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ISEP – ALGAN – EMECAN 1
Conteúdo
1.1 Operações com matrizes
1.2 Matriz inversa
1.3 Equações envolvendo matrizes
1.4 Característica de uma matriz
1.5 Exercícios de conclusão do capítulo
Capítulo 1 - Matrizes
ISEP – ALGAN – EMECAN 2
1.1 Operações com matrizes
Exercícios resolvidos
1. Seja [ ]1 2 3 2 = −A ,
1 31 22 11 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦
B e [ ]2 5 =C . Calcule:
1.1 3× +A B C ;
1.2 T T×B A .
Resolução:
1.1 Verificar se é possível efectuar o produto: :1 4×A , : 4 2×B . Logo o produto é possível e
:1 2× ×A B .
[ ]
1 31 2
1 2 3 2 2 11 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥× = − × =⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦
A B
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 1 2 1 3 2 2 1 1 3 2 2 3 1 2 1 9 0 ⎡ ⎤= × + − × + × − + × − × + − × + × + × − = −⎣ ⎦
[ ] [ ]3 3 2 5 6 15 = =C
Então [ ] [ ] [ ]3 9 0 6 15 3 15 × + = − + = −A B C .
1.2
1º método:
1 1 2 1
3 2 1 1TB
− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
e
1232
TA
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Como 42: ×TB , 14: ×TA tem-se ( ) 12: ×× TT AB
11 1 2 1 2 9
3 2 1 1 3 0
2
T TB A
⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥× = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
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2º método:
( ) [ ] 99 0
0T TT TB A A B
−⎡ ⎤× = × = − = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Exercícios propostos
1. Seja 1 0 2 10 1 0 2
A−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
e
1 02 10 11 1
B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
. Calcule, se possível:
1.1 A B+ 1.2 TA B+ 1.3 TB A+ 1.4 TA B+
1.5 ( )TTA 1.6 ( )TTA B+ 1.7 T TA B+ 1.8 ( )2 TA
1.9 2 TA B− 1.10 4A I× e 2I A× 1.11 B A× 1.12 A B×
1.13 ( )TA B× 1.14 T TA B× 1.15 T TB A× 1.16 2I A B− ×
1.17 A A B− × 1.18 2A 1.19 ( )3T TB A× 1.20 ( )205I
1.21 Que conclusões pode tirar dos problemas anteriores?
2. Seja 2 1 1
0 1 3
A−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦,
3 11 1 0 2
B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
e 3 12 1
C−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
2.1 Determine a matriz 22 3M A B C I= × − + .
2.2 Determine a matriz X que verifica 2X C I× = .
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Exercícios suplementares
1. Seja 1 2 1 30 1 1 3
A−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, 0 1 2 11 1 0 0
B−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
e 2 11 1
C⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦.
1.1 Calcule TB A× ;
1.2 Determine ( )13
TX A B C= × − .
2. Sendo A e B duas matrizes quadradas da mesma ordem, em que condições se verifica a
igualdade ( ) 222 2 BABABA ++=+ ?
Soluções:
1.1 Não é possível. 1.2 2 2 2 00 2 1 3⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.3 2 2 2 00 2 1 3⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.4
2 02 22 10 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
1.5 A 1.6 2 2 2 00 2 1 3⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.7 Não é possível. 1.8
2 00 24 02 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.9 1 4 2 3
0 1 2 0− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.10 A 1.11
1 0 2 12 1 4 00 1 0 21 1 2 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
1.12 0 34 3
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
1.13 0 43 3
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.14
1 2 0 10 1 1 12 4 0 21 0 2 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
1.15 0 43 3
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.16 1 34 2
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦
1.17 Não é possível. 1.18 Não é possível. 1.19 36 129 45− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.20 5I
2.1 4 5
5 4
M⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 2.2
1 5 1 52 5 3 5
X⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
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3. Sejam U e V duas matrizes de ordem n simétricas. Prove que UV é simétrica se U e V
são permutáveis e vice-versa.
Soluções:
1.1 3 0
3 1−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
1.2 3 01 4 3
X−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
2. Se A e B forem permutáveis.
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1.2 Matriz inversa
Exercícios resolvidos
1. Calcule a matriz inversa da matriz 3 6
1 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, recorrendo à definição de inversa de uma
matriz.
Resolução:
Definição: IAA =× −1 .
3 6 1 2 33 6 1 0 3 6 3 6 1 0 3 6 0 1
1 4 0 1 4 4 0 1 4 0 1 6
4 1 1 2
a c aa b a c b d b d bc d a c b d a c c
b d d
+ = =⎧ ⎧⎪ ⎪+ + + = = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪× = ⇔ = ⇔ ⇔⎨ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + = = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩
Logo 13 6 2 3 1
1 4 1 6 1 2
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
2. Calcule a inversa da matriz B , sendo 0 0 22 1 1 1 1 1
B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
Resolução:
Só se pode operar com linhas.
23 1 2 2 1
0 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 12 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0L L L L L↔ ← −
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
1 321 1 2 3
1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0L L L L L← + ←
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
2 2 3
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 0L L L← +
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
Então, 10 1 1
1 2 1 2 1 2 0 0
B−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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Exercícios propostos
1. Seja 1 2
3 2
A−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e
2 11 1
B−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦. Determine a matriz X tal que 14 −×=× AXB .
2. Determine a matriz inversa das seguintes matrizes:
2.1 1 2 02 4 1 2 3 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2.2 1 1 11 1 0 2 1 2
B−⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2.3 2 1 121 0 3 3 1 4
C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
2.4 0 1 11 1 1 1 0 1
D⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2.5 2 1 10 2 1 3 0 1
E⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3. Seja 4A I= e 42B I= . Calcule 1A− e 1B− .
Exercícios suplementares
1. Considere a matriz
2 1 1 13 2 0 11 1 3 2
0 1 2 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Soluções:
1. 5 3
8 4
X−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
2.1 17 2 24 1 1 2 1 0
A−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2.2 12 3 1 1 32 3 0 1 3
1 1 0B−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2.3 13 16 35 28 6 1 5 1
C−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
2.4 11 1 20 1 1 1 1 1
D−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
2.5 12 1 3
1 3 1 2 5
6 3 4E−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
3. 14A I− = e 1
412
B I− = .
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1.1 Mostre que 1
1 1 3 22 2 21 3 7 52 2 2
0 1 3 51 1 5 42 2 2
A−
⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
é a matriz inversa da matriz A .
1.2 Obtenha a matriz 1A− pelo método da condensação de matrizes.
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1.3 Equações envolvendo matrizes
Exercícios resolvidos
1. Seja 1 1
3 2
A⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
1.1 Calcule 2A .
1.2 Resolva em ordem a X , matriz regular, a seguinte equação matricial:
( ) 12 1TA A X A− −= .
Resolução:
1.1 2 1 1 1 1 4 3 3 2 3 2 9 7
A A A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= × = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
1.2 Como existe 1A− verifica-se que A é regular e então 2A e TA são também regulares e,
logo existe ( ) 12A−
e ( ) 1TA−
.
( ) 12 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2T T T TA A X A A X A A A X A A A A A X I A A− − − − − − − − − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 1T T T T T TA X A A A X A A IX A A X A A− − − −− − − −⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
( )11 1
T TX A A X A A−− −⎡ ⎤⇔ = ⇔ =⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Calculando 1−A , obtém-se 1 2 13 1
A− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
Fica então: 2 1 1 3 1 4
3 1 1 2 2 7
X− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.
Exercícios propostos
1. Resolva em ordem a X as seguintes equações matriciais, supondo que todas as operações
são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares:
1.1 ( ) ( ) 1 1T
TA X AB A− −⎡ ⎤ + =⎢ ⎥⎣ ⎦
;
1.2 2 14 2B BX O−+ = ;
ISEP – ALGAN – EMECAN 10
1.3 BAAX T =− ;
1.4 ( )TTXAB B CX I+ = , sendo X uma matriz simétrica;
1.5 ( ) IBBAX TT =−− .
Exercícios suplementares
1. Resolva em ordem a X as seguintes equações matriciais, supondo que todas as operações
são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares:
1.1 ( ) 1TXA B BA I−+ = ;
1.2 ( )( ) 11 TF D XE F−− = ;
1.3 ( ) ( ) ( )1 11 1 TT T TA X X A X A I− −− −− + = .
2. Mostre que sendo A e B matrizes regulares tais que CAB = então ICBA =−− 11 .
Soluções:
1.1 ( ) ( )2 1T TX A B−= −
1.2 112
X B−= −
1.3 ( )1 T TX I A B−= +
1.4 ( ) 11 TX B A C−−= +
1.5 ( )1 T TX B A B−= + +
Soluções:
1.1 ( ) 1 1TX A AB B A− −= −
1.2 ( ) 1TX ED−
=
1.3 ( ) 1TX A−
=
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1.4 Característica de uma matriz
Exercícios resolvidos
1. Calcule a característica da matriz A , sendo
1 2 0 32 3 1 21 1 1 01 0 2 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
Resolução:
Para o cálculo da característica de uma matriz pelo método da condensação, anulam-se todos
os elementos que estão acima ou abaixo da diagonal.
22
2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 24 4 1
1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 32 3 1 2 0 1 1 4 0 1 1 4
1 1 1 0 0 1 1 3 0 0 0 11 0 2 1 0 2 2 2 0 0 0 6L L L L L LL L L L L LL L L
← − ← −← − ← −← −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
Sempre que aparecer um zero na diagonal, deve tirar-se. Desta forma:
63 4 4 4 3
1 2 0 3 1 2 3 0 1 2 3 00 1 1 4 0 1 4 1 0 1 4 1
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0C C L L L↔ ← −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
A maior sub-matriz triangular, sem zeros na diagonal, é a matriz de 3ª ordem 1 2 30 1 4 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Logo ( ) 3car A = , que é a ordem da sub-matriz.
2. Sendo 11 1 1 1 1
a bM
b
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, calcule a e ℜ∈b de modo que ( ) 2car M = .
Resolução:
2 2 11 2 2 33 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1L L LL L C CL L L
a ba b a b b a
b b b b← −↔ ↔← −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
Para que ( ) 2car M = temos de fazer 1 0 1 0 1 1b a b a− = ∧ − ≠ ⇔ = ∧ ≠
ISEP – ALGAN – EMECAN 12
Exercícios propostos
1. Calcule a característica das seguintes matrizes:
1.1 1 3 1 32 8 3 4 3 3 8 16
A⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1.2
3 2 1 42 2 1 2 5 4 2 6
B⎡ ⎤⎢ ⎥= − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1.3 2 1 3 34 3 8 4 6 18 3 16
C⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1.4
2 3 15 6 3
3 3 21 0 1
D
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.5
2 1 3 4 3 21 2 0 5 2 11 0 3 2 1 11 3 3 5 3 1
E
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
1.6
1 0 22 1 1
1 2 01 1 0
F
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
2. Sem efectuar cálculos, diga qual a característica das seguintes matrizes:
2.1 5A I= 2.2 1 1 12 2 23 3 3
B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2.3 1 1 02 1 07 3 0
C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2.4 1 1 11 2 11 2 1
D⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3. Determine k∈ de modo que a característica da matriz seja menor do que 4:
1 2 1 50 3 5 22 2 23 0 2 1
Ak
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Soluções:
1.1 ( ) 3car A = 1.2 ( ) 2car B = 1.3 ( ) 3car C =
1.4 ( ) 2car D = 1.5 ( ) 3car E = 1.6 ( ) 3car F =
2.1 ( ) 5car A = 2.2 ( ) 1car B = 2.3 ( ) 2car C = 2.4 ( ) 2car D =
3. 1k =
ISEP – ALGAN – EMECAN 13
Exercícios suplementares
1. Calcule a característica das seguintes matrizes:
1.1 nA I= 1.2
2 2 1 1 11 2 1 1 24 10 5 5 72 14 7 7 11
B
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
1.3 1 1 02 2 03 3 0
C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1.4 4 1 12 1 00 0 1
D⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
2. Considere a matriz 1 3 31 1 41 3 2
A ab
⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
, ,a b∈ . Determine os valores de a e de b , de
modo que:
2.1 ( ) 1car A = ;
2.2 ( ) 2car A = .
Soluções:
1.1 ( )car A n= 1.2 ( ) 2car B = 1.3 ( ) 1car C = 1.4 ( ) 3car D =
2.1 2 1a b= ∧ = 2.2 2 1a b≠ ∧ =
ISEP – ALGAN – EMECAN 14
1.5 Exercícios de conclusão do capítulo
1. Considere as matrizes 11 0 0
( ) 2 1 33 1 1
TA −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
e 2 1 01 0 1
1 1 0B
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
1.1 Dada a seguinte equação matricial DYC I= , sabendo que matriz D tem quatro linhas
e três colunas e a matriz C tem cinco linhas, diga justificando, qual o tipo da matriz Y e o
número de colunas da matriz C.
1.2 Determine a matriz A , usando condensação.
1.3 Resolva a seguinte equação matricial 1 1 1( ) (3 )TBX A I− − − = em ordem a X , supondo
que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares.
2. Considere as matrizes 1 2 31 1 3
0 0 1
TA⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
e 2 1 0
1 1 0 11 1 0
B⎡ ⎤
− ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
2.1 Dada a seguinte equação matricial DYC I= , sabendo que matriz D tem cinco colunas,
a matriz C tem três linhas e é quadrada, diga justificando, o tipo da matriz Y e o número
de linhas da matriz D.
2.2 Determine a matriz 1A− , usando condensação.
2.3 Resolva a seguinte equação matricial ( ) ( ) 11 3T
A XB I −− = em ordem a X , supondo
que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares.
3. Considere a seguinte matriz: 1 1 21 1 1 1
A ab
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
3.1 Determine os valores de ,a b∈ , para os quais a matriz é regular.
3.2 Para 1a = e 0b = calcule, por condensação, 2−A .
ISEP – ALGAN – EMECAN 15
4. Considere as matrizes:1 0 11 12 4
k kA k k k
k k
+⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
e
1 0 22 1 1
1 2 01 1 0
B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
.
4.1 Discuta a característica da matriz A , em função da variação do parâmetro k .
4.2 Para 0=k , determine a matriz M , que verifica: ( ) ( ) IMBABAM =××=×× .
4.3 Resolva a equação matricial em ordem a X : ( ) ( ) T TTE X I I ECD⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ , supondo
que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares.
5. Considere a matriz 1
2 1
pD
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
5.1 Calcule a matriz C , permutável com D e cujos elementos da 1ª linha são todos iguais
a 1.
5.2 Faça 1=p e calcule 1−D .
6. Seja 0 1
1 0 1 1 0
aA
a
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, a∈ ;
6.1 Determine o valor do parâmetro a de modo que A seja regular.
6.2 Suponha 2=a .
6.2.1 Sem efectuar cálculos, indique a característica de A71 . Justifique.
6.2.2 Resolva a equação matricial: ( )[ ] BAIBXA TT=+
−−−
111 em ordem a X ,
supondo que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são
regulares.
7. Seja 1
1p
Aq−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, ,p q∈ .
7.1 Determine os valores de p e de q para os quais a matriz A é singular.
7.2 Para 0p q= = , resolva em ordem a B a equação matricial: ( ) 1232 −−=+ AAIAB TT ,
supondo que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares.
ISEP – ALGAN – EMECAN 16
Soluções:
1.1
:3 5; :5 4Y C× × 1.2
4 7 51 0 1 1 4
0 3 1A
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1.3 19 12 6
3 6 3 3 6 3 9
X A B−⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
2.1 :5 3; :3 5Y D× × 2.2 11 1 02 1 0 9 6 1
A−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
2.3 1 1 3 1 3
5 3 2 3 1 3 4 3 4 3 1
X−⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3.1 2 1a b≠ ∧ ≠ 3.2 22 1 21 2 1 1 0 2
A−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
4.1 ( ) 3,car A k= ∀ ∈ 4.2 4 2 1 23 2 0 3 1 1 2
M− −⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
4.3 1X CD E I−= − +
5.1 1 1
2 1
Cp
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, { }\ 0p∈ 5.2 1 1 1
2 1D− −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
6.1 { }\ 0a∈ 6.2 1 37
car A⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
6.3 ( )( ) 1 TT TX A B A I B−= −
7.1 1qp
= − , 0p ≠ 7.2 3 2
2 3
B−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦