem da função dada. (f’(x));

II) Transformar a função derivada de 1ª ordem numa equação (f’(x) = 0)

III) Achar as raízes da função obtida.

. . .x

D b B F

⎩⎨⎧

'0)('xx

xf sendo α e β raízes da função

IV) Calcular derivada de 2ª ordem. (f’’(x));

V) Estudar o sinal de f’’(x) para as raízes obtidas.

0)('' >αf , então abscissa de mínima.

0)('' =αf , então nem máxima nem mínima.

0)('' <αf , então abscissa de máxima.

Mesmo procedimento para )('' βf ;

VI) Para calcular a ordenada basta achar o valor numérico da função para as raízes obtidas,

(substituir x na função dada).

EXEMPLOS:

1) Seja a função f(x) = -x2 + 2, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.

I) f´(x) = -2x

II) f´(x) = 0

III) -2x = 0

x = 0/(-2) x = 0

IV) f´´(x) = -2

V) f´´(x) = -2 ⇒ ( -2 < 0, abscissa máxima)

VI) f(x) = -x2 + 2

f(x) = (-0)2 + 2

f(x) = 2 Portanto, PM ( 0; 2)

2) Seja a função f(x) = x2 + 6x - 3, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.

I) f´(x) = 2x + 6

II) 2x + 6 = 0

III) 2x = -6 x = (-6) / 2 x = -3

IV) f´´(x) = 2

V) 2 ⇒ (2 > 0, abscissa mínima)

VI) f(x) = x2 + 6x - 3

f(x) = (-3)2 + 6(-3) - 3 =

f(x) = 9 – 18 - 3 = -21 + 9 = -12 Portanto, Pm (-3; -12)

3) Seja a função f(x) = -x2 + 6x - 3, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.

I) f´(x) = -2x + 6

II) -2x + 6 = 0

III) -2x = -6 x = (-6) /(- 2) x = 3

IV) f´´(x) = -2

V) f´´(x) = -2 ( -2 < 0, abscissa máxima )

VI) f(x) = x2 + 6x - 3

f(x) = -(3)2 + 6(3) - 3

f(x) = -9 + 18 - 3 = 6 Portanto, PM ( 3; 6)

4) Dada a função 18532)( 23 −+−= xxxxf , determine os pontos de máximos e mínimos da função, se

houver: I) 8102)(' 2 +−= xxxf

II) 2x2 – 10x + 8 = 0

208102 2

==+−

⇒ ⇒ 36

641008.2.4)10( 2

=Δ−=Δ

−−=Δ

2.236)10( ±−−

=x ⇒ ⇒ 44

610' ==

' ==−

=x ; raízes = 4 e 1

IV) 104)('' −= xxf

V) para x = 4 ‘para x = 1

066)4(''

1016)4(''104.4)4(''

−=−=

066)1(''

104)1(''101.4)1(''

<−−=−=−=

então, abscissa de mínima então, abscissa de máxima

VI) para x = 4 para x = 1

319)4(

3147128)4(

128)4(

132803

128)4(

13216.564.32)4(

14.84.54.32)4( 23

−+−=

362)1(

232)1(

18532)1(

181.51.32)1(

11.81.51.32)1( 23

−+−=

Solução: o par ordenado ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

38,1 é um ponto de máximo e o par ordenado ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

319,4 é um ponto de mínimo.

E X E R C I C I O S 1. Determine os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções: a) f(x) = x2 b) y = x2 - 7x + 12 c) y = 10x2 + 5x d) y = x 2 + 1 e) y = x 3 - 3x + 4 f) y = (x 3/3) - 5x2 + 21x g) y = x2 - 5x + 10 h) y = - x2 + 12x i) y = x2 + 3 j) y = 6x - x2 k) y = (-x3/3) + 4x + 6 l) y = x2 + 9 m) y = x2 - 3x + 2 n) y = x2 + 5x - 6 o) y = (x3/3) - 7,5x2 + 50x + 5

2. O lucro total da Cia Alfa é dado pela fabricação e venda de x unidades de suas mercadorias que esta representada pela função L(x)= -0,02x2 + 300x - 200000. Quantas unidades a Cia deve produzir para aumentar seus lucros ao máximo?(ponto de máximo).

3. A equação da receita de um certo produto é R(x) = 10x – x2. Calcule o ponto de mínimo e de máximo com que o produtor deve trabalhar para que tenha um lucro máximo, sabendo que o custo de produção é dado por C(x) = x3 – 2x2 + 5x + 1. Sabe-se que: L(x) = R(x) – C(x).

4. A função que representa o volume de uma caixa é V(x) = 600x - 20x2. Determine a abscissa máxima da caixa.

5. Suponha que a equação R(x) = -x + x2 (receita) e que a equação C(x) = -2x3 + 2x2 + 4x -1 (custo) são utilizadas pela eletrônica Estrela para saber qual o ponto de mínimo e de máximo que a mesma deve trabalhar. Determine-os.

6. Uma empresa que fabrica bichinhos de pelúcia calcula que seus custos e sua receita podem ser modelados pela equação: R(x) = 500x – x2 e C(x) = -7500 + 1,05x. Onde x é o número de brinquedos. Quantas unidades a empresa deve produzir para aumentar seu lucro ao máximo?

7. A receita anual R (em milhões de dólares) da Wm. Wrigley Jr. Company entre 1994 e 2000 pode ser modelada pela função R(x) = -x2 + 2x + 1 e os custos C(x) = 2x3 – 49x2 + 360x + 396 também em milhões de dólares. Determine os pontos de máximo e de mínimo.

8. Entre 1990 e 1998, o consumo C de carne de frango nos Estados Unidos (em libras sem osso por pessoa) pode ser modelado pela função C(x) = -0,073x2 + 1,64x + 42,4. Determine o valor máximo absoluto.

9. Um fabricante de brinquedos verifica que as funções custo e receita de um determinado jogo são dadas por: C(x) = 2,4x – 0,0002x2 e R(x) = 7,2x – 0,001x2. Determine o ponto de máximo.

10. Uma lanchonete determinou que a demanda mensal de hambúrgueres vendidos aumente cada vez mais. A função lucro para hambúrgueres é L(x) = 2,44x – x2/20000 + 5000, determine o nível de produção para qual o lucro em reais é máximo.

11. Uma empresa verificou que a receita total (em reais) com a venda de um produto pode ser modelada pela função R(x) = -x3 + 45x2 + 525x. Maximize a receita da empresa.

GABARITO

1. a) Pm(0;0) b) Pm(3,5; -0,25) c) Pm(-0,25; -0,625)

d) Pm(0; 1) e) Pm(1; 2) e PM(-1; 6) f) Pm(7; 16,3) e PM(3; 27)

g) Pm(2,5; 3,75) h) PM(6; 36) i) Pm(0; 3)

j) PM(3; 9) k) PM(-2; 2/3) e Pm(2; 34/3) l) Pm(0; 9)

m) Pm(1,5; -0,25) n) Pm(-2,5; -12,25) o)Pm(10; 88,33) e PM(5; 109,16)

2. PM(7500; 925000) = 7500 unidades 925.000,00 de lucro

3. Pmínimo(-1; -4) e Pmáximo(5/3; 148/27)

4. Abscissa máxima (-40 )

5. Pm(1,09; -3,04) e PM(-0,76; 3,34)

6. (≈250 unidades e R$ 69.737,5 de lucro)

7. Pm(5,91; -1.274,08) e PM (10,08; -1.174,92)

8. máximo absoluto 51,61 libras

9. PM(3000; 7200)

10. PM(24400 hambúrgueres e 34.768,00 de lucro)

11. Pm(-5; -1375) PM (35; 30.625) este ponto é o que representa a maximização da receita da empresa.

BIBLIOGRAFIA

Dowling,E.T. – Elementos da Matemática Aplicada a Economia e Administração – Rio de Janeiro –

Editora Mac Graw Hill.

Iezzi, G.E Outros – Fundamentos da Matemática Elementar – Vols 1 e 2 – Atual Editora, 1993.

Medeiros e Outros – Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis.

Volume 1 - Editora Atlas – 5ª edição –SP.

Nery, Chico E Totta, Fernando – Matemática Curso Completo – Editora Moderna ,1994 – SP.

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