Post on 24-Sep-2015
Srie Numrica
Definio
Uma srie de nmeros reais uma expresso da forma
n=1
an ou a1 + a2 + + an + ou
a1 + + am +
n=m+1
an,
onde an uma sucesso numrica. O termo geral dessa sucesso o
termo geral da srie.
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Sucesso das somas parciais
Definio
Dada uma srie,
n=1an denotamos por sn a sua n-sima soma parcial,
sn = a1 + + an =n
k=1
ak.
A sucesso (sn)nN dada por
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
s3 = a1 + a2 + a3 + a4...
designa-se por sucesso das somas parciais de
n=1an.
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Natureza e soma de uma srie
Definio
Se a sua sucesso de somas parciais sn for convergente e lim sn = s,
com s R, ento a srie n=1
an diz-se convergente e escrevemos
a1 + + an + = s ou
n=1
an = s.
O nmero s diz-se a soma da srie. Caso contrrio, a srie diz-se
divergente.
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Srie Geomtrica
Definio
Uma srie
n=1an diz-se geomtrica se o seu termo geral for o termo
geral de uma progresso geomtrica: an = a rn1, onde a, r R. Poroutras palavras, uma srie geomtrica uma srie da forma:
n=1
a rn1 = a + ar + ar2 + arn +
Teorema
Seja
n=1a rn1 uma srie geomtrica. Se a = 0 ento a srie
converge e a sua soma 0. Se a 6= 0 ento:1 a srie diverge para |r| 1;2 a srie converge para |r| < 1 e a sua soma a
1 r .
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Srie Harmnica
Definio
A srie harmnica a srie 1 +1
2+
1
3+ + 1
n+ =
n=1
1
n.
Teorema
A srie harmnica divergente. A sucesso sn tem limite +.
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Teste para a divergncia
Teorema
Se
n=1an for convergente ento an converge para zero.
Equivalentemente, se o termo geral de uma srie no converge
para zero ento a srie diverge.
Observao
O termo geral de uma srie pode convergir para zero e a srie divergir.
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Importncia dos primeiros termos
Observao
Seja k N e n=k
an = ak + ak+1 + an + a srie que se obtmde
n=1an = a1 + a2 + + an + considerando a soma infinita
apenas a partir do termo ak em diante. Ento
1 a natureza das sries
n=k
an e
n=1
an coincide mas;
2 no caso convergente as suas somas podem no coincidir.
Se s for a soma de
n=1an e s
for a soma de
n=kan, temos:
s = sk1n=1
an = s (a1 + + ak1)
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lgebra das sries
Teorema
Sejam
n=1an e
n=1bn duas sries convergentes e s, s
R tais que
n=1an = s e
n=1bn = s
. Ento, dado c R,1 as sries
n=1(an + bn) e
n=1c an so ambas convergentes;
2 a soma de
n=1(an + bn) s + s
e a soma de
n=1c an c s.
Teorema
Suponhamos que
n=1an convergente e que
n=1bn divergente.
Ento
n=1(an + bn) divergente.
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Critrios de convergncia sries de termos no-negativos
Teorema (Critrio de comparao)
Sejam
n=1an e
n=1bn duas sries de termos no-negativos.
Suponhamos quean bn, para todo o n n0.
Ento:
1 se
n=1bn converge,
n=1an converge;
2 se
n=1an diverge,
n=1bn diverge.
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Sries-p
Definio
Seja p R. A srie-p, ou srie de Dirichlet, correspondente n=1
1
np.
Teorema
A srie
n=1
1
np divergente se p 1 e convergente se p > 1.
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Critrios de convergncia sries de termos positivos
Teorema (Critrio de comparao do limite)
Sejam
n=1an e
n=1bn duas sries de termos positivos. Suponhamos
que a sucesso anbn
convergente e que o limite desta pertence a R+, i.e.,
no 0 nem +, ento n=1
an e
n=1bn tm a mesma natureza: ou
so ambas convergentes ou ambas divergentes.
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Critrios de convergncia sries de termos positivos
Teorema (Critrio d Alembert [ou teste da razo])
Seja
n=1an uma srie de termos positivos. Suponhamos que existe
lim an+1an
e designemo-lo por L R. Ento1 se L < 1 a srie
n=1an convergente;
2 se L > 1 a srie
n=1an divergente;
3 se L = 1 pode ser convergente ou divergente.
Observao
Se liman+1
an
= +, entoan+1
an
r > 1 para n n0 e logoP
n=1an diverge.
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Critrios de convergncia sries de termos positivos
Teorema (Critrio de Cauchy [ou teste da raiz])
Seja
n=1an uma srie de termos positivos. Suponhamos que existe
lim n
an e designemo-lo por L R. Ento1 se L < 1 a srie
n=1an convergente;
2 se L > 1 a srie
n=1an divergente;
3 se L = 1 nada se pode concluir.
Observao
Se lim n
an = +, ento lim an 6= 0 e logo
n=1an diverge.
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Critrio de Leibniz
Definio
Uma srie alternada uma srie cujos termos so alternadamente
positivos e negativos.
Teorema
Seja (bn)nN uma sucesso decrescente, convergente para 0. Ento a
srie alternada
n=1(1)n1bn convergente.
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Sries absolutamente convergentes
Definio
Uma srie
n=1an diz-se absolutamente convergente se a srie dos
mdulos,
n=1|an|, for convergente. A srie diz-se simplesmente
convergente se for convergente mas no for absolutamente convergente.
Teorema
Seja
n=1an uma srie absolutamente convergente. Ento
1
n=1
an convergente e
2
n=1
an
n=1
|an|
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Rearranjos de sries absolutamente convergentes
Definio
Por um rearranjo de uma srie
n=1an queremos dizer uma srie obtida
simplesmente mudando a ordem dos termos, possivelmente um nmero
infinito deles.
Teorema
1 Se
n=1an for uma srie absolutamente convergente com soma s,
ento qualquer rearranjo de
n=1an tem a mesma soma s.
2 Se
n=1an for simplesmente convergente e r for um nmero real
qualquer, ento existe um rearranjo de
n=1an que tem uma soma
igual a r.
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Produto de Cauchy
Definio
Sejam {an}n=0 e {bn}n=0 duas sucesses. A convoluo de an com bn a sucesso {un}n=0 dada por:
u0 = a0b0
u1 = a0b1 + a1b0
u2 = a0b2 + a1b1 + a2b0
u3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0
un =
nk=0
akbnk
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Produto de Cauchy
Teorema
Sejam
n=0an e
n=0bn duas sries absolutamente convergentes.
Ento a srie
n=0un, cujo termo geral a convoluo dos termos
gerais, absolutamente convergente e
n=0
un =
(
n=0
an
)(
n=0
bn
).
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