Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão

Por

Jedson Guedes

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Prova da ExistênciaProva da Existência

Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão

Lugar de estudante

Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão

Lugar de estudanteLugar de estudante

Prova da ExistênciaProva da Existência

Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IParte I, 0 , 0 ≤ ≤ a-bqa-bq

Se a > 0,

Se a < 0,

escolha o q tal que q = 0.

escolha o q tal que q = a.escolha o q tal que q = 0.Se a = 0,

a – bq = a – ba = a (1 – b)

Portanto, .

Lugar de estudanteLugar de estudante

Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < b, a-bq < b

Como S não é vazio, sabemos que ele tem, pelo Princípio da Boa Ordenação, um elemento mínimo.

Digamos,

a-bq.Lugar de estudanteLugar de estudante

Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.

Lema

Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.

16 5 2

a b

(6) ← q

r →

16 5 3(1)

← q'r →

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Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.

Lema

Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.

a – bq' ≥ 0 a – b(q + 1) ≥ 0a – bq – b ≥ 0

a – bq ≥ b a – bq – b ≥ b -b

a – bq – b ≥ 0

a – bq < b

Lugar de estudanteLugar de estudante

Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.

Lema

Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.

a – bq' ≥ 0 a – b(q + 1) ≥ 0a – bq – b ≥ 0

a – bq ≥ b a – bq – b ≥ b -b

a – bq – b ≥ 0

a – bq < b

Lugar de estudanteLugar de estudante

Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.

Lema

Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.

a – b(q + 1) a – bq

Lugar de estudanteLugar de estudante

Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.

Lema

Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.

a – b(q + 1) a – bq

q < q+1-bq > -b(q+1)a –bq > a – b(q+1)ABSURDO!

Lugar de estudante

bq < b(q+1)

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Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb

Portanto, é falsa a afirmação a – bq ≥ b.

Daí, a – bq < b.

q. e. d

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