Algoritmo da divisão inteira - prova da existência
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Algoritmo da divisão Algoritmo da divisão Por Jedson Guedes - Lugar de estudante - http://jedsonguedes.wordpress.com Prova da Existência Prova da Existência
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Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
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Jedson Guedes
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Prova da ExistênciaProva da Existência
Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Lugar de estudanteLugar de estudante
Prova da ExistênciaProva da Existência
Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IParte I, 0 , 0 ≤ ≤ a-bqa-bq
Se a > 0,
Se a < 0,
escolha o q tal que q = 0.
escolha o q tal que q = a.escolha o q tal que q = 0.Se a = 0,
a – bq = a – ba = a (1 – b)
Portanto, .
Lugar de estudanteLugar de estudante
Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < b, a-bq < b
Como S não é vazio, sabemos que ele tem, pelo Princípio da Boa Ordenação, um elemento mínimo.
Digamos,
a-bq.Lugar de estudanteLugar de estudante
Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.
16 5 2
a b
(6) ← q
r →
16 5 3(1)
← q'r →
Lugar de estudanteLugar de estudante
Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.
a – bq' ≥ 0 a – b(q + 1) ≥ 0a – bq – b ≥ 0
a – bq ≥ b a – bq – b ≥ b -b
a – bq – b ≥ 0
a – bq < b
Lugar de estudanteLugar de estudante
Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.
a – bq' ≥ 0 a – b(q + 1) ≥ 0a – bq – b ≥ 0
a – bq ≥ b a – bq – b ≥ b -b
a – bq – b ≥ 0
a – bq < b
Lugar de estudanteLugar de estudante
Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.
a – b(q + 1) a – bq
Lugar de estudanteLugar de estudante
Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1, tal que a – bq' ≥ 0.
a – b(q + 1) a – bq
q < q+1-bq > -b(q+1)a –bq > a – b(q+1)ABSURDO!
Lugar de estudante
bq < b(q+1)
Lugar de estudanteLugar de estudante
Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisãoParte IIParte II, a-bq < , a-bq < bb
Portanto, é falsa a afirmação a – bq ≥ b.
Daí, a – bq < b.
q. e. d
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