Universidade Nove de Julho -UNINOVE-

Material de apoio de

Métodos Quantitativos Material elaborado por: Professora Marcia Terezinha dos Reis Santos Professora Nadya Aparecida de Ávila Professor Paulo Sergio Pereira da Silva Professor Sérgio Rollo dos Santos Professora Simone Santana

São Paulo, 2010

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FUNÇÃO DO 10 GRAU :Aplicações Chamamos de função do 1o grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a é não nulo.

Definição: f: IR→ IR definida por f(x) = ax + b, a ∈ IR* e b ∈ IR OBS.:

a) O gráfico da função do 1o grau é uma reta. b) O conjunto imagem da função do 1o grau é IR. c) A função do 1o grau com b = 0, ou seja, f(x) = ax é chamada linear.

Exemplo Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR. Considerar x = 0 e 1. a) f(x) = x +2 f(x)

= IR

3 2 Im 1

X f(x) = x +2 0 0 + 2 = 2 1 1 + 2 = 3

b) f(x) = 5x

X f(x) = 5x 0 5 . 0 = 0 1 5 . 1 = 5

Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto. Raiz ou zero da função do 1o grau Dada a função do 1o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para qual ax + b = 0, ou seja o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou zero da função, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equação. Exemplo Determine a raiz da seguinte equação: a) f(x) = 3x - 6 Resolução: 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 6/3 ⇒ x = 2 Observe que em f(x) = 3x – 6, f(x) = 0 e x = 2, calculado anteriormente, o ponto (2, 0) é a intersecção da reta com o eixo x .

0 1 x

f(x)

Im

5

= IR

0 1 x

3

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E X E R C I C I O S 1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a função que representa seu salário mensal. R. S(x) = 0,08x + 300 b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10.000,00 em produtos. R. R$ 1100,00 2) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22. R. a = 5 3) Construir o gráfico das seguintes funções para x = 0 e x = 1 e ache suas raízes:

a) f(x) = 3x + 4 b) f(x) = 2x + 6

c) f(x) = -4x + 8 4) A empresa “KCK” comprou um equipamento por R$ 30.000,00 e o mesmo apresenta uma expectativa de se valorizar à razão constante de R$ 2.000,00 por ano. Determine a função que representa o valor previsto do bem. R. f(x) = 2000x + 30000 5) Conforme a equação representada no exercício anterior, qual será o valor do bem daqui a 2 anos? R. R$ 34.000,00 6) A venda de certos produtos fabricados pela empresa “KCK” é representada lei: p = -x2 + 34, onde x representa a quantidade em milhões de demanda e p o preço por unidade em reais. Determine a quantidade de demanda quando o preço for R$ 9,00. R. X = 5.000.000 unidades 7) Sabendo-se que a função que representa a oferta do produto fabricado pela “KCK” é qo = 80p + 720. Para uma oferta igual a 1280 unidades, qual será o preço? R. R$ 7,00 8) Um vendedor de livros ganha salário mínimo fixo mensal, mais uma comissão de R$ 2,00 por livro vendido. Sendo x o número de livros vendidos por mês, expresse o salário(S) do vendedor como função de x. R. S(x) = R$ 2,00x + ........... 9) Baseado no exercício anterior, se o vendedor vender 210 livros em um determinado mês, quanto será seu salário? R. R$ ................ 10) (ENEM – 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

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Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então podemos afirmar que:

a) M(x) = 500 + 0,4x b) M(x) = 500 + 10x c) M(x) = 510 + 0,4x d) M(x) = 510 + 40x e) M(x) = 500 + 10,4x R. ( c)

11) A curva de demanda para um artigo é qd = 10 – p/4. Assuma que qd é a quantidade e p representa o preço.

a) Determine a quantidade de demanda se o preço é de R$ 16,00; R. qd = 6uni b) Qual é o preço se a quantidade demandada é 7? R. p = R$12,00 c) Que quantidade será demandada se o artigo for oferecido gratuitamente? R. qd = 10 unid

12) A curva de oferta de um artigo é qo = 1,1p – 0,1.

a) Determine o preço se a quantidade ofertada é de 8u. R. p = R$ 7,36 b) Determine a quantidade ofertada se o preço é R$ 6,00. R. qo = 6,5 ≈ 7 unid

13) Seja uma mercadoria representada pela seguinte função oferta qo = 2,7p – 0,8:

a) Qual é o preço do produto quando a oferta é de 13 unidades? R. p = R$5,11 b) Qual é a quantidade ofertada para um preço de R$ 3,00? R. qo = 7,3 ≈ 8 unid

14) O custo total de produção de um determinado produto é representado pela função C(x) = 10x + 20. Onde C é o custo (em reais) e x é o número de unidades produzidas. Determine:

a) O custo de fabricação de 15 unidades; R . C(15) = R$ 170,00 b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 18.000. R . x = 1798unid

15) Uma empresa fabrica e vende um produto por R$ 100,00 a unidade. O departamento de Marketing da empresa trabalha com a Equação da Demanda apresentada abaixo, onde YD e XD representam, respectivamente, o preço e a quantidade da demanda. YD = -2X D + 10.100. Como um primeiro passo par a elaboração do Plano de Produção dessa empresa, indique a opção que responde à pergunta: “Quantas unidades produzir?” a) 5000 b) 5.050 c) 5.100 d) 5.150 e) 5.200 R. x = 5000

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FUNÇÃO QUADRÁTICA (FUNÇÃO DO 2O GRAU): Aplicações

As funções do segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios de equivalência das funções do primeiro grau, reduzem-se à seguinte expressão:

f(x) = ax2 + bx + c

Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral.

Temos três coeficientes: onde a, b e c são números reais, com a 0, e x é a incógnita. Os números a, b e c são os coeficientes da função.

Exemplos:

a) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2 b) f(x) = -x2 + 4x a = -1 b = 4 c = 0 c) f(x) = x2 – 5 a = 1 b = 0 c = -5

Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do 2o grau e sim uma função do 1o grau.

CÁLCULO DAS RAIZES DA FUNÇÃO DO 2o GRAU

A existência e o número de soluções da função f(x)= ax2 + bx + c = 0 dependem do número b2 - 4ac, a que chamará discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiúsculo). Sempre terá duas raízes, elas até podem ser iguais.

Portanto, = b2 – 4ac

No entanto, utilizaremos a fórmula de Báskara:

Logo,

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Exemplos: Resolver as seguintes equações: a) x2 – 8x + 12 = 0 a = 1, b = - 8 e c = 12

(primeiro vamos calcular o valor de delta)

(substituímos a por 1, b por –8 e c por 12)

(Delta positivo)

(fórmula de Baskara)

x = -(-8) + √16 (substituímos b por – 8, delta por 16 e a por 1) 2(1)

x = 8 + 4

2

x’ = 12 / 2 = 6

x” = 4 / 2 = 2

S = {6 ; 2}

b) x2 – 12x + 36 = 0 a = 1, b = - 12 e c = 36

(Delta igual a zero)

S = {6}

7

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c) 2x2 – 4x + 3 = 0

a = 2, b = - 4 e c = 3

(Delta negativo)

S = { }, não existe raiz de número real negativo

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DO 2O GRAU

- O gráfico desta função é uma curva plana denominada parábola, - O domínio: Dom(f)=R; - A imagem: Im(f)=R. Obs.: O coeficiente “a” é o termo dominante da função e indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Isso significa que se o "a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo:

Se este for negativo (a<0), a parábola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo:

Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parábola "corta" o eixo dos X. Veja no exemplo o que é "raiz" graficamente:

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Exemplo: Faça o esboço gráfico da seguinte função :

Resolução: Vamos primeiro calcular as raízes usando BÁSKARA. Os coeficientes são: A=1, B=-1 e C=-2. Colocando na fórmula, temos:

As duas raízes são 2 e –1, então já sabe os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica:

Y

X

Estudo do vértice O que é vértice de uma parábola? - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo. Veja os exemplos abaixo:

9

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O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "eqüidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv.

Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Portanto a fórmula para o cálculo de Yv é:

Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c:

Se a > 0, a função assume um valor de mínimo: Se a < 0, a função assume um valor de máximo:

a4Δ

a4Δ Yv = - Yv = -

Exemplo Determinar os vértices (Xv e Yv) da função y = x2 - 2x + 3, escreva se a função admite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo. Resolução: Vértices

Xv = -(-2)/2 ( 1) Δ = b2 - 4ac Yv = -(-8)/4 ( 1)

Xv = 2/2 Δ = (-2)2 - 4( 1)( 3) Yv = 8/4

Xv = 1 Δ = 4 - 12 = -8 Yv = 2

S = (1, 2)

a > 0 , a função assume um valor mínimo

Yv = -a4Δ = -(-8) = 2

4( 1)

E X E R C I C I O S 1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes funções:

a) f(x) = x2 – 6x + 5 R. x´= 5 e x´´=1 Xv = 3 e Yv = -4 b) f(x) = -x2 + 2x -2 R. não existe raiz Xv= 1 e Yv= -1

2) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo: a) f(x) = 5x2 – 3x – 2 R. a > 0, assume um valor mínimo -49/20 b) f(x) = -x2 + 3x –2 R. a < 0, assume um valor máximo 0,25

3)Dada a função f(x) = x2 – 2x – 3, determine: a) as raízes da função; R. x´= 3 e x´´ = -1 b) vértices da parábola; R. Xv = 1 e Yv= -4

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c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo; R. a > 0, assume um ponto de mínimo d) o gráfico da função para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.

4) Represente graficamente as funções a seguir. Para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3. a) f(x) = x2 + 4x + 1

b) f(x) = - x2 + 2 c) f(x) = x2 + 1 d) f(x) = - x2 + 3x - 4

5) Determine as raízes das funções, se houver: a) f(x) = 6x2 + 5x - 4 Resp. x ’= ½ e x ” = - 4/3 b) f(x) = - x2 - 2x - 1 Resp. x ’= x ” = -1 c) f(x) = 6x2 + 3x + 7 Resp. Δ < 0, ou seja Δ = -159 portanto, S = { }

6) Determinar as coordenadas do vértice das funções abaixo e dizer se assumem ponto de máximo ou de mínimo.

a) y = x2 – x – 2 Resp. Mínimo: Xv = ½ Yv = -9/4 b) y = -x2 – x + 4 Resp. Máximo: Xv = -1/2 Yv = 4,25 c) y = -x2 – 2 x Resp. Máximo: Xv = -1 Yv = 1 d) y = 3x2 + 2x + 3 Resp. Minimo: Xv = -1/3 Yv = 8/3

7) Assinale a alternativa correta: O gráfico que representa uma parábola com a > 0 e Δ < 0 pode ser: a) b) c) d) Resp. letra C 8) O gestor de uma empresa percebeu que alguns resultados não condiziam com o previsto no planejado, ocasionando assim um valor negativo em sua produção que pode ser representado através de uma das raízes da função: f(x) = x2 + 10x – 600. Assinale a alternativa que condiz com esse resultado. a) Sua área de produção apresentou o resultado de -30; b) A área de produção apresentou o resultado 20 atingindo assim a área como um todo; c) A empresa detectou um resultado de -20 na área de produção; d) Sua área de produção apresentou um resultado de 30; e) A área de produção apresentou o resultado 15, atingindo assim a área como um todo. R. (a)

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PONTO CRÍTICO (BREAK-EVEN POINT) É o ponto de intersecção entre o gráfico da receita total e do custo total. Nesse ponto ocorre a indicação da quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir desse ponto que se analisa através da quantidade mínima produzida para que se tenha lucro positivo. Esse ponto onde o lucro é nulo e a receita é igual ao custo total (RT = CT). Também é denominado de ponto de nivelamento. Exemplos 1) Numa empresa, o custo total é dado pela função CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela função RT = 15.000q. Qual o ponto crítico dessa empresa ? Resolução: RT = 15.000q CT = 500.000 + 10.000q O ponto crítico será o valor de q que anula as funções, portanto: RT = CT 15.000q = 500.000 + 10.000q 15.000q – 10.000q = 500.000 5.000q = 500.000 q = 500.000 5.000 q = 100 (o ponto crítico dessa empresa será de 100 quantidades) 2) Se RT e CT são dadas, respectivamente, por RT = 14q e CT = 10q +8. Determine o ponto crítico. Resolução: RT = 14q CT = 10q + 8 RT = CT 14q = 10q + 8 14q – 10q = 8 4q = 8 q = 8 q = 2 (o ponto crítico dessa empresa será de 2 quantidades) 4

LUCRO TOTAL (Lucro positivo) Chama-se de função Lucro Total, a diferença entre a Receita Total e o Custo Total: LT =RT – (CT) Logo, para uma análise econômica, se RT > CT, teremos lucro positivo. Exemplo: Numa empresa, o custo total é dado pela função CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela função RT = 15.000q. Qual a função que representa o lucro total e o valor do lucro total para q =100 e q = 120? Resolução:

Se tivermos q = 100 ⇒ LT = zero RT = 15.000q Se tivermos q = 120 CT = 500.000 + 10.000q LT = 5000 . 120 – 500.000 LT = RT - CT LT = 600.000 – 500.000 LT = 15.000q - (500.000 + 10.000q) LT = 100.000 (lucro positivo) LT = 15.000q – 500.000 – 10.000q

LT = 5.000q – 500.000 ⇒ Função Lucro Total

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PREJUÍZO (Lucro negativo) Chama-se de função prejuízo, a diferença entre Custo Total e Receita Total: PR = CT – RT. Para uma análise econômica, se RT < CT, haverá prejuízo. No exemplo anterior, se q < 100, teremos: Resolução:

Se q = 90 CT = 500.000 + 10.000q PR = 500.000 - 5.000q RT = 15.000q PR= 500.000 – 5000 . 90 PR = CT - RT PR= 500.000 – 450.000 PR = 500.000 + 10.000q – 15.000q PR= 50.000 Prejuízo (lucro negativo) PR = 500.000 - 5.000q ⇒ (função prejuízo)

E X E R C Í C I O S 1) Determine o Ponto Crítico (Break-even-point), nos casos abaixo:

a) CT = 3q + 5 e RT = 4q R. q = 5 b) CT = 0,5q + 3 e RT = 0,8q R. q = 10 c) CT = 2q + 10 e RT = 4q R. q = 5

2) Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10.000,00 por mês e o custo variável é R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento? R. q = 500 3) Determine a função que representa o lucro total nos casos abaixo:

a) CT = 3q + 5 e RT = 4q R. LT = q - 5 b) CT = 0,5q + 3 e RT = 0,8q R. LT = 0,3q - 3 c) CT = 2q + 10 e RT = 4q R. LT = 2q - 10

4) Baseado nas respostas de cada caso do exercício anterior, determine o Lucro Total para q = 20. a) R. LT = R$ 15,00 b) R. LT = R$ 3,00 c) R. LT = R$ 30,00

5) Conhecendo-se a função Custo Total CT = 16.000 + 10q e a Receita Total RT = 14q. Determine:

a) Custo fixo. R. CF = R$ 16.000,00 b) Custo variável. R. CV = 10q c) O preço unitário do produto. R. P = R$ 14,00 d) O ponto crítico. R. q = 4000 e) O lucro total (expressão). R. LT = 4q - 16000

6) O custo fixo de uma empresa é R$ 30.000,00 por mês; o preço unitário de venda é de R$ 15,00 e o custo variável por unidade é de R$ 4,00:

a) Obtenha a função lucro. R. LT = 11q - 30000 b) Obtenha a função lucro líquido, sabendo que o imposto de renda é de 30% do lucro. R. LQ = 7,70q - 21000

7) Uma impressora jato de tinta é vendida por R$ 200,00 a unidade. O custo fixo é de R$ 16.000,00 e o custo de produção de cada impressora é de R$ 120,00.

a) Expresse a função custo total de fabricação em termos do número de impressoras fabricadas.

b) Expresse a função receita total. c) A partir de quantas unidades vendidas será o lucro. d) Se forem vendidas 200 impressoras, qual será o seu lucro.

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e) Quantas impressoras deverão ser vendidas para ter um lucro de R$ 2.000,00. Respostas 7:

a) CT = 120q + 16000 b) RT = 200q c) q > 200 unidades d) lucro nulo e) q = 225 unidades

8) Uma editora vende certo livro por R$ 70,00 a unidade. Se seu custo fixo é R$ 12.000,00 por mês e o custo variável por unidade é de R$ 45,00. Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a R$ 8.000,00? R. q = 800 unidades 9) O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é R$ 30,00 e o preço de venda, R$ 40,00. Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R$ 2.000,00, sabendo que o imposto de renda é de 20% do lucro? R. q = 750 unidades

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MONÔMIOS E POLINÔMIOS

Multiplicação de Monômio por Polinômios Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: 4a . (2 a – 3x ) Propriedade distributiva Solução: 8 a2 – 12ax

Multiplicação de Polinômio por Polinômio Devemos multiplicar cada termo do polinômio por todos os termos do outro polinômio e a seguir reduzimos a termos semelhantes através das operações de adição e subtração. Ex: (2x+3).(4x-5) Propriedade distributiva Solução: 8x2 – 10x + 12x – 15 (Reduzindo os termos semelhantes) 8x2 + 2x – 15 Modo Prático Solução: 2x + 3 4x - 5 8x2 + 12x - 10x -15 8x2 + 2x -15

Divisão de Polinômio por Monômio Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: (15x3 – 4x2) : (- 5x)

Solução: 23

35

15x

xx

−=−

-5

43 2 x

x +

5

454 2 x

xx

=−−

Divisão de Polinômio por Polinômio

Para efetuarmos esta divisão devemos seguir alguns passos. Ex: (2x2 – 5x – 12): (x – 4) 1º Passo: Observar se as potências de x estão em ordem decrescente; 2º Passo: Colocar a chave de divisão; 3º Passo: Dividir o primeiro termo do dividendo (2x2) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o primeiro termo do quociente 2x2 – 5x –12 x – 4 . 2x 4º Passo: Multiplicar o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor, colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. 5º Passo: Reduza a termos semelhantes ( Adição ou Subtração)

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2x2 - 5x -12 x – 4 . -2x2 + 8x 2x + 3x – 12 6º Passo: Repete-se as passagens anteriores até que o dividendo termine. 2x2 - 5x -12 x – 4 . -2x2 + 8x 2x +3 + 3x -12 - 3x +12 0 Resposta: 2x+3

E X E R C I C I O S 1) Efetue: a) (2x2 - 9x + 2) + (3x2 + 7x - 1) R. 5x2 - 2x + 1 b) (x2 - 5x + 3) + (-4x2 - 2x) R. -3x2 - 7x + 3 c) (4x – y - 1) – (9x + y + 3) R. -5x - 2y - 4 d) (6x2 - 6x + 9) – (3x2 + 8x - 2) R. 3x2 - 14x + 11 e) (x2 + 2xy + y2) – (y2 + x2 + 2xy) R. 0 f) (2x3 -3x2 + 4x -1) + (x3 + 2x2 -5x + 3) R. 3x2 – x2 – x + 2 g) (4x2 +3x - 4) - (2x3 + x2 - x + 2) R. -2x3 + 3 x2 + 4x - 6 2) Calcule os produtos: a) a2 (m + a3) R. a2m + a5

b) 2x (x - 2x + 5) R. -2x2 + 10x c) (3x2- 4x -3) (x + 1) R. 3x3 - x2 - 7x - 3 d) (x2 + x + 1) (x - 3) R. x3 -2x2 - 2x - 3 e) (2x + 5)(2x - 5) R. 4x2 – 25 f) (3x + 2) 4x – 5) R. 12x2 -7x - 10 g) (x2 – 4x + 3) (x2 + 4x + 5) R. x4 – 8x2 – 8x + 15 3) Efetue as divisões: a) (x3 + 2x2 + x ) : (x) R. x2 + 2x + 1

b) (3x4 - 6x3 + 10x2) : (-2x2) R. 5323 2 −+− xx

c) (x2 + 5x + 6) : (x + 2) R. x + 3 d) (2x2 + 6x + 4) : (x + 1) R. 2x + 4 e) (x3 - 27) : (x - 3) R. x2 + 3x + 9 f) (x2 - 9) : (x - 3) R. x + 3

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NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Seja a função f(x) = 2x +1, vamos dar valores para x que se aproximem de 1, pela sua direita (Valores maiores que 1) e pela sua esquerda (Valores menores que 1), e calcular y.

X y = 2x + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02

x y = 2x + 1 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98

À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 ( x → 1 ), y tende a 3 ( y 3 ), então temos a notação ... → Genericamente temos ... lim f(x) = b x a → … mesmo que em alguns casos para x = a resulte y ≠ b.

Y = 2x + 1

0

3

1

y

x

lim ( 2x + 1 ) = 2(1) + 1 = 3 x 1 →

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17

PROPRIEDADES DOS LIMITES ⇒Limite da Soma ou Limite da Diferença O limite da soma ou da diferença de duas funções é igual à soma ou a diferença dessas funções, isto é: lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x) = a ± ± b x a x a x a → → → Exemplos : a) lim ( x + 4x² ) = lim x + lim 4x² = 2 + 4 . 2² = 2 + 4 . 4 = 2 + 16 = 18 x 2 x 2 x 2 → → → b) lim ( 4x² - x ) = lim 4x2 - lim x = 4 . 2² - 2 = 4 . 4 - 2= 16 - 2 = 14 x 2 x 2 x 2 → → → ⇒Limite do Produto O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é: lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) = a . b x a x a x a → → → Exemplo : a) lim 4x2 = lim 4 . lim x2 = 4 . 32 = 4 . (3 . 3) = 4 . 9 = 36 x 3 x 3 x 3 → → → ⇒ Limite do Quociente O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o limite do divisor for igual a zero), isto é:

axxg

axxf

axxgxf

→

→=

→)(lim

)(lim

)()(lim

Exemplo : lim ( x + 3 ) a) lim ( x + 3 ) = x 2 = 2 + 3 = 5 → x 2 ( x + 4 ) lim ( x + 4 ) 2 + 4 6 →

x 2 →

18

18

⇒ Limite de uma potência O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função, isto é:

n lim f(x)n = lim f(x) , n ∈ N* = an se a > 0 x a → Exemplo : 3 a) lim ( x² - 2 )3 = lim ( x² - 2 ) = ( 2² - 2 )3 = ( 4 – 2 )3 = 23 = 8 x 2 x→2 → ⇒ Limite de uma raiz O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função., isto é:

.0)(,)(lim)(lim * ≥∧Ν∈

→=

→xfn

axxf

axxf

nn

( Se f(x) ≤ 0, n é ímpar )

Exemplo :

111481222

1lim2

1lim 232323

=−+=−+=→

−+=

→−+

xxx

xxx

⇒ outra propriedade (Forma indeterminada) É quando uma expressão sem significado, ou seja 0/0 não fornece uma solução para um determinado problema. Uma estratégia que pode ser utilizada para resolver este tipo de problema é a seguinte:

• Substitua a função dada por outra mais apropriada que assuma os mesmos valores que a função original em todos os pontos exceto x = a .

• Calcule o limite desta função quando x se aproxima de a Exemplos: 1) lim 4(x² - 4) (como tanto o numerador como o denominador desta expressão se aproxima de zero x 2 x - 2 quando x se aproxima de 2, temos aqui a forma indeterminada 0/0). Podemos escrever: → 4(x² - 4 ) = 4(x – 2) ( x +2) (x – 2) (x – 2) que, após cancelamento dos fatores comuns, é equivalente a 4(x + 2), e tomamos o limite quando x se aproxima de 2, obtendo: lim 4(x² - 4) = lim 4( x + 2) = 4 ( 2 +2) = 4 . 4 = 16 x 2 x - 2 x 2 → → 2 ) lim x² - 4 = lim ( x + 2 ).( x – 2 ) = lim ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4 x 2 x – 2 x 2 ( x – 2 ) x 2 → → →

19

19

► Nota-se a impossibilidade de calcularmos 24

−−2

xx para x = 2 ( Indeterminação ). Trocamos então

242

−−

xx por x + 2 , possibilitando assim o cálculo quando x = 2.

3 ) lim x² - 4x + 3 = lim ( x – 3 )( x – 1 ) = lim x –1 = 3 – 1 = 2 = 1 x 3 x² - 9 x→3 ( x + 3 )( x – 3 ) x 3 x + 3 3 + 3 6 3 → → 4) lim 2x3 + x2 – 4x + 1 = 0 , os polinômios se anulam. x 1 x3 – 3x2 + 5x – 3 0 → Portanto, pelo teorema de D´Alembert, são divisíveis por (x – 1), isto é, (x - 1) é um fator comum em: (2x3 + x2 – 4x + 1) e (x3 – 3x2 + 5x – 3) . Então, faz-se: 2x3 + x2 – 4x + 1 |x – 1 nnnn -2x3 + 2x2 2x2 + 3x - 1

x3 – 3x2 + 5x – 3 |x – 1 nnnn

3x2 - 4x -3x2 + 3x - x + 1 + x – 1 0 Logo: lim 2x2 + 3x – 1 = 2 x 1 x2 -2x + 3 →

E X E R C Í C I O S 1) Calcular

a ) Resposta:10 2

)432(lim 2

→=−+

xxx

b ) = Resposta:10 ( 4x3lim2x

+→

)

c ) 1x

5lim0x −→

= Resposta: - 5

d ) Resposta: 2 =−→

++1

)43(lim 2

xxx

e ) lim 3x - 9 = Resposta: 3 x 5 x - 3 → f ) lim x2 – 7x = Resposta: 0 x 7 x + 2 →

g ) lim 2x² - 3x + 1 = Resposta: 0 x 1 3x² + 2x - 1 → h) lim x5 - 4 = Resposta: 9 x - 2 x - 2 → i) lim 2x – 5 = Resposta:2 x 6 →

-x3 + x2 x2 -2x + 3 -2x2 +5x

+2x2 - 2x 3x - 3

-3x + 3 0

20

20

j) lim x² + 3 = Resposta:2 x→ 3 x2 l) lim x² + 3 Resposta: 13 x 7 4 → m) lim x² + 4x - 2 = Resposta: 43 x 5 → n) lim (5 + 3x )7 = Resposta: -1 x - 2 → o) lim | ( x – 1 ) . ( x + 4 )| = Resposta: 4 x 0 → p) lim 132 ++ xx = Resposta: 5

→ x 1

q) lim x2 + 2x -3 = Resposta: 4/7

x -1 4x - 3 →

2 r) lim 2x2 – x + 1 = Resposta: 4

x→ 1 3x - 2

s) lim 32

23

34232

+++−+

xxxxx Resposta: -2

x→ - 2

t) lim 323

34253

++−−

xxxx Resposta: 2

x - 2 →

2) Calcule os limites indicados, caso existam. a) lim x² -1 = Resposta: 2

x 1 x - 1 →

b) lim x² - 4 = Resposta: - 4

x -2 x + 2 →

21

21

c) lim 2x² - 3x = Resposta: -3

x 0 x →

d) lim 2(z2 – 4) = Resposta: 8

z 2 z - 2 →

e) lim 3x3 – 4x2 – x + 2 = Resposta: 5/3

x 1 2x3 – 3x2 + 1 →

f) lim x3 – 3x2 + 2 = Resposta: 3/5

x 1 x3 – 4x2 + 3 →

g) lim x3 – 3x2 + 6x - 4 = Resposta: 1

x 1 x3 – 4x2 + 8x - 5 →

EXE RCÍCIOS COMPLEMENTARES - L I M I T E S

1) Calcular os limites utilizando as propriedades da soma ou da diferença :

a ) Resposta: 3 2

)1(lim 2

→=−

xx

b ) 21lim

3 ++

→ xx

x Resposta: 4/5

c ) 11lim

3

1 −+

−→ xx

x = Resposta: não existe

d ) lim x3 - x = Resposta: 3 x 2 x → e) lim 3x + 1 = Resposta: -1 x→ -2 5

2) Propriedade do produto:

a ) lim 2x2 = Resposta: 8 x 2 →

b ) lim 2x² + 3 = Resposta: 5 x 1 →

22

22

c) lim 3x2 = Resposta: 12 x 2 →

3) Propriedade do quociente:

a) lim (x + 2) = Resposta: 3/4 x→ 1 ( x + 3) b) lim x² + 4 = Resposta: 2 x 2 2 + x → c) lim x² - 16 = Resposta: -5/3 x 1 8 + x → 4) Propriedade da potência: a) lim (x² - 2)2 Resposta: 1 x 1 → b) lim 2x² - x + 1 2 = Resposta: 4

x→ 1 3x - 2

c) lim (3x² - 5x + 2)2 = Resposta: 16 x 2 → 5) Propriedade da raiz: a) lim 232 xx − = Resposta: 12 x 2 →

b) lim 33 +x = Resposta: 2 x 1 →

c) lim x21 = Resposta: 1

x 2 → 6) Limites indeterminados: a) lim x² - 64 = Resposta: 16

x 8 x - 8 →

b) lim x² - 9 = Resposta: 6

x 3 x - 3 →

c) lim x² - 4 = Resposta: 2

x 2 x2 - 2x →

23

23

d) lim x² - 3x + 2 = Resposta: -1

x→ 1 x - 1

e) lim 3x3 – 4x2 – x + 2 = Resposta: 5/3

x 1 2x3 – 3x 2 + 1 →

f) lim x3 – 1 = Resposta: 3/2

x 1 x2 – 1 →

7) APLICAÇÃO: A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de

bilheteria é aproximada pela função T(x) = 4

1202

2

+xx onde T(x) é medido em milhões de dólares e x é o

número de meses do filme em cartaz. Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro mês de lançamento? E após o segundo mês? E após o terceiro mês?

Resp. $ 24 milhões; $ 60 milhões; $ 83,076923 milhões aproximadamente $ 83,1 milhões

24

24

D E R I V A D A S

RAZAO DE VARIAÇÃO MÉDIA – OU TAXA DE VARIAÇAO MÉDIA

Seja f uma função definida num conjunto D e x0 e x0 + Δx dois pontos de D. Quando a variável

x passa do valor x0 para o valor x0 + Δx sofrendo uma variação Δx, o correspondente valor da função passa de f(x0 ) para o valor f(x0 + Δx ) sofrendo, portanto, uma variação:

Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) Conforme mostra a figura a seguir: y f(x0 + Δx)

Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) f(x0 ) Δx x0 x0 + Δx x O quociente Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) recebe o nome de razão média das variações ou taxa de Δx Δx variação média da função. EXEMPLOS 1) Seja a função f tal que f(x) = 3x + 1, com x ∈ R. Se x0 = 1; x0 + Δx = 4; portanto, Δx = 4 - 1 = 3 Então: f(x0) = 3 . 1 + 1 = 4 f(x0 + Δx) = 3(x0 + Δx) + 1 = 3 . 4 + 1 = 13 Logo, Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = 13 – 4 = 9 = 3 Δx Δx 3 3

25

25

Graficamente: y 13 Δy = 9 4 Δx 1 4 x 2) Seja a função f tal que f(x) = x2 + 5, com x ∈ R. Se x0 = 2; x0 + Δx = 4; portanto, Δx = 4 - 2 = 2 Então: f(x0) = 22 + 5 = 9 f(x0 + Δx) = 42 + 5 = 16 + 5 = 21 Logo, Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = 21 - 9 = 12 = 6 Δx Δx 2 2 3) Seja a função f tal que f(x) = x3 - 1, com x ∈ R. Se x0 = 4; x0 + Δx = 0; portanto, Δx = 0 - 4 = -4 Então: f(x0) = 43 - 1 = 64 – 1 = 63 f(x0 + Δx) = 03 - 1 = -1 Logo, Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = -1 – 63 = -64 = 16 Δx Δx -4 -4 4) Seja a função f tal que f(x) = x + 1, com x ∈ R. Se x0 = 4; x0 + Δx = 5; portanto, Δx = 5 - 4 = 1 Então: f(x0) = 4 + 1 = 5 f(x0 + Δx) = 5 + 1 = 6 Logo, Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = 6 – 5 = 1 = 1 Δx Δx 1 1

26

26

E X E R C I C I O S 1) Calcular a Taxa Média de Variação das funções abaixo para os pontos indicados: x0 x0 + Δx a) f(x) = 4x + 1 2 e 3 b) f(x) = -4x 2 e 5 c) f(x) = x + 2 2 e 10 d) f(x) = -x + 1 2 e 6 e) f(x) = 2x + 3 -5 e 5 Respo

stas a) 4 f) f(x) = -4x + 5 0 e 10 b) -4 c) 1 g) f(x) = x2 + 2 0 e 3 d) -1 e) 2 h) f(x) = x2 –12x + 13 2 e 4 f) -4 g) 3 i) f(x) = x2 – x + 1 1 e 2 h) -6 i) 2

j) f(x) = x2 2 e 3 6j) -2 l) 8 l) f(x) = 2x + 4 0 e 1 m) 12 3x - 2 2a) 15 2b) -1 m) f(x) = 2x 3 e 5

3) 3 4) 0,40 2) Determine a TVM das funções abaixo de acordo com os pontos dados: 5) 9 6) 7,50 a) f(x) = 3x – x2 (-2; -10)

b) f(x) = - x1 (3; -

31 )

3) Seja y = x2 -4x. Calcule a TVM de y em relação a x no intervalo de 3 à 4 . 4) A função demanda para um certo tipo de barracas para acampamento é dada por p(x) = - 0,1x2 + x + 40, onde p é medido em dólares e x em milhares. Calcule a TVM do preço unitário da barraca se a quantidade em demanda estiver entre 2mil e 4mil barracas. 5) As projeções são de que o Produto Interno Bruto (PIB) de certo país seja de N(t) = t2 + 2t + 50 bilhões de dólares daqui a t anos. Qual será a TVM desse país entre 2 e 5 anos próximos? 6) O faturamento mensal (em dólares) obtido com a venda de certos barbeadores elétricos está relacionado

ao preço (p) por unidade é representado através da equação R(p) = -21 p2 + 30p. Calcule o faturamento

médio quando o preço de um barbeador estiver entre $15 e $30.

27

27

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

Estamos agora interessados em estudar o comportamento dos valores da taxa média para pequenas variações Δx.

Uma das maneiras de examinarmos este comportamento consiste em avaliar o limite do quociente Δy/Δx quando Δx → 0 , pois o limite, caso exista, nos fornece um valor aproximado do quociente Δy/Δx para pequenos valores de Δx. Por exemplo, se f(x) = x2, a taxa média de variação entre os pontos x0 e x0 + Δx é dada por: Δy/Δx = 2x0 + Δx. Mas, o lim Δy = lim (2x0 + Δx) = 2x0 , que é um valor aproximado de Δy/Δx, para pequenos valores Δx→0 Δx Δx→0 de Δx. Definição: seja f uma função definida num intervalo aberto ]a, b[ e x0 um ponto deste intervalo. O limite lim Δy = lim f(x0 + Δx) - f(x0) , quando existe, isto é, quando é um número real, recebe o nome de Δx→0 Δx Δx→0 Δx derivada da função no ponto x0. Neste caso dizemos também que f é derivável no ponto x0. A derivada de f no ponto x0 . Será indicada por uma das notações seguintes: f’(x0), y’(x0) entre outras. EXEMPLOS 1) Calcular o valor da derivada da função f(x) = x2 no ponto x0 = 2. Resolução: A derivada de f(x) = x2 no ponto x0 = 2, é dada pelo limite: f’(2) = lim f(2 + Δx) - f(2) Δx→0 Δx f´(2) = (2 + Δx)2 - (22)

Δx

f´(2) = 4 + 4Δx + (Δx)2 - 4 = Δx (4 + Δx ) = 4 + Δx

Δx Δx Logo, f’(2) = lim 4 + Δx = 4 Δx→0 2) Calcular o valor da derivada da função f(x) = 2x no ponto x0 = 3. Resolução: A derivada de f(x) = 2x no ponto x0 = 3, é dada pelo limite: f’(3) = lim f(3 + Δx) - f(3) Δx→0 Δx = lim 2 (3 + Δx) - [2(3 )] = (6 + 2Δx) - 6 Δx→0 Δx Δx = lim 6 + 2 - 6 = 8 – 6 = 2 Δx→0 3) Calcular o valor da derivada da função f(x) = x2 + x no ponto x0 = 1. Resolução: A derivada de f(x) = x2 + x no ponto x0 = 1, é dada pelo limite: f’(1) = lim f(1 + Δx) - f(1) Δx→0 Δx = lim [(1 + Δx)2 + (1 + Δx)] – [ (12 + 1)] Δx→0 Δx = lim 12 + 2 . 1. Δx + (Δx)2 + 1 + Δx - [ 2 ] = 1 + 2Δx + Δx2 + 1 + Δx - 2 Δx→0 Δx Δx

28

28

= lim 3Δx + Δx2 = Δx (3 + Δx ) = 3 + Δx = 3 Δx→0 Δx Δx

E X E R C I C I O S Calcular a derivada de cada uma das seguintes funções, nos pontos indicados: a) f(x) = 3x x0 = 2 b) f(x) = 2x + 1 x0 = -3 c) f(x) = x2 x0 = 1 d) f(x) = x2 + x x0 = 1

Respostas a) 3 b) 2 c) 2 d) 3 e) 4 f) 4 g) 4 e) f(x) = 4x + 1 x0 = 3

f) f(x) = x2 + 10 x0 = 2 g) f(x) = x2 + 1 x0 = 2

29

29

REGRAS DE DERIVAÇÃO Nem sempre necessitamos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, mas esse método, além de ser repetitivo para certos tipos de funções como as lineares e polinomiais, por exemplo, só é prático para funções muito particular e simples. Por este motivo, temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida. 1.Derivada de uma função constante Seja f: R→ R definida por f(x) = c. A sua derivada em um ponto x qualquer do seu domínio é dada por:

f´(x)(c) = 0 Exemplo: Dada a função f(x) = 2 f´(x) = f(x + Δx) - f(x) = 2 – 2 = 0 Δx Δx Logo, f(x) = 2 ⇒ f’(x) = 0 2.Derivada da função potência Seja n um número natural e f(x) = xn, então: f(xn) = n . xn-1

Exemplos a) Dada a função f(x) = x2

Resolução: n = 2 f´(x) = n . (x)n-1 = 2(x)2-1 = 2(x)1 = 2x b) Dada a função f(x) = x1/4

Resolução: n = 1/4

f´(x) = n . xn-1 = 41 (x)

141−

( obs. Tira-se o m..m.c de 141− )

f’(x) = 41 x-3/4

c) Dada a função f(x) = x-4

Resolução: n = -4

f´(x) = n . xn-1 = -4x-4-1 = -4x-5 = -4 . 5

1x

= - 5

4x

3. Derivada do produto

A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é igual ao produto da primeira função pela derivada da segunda função mais o produto da segunda função pela derivada da primeira. Analogamente, o produto de mais de duas funções diferenciáveis é igual a soma dos produtos da derivada de cada função pelas outras funções. Se f(x) = uv, onde u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis de x: f(x) = u . v´ + v. u´

30

30

Exemplo a) Se f(x) = (x3 + 4) (x + 3)

Resolução: u = (x3 + 4) v = (x + 3) u´ = 3x2 v´ = 1(x1-1) = 1

f´(x) = (x3 + 4) (1) + (x + 3)(3x2 )

f(x) = x3 + 4 = 3x3 + 9x2

f´(x) = 4x3 + 9x2 + 4

4. Derivada da soma de duas funções

A derivada da soma de um número finito de funções lineares é igual a soma das duas derivadas: Se f(x) = u + v, onde u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis de x:

f(x) = u´ + v´ Exemplos: a) Dada a função f(x) = 3x2 + 4x + 2 Resolução: u = 3x2 v = 4x u´ = 2 . 3x = 6x v´ = 1 . 4 = 4 f´(x) = 6x + 4 b) Dada a função f(x) = 4x3 - 4x2 + 1 Resolução: u = 4x3 v = -4x2 u´ = 3 . (4x2) = 12x2 v´ = 2 . (-4x) = -8x f´(x) = 12x2 – 8x 5. Derivada do quociente de duas funções

A derivada do quociente de duas funções diferenciáveis é igual ao quociente do produto do denominador pela derivada do numerador menos o produto do numerador pela derivada do denominador, dividido pelo quadrado do denominador: Se f(x) = u/v, onde u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis de x:

v . u´ - u . v´ f(x) = v2

Exemplos a) Se f(x) = x2 – 4x + 1 x - 6 Resolução: u = x2 – 4x + 1 v = x - 6 u´ = 2x - 4 v´ = 1

31

31

f´(x) =[ (x - 6) (2x –4)] – [(x2 – 4x + 1 (1)] = 2x2 – 12x – 4x + 24 – x2 + 4x - 1 (x – 6)2 x2 – (2 . x . 6) + 62

f´(x) = 2x2 –16x + 24 - x2 + 4x - 1 x2 – 12x + 36 f´(x) = x2 – 12x + 23 x2 – 12x + 36 b) Se f(x) = 4 x6

Resolução: u = 4 v = x6

u´ = 0 v´ = 6x5

f´(x) = (x6)(0) – 4 (6x5)

(x6)2

f´(x) = –2 4x5) = -24

x12 (x)7 DERIVADAS SUCESSIVAS DE UMA FUNÇÃO Seja f’a função derivada de uma função f, num intervalo aberto I. Se f’é derivável em I podemos considerar a função f’’ derivada de f’em I. Tal função recebe o nome de derivada segunda de f em I. De modo análogo podemos definir as derivadas terceiras, quartas etc., de f em I. Estas derivadas serão indicadas por: f’’; f(2); d2f; d2y; y’’ – derivada segunda dx2 dx2 fn; f(n) dny; dny; yn - derivada de ordem n dxn dxn EXEMPLOS

2)f(x) = x4 – x3 1) f(x) = x2

f’(x) = 4x3 – 3x2 f’(x) = 2x (derivada primeira) f’’(x) = 12x2 – 6x f’’(x) = 2 (derivada segunda) f’’’(x) = 24x - 6 f’’’(x) = 0 (derivada terceira) f(4)(x) = 24 f(4)(x) = 0 (derivada quarta) f(5)(x) = 0

E X E R C I C I O S

1) Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir: a) f(x) = 20 b) f(x) = x3 c) f(x) = 4x2 d) f(x) = 3x3 + 20 e) f(x) = 10x + 5 f) f(x) = x2 – 6x + 8 g) f(x) =x3 – 10x2 + 50 h) f(x) = x4 – 6x2 + 20

32

32

2) Calcule a derivada das funções potência abaixo: a) f(x) = x-5/3

b) f(x) = x1/2 c) f(x) = x3 d) f(x) = x3/2

3) Calcule a derivada do produto das funções: a) f(x) = (3x4 + 2) (x + 2x) b)f(x) = (3x2 + 5) (x2 + 2) c) f(x) = (x2 +1) (x3 + 2x) d) f(x) = (2x2 + 1) (x2 +2) e)f(x) = (3x + x2) (2x +1) 4) Calcule a derivada da soma das funções: a) f(x) = x + 1 b)f(x) = x2 + 3 c) f(x) = x2 - ex d) f(x) = x3 - 2 5) Calcule a derivada do quociente: a) f(x) = x + 1 x – 1 b) f(x) = x + 3 x - 1 c) f(x) = x2 + 3x + 1 x - 2 d) f(x) = x2 + 1 x + 1 e) f(x) = 3…..

2x3 6) Calcule as derivadas sucessivas f(´´´) das funções: a) f(x) = 3x2 + 5x + 6 b) f(x) = 4x2 + 2x c) f(x) = 2x + 4 d) f(x) = 3x2 e) f(x) = x6 f) f(x) = x4 - 3x3 + 2x + 1 g) f(x) = 1 – x3

h) f(x) = x4 - 6x2 + 10 i) f(x) = x2 - 5x + 8 j) f(x) = x3 – 10x2 + 2

34 x3 - 5x2 + 10 k) f(x) =

Respostas 1a) 0 b) 3x2 c) 8x d) 9x2 e) 10 f) 2x – 6 g) 3x2 – 20x h) 4x3 – 12x

2a) -35 x-8/3

3a) 45x4 +6 5a) – 2/(x –1)2 6a) 0 b) 12x3 + 22x b) –4/(x-1)2 b) 0

b) 21 x-1/2 c) 5x4 + 9x2 + 2 ) x2 – 4x - 7 c) 0 c

c) 3x2

d) 23 x1/2

d) 8x3 + 10x

(x –2)2 d) 0 e) 6x2 + 14x + 3 4a) 1 b)2x c)2x – ex d) 3x2

d) x2 + 2x - 1 e) 120x3 (x +1)2 f) 24x –18

g) –6 e) –18 4x4 h) 24x

i) 0 j) 6 k) 8

33

33

PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO

1º Momento – Cálculo das coordenadas (abscissas e ordenadas) de pontos de máximos e/ou mínimos

absolutos.

2º Momento – Cálculo de áreas e volumes de algumas figuras planas.

Demonstrações:

Consideremos y = f(x) uma função de variável real )( ℜ∈x com as seguintes condições:

- Definida – Existe o valor numérico para qualquer ponto de intervalo considerado[a,b] = }bx , seja { ax ≤≤ℜ∈ / α ∈ [a,b] – condição de )(xf ser definida: ∃ )(αf .

- Derivável – Existe o limite da função para x tendendo a qualquer ponto do intervalo considerado: ∃ )(lim xf

x α→

- Contínua – O valor numérico deverá ser igual ao limite de f(x)

)()(lim ααx→

fxf =

Portanto, sendo a função dada definida, derivável e contínua podemos esboçar graficamente:

Os pontos B, D e F são pontos de mínimo relativos. O ponto F é chamado de mínimo absoluto. Os pontos A,C e E são pontos de máximo relativos. O ponto E é chamado de máximo absoluto. Nosso objetivo está focado em calcular os pontos de máximos e mínimos absolutos. Descreveremos a seguir um roteiro, ou seja, uma seqüência de procedimentos para chegarmos ao nosso objetivo: Para uma função f(x),

I) Calcular a derivada de 1ª ordem da função dada. (f’(x));

II) Transformar a função derivada de 1ª ordem numa equação (f’(x) = 0)

III) Achar as raízes da função obtida.

.

a

A

. . E

C

. . .x

D b B F

34

34

⎩⎨⎧

==

=βα

''

'0)('xx

xf sendo α e β raízes da função

IV) Calcular derivada de 2ª ordem. (f’’(x));

V) Estudar o sinal de f’’(x) para as raízes obtidas.

Se:

0)('' >αf , então abscissa de mínima.

0)('' =αf , então nem máxima nem mínima.

0)('' <αf , então abscissa de máxima.

Mesmo procedimento para )('' βf ;

VI) Para calcular a ordenada basta achar o valor numérico da função para as raízes obtidas,

(substituir x na função dada).

EXEMPLOS:

1) Seja a função f(x) = -x2 + 2, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.

I) f´(x) = -2x

II) f´(x) = 0

III) -2x = 0

x = 0/(-2) x = 0

IV) f´´(x) = -2

V) f´´(x) = -2 ⇒ ( -2 < 0, abscissa máxima)

VI) f(x) = -x2 + 2

f(x) = (-0)2 + 2

f(x) = 2 Portanto, PM ( 0; 2)

2) Seja a função f(x) = x2 + 6x - 3, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.

I) f´(x) = 2x + 6

II) 2x + 6 = 0

III) 2x = -6 x = (-6) / 2 x = -3

IV) f´´(x) = 2

V) 2 ⇒ (2 > 0, abscissa mínima)

VI) f(x) = x2 + 6x - 3

f(x) = (-3)2 + 6(-3) - 3 =

f(x) = 9 – 18 - 3 = -21 + 9 = -12 Portanto, Pm (-3; -12)

3) Seja a função f(x) = -x2 + 6x - 3, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.

I) f´(x) = -2x + 6

II) -2x + 6 = 0

III) -2x = -6 x = (-6) /(- 2) x = 3

35

35

IV) f´´(x) = -2

V) f´´(x) = -2 ( -2 < 0, abscissa máxima )

VI) f(x) = x2 + 6x - 3

f(x) = -(3)2 + 6(3) - 3

f(x) = -9 + 18 - 3 = 6 Portanto, PM ( 3; 6)

4) Dada a função 18532)( 23 −+−= xxxxf , determine os pontos de máximos e mínimos da função, se

houver: I) 8102)(' 2 +−= xxxf

II) 2x2 – 10x + 8 = 0

III)

810

208102 2

=−=

==+−

cba

xx

⇒ ⇒ 36

641008.2.4)10( 2

=Δ−=Δ

−−=Δ

2.236)10( ±−−

=x ⇒ ⇒ 44

164

610' ==

+=x

144

4610

' ==−

=x ; raízes = 4 e 1

IV) 104)('' −= xxf

V) para x = 4 ‘para x = 1

066)4(''

1016)4(''104.4)4(''

>=

−=−=

fff

066)1(''

104)1(''101.4)1(''

<−−=−=−=

fff

então, abscissa de mínima então, abscissa de máxima

VI) para x = 4 para x = 1

319)4(

3147128)4(

493

128)4(

132803

128)4(

13216.564.32)4(

14.84.54.32)4( 23

−=

−=

−=

−+−=

−+−=

−+−=

f

f

f

f

f

f

38)1(

362)1(

232)1(

18532)1(

181.51.32)1(

11.81.51.32)1( 23

=

+=

+=

−+−=

−+−=

−+−=

f

f

f

f

f

f

Solução: o par ordenado ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

38,1 é um ponto de máximo e o par ordenado ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

319,4 é um ponto de mínimo.

36

36

E X E R C I C I O S 1. Determine os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções: a) f(x) = x2 b) y = x2 - 7x + 12 c) y = 10x2 + 5x d) y = x 2 + 1 e) y = x 3 - 3x + 4 f) y = (x 3/3) - 5x2 + 21x g) y = x2 - 5x + 10 h) y = - x2 + 12x i) y = x2 + 3 j) y = 6x - x2 k) y = (-x3/3) + 4x + 6 l) y = x2 + 9 m) y = x2 - 3x + 2 n) y = x2 + 5x - 6 o) y = (x3/3) - 7,5x2 + 50x + 5

2. O lucro total da Cia Alfa é dado pela fabricação e venda de x unidades de suas mercadorias que esta representada pela função L(x)= -0,02x2 + 300x - 200000. Quantas unidades a Cia deve produzir para aumentar seus lucros ao máximo?(ponto de máximo).

3. A equação da receita de um certo produto é R(x) = 10x – x2. Calcule o ponto de mínimo e de máximo com que o produtor deve trabalhar para que tenha um lucro máximo, sabendo que o custo de produção é dado por C(x) = x3 – 2x2 + 5x + 1. Sabe-se que: L(x) = R(x) – C(x).

4. A função que representa o volume de uma caixa é V(x) = 600x - 20x2. Determine a abscissa máxima da caixa.

5. Suponha que a equação R(x) = -x + x2 (receita) e que a equação C(x) = -2x3 + 2x2 + 4x -1 (custo) são utilizadas pela eletrônica Estrela para saber qual o ponto de mínimo e de máximo que a mesma deve trabalhar. Determine-os.

6. Uma empresa que fabrica bichinhos de pelúcia calcula que seus custos e sua receita podem ser modelados pela equação: R(x) = 500x – x2 e C(x) = -7500 + 1,05x. Onde x é o número de brinquedos. Quantas unidades a empresa deve produzir para aumentar seu lucro ao máximo?

7. A receita anual R (em milhões de dólares) da Wm. Wrigley Jr. Company entre 1994 e 2000 pode ser modelada pela função R(x) = -x2 + 2x + 1 e os custos C(x) = 2x3 – 49x2 + 360x + 396 também em milhões de dólares. Determine os pontos de máximo e de mínimo.

8. Entre 1990 e 1998, o consumo C de carne de frango nos Estados Unidos (em libras sem osso por pessoa) pode ser modelado pela função C(x) = -0,073x2 + 1,64x + 42,4. Determine o valor máximo absoluto.

9. Um fabricante de brinquedos verifica que as funções custo e receita de um determinado jogo são dadas por: C(x) = 2,4x – 0,0002x2 e R(x) = 7,2x – 0,001x2. Determine o ponto de máximo.

10. Uma lanchonete determinou que a demanda mensal de hambúrgueres vendidos aumente cada vez mais. A função lucro para hambúrgueres é L(x) = 2,44x – x2/20000 + 5000, determine o nível de produção para qual o lucro em reais é máximo.

11. Uma empresa verificou que a receita total (em reais) com a venda de um produto pode ser modelada pela função R(x) = -x3 + 45x2 + 525x. Maximize a receita da empresa.

37

37

GABARITO

1. a) Pm(0;0) b) Pm(3,5; -0,25) c) Pm(-0,25; -0,625)

d) Pm(0; 1) e) Pm(1; 2) e PM(-1; 6) f) Pm(7; 16,3) e PM(3; 27)

g) Pm(2,5; 3,75) h) PM(6; 36) i) Pm(0; 3)

j) PM(3; 9) k) PM(-2; 2/3) e Pm(2; 34/3) l) Pm(0; 9)

m) Pm(1,5; -0,25) n) Pm(-2,5; -12,25) o)Pm(10; 88,33) e PM(5; 109,16)

2. PM(7500; 925000) = 7500 unidades 925.000,00 de lucro

3. Pmínimo(-1; -4) e Pmáximo(5/3; 148/27)

4. Abscissa máxima (-40 )

5. Pm(1,09; -3,04) e PM(-0,76; 3,34)

6. (≈250 unidades e R$ 69.737,5 de lucro)

7. Pm(5,91; -1.274,08) e PM (10,08; -1.174,92)

8. máximo absoluto 51,61 libras

9. PM(3000; 7200)

10. PM(24400 hambúrgueres e 34.768,00 de lucro)

11. Pm(-5; -1375) PM (35; 30.625) este ponto é o que representa a maximização da receita da empresa.

BIBLIOGRAFIA

Dowling,E.T. – Elementos da Matemática Aplicada a Economia e Administração – Rio de Janeiro –

Editora Mac Graw Hill.

Iezzi, G.E Outros – Fundamentos da Matemática Elementar – Vols 1 e 2 – Atual Editora, 1993.

Medeiros e Outros – Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis.

Volume 1 - Editora Atlas – 5ª edição –SP.

Nery, Chico E Totta, Fernando – Matemática Curso Completo – Editora Moderna ,1994 – SP.