iiALinear2005/12/1913:25pagei #1iiiiiiEm memria deEliana Farias Bueno.Inesquecvel esposa,eterna amiga.Miriam, Claudia und Georg Mllergewidmet.iiALinear2005/12/1913:25pageii #2iiiiiiiiALinear2005/12/1913:25pageiii #3iiiiiiPrefcioEste texto dirigido a alunos de um segundo curso de lgebra Linear. Apesardetodososconceitosestaremdenidos, noesbsicassobreoespaoRnsosupostas conhecidas e, portanto, tm apresentao concisa. So utilizados algunsresultados elementares do clculo diferencial e da teoria de funes emuma varivelcomplexa.Com o ponto de vista da Anlise Matemtica, o livro oferece um tratamentomoderno para temas bsicos da lgebra Linear e pode ser lido com diversos grausdeaprofundamento, destinando-setantoaalunosqueaindaestoaprendendooformalismo da linguagem matemtica como tambm queles mais avanados, quepretendem consolidar e ampliar seus conhecimentos sobre o assunto.A primeira verso deste texto surgiu como uma adaptao de parte de um livroqueconsideroumaobra-prima: otextodeP. Lax, "LinearAlgebra"[20], cujainuncia no dissimulada.Decidi adaptar otextodeLaxquandosenti adiculdadedemeus alunosem acompanh-lo. Alterei demonstraes e o ordenamento do texto, salientei asdiferenasentreespaosreaisecomplexos, esmiucei certaspassagenseinserialguns tpicos complementares, sempre visando tornar o texto menos denso. Aps autilizao dessa adaptao por mim e outros professores, resolvi fazer modicaesmais profundas, enfatizando um tpico que tradicionalmente ignorado nos textosdelgebraLinear: asassimchamadasfunesdematrizes, quesomatrizesoriginadas por funesf : UC C,tais comoAk, A1, sen A ou mesmoo uxo eAt. Usualmente restringe-se a apresentao dessas ao caso de polinmiosde uma matriz quadrada ou ento, se a matriz A for simtrica e A=P1DPcomD diagonal, dene-se f(A) por P1f(D)P, em que f(D) obtida ao se avaliar fem cada uma das entradas diagonais de D.A apresentao de funes de matrizes pode ser sintetizada como sendo umageneralizaodaversoemdimensonitadoclculofuncional deDunford-Schwartz [8] e j era conhecida por Gantmacher [9]. Ela simples e tem conse-qncias notveis: f(A) sempre um polinmio na matrizA (com coecientesdependendo da funo f), que pode ser facilmente obtido, se forem conhecidos osiiiiiALinear2005/12/1913:25pageiv#4iiiiiiautovalores de A e suas multiplicidades. Essa abordagem, uma tcnica corriqueiranalgebraLinearNumrica, temsidoesquecidanostextosdelgebraLinear.Livrosbemreputados(veja[15], [16], [19], [33]) eatmesmotratadosmaisavanados (como [3],[25] ou o prprio texto de Lax [20]) apenas mencionam oclculo funcional de matrizes simtricas. Assim, o presente texto tambm tem ainteno de contribuir para uma reavaliao do clculo funcional na lgebra Linearbsica e,como conseqncia,mostrar que o tratamento funcional do uxoeAtbem mais simples do que por meio da forma cannica de Jordan.O clculo funcional, mais do que uma simples ferramenta computacional, temimplicaes tericas importantes. A demonstrao do Teorema da DecomposioPrimrianocasocomplexo(queLaxdenomina"SpectralTheorem")feitapormeio dessa tcnica, que no pressupe conhecimento de resultados da lgebra.Inseri tambmsees devotadas a outras decomposies matriciais: LU,Decomposiode Aplicaes emValores Singulares, Cholesky, Schur e QR,resultados constantes de qualquer curso de lgebra Linear Numrica. (O livro deLax contm um captulo mais avanado sobre a resoluo de sistemas lineares.)Com a introduo de diversas modicaes no livro de Lax, ouso apresent-lo como uma obra independente. Mas, Lax o ghostwriter, cujo nome est aquiausente porque este texto est muito aqum dos mritos daquele. Assim, as falhasdeste so de minha inteira responsabilidade.OpresentetextocobretodooespectrobsicodalgebraLinear: espaosvetoriais e bases,o espao dual,aplicaes lineares e suas representaes matri-ciais, determinantes, adecomposioprimria, aformacannicadeJordaneadecomposioracional (deFrobenius), espaoseuclidianos, formasquadrticas,diagonalizao de operadores normais (e, com isso, operadores unitriose orto-gonais) e, nalmente, algumas outras decomposies matriciais.O estilo adotado no texto formal: os resultados so apresentados como lemas,proposies, teoremas etc. Acho-o apropriado para alunos que do seus primeirospassos no formalismo da linguagem matemtica.A linguagem utilizada , intencionalmente, abstrata e concisa. No creio serproveitoso, nesse nvel, continuar explorando uma abordagem mais direta e evitarassimaabstrao. NaspalavrasdeLax, osalunosnodevemserexcludosdoparaso criado por Emmy Noether e Emil Artin.Aapresentaoconcisa reduz oespaopara exemplos, especialmente emtpicos mais bsicos. Os exemplos esto connados a assuntos que julgo seremmais pertinentes a um segundo curso de lgebra Linear.Os exerccios, no nal de cada captulo, variam desde aplicaes corriqueirasiiALinear2005/12/1913:25pagev#5iiiiiida teoria at a apresentao de resultados mais renados, com demonstraes maiselaboradas. Alguns desses exerccios esto presentes em vrios textos de lgebraLinear, outros foram formulados por mim mesmo. Algumas vezes esses exerccios especialmente em tpicos bsicos introduzem notaes e conceitos que serousadoslivrementenorestodotexto. Outrosexercciosindicamdemonstraesalternativas de resultados expostos. Finalmente, outros complementam o materialapresentado, sugerindo generalizaes.Umaobservaoimportante: ocontedodestetextoterumacontinuidadenatural em um livro de introduo Anlise Funcional. Esse ltimo,escrito emconjunto com Antnio Zumpano e Grey Ercole, encontra-se redigido e em processode reviso.Fao alguns comentrios sobre os captulos da presente obra.OCaptulo1introduzespaosvetoriaisebases. Osespaosvetoriaissoconsiderados apenas sobreos corpos Rou C, oquecoerentecomalinhageral dotexto, quevoltadaparaareadeAnliseMatemtica. Geralmente,os alunos que assistem ao curso, na UFMG, no possuem formao em lgebra.Isso tornou necessria uma apresentao detalhada do espao quociente. Apesardisso, bom salientar que o espao quociente usado apenas duas vezes:uma nademonstrao do Teorema do Ncleo e da Imagem (que tambm possui uma provaalternativa, sem o uso desse conceito) e outra na demonstrao da forma cannicade Jordan (Seo 7.4), apenas como uma notao adequada. A utilizao do espaoquociente na prova do Teorema do Ncleo e da Imagem unica conceitos: a mesmademonstrao repete-se no estudo de outras estruturas algbricas. (Saliento que oprofessor, se assim o desejar, pode no apresentar o espao quociente e substitu-lopor meio do isomorsmo introduzido no Teorema 1.29.)O Captulo 2 trata do espao dual e apresenta uma primeira verso do Teoremade Representao de Riesz (para espaos de dimenso nita). Geralmente o duale o bidual so apresentados aps a introduo de espaos de aplicaes lineares,como casos particulares desses. O texto inverte essa ordem para dar um segundoexemplo de isomorsmo cannico entre espaos vetoriais (o primeiro dado noTeorema1.29). Entretanto, osalunosnormalmenteachamessecaptulomuitoabstrato. O professor pode optar por no apresent-lo ou simplesmente protelarsua apresentao.O Captulo 3 comea por mostrar que a denio de multiplicao de matrizes uma conseqncia natural da composio de aplicaes lineares. Nesse captulotambm so tratados outros tpicos fundamentais de um curso de lgebra Linear:matrizes e representaes de aplicaes lineares, sistemas lineares, espao linha eiiALinear2005/12/1913:25pagevi #6iiiiiiespao coluna, ncleo e imagem de uma aplicao linear etc. Grande nfase dadas matrizes de mudana de base (a rigor, mudana de coordenadas), pois entendoque o tratamento clssico por meio da matriz de passagem mais confunde doque esclarece. Se o professor optar por evitar a introduo do espao quociente,oTeoremadoNcleoedaImagempode, aindaassim, serenunciadocomoumteorema de isomorsmo, por meio da utilizao do Exerccio 16 do Captulo 3.O Captulo 4 aborda a teoria de determinantes. Os textos de lgebra Linearnormalmente enfrentam um dilema ao trat-los: ou apresentam a "teoria completa"de permutaes e do sinal de uma permutao, segundo mtodos que, stricto sensu,fogemaoescopodalgebraLinear, oupreferemintroduzir brevementeessestpicos, remetendo aos textos de lgebra a demonstrao dos resultados utilizados.Isso causa um certo desconforto, evidenciado na observao feita por Lang na seosobre permutaes da primeira edio de seu texto de lgebra Linear [19]: "Aoleitor que for alrgico a argumentos combinatrios, aconselhamos assimilar apenaso enunciado das propriedades e omitir as demonstraes." A apresentao escolhidapara determinantes supera esse dilema:a teoria de permutaes e do sinal de umapermutao apresentada segundo mtodos da lgebra Linear, como conseqnciado material exposto.No Captulo 5 so introduzidos os autovalores e autovetores de um operador,bem como o polinmio mnimo e o Teorema de Cayley-Hamilton, aqui demons-trado de um modo bastante simples. Tambm estudada a complexicao de umespao vetorial.Apesar de inclurem a apresentao do espao quociente e da complexicaode um espao vetorial tpicos que, normalmente, no so vistos em um primeirocurso de lgebra Linear , os Captulos 1-5 formam a parte bsica do curso.OCaptulo 6 introduz o clculo funcional. (Se o professor julgar que seus alunosno possuem os conhecimentos necessrios para a leitura desse Captulo, ele podeoptar entre uma apresentao "operacional" do mesmo ou seguir algum dos roteirosalternativos, queserodescritosposteriormente.) ASeo6.3relativamentemais avanada, consideradas as noes de topologia empregadas para se mostrara "estabilidade" do mtodo que fundamenta o clculo funcional. Entretanto, essaspreocupaes no so essenciais, e o professor pode apenas mostrar o isomorsmodelgebras, sempreocupaes comaestabilidadedomtodo. ASeo6.4dexemplosdoempregodoclculofuncional: ouxodeumamatriz, funestrigonomtricas etc.O Captulo 7 apresenta a decomposio primria, a forma cannica de Jordane a decomposio racional. O clculo funcional mostra o Teorema da Imagem doiiALinear2005/12/1913:25pagevii #7iiiiiiEspectro ("Spectral Mapping Theorem") e o Teorema da Decomposio Primria nocaso complexo denominado Teorema Espectral. (A demonstrao desse resultadoumpoucoabstrata). AformadeJordandemonstradaapartirdoTeoremaEspectral 7.2. A construo muito simples e descrita minuciosamente por meiode vrios exemplos. Minha experincia didtica mostra que esse trajeto prefervela uma abordagem direta da forma de Jordan, como aquela presente no ApndiceD. Em primeiro lugar, porque o Teorema Espectral suciente para grande partedas necessidades tericas da lgebra Linear; mas tambm porque o problema de seobter uma base na qual um operador assume uma forma simples introduzido aospoucos, dando tempo para o aluno maturar essa questo. A verso real do TeoremaEspectral isto , a decomposio primria e a forma de Jordan real so obtidasestudando a complexicao de um espao real. Utilizando a forma cannica deJordan, obtemos, de maneira incomum, a decomposio racional.OsCaptulos6e7conjuntamentecomosdiversosApndicescomelesrelacionados apresentam o clculo funcional e as decomposies fundamentaisvlidas em espaos vetoriais arbitrrios.O Captulo 8 introduz os espaos com produto interno. Mantenho a tradiobourbakistadeapresent-losapenasapsoestudodeespaosvetoriaisgerais.Achoqueoprofessor deveressaltar oaspectogeomtricointroduzidocomoprodutointerno. Por exemplo, o processo de ortogonalizaode Gram-Schmidtpode ser justicado em casos bi- e tridimensionais. Mais do que isso, no caso deespaos de dimenson, uma representao decompondo-o em um eixo vertical eseu complementar ortogonal adequada: muitas demonstraes podem ser, assim,geometricamente justicadas. Em coerncia com o caminho voltado para a Anlise,algumas propriedades da norma de uma matriz quadrada so apresentadas. Tambmso estudadas as relaes entre o ncleo e a imagem de uma aplicao linear e desua adjunta, bem como algumas propriedades bsicas de isometrias.OCaptulo 9 apresenta formas quadrticas e a Lei da Inrcia. De certa forma, eleconstitui uma unidade com o Captulo 10, que trata das principais formas cannicasem espao com produto interno: o Teorema Espectral para operadores normais, oestudo de classes de operadores normais no caso de espaos reais e a decomposiode um operador em valores singulares. Decidi dividir o material em dois captulospara tornar claroque oCaptulo9pode ser omitido, a critriodoinstrutor.Contudo, apresentar oTeorema de Lagrange e entopassar diagonalizaodematrizessimtricasumaformadeunicar conceitosqueusualmentesotratados separadamente: formas bilineares simtricas e diagonalizao de matrizessimtricas. No Captulo 10 tambm se demonstra que operadores auto-adjuntos soiiALinear2005/12/1913:25pageviii #8iiiiiidiagonalizveis por meio de tcnicas de minimax.Algumas sees do Captulo 11 que apresenta as decomposies matriciaisde Cholesky, Schur eQR, oferecem abordagem alternativa ou complementar aresultados apresentados nos Captulos 8 e 10.Agradecimentos. A lista de agradecimento enorme e comporta grande parte demeus amigos. Para no correr o risco de esquecer alguns, destaco apenas aquelesque estiveram mais diretamente envolvidos na redao deste livro.Ana Cristina Vieira e Paulo Antnio Fonseca Machado adotaram, em cursosque ministraram, a primeira verso deste trabalho (a adaptao do texto de Lax)econtriburamcomvriassugestesecorrees. Oenfoqueutilizadoparaaapresentaodedeterminantesfoi escolhidoapsvriasdiscussescomHelderCandidoRodrigueseP. A. F. Machado. Aabordagemdoclculofuncional baseada num texto apresentado naIBienal da Matemtica e muito deve a CarlosTomei, George Svetlichny, Eliana Farias Bueno e H. C. Rodrigues. A participaode H. C. Rodrigues na redao da Seo 7.6 foi decisiva. No Apndice E seguisugestes de Mrio Jorge Dias Carneiro.Otexto foi inteiramente revisto por Leopoldo Grajeda Fernandes, que contribuiucominmeras sugestes, abordandotantooenfoque adotadoquantooestiloderedao. MarceloDominguesMarchesineCarlosHenriqueCostaMoreirautilizaram o texto atual em seus cursos de lgebra Linear e sugeriram modicaespertinentes.Agradeotambmavriosleitoresemeusalunos, emespecial aLeandroMartins Cioletti, que apresentaram sugestes e crticas, todas elas bem-vindas.Finalmente, C. Tomei responsvel por umaleituraminuciosa, sugestesvaliosasqueprocurei seguir deacordocomminhacapacidadeeinmerascrticas, todas elas muito bem fundamentadas. A principal crtica feita por Tomeidiz respeito tradio brasileira de tratar a lgebra Linear (justamente uma dasreas mais aplicadas da matemtica) como uma disciplina quase que exclusivamenteterica. Esse texto no rompe com essa tradio, em parte devido ao propsito deintegr-lo a um texto de introduo Anlise Funcional, mas tambm por causa deminha inexperincia em termos de aplicaes da lgebra Linear. Nesse sentido, acrtica feita por Tomei s pode ser sanada por ele mesmo ou por outro matemticoque realmente entenda do assunto...A todos, o meu muito obrigado.Belo Horizonte, dezembro de 2005iiALinear2005/12/1913:25pageix#9iiiiiiSumrioPrefcio ixQuadro de Dependncias xv1 Base e Dimenso 11.1 Espaos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Somas Diretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Espao Quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Dualidade 152.1 O Espao Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Aplicaes Lineares 223.1 Aplicaes Lineares e Matrizes - parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Multiplicao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Espao Linha e Espao Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Resoluo de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 O Teorema do Ncleo e da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Aplicaes Lineares e Matrizes - parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . 403.7 A Transposta de uma Aplicao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 Determinantes 554.1 Determinantes de Matrizes 2 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Funo Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Existncia de uma Funo Determinante. . . . . . . . . . . . . . . 60ixiiALinear2005/12/1913:25pagex#10iiiiii4.4 Unicidade da Funo Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5 Propriedades do Determinante de uma Matriz . . . . . . . . . . . . 674.5.1 O Determinante da Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . 674.5.2 O Determinante do Produto de Matrizes Quadradas. . . . . 684.6 A Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.7 Matrizes Semelhantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 Operadores e Polinmios 785.1 Autovetores e Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Subespaos Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3 O Polinmio Mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4 O Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5 A Complexicao de um Espao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . 875.6 Um Homomorsmo de lgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916 O Clculo Funcional 966.1 O Polinmio Interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2 Funes de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3 Estendendo o Homomorsmo de lgebras. . . . . . . . . . . . . . 1036.4 Aplicaes do Clculo Funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4.1 O Fluxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4.2 Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.3 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.4 Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.5 A Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107 Teoria Espectral 1147.1 Imagem do Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2 O Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3 Decomposio Primria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.4 Forma Cannica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.5 Forma de Jordan Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.6 Decomposio Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147iiALinear2005/12/1913:25pagexi #11iiiiii8 Estrutura Euclidiana 1528.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.2 Norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.3 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.4 Projees Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.5 A Adjunta de uma Aplicao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.6 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.7 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.8 Norma de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769 Formas Sesquilineares e Quadrticas 1869.1 Formas Sesquilineares e Bilineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869.2 Diagonalizao de Formas Quadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . 1909.3 A Lei da Inrcia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19610Teoria Espectral Euclidiana 20110.1 Operadores auto-adjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20110.2 Princpios de Minimax para os Autovalores . . . . . . . . . . . . . 20610.3 Operadores Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20810.4 Operadores Normais em Espaos Reais . . . . . . . . . . . . . . . 21210.5 Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21610.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22211Decomposies Matriciais 22711.1 A Decomposio de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.2 A Decomposio de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22911.3 A Decomposio QR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23011.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234ApndicesA Matrizes Elementares e a Decomposio LU 236A.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241B Funes de Matrizes: Comparando Denies 242iiALinear2005/12/1913:25pagexii #12iiiiiiC Decomposio Primria 246D Forma Cannica de Jordan 252D.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263E Sistemas de Equaes Diferenciais Lineares 264E.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271F Espaos Normados 274F.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Lista de smbolos 280Referncias Bibliogrcas 283ndice Remissivo 287iiALinear2005/12/1913:25pagexiii #13iiiiiiQuadro de DependnciasCaptulo 1'..Captulo 2_Captulo 3__ Apndice A'Captulo 4'Captulo 5- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -ZZ`` 'Apndice BCaptulo 6....Apndice D Apndice CApndice E Seo 7.1_Seo 7.2_Seo 7.4_Seo 7.3Seo 7.5'_Seo 7.6..- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -'Captulo 8 __..Apndice F'Captulo 9_'Captulo 10Captulo 11 __Apndice AxiiiiiALinear2005/12/1913:25pagexiv#14iiiiiiOutras opes de curso. O texto foi escrito de maneira a proporcionar uma grandeexibilidade na escolha do material a ser lecionado.O Apndice A opcional, mas pode ser apresentado simultaneamente ou logoaps o Captulo 3. (Alguns resultados sobre matrizes elementares so utilizadas nosexerccios do Captulo 4. A decomposio LU utilizada no Captulo 11.)O Captulo 2 tambm opcional, bem como a Seo 3.7.OCaptulo6easduasprimeirasseesdoCaptulo7expemoclculofuncional. OCaptulo6relativamentesimples(comexceodepartedesualtimaseo, quepodeseromitida)epodeserapresentadocomumpontodevistaoperacional. Aligaoentreaapresentaotradicional clculofuncionaldematrizessimtricasenaformacannicadeJordancomoCaptulo6feitano Apndice B, que no precisa ser exposto. O Apndice E apresenta resultadosbsicos sobre sistemas lineares de equaes diferenciais ordinrias e pode servircomo apoio para o estudo do uxo linear, feito no Captulo 6.Se o professor tiver dvidas com respeito "maturidade matemtica" de seusalunos, talvez seja recomendvel omitir a Seo 7.2 e apresentar, ao invs opoque no est presente no quadro de dependncias , o Apndice C ou o ApndiceD.Mas, todooclculofuncional podenoserexposto. Nessecaso, hduaspossibilidades: a primeira consiste em substituir o Captulo 6 e as duas primeirassees do Captulo 7 pelo Apndice C e ento voltar ao texto principal no Exemplo7.10.Aoutraconsisteemsubstituiroclculofuncional peloApndiceD, oquesignicaumaaprecivel economiadetempo. NesseApndicefeitaumade-monstrao bastante simples da forma cannica de Jordan, adaptando e comple-mentandoaquelapresenteemStrang[33]. (Osnicospr-requisitosparaessademonstraososomas diretas desubespaos eoTeoremadoNcleoedaImagem.) Nesse caso, os resultados da Seo 7.2 sero obtidos como conseqnciada forma de Jordan. (Apesar de a Seo 7.5 ter sido escrita enfatizando a repetiode mtodos utilizados na Seo 7.3, o professor no ter diculdades em apresent-la.)Seguindoaordemnatural dotexto, aSeo7.3podeseromitida; poressemotivo, aordemnaturaldoCaptulo7noquadrodedependnciasfoialterada.Tambm pode-se no apresentar a Seo 7.6, que trata da decomposio racional deFrobenius.A apresentao do Captulo 9 facultativa, uma vez que a passagem direta doCaptulo 8 para o Captulo 10 inteiramente natural.iiALinear2005/12/1913:25pagexv#15iiiiiixvA Seo 10.2 pode ser omitida, j que apenas apresenta uma segunda demons-trao do Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos.O Captulo 11 pode no ser exposto ou ento ser apresentado simultaneamentecomresultados dos Captulos 8e 10. Muitos dos resultados deste Captuloso apenas uma formulao diferente de resultados anteriormente descritos. Soutilizados resultados apresentados no Apndice A.O Apndice B opcional, mostrando que a apresentao feita de funes dematrizes equivalente s denies usualmente utilizadas nos textos de lgebraLinear.A Seo 8.8 introduz a norma de uma matriz quadrada; o Apndice F maisambicioso, introduzindo a norma de uma aplicao linear. A escolha entre a Seo8.8 ou o Apndice F ca a critrio do professor.Finalmente, vriosresultadostmumademonstraoalternativaexpostanoprprio texto. Pode-se optar entre essas alternativas ou apresentar ambas.iiALinear2005/12/1913:25pagexvi #16iiiiiiiiALinear2005/12/1913:25page1#17iiiiii1Base e DimensoEsteCaptuloapresentaalgumasnoesbsicasdalgebraLinear, introduzsomas diretas e dene o espao quociente.1.1 Espaos VetoriaisO corpo R ou o corpo C sero denotados por K.Denio 1.1Umespaovetorial Xsobre o corpo K umconjunto cujoselementos(chamados vetores) podem ser somados e multiplicados por escalares,isto, oselementosdocorpoK. Sex, y, z Xe, K, asseguintespropriedades devem ser satisfeitas pela adio e multiplicao por escalar:(i) x + y X(fechamento);(ii) (x +y) + z= x + (y + z) (associatividade);(iii) x + y= y + x (comutatividade);(iv) existe 0 X tal que x + 0 = x (elemento neutro);(v) existe (x) X tal que x + (x) = 0 (inverso aditivo);(vi) x X(fechamento);(vii) (x) = ()x (associatividade);(viii) (x + y) = x + y (distributividade);(ix) ( + )x = x + x (distributividade);1iiALinear2005/12/1913:25page2#18iiiiii2 Base e Dimenso Cap. 1(x) 1x = x (regra da unidade).Denotaremos x+(y) simplesmentepor x y(vejaoExerccio1). Aimportncia da condio (x) na denio de espao vetorial indicada no Exerccio3.Exemplo 1.2O conjunto Kn= (x1, x2, . . . , xn) [ xi K (i = 1, . . . , n) com asdenies usuais de adio e multiplicao por escalar um espao vetorial. Exemplo 1.3Oconjunto Tdetodasasfunes f : SKdenidasnumconjunto S ,=e comas operaes de adioe multiplicaopor escalarusualmente denidas um espao vetorial. Exemplo 1.4Tambmsoespaos vetoriais oconjunto K[z] detodos os po-linmios com coecientes em K (na incgnita z) ou o subconjunto Kn[z] de todosos polinmios de grau menor do que n (na incgnita z). Denio 1.5Um subconjunto Yde um espao vetorial X um subespao, se seuselementos satiszerem as propriedades que denem o espao vetorial X.Exemplo 1.6O subconjunto de Knde todos os vetores cuja primeira coordenada nula um subespao de Kn. Se S=R, os subconjunto de T (veja o Exemplo 1.3)formado por todas as funes contnuas ou por todas as funes de perodo sosubespaos de T. O mesmo acontece com o subconjunto deK[z] formado pelospolinmios de grau par. Denio 1.7Sejam X e Yespaos vetoriais sobre o corpo K. Uma aplicaoT: X YsatisfazendoT(x + y) = Tx + Typara quaisquer x, y X e K chamada transformao linear ou aplicaolinear. SeX=Y , tambmchamamosTde operador linearousimplesmenteoperador. Se Y= K, uma aplicao linear denominada funcional linear.Se Tfor uma bijeo, dizemos que T um isomorsmo e que os espaos X eYso isomorfos.(Nocasodeaplicaes lineares, usual denotar T(x) por Tx. Emalgumassituaes, especialmente para funcionais lineares, no se mantm tal notao.)Observao 1.8Note que, na denio de aplicao linear, estamos indicando asoperaes nos espaos vetoriais X e Yda mesma maneira: em T(x + y), a somax + y ocorre no espao X, enquanto ocorre em Yna expresso Tx + Ty . iiALinear2005/12/1913:25page3#19iiiiii1.2 Bases 31.2 BasesDenio 1.9SejaSXum subconjunto qualquer de um espao vetorial X.Uma combinao linear de elementos de S uma soma (nita)1x1 + . . . + kxk,com 1, . . . , k K e x1, . . . , xk S.Oconjunto S linearmente dependente, se existir umnmero nito deelementosx1, . . . , xk Se escalares 1, . . . , k K, no todos nulos, tais que1x1 + . . . + kxk= 0.Caso contrrio, o conjunto S linearmente independente.OconjuntoSgeraoespaoXse, paratodox X, existirem(nitos)elementos x1, . . . , xj S e escalares 1, . . . , j Ktais que x = 1x1+. . .+jxj.Uma base de X um subconjunto ordenado B que linearmente independentee geraX. Um espao vetorialXtem dimenso nita, se possuir uma base comum nmero nito de elementos,1ou se X= 0. Caso contrrio, ele tem dimensoinnita.Lema 1.10Suponhamos queS= x1, . . . , xn gere o espao vetorialXe quey1, . . . , yj seja linearmente independente em X. Entoj n.Demonstrao: Suponhamos que j> n. Como S gera X, temos quey1= 1x1 +. . . + nxn,sendo ao menos um dos escalares1, . . . , ndiferente de zero (veja o Exerccio10). Podemos supor 1 ,= 0. Temos ento que x2, . . . , xn, y1 gera X. De fato, sex X, existem escalares 1, . . . , n tais que x = 1x1 +. . . + nxn. Mas, ento,x = 1_11(y12x2. . . nxn)_+ 2x2 + . . . +nxn,1Diz-se tambm que o espao vetorial nitamente gerado.iiALinear2005/12/1913:25page4#20iiiiii4 Base e Dimenso Cap. 1mostrando o armado.De maneira anloga,y2=2x2 + . . . + nxn + 1y1, com ao menos um dosescalares2, . . . , ndiferentedezero(vejaoExerccio11). Supondo2,=0,vericamos ento que o conjunto x3, . . . , xn, y1, y2 gera o espao X. Repetindosucessivamente esse procedimento, obtemos quey1, . . . , yngera o espao X. Em particular,yn+1= 1y1 + . . . +nyn.Mas, ento,1y1. . . nyn + 1yn+1 + 0yn+2 + . . . + 0yj= 0,o que contradiz y1, . . . , yj ser um conjunto linearmente independente. PLema 1.11Todoespaovetorial X,=0geradoporumsubconjuntoS =x1, . . . , xn possui uma base.Demonstrao:Se S for linearmente dependente, um de seus elementos pode serescrito como combinao linear dos elementos restantes. Retirando esse elemento,oconjuntorestantecontinuagerandoX. Continuamosretirandoelementosqueso combinao linear dos elementos restantes at obter um conjunto linearmenteindependente que continua gerando X. PNote que o espao vetorial X= 0 no possui base.Teorema 1.12Todas as bases de um espao vetorial X de dimenso nita possuemo mesmo nmero de elementos.Demonstrao: Se B= x1, . . . , xn e B= y1, . . . , yj forem bases deX, oLema 1.10 aplicado ao conjunto linearmente independente B e ao conjunto geradorB mostra que j n. Aplicando ento ao conjunto linearmente independente B e aoconjunto gerador B, obtemos n j. PiiALinear2005/12/1913:25page5#21iiiiii1.2 Bases 5Denio 1.13Se B= x1, . . . , xn for uma base do espao vetorial X, dizemosque X tem dimenso n e escrevemosdimX= n.Se X= 0, X tem dimenso nita igual a zero.Teorema 1.14Todo subconjunto linearmente independenteS= y1, . . . , yj deum espao vetorial Xde dimenso n 1 pode ser completado para formar umabase de X.Demonstrao: SeSnogerar X, entoexisteumvetor x1Xquenocombinao linear dos elementos de S. O conjuntoy1, . . . , yj, x1 linearmente independente. Repetimos esse procedimento um nmero nito devezes, at obter uma base de X. POTeorema 1.14 mostra-nos como obter diferentes bases para umespao vetorialX ,= 0 de dimenso nita. Assim, X possui muitas bases.Denio 1.15Sejam X um espao vetorial e B= x1, . . . , xn uma base de X.Se x X, ento existem (nicos) escalares 1, . . . , n K tais quex = 1x1 + . . . + nxn.O vetor (1, . . . , n) Kn chamadorepresentao de x na base B e 1, . . . , nas coordenadas de x na base B. Denotamos tambm por [x]B o vetor (1, . . . , n).Denio 1.16Seja ei Kno vetor cuja i-sima coordenada igual a 1, as outrassendo nulas. O conjunto c= e1, . . . , en a base cannica do espao Kn.Observao 1.17Uma base de umespaovetorial umconjuntoordenado.Assim, seB = x1, x2, . . . , xn for uma base do espao X, entoB=x2, . . . , xn, x1 outra base de X. Omesmo acontece se a base possuir umnmeroinnito de elementos.A ordenao dos elementos da base permite dar sentido representao de umvetor em uma base. Uma vez que (1, . . . , n)=1e1 + . . . + nen, vemos que aescolha de uma base no espao X de dimenso n gera umisomorsmo entre X e Kn(este espao considerado com a base cannica). A importncia desse isomorsmo explorada no Exerccio 8. iiALinear2005/12/1913:25page6#22iiiiii6 Base e Dimenso Cap. 1Observao 1.18Tendo alcanado esse ponto, no deixa de ser interessantecomparartrsconcepesdoplano. Aprimeiraconcepooplanocomoes-paoeuclidiano, oespaodageometriaclssica. Esseespaocompletamentehomogneo: se, de repente, umobjeto fosse transportado para esse plano,nohaveriacomolocaliz-lo. Todos os pontos soabsolutamenteiguais. Asegunda concepo o plano como espao vetorial. Nesse caso, existe um pontoexcepcional: a origem. Um objeto transportado para o plano apenas distinguiriasua localizao como ocupando a origem ou no. A terceira concepo vem com aintroduo de coordenadas, e cria o plano da geometria analtica clssica. Aqui alocalizao de cada ponto muito bem determinada por suas coordenadas.Oisomorsmoentre umespaode dimensonita ne o Knintroduz apossibilidade de medirmos distncias ou mesmo ngulos. Essa possibilidade serestudada posteriormente, especialmente nos Captulos 8 e 10. 1.3 Somas DiretasDenio 1.19SejamA, Bsubconjuntos de um espao vetorial X. Denotamospor A + B o conjunto de todos os vetores x + y, com x A e y B.Proposio 1.20Sejam U, Vsubespaos de X. Ento U+ V subespao de X.O subespao U+ V chamado soma dos subespaos U e V .Demonstrao: Se z1= x1+y1 e z2= x2+y2 forem elementos de U+Ve K,ento claramente z1 + z2 U+ V(veja o Exerccio 4). PDenio 1.21Sejam U, Vsubespaos de X. O subespao W= U+ V a somadireta dos subespaosUeVse cada elemento dew Wpuder ser escrito demaneira nica comow = x + y.Nesse caso denotamos Wpor W= U V . (Veja a Figura 1.1.)A denio de soma direta pode ser generalizada para a soma de um nmeronito de subespaos de X.Proposio 1.22O subespao W=U+ V a soma direta dos subespaos U, Vde X se, e somente se, U V= 0.iiALinear2005/12/1913:25page7#23iiiiii1.3 Somas Diretas 7............................UVuv(u, v) U V1Figura 1.1:Se W= U V , um ponto w Wescreve-se de maneira nica como w = u +v.Demonstrao:Suponhamos que W=U V . Se z U Vento w=x + ytambm pode ser escrito comow=(x + z) + (y z). Como a decomposiow=x + y nica, devemos terx=x + z ey=y z. Assim,z=0 (veja oExerccio 2).Reciprocamente, suponhamos que x1 +y1 e x2 +y2 sejam duas decomposiesde w W. Ento x1 x2=y2 y1 pertencem simultaneamente a Ue V . Logox1x2= 0 = y2y1, garantindo a unicidade da decomposio. PTeorema 1.23Seja X um espao vetorial de dimenso nita. Ento vale:(i) todo subespao Yde X possui dimenso nita;(ii) todosubespao Y possui umcomplemento Z X, isto, existe umsubespao Z de X tal queX= Y Z.Demonstrao: Se Y= 0, ento dimY= 0. Caso contrrio, tome 0 ,= y1 Y .Se existir y2 Ylinearmente independente com y1, consideramos ento o conjuntoy1, y2. Se esse conjunto gerar Y , temos uma base. Se no, podemos acrescentary3 Y linearmenteindependentecomy1ey2. Procedendoassim, obtemossucessivamente conjuntos linearmente independentes, cada um contendo o anterior.DeacordocomoLema1.10, esseprocessospodecontinuar enquantoessesconjuntos tiverem menos elementos do que a dimenso de X. Obtemos assim umabase y1, . . . , yj para Y .Aplicando ento o Teorema 1.14, essa base pode ser completada at obtermosuma base y1, . . . , yj, x1, . . . , xnj para X. Dena Z como o espao de todas asiiALinear2005/12/1913:25page8#24iiiiii8 Base e Dimenso Cap. 1combinaes lineares dos elementos x1, . . . , xnj. Claramente Z um subespaode X e Z Y= 0. Logo, pela Proposio 1.22, temos X= Y Z. P1.4 Espao QuocienteDenio 1.24SejaY umsubespaodeX. Sex1, x2X, dizemosquex1congruente a x2 mdulo Y , escritox1 x2modY,se x1x2 Y .Podemos dividir o espaoXem diferentes classes de equivalncia mduloY(veja o Exerccio 30). Denotaremos a classe contendo o elemento x por [x].Denio 1.25Se[x] e[z] foremclassesdeequivalnciamduloY eK,denimos[x] + [z] = [x + z], [x] = [x].Com essas operaes, o conjunto de todas as classes de equivalncia mdulo Ytorna-se um espao vetorial, denotado porXYou X/Ye denominado espao quociente de X por Y .A classe de equivalncia [x] muitas vezes representada por x + Y .A rigor, precisamos mostrar que as operaes emX/Y esto bem denidas,isto , independem dos representantes de cada classe de equivalncia. Portanto,suponhamos quex1 [x] ez1 [z]. Entox1=x + y1ez1=z+ y2,comy1, y2 Y . Mas, ento, x1 + z1=x + y1 + z + y2=x + z + (y1 + y2) e, assim,x1+ z1 x + z modY . Do mesmo modo, x1=x + (y1) ex1 xmodY .Exemplo 1.26SejaXum espao vetorial qualquer. SeY =X, entoX/Y =[0], poisx 0 modYpara todox X. Por outro lado, seY = 0, entoX/Y= X, pois x y modYimplica que x = y. iiALinear2005/12/1913:25page9#25iiiiii1.4 Espao Quociente 9Exemplo 1.27SejaY R2o subespao denido porY = (x, y) [ y =2x.(Em outras palavras, Y a reta de equaoy =2x). Na Figura 1.2, os vetoresw1, . . . , w5 pertencem todos mesma classe. Assim, o vetor [w1] + YR2/Yuma reta paralela reta y= 2x. O espao quociente R2/Y formado por todas asretas paralelas reta y= 2x._'........................................````ZZZZZZZZ'//////----- -xyY[w]+Yw1w2w3w4w5Figura 1.2:O subespao Y a reta y= 2x. Os vetores w1, . . . , w5 pertencem todos mesma classe.O espao R2/Y formado por todas as retas paralelas reta y= 2x.Semdiculdades, podemos estender ainterpretaogeomtricaaqui apre-sentada ao caso geral. Exemplo 1.28Seja x Kne considere Yo subespao de todos os vetores cujasduas primeiras coordenadas so nulas. Ento dois vetores so congruentes mduloYse, e somente se, suas duas primeiras coordenadas forem iguais. Isto ,(x1, x2, x3, . . . , xn) (y1, y2, y3, . . . , yn) modY x1= y1e x2= y2.Aclassedeequivalnciadex Knpodeservistacomoumvetorcomduascomponentes, dadas pela primeira e segunda coordenadas de x. Teorema 1.29Consideremos a decomposioX= Y Z.iiALinear2005/12/1913:25page10#26iiiiii10 Base e Dimenso Cap. 1Ento a aplicaoQ: ZX/Y denida porQ(z) =[z] um isomorsmocannico. (Um isomorsmo cannico, se ele independer de escolhas de bases nosespaos envolvidos).Assim, seXtiverdimensonitae z1, . . . , zjforumabasedeZ, ento[z1], . . . , [zj] uma base de X/Y . Portanto,dimX/Y= dimZ= dimX dimY.Demonstrao: Denimos Q : Z X X/Ypor Q(z) = [z]. A aplicao Q claramente linear.Cada classe[x] X/Ytem como representante um elementox X. Mas,existeumanicadecomposiox =y+z, comy Y ez Z. Assim,[x] = [y + z] = [z], mostrando que Q sobrejetor.Suponhamos que [z1] = [z2]. Ento z1= z2 + y, com y Y . Mas, isso implicaque z1z2= y Y . Como z1z2 Z, conclumos que z1z2= 0, completandoa demonstrao. P1.5 Exerccios1. Se x for o inverso aditivo de x X, mostre que x = (1)x.2. Mostre que o elemento neutro aditivo de um espao vetorial nico. Mostreque0x=0 para todox Xe0=0 para todo K, sendo0 Xoelemento neutro aditivo.3. Seja X= (x1, . . . , xn) [ xi K. Dena a soma x + y da maneira usual ex = 0 para todo K e x X. Verique quais propriedades da deniode espao vetorial so satisfeitas.4. Mostre queY X um subespao se, e somente se, x + y Y paraquaisquer x, y Ye K.5. Se Xfor umespaovetorial, mostre que os conjuntos Xe 0(queconsiste apenas do elemento neutro aditivo) so subespaos de X, chamadossubespaos triviais.6. SejaS ,= . Generalize o Exemplo 1.3 e mostre que f : S Kn umespao vetorial.iiALinear2005/12/1913:25page11#27iiiiii1.5 Exerccios 117. SejaV Knoconjuntodetodasasn-uplasdaforma(0, 0, x3, . . . , xn).Mostre que V um subespao de Kn.8. SejaU= (x, y) R2[x>0, y>0. Sez1=(x1, y1) ez2=(x2, y2)forem elementos de U e R, denaz1 + z2= (x1x2, y1y2), z1= (x1, y1).(a) Mostre que U um espao vetorial com elemento neutro aditivo (1, 1);(b) mostre que, se v1= (e, 1) e v2= (1, e), ento B= v1, v2 uma basede U (estamos denotando por e a base dos logaritmos naturais).(c) Dena T:U R2por T(z)=[z]B, em que [z]B a representao dez na base B. Mostre que T um isomorsmo.9. Seja S Xumsubconjuntoarbitrriodoespaovetorial X. Mostrequeoconjuntodetodasascombinaeslinearesdoselementosde SumsubespaodeX, chamado(sub)espaogeradopor Sedenotadopor< S >. Mostreque, seY Xfor umsubespaotal queS Y ,ento Y . (Esseexercciogeneralizaoprocedimentousadonademonstrao do Teorema 1.23).10. SeS Xfor linearmente independente, mostre que0 ,S. Mostre que,se um conjunto possuir um subconjunto linearmente dependente, ento esseconjunto linearmente dependente.11. Qual arazo, nademonstraodoLema1.10, desubstituirmos sempreumdoselementos xj, . . . , xndoconjunto xj, . . . , xn, y1, . . . , yj1peloelementoyj? Porquenopodemos substituir yjpor umdos elementosy1, . . . , yj1?12. Seja S= 1, z, z2, . . . , zn, . . .. Mostre que S uma base de K[z].13. Seja T: X Yuma aplicao linear e dena ker T:= v X [ Tv= 0.Mostre que T injetora se, e somente se, ker T= 0.14. Exiba um isomorsmo entre Kne Kn[z].15. DenaKcomooespaodetodasasseqncias(z1, . . . , zn, . . .)comasoma e multiplicao por escalar denidas de maneira natural. Mostre queK um espao vetorial. Considere seu subespao K0, formado por todasiiALinear2005/12/1913:25page12#28iiiiii12 Base e Dimenso Cap. 1as seqncias satisfazendo zi=0, exceto para um nmero nito de ndices.Mostre que K0 isomorfo ao espao K[t].16. Sejam T: X Ye S: Y Z aplicaes lineares. Mostre que a compostaS T= ST uma aplicao linear.17. SejaT : X Yum isomorsmo entre os espaosXeY . Mostre que ainversa T1: Y X linear.18. Mostre que todo espao vetorial de dimenso n sobre o corpo K isomorfoaKn. Esse isomorsmo nico? Conclua que quaisquer dois espaos dedimenso n sobre o mesmo corpo K so sempre isomorfos. Os espaos RneCnso isomorfos?19. SejamX, Yespaos vetoriais de dimenso nita sobre o corpoK. Mostreque, se T: X Yfor um isomorsmo, ento a imagem por Tde toda basede X uma base de Y . Em particular, dimX= dimY .20. Seja B= x1, . . . , xn uma base deXeY um espao vetorial. Escolhaarbitrariamentey1, . . . , yn Y . MostrequeexisteumanicaaplicaolinearT : XY tal queT(xi) =yiparai =1, . . . , n. Conclua que,se y1, . . . , yn for uma base de Y , ento T um isomorsmo.21. Mostre que S uma base de X se, e somente se, todo elemento x X puderser escrito de maneira nica como combinao linear dos elementos de S.22. Seja X um espao vetorial de dimenso n. Se S= y1, . . . , yn X for umconjunto linearmente independente, mostre que S uma base de X.23. Sejam X um espao vetorial de dimenso n e S= y1, . . . , yn um conjuntoque gera X. Mostre que S uma base de X.24. Seja X um espao vetorial e S= x1, . . . , xk um subconjunto linearmentedependentes formado por vetores no-nulos do espaoX. Mostre que umdeles combinao linear dos vetores precedentes.25. SejaXumespaodedimensoneV1 Vkumasomadiretadesubespaos de X. Mostre que dim(V1Vk) = dimV1+. . .+dimVk n.26. Sejam X um espao de dimenso nita e U, Vsubespaos de X. Mostre quedim(U+ V ) = dimU+ dimV dim(U V ).iiALinear2005/12/1913:25page13#29iiiiii1.5 Exerccios 1327. Denotaremospor Mnn(K)oconjuntodasmatrizesn ncomentradasnocorpo K. Dena oconjuntodas matrizes simtricas o =AMnn(K) [ At= A, emqueAtdenotaatranspostadamatrizA(veja3.12 para a denio da transposta de uma matriz); dena o conjunto dasmatrizesanti-simtricas /= A Mnn(K) [ At= A. MostrequeMnn(K) = o /.28. Mostre que U V um subespao de X, se U e Vforem subespaos de X.O subespao U V a interseo dos subespaos U e V .29. SejaXumespaovetorial eW1, W2subespaos. Mostreque, seX =W1 W2, ento X= Wi para pelo menos algum i 1, 2.30. Seja uma relao de equivalncia2num conjunto A. Dado x A, denotecl(x) := y A[ y xa classe de equivalncia do elemento x. Mostre que A pode ser escrito comouma unio disjunta de suas classes de equivalncia.31. Mostre que a congruncia mdulo Y uma relao de equivalncia.32. Seja Yum subespao de X com dimY= dimX. Mostre que Y= X.33. SejaWR3o subespao (verique!) formado por todas as solues daequaolinear homognea2x+3y+4z =0. Descrevaasclassesdeequivalncia da congruncia mdulo W.34. SejamX um espao vetorial e M, N subespaos. D exemplo desses espaos,de modo que(a) nem M, nem X/M tenha dimenso nita;(b) X/M tenha dimenso nita, mas X/N no tenha.35. Seja T: X Xum operador linear e Wum subespao invariante por T,isto , T(W) W. Considere a aplicaoT : XX/Wdenida porT(x)=[Tx]. Mostre queT linear e que, se q K[z] satiszer q(T)=0,ento q(T) = 0.2Quer dizer, se x, y, z A, ento: (i) x x; (ii) se x y, ento y x; (iii) se x y e y z,ento x z.iiALinear2005/12/1913:25page14#30iiiiii14 Base e Dimenso Cap. 136. Seja W X um subespao e Q : X X/Wa aplicao quociente denidapor Q(x) = [x]. Seja Y X outro subespao de X. Mostre que X= WYse, e somente se, a restrio Q[Y: Y X/Wfor um isomorsmo.37. A soma direta de espaos vetoriais X1, X2 o conjunto X1X2 de todos ospares (x1, x2) com x1 X1 e x2 X2. Denindo adio e multiplicao porescalar coordenada a coordenada, mostre que X1X2 um espao vetorial.Se X1 e X2 tiveremdimenso nita, ento dim(X1X2) = dimX1+dimX2.38. Seja Yum subespao de X. Mostre que X isomorfo a Y X/Y .iiALinear2005/12/1913:25page15#31iiiiii2DualidadeEste Captulo apresenta uma primeira verso do Teorema de Representao deRiesz e tambm do isomorsmo cannico entre o espao X e o bidual X. Ele podeser suprimido numa primeira leitura ou a critrio do instrutor.2.1 O Espao DualExistem muitas maneiras de produzir espaos vetoriais a partir de espaos ousubespaos conhecidos. Por exemplo, se Mfor um subespao de X, ento X/Mumnovoespaovetorial. Ou, dadososespaosvetoriais XeY , podemosconsiderar o espao X Y , apresentado no Exerccio 37 do Captulo 1.Apresentaremos agora uma forma importante de obter um novo espao vetorial,partindo do espao X:Denio 2.1Se X for um espao vetorial sobre K, consideremos o conjuntoX= : X K[ linear.Demaneiranatural vemos que Xtemumaestruturadeespaovetorial, sedenirmos, para , m X e K,( +m)(x) = (x) + m(x), ()(x) = (x).Com essas operaes, X= : X K[ linear denota o espao dual1de X.Os elementos de X so chamados de funcionais lineares.1Tambmchamadoespaodual algbricodoespaoX, emcontraposioaoespaodualtopolgico denido em textos de Anlise Funcional. Em espaos de dimenso nita as deniescoincidem.15iiALinear2005/12/1913:25page16#32iiiiii16 Dualidade Cap. 2Exemplo 2.2Seja X= f: [0, 1] R[ f contnua. Dena (f) =_10f(s)dse, para s0 [0, 1] xo, m(f) = f(s0). fcil vericar que X e m X. Exemplo 2.3Dena 1: KnK por 1(x1, . . . , xn) = x1. Ento 1 (Kn). Seja x1, . . . , xn uma base do espao vetorial X. Ento, para todo x X, existemescalares 1(x), . . . , n(x) tais quex = 1(x)x1 + . . . + n(x)xn.Os escalaresi(x) so justamente as coordenadas dex na base x1, . . . , xn.(Quer dizer, se x = 1x1 + . . . + nxn, i(x) denota i.)Teorema 2.4Seja B = x1, . . . , xn uma base de X ex = 1(x)x1 + . . . + n(x)xn.Ento, se ij denotar 0, se i ,= j, e 1, se i = j, temos:(i) i: X K um funcional linear e i(xj) = ij, para i, j 1, . . . , n;(ii) o conjunto 1, . . . , n uma base de X, chamada de base dual da base B;(iii) se m X, entom(x) = 1(x)m(x1) +. . . + n(x)m(xn).(iv) para todo 0 ,= x X, existe m X tal que m(x) ,= 0.Demonstrao: (i) Suponhamos que x = 1x1+. . .+nxn e y= 1x1+. . .+nxn(quer dizer, i(x) = i e i(y) = i). Ento x +y= (1 +1)x1 +. . . + (n +n)xn e, portanto, i(x + y) = i + i= i(x) + i(y).(ii) Suponhamos que 11 + . . . + nn=0 X. Avaliando esse funcionalsucessivamente nos vetores x1, . . . , xn, conclumos que 1=. . . =n=0. Sejaagora m X. Entom(x) = m(1x1 + . . . + nxn) = 1m(x1) + . . . + nm(xn)= 1(x)m(x1) + . . . + n(x)m(xn),provando no apenas que 1, . . . , n geram X, mas tambm a armao (iii).(iv) Se 0 ,= x, ento alguma coordenada i(x) na expresso x = 1(x)x1+. . . +n(x)xn no nula. Considere m = i. PiiALinear2005/12/1913:25page17#33iiiiii2.1 O Espao Dual 17Observao 2.5Aparte (iii) doTeorema 2.4 uma versodoTeorema deRepresentao de Riesz; veja o Teorema 8.22. Uma vez queX um espao vetorial de dimenson, esse espao tem o seudual, que ser denotado porXe chamado de bidual deX. O teorema anteriorgarante ento que dimX= n, pois j vimos que dimX= n.Note que X , por denio, o espao vetorial de aplicaes linearesX= L : X K[ L linear.Quer dizer,L uma transformao linear que associa, a cada funcional linear : XK, onmeroL()K. OselementosdeXso, aparentemente,complicados. Mostraremos que as aplicaes lineares em X esto canonicamenteassociadas aos vetores do espaoX. Quer dizer, existe um isomorsmo entreXeXque independe da utilizao de qualquer base nesses espaos vetoriais. (Aexistncia de um isomorsmo entre esses espaos trivial:veja o Exerccio 18 doCaptulo 1.)Lema 2.6Para cada x X xo, considere a aplicao Lx: X K denida porLx() = (x).Quer dizer, Lxassocia a cada funcional linear Xo valor que assume noponto x. Ento Lx X.Demonstrao: Suponhamos que , m X. Ento, se K,Lx( + m) = ( + m)(x) = (x) +m(x) = Lx() + Lx(m).(Compare essa demonstrao com o Exemplo 2.2.) PTeorema 2.7Osespaos XeXsocanonicamenteisomorfos. Maispreci-samente, todo elemento do espao X da forma Lx, para algum x X.Demonstrao: Apesar de ser constituda de etapas bastante simples, a idia dademonstrao relativamente elaborada. Denimos = Lx[ x X. Quer dizer,os elementos de so as aplicaes lineares denidas no lema anterior. Vamosmostrar, em primeiro lugar, que um subespao deX. Depois, mostraremosque X isomorfo a . Assim, dim = n = dimX. Isso quer dizer que = X.iiALinear2005/12/1913:25page18#34iiiiii18 Dualidade Cap. 2Sejam Lx, Ly e K. Consideremos Lx + Ly. Queremos mostrar queessa aplicao linear um elemento de , isto , Lx+Ly= Lz para algum z X.Temos, para X,(Lx + Ly)() = Lx() + Ly() = (x) +(y) = (x + y) = Lx+y().Isso mostra que um subespao de X. Agora denimos:T: X x Lx.Vamos mostrar que T um isomorsmo entre X e . Temos queT(x + y) = Lx+y= Lx + Ly= T(x) + T(y),de acordo com o que mostramos na primeira parte. A aplicaoT sobrejetorapor denio. A injetividade tambm clara:se T(x)=T(y), ento Lx=Ly e,portanto, Lx() = Ly() para todo X. Mas, ento, (x) = (y) e (x y) = 0para todo X. Mas, isto implica que x y= 0, de acordo com o Teorema 2.4,(iv). Isto mostra a injetividade e completa a demonstrao. PConclumosestecaptulocomaseguinteaplicaodadaporLax[20], sur-preendente primeira vista:Teorema 2.8Sejamt1, . . . , tnpontos distintos dointervaloI. Entoexistemconstantes 1, . . . , n tais que_Ip(t)dt = 1p(t1) + . . . +np(tn)para todo polinmio p de grau menor do que n.Demonstrao:O espaoKn[t] de todos os polinmios p(t)=a0 + a1t + . . . +an1tn1de grau menor do que n isomorfo a Kne, portanto, tem dimenso n.Denimos j(p)=p(tj). Ento j (Kn[t]). Armamos que 1, . . . , n linearmente independente. De fato, suponhamos que11 + . . . + nn= 0 (Kn[t]).Isso implica que1p(t1) + . . . + np(tn) = 0, p Kn[t]. (2.1)iiALinear2005/12/1913:25page19#35iiiiii2.2 Exerccios 19Considere os polinmiosq1(t)=(tt2)(ttn), q2(t)=(tt1)(tt3)(ttn),. . ., qn(t)=(tt1). . .(ttn1).Cadapolinmioqipossui exatamenten 1razesnospontostj, comj ,=i.Substituindo sucessivamente os polinmios qi na relao (2.1), obtemos iq(ti)=0, o que implica i=0. Isso mostra que 1, . . . , n linearmente independenteem (Kn[t]) e, portanto, uma base desse espao.Assim, todofuncionallinear : Kn[t] Rumacombinaolineardosfuncionais 1, . . . , n e, portanto, = 11 + . . . + nnparaescalares 1, . . . , n K. Oresultadosegue-seda aoconsiderarmosofuncional linearp _Ip(t)dt. P2.2 Exerccios1. Considere a base B := v1, v2 do R2, em que v1= (2, 1) e v2= (3, 1). Achea base dual de B.2. SejaRn[t] oespaodetodosospolinmios(comcoecientesemR)degrau menor do quen (na incgnitat). Mostre que as seguintes aplicaespertencem ao dual de Rn[t]:(a) i(p(t)) = ai para todo i = 0, 1, . . . , n1, se p(t) Rn[t] for dado porp(t) = a0 + a1t +. . . + an1tn1;(b) J(p(t)) =_10p(t)dt, para todo p(t) Rn[t].3. Considere o espao R2[t], como antes. Sejam1: R2[t] Re 2: R2[t] Rdadas por1(p(t)) =_10p(t)dt e2(p(t)) =_20p(t)dt. Mostre que B=1, 2 uma base de(R2[t]). Ache a base v1, v2 deR2[t] da qual B dual.4. Considere a demonstrao do Teorema 2.7. Se Xtiver dimenso innita, oque podemos concluir?iiALinear2005/12/1913:25page20#36iiiiii20 Dualidade Cap. 25. SejamXum espao vetorial arbitrrio ef : X K um funcional linearno-nulo.(a) Mostre que ker f tem codimenso 1, isto , existe w X tal queX= ker f < w > .(< w > denota o espao gerado por w X).(b) Se g: X K for outro funcional linear, ento g um mltiplo escalarde f se, e somente se, o ncleo de g contiver o ncleo de f.(c) Sejam, f1, . . . , frfuncionais lineares no espaoX. Mostre que combinao linear de f1, . . . , fr se, e somente se, ker f1 ker fr ker .6. SejamX um espao vetorial e S X um subconjunto arbitrrio. O anuladordeS o conjuntoS0= f X[f(s) =0 s S. Mostre queS0subespao de X.7. Seja Y X um subespao do espao vetorial de dimenso nita X. MostrequedimX=dimY+ dimY0. IdenticandoXeX(de acordo com oTeorema 2.7), mostre que Y00:= (Y0)0= Y .8. Seja S= (2, 2, 3, 4, 1), (1, 1, 2, 5, 2), (0, 0, 1, 2, 3), (1, 1, 2, 3, 0)um subconjunto do R5. Obtenha o anulador de < S>.9. SejaWXum subespao ef : WK linear. Mostre que existe umfuncional linear : X K que estende f, isto , (w)=f(w) para todow W.10. Seja T:X Yuma aplicao linear. A aplicao Tinduz uma aplicaolinear T: Y X da seguinte maneira: para cada funcional : YK,denimosT: Y Xpor T() = T= T.YX

ddKET TiiALinear2005/12/1913:25page21#37iiiiii2.2 Exerccios 21(A aplicao T a transposta de T. Alguns autores a chamam de adjunta deT, mas ela no coincide coma aplicao adjunta que ser denida no Captulo8.)(a) Mostre que T uma aplicao linear;(b) se S, T: X Yforem aplicaes lineares, mostre que (S+ T)=S + T;(c) seS: X YeT : YZforem aplicaes lineares, mostre que(ST)= TS;(d) se T: X Ytiver inversa, mostre que (T1)= (T)1;(e) se Xe Ytiverem dimenso nita, identicando X com Xe Y comY , mostre que T:= (T) ento identicado com T;(f) seXeY tiveremdimensonita, qualarelaoentreosncleoseimagens de T e T? (Observao: o ncleo e a imagemde uma aplicaolinear esto denidos em 3.10.)11. SejaXumespaodedimensonita, comX=M N. Considereaprojeo : X Mdenida por(x) =m, sex=m + n. Obtenha.iiALinear2005/12/1913:25page22#38iiiiii3Aplicaes LinearesEste Captulo introduz aplicaes lineares e suas representaes matriciais, osespaos linha e coluna de uma matriz, demonstra o Teorema do Ncleo e da Imageme estuda detalhadamente a relao entre diferentes representaes matriciais de ummesmo operador.3.1 Aplicaes Lineares e Matrizes - parte 1Sejam X e Yespaos vetoriais sobre o mesmo corpo K. Como sabemos, umaaplicao linear (ou transformao linear) uma aplicao T: X Ytal queT(x + y) = Tx + Ty, x, y X e K.Exemplo 3.1SeK[z] for o espao vetorial de polinmios (com coecientes emK, na incgnitaz), T : K[z] K[z] denida porT(p) =p(derivao) umatransformao linear, bem como S(p)=_p (integrao; na famlia de primitivasescolhemossempreaconstantedeintegraocomonula). SeX=Y =R2,denimos a rotao R:R2R2como a aplicao que roda em torno da origemporumngulo0 0 (10.9)Tvi= 0 para i r + 1, . . . , n, (10.10)Twi= ivipara i 1, . . . , r, (10.11)Twi= 0 para i r + 1, . . . , m. (10.12)Denotando por D1 a matriz diagonal r rD1=_____12...r_____,a representao TCB, portanto, a matriz mnD = TCB=_D100 0_.Os escalares 1, . . . , r so os valores singulares da aplicao linear T: E F.Demonstrao: O Exemplo 10.8 mostra que TT: E E um operador positivosemidenido. Temos ker T= ker(TT). De fato,Tv= 0 Tv, Tu) = 0 u E TTv, u) u E TTv= 0.Isso mostra que posto(TT) = n dim(ker TT) = n dim(ker T) = r.Uma vez que TT um operador auto-adjunto, o Teorema 10.2 (ou o Teorema10.4) garante a existncia de uma base ortonormal B= v1, . . . , vn de E formadapor autovetores deTT. Como os autovalores deTTso no-negativos, temosassim queTT(vi) = 2ivi, i = 1, . . . , r e TT(vi) = 0, i = r + 1, . . . , n.Para obtemos uma base de Fdenimos, para i 1, . . . , r,wi=1iT(vi).iiALinear2005/12/1913:25page219#235iiiiii10.5 Valores Singulares 219Para esses valores de i temos Tvi= iwi, enquanto Tvi= 0 para i r+1, . . . , n,pois ker T= ker TT. (Logo, os vetores vr+1, . . . , vn formam uma base ortonormaldeker T, se esse subespao for no-vazio.) As equaes(10.9) e(10.10) estosatisfeitas e obtivemos a matriz D1.Precisamos mostrar que w1, . . . , wr base ortonormaldeimT. Sei, j1, . . . , r, entowi, wj) =1ijTvi, Tvj) =1ijTTvi, vj)=1ij2ivi, vj) =ijvi, vj) =ijij,em que ij= 0 se i ,= j e ii= 1. Como dim(imT) = r, provamos o armado.A equao (10.11) decorre imediatamente deTwi= T_1iTvi_=1iTTvi= ivi.Seja wr+1, . . . , wmumabaseortonormaldeker T. Essesvetoressatisfazem(10.12). De acordo com o Teorema 8.16, ker T=(imT). Assim, os vetoresw1, . . . , wm formam uma base ortonormal de F, completando a prova. PUsualmente a base B ordenada de modo que 1 2 . . . r.SejamAumamatriz m n, cne cmas bases cannicas do Rne Rm,respectivamente. Sejam B e c, respectivamente, as bases ortonormais do Rne Rmdados pelo Teorema 10.25. Ento, se denotamos porPa matrizPBEne porQ amatriz QEmC, temosA = QDP,chamada decomposio em valores singulares da matriz A. Note que as matrizes Pe Q so ortogonais.Observao 10.26A decomposio matricial de A mostra que toda esfera no Kntransformada num elipside k-dimensional no Km. De fato, as matrizes Q e Psoisometrias, enquanto D aumenta ou diminui o tamanho dos autovetores. Exemplo 10.27Consideremos a matriz realA =__1 11 10 0__.iiALinear2005/12/1913:25page220#236iiiiii220 Teoria Espectral Euclidiana Cap. 10Para obter a decomposio de A em valores singulares, obtemos a matriz AtA;AtA =_2 22 2_,cujos autovalores so 1=4 e 2=0. Os valores singulares de A so, portanto,1=4=2 e2=0=0. A matrizP, cujas colunas so os autovetoresnormalizados de AtA P=12_1 11 1_.O vetor w1 dado porw1=11Av1=12__110__.Para obtermos os vetores w2e w3, achamos uma base ortonormal de ker At(neste exemplo, no necessrio utilizar o processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt):w2=12__110__e w3=__001__.Portanto,A = QDP=__12120121200 0 1____2 00 00 0___12121212_.Exemplo 10.28Seja A uma matriz mn. Suponhamos que, na decomposio emvalores singulares da matriz A, A = QDP, a matriz D tenha posto r< n. Escrevaa matriz Q em blocos, Q=(QrQmr), a submatriz Qr contendo r colunas de Qe a submatriz Qmr as (m r) colunas restantes. Do mesmo modo para a matrizP= (Pr Pnr). Ento, se D1 for a matriz diagonal com os valores singulares de A,temosA = (Qr Qmr)_D100 0__PtrPtnr_= QrD1Ptr.Essa a decomposio reduzida em valores singulares deA, que pode ser feitamesmo se a matrizA tiver posto mximo. Como os valores singulares deA sopositivos, podemos denir a matrizA+: PrD11Qtr,iiALinear2005/12/1913:25page221#237iiiiii10.5 Valores Singulares 221chamada pseudo-inversa de A ou inversa de Moore-Penrose. Observao 10.29A determinao do posto de uma matriz A, mn, por meio deseu escalonamento muitas vezes no vivel numericamente, devido a propagaodeerrosnoprocessocomputacional. Adecomposiodessamatrizemvaloressingulares oferece uma soluo para esse problema. Em analogia forma polar de um nmero complexo, existe a decomposiopolar de um operador arbitrrio Tno espao euclidiano E:Teorema 10.30 (Decomposio Polar)Seja T: E E umoperador arbitrrio no espao euclidiano E. Ento existemoperadores P, U:E E, com Ppositivo semidenido e Uunitrio (ortogonal)de modo que T= PU. O operador P nico. Se Tfor invertvel, ento U tambm nico.Demonstrao:Considere as bases ortonormais B e c dadas pelo Teorema 10.25aplicado ao operador T.Ento Tvi=iwi, com i 0 para todo i 1, . . . , n.DenimosP, U: E EporPwi=iwieUvi=wi. ClaramenteP auto-adjunto e positivo semidenido (de acordo como Lema 10.9), enquanto U unitrioe T= PU.ComoT=UP, vemTT=PUUP =P2. Assim, Panicaraizquadrada positiva semidenida de TT (veja o Exemplo 10.8 e o Teorema 10.10).Se T possuir inversa, P possui inversa e U= P1T garante a unicidade de U nessecaso. PNa decomposio polar T= PU, P e U geralmente no comutam. Na verdade,eles comutam apenas quando Tfor normal. (Veja o Exerccio 23.)Corolrio 10.31Todo operador linear T:E E no espao euclidiano E podeserescritonaformaT =UP, comPpositivosemidenidoeUunitrio. Asunicidades de Pe U so como antes.Demonstrao: Basta aplicar o Teorema 10.30 ao operadorT e, ento, tomar oadjunto. PiiALinear2005/12/1913:25page222#238iiiiii222 Teoria Espectral Euclidiana Cap. 1010.6 Exerccios1. O Teorema 9.14 mostra que toda matriz simtrica congruente a uma matrizdiagonal. DadaaequivalnciaentreosTeoremas9.11e9.14, podemosconcluir que a Lei da Inrcia uma armao sobre matrizes simtricas. Elagaranteque, noTeorema9.14, onmerodetermospositivos, negativosenulos na matriz diagonal D independe da mudana de varivel utilizada. Poroutro lado,sabemos que,seDfor a diagonalizao da matrizA,ento oselementosdiagonaisdeDsoosautovaloresdeA. Massabemosqueosautovalores de A independem da base na qual a matriz representada. Issono implica a Lei da Inrcia?2. Considere a matriz simtricaA =__4 2 22 4 22 2 4__.Ache uma matriz ortogonal (isto , Pt= P1) e uma matriz diagonal D taisqueP1AP= D.3. SejamE um espao euclidiano eT: E E uma isometria. Se for umautovalor de T, mostre que [[ = 1.4. SejamEumespaoeuclidianocomplexoeumautovalor dooperadornormal T : EE. Mostre que todo autovetor deT autovetor deTcorrespondente ao autovalor. Conclua ento que autovetores associados aautovalores distintos de um operador normal so sempre ortogonais.5. SejaEum espao euclidiano complexo. SejamS, T : E Eoperadoreslineares, com ST= TS. Mostre que STtem um autovetor em comum.6. Sejam N:E E um operador normal no espao euclidiano complexo E.Mostre que, se x for um autovetor de N, ento W= < x > invariante porN e N.7. Mostre,por induo,que todo operador normalN: E Edenido emum espao euclidiano complexo E possui uma base ortonormal formada porautovetores.iiALinear2005/12/1913:25page223#239iiiiii10.6 Exerccios 2238. Considereumabaseortonormal x1, . . . , xnformadaporautovetoresdooperador normal N: EE, denido no espao euclidianoE. Mostreque NNxi= NNxi e conclua que N normal.9. SejamR, S, T : EEoperadoresauto-adjuntosdenidosnoespaoeuclidianoE. SuponhaqueRT =TR, ST =TSequeemcadaauto-espao deT, tantoR quantoStenham um nico autovalor. Mostre queRpossui uma base ortonormal formada por elementos que so autovetores dastrs aplicaes.10. SejaT : E Fuma aplicao linear entre espaos euclidianos. Qual arelao entre os autovalores de TTe os de TT?11. Seja T:E E um operador linear denido no espao real E. Mostre queexiste uma base ortonormal B na qual TB diagonal se, e somente se, Tforauto-adjunto.12. Seja T: E Fuma aplicao linear entre os espaos euclidianos E e F.Mostre:(a) se Tfor injetora, ento TTpossui inversa;(b) imT= im(TT) e imT= im(TT);(c) se Tfor sobrejetora, ento TT possui inversa.13. Mostre que um operador T positivo denido se, e somente se, T 0 e Tfor invertvel.14. Mostre que so equivalentes as seguintes condies sobre um operadorP:E E denido num espao euclidiano E.(a) P= T2para algum operador auto-adjunto T;(b) P= SS para algum operador S;(c) P positivo semidenido.15. Com a notao do Teorema 10.10 mostre, utilizando o clculo funcional, queP=H positiva semidenida.iiALinear2005/12/1913:25page224#240iiiiii224 Teoria Espectral Euclidiana Cap. 1016. Verique que a matrizA =_2 ii 2_ normal. Encontre uma matriz unitria U tal que UAU seja diagonal.17. Seja E um espao euclidiano complexo e N:E E um operador norma.Verique que oprocedimentoutilizadona demonstraoalternativa dosTeoremas 10.2 e 10.4, na pgina 204, tambm prova que N diagonalizvel.18. Mostre que, se todos os autovalores de uma aplicaoT: E E tiveremvalor absoluto igual a 1, ento T unitria.19. Seja N:E E um operador normal no espao euclidiano E. Mostre queexiste uma matriz unitria (ortogonal)Utal queN=UNe, ento, queimN= imN.20. SejaNumoperadornormal noespaoeuclidianoE. Mostrequeexisteumoperadorauto-adjuntoApositivosemidenidoeumoperadorunitrio(ortogonal) U tal queN= UA = AU.Se Nfor invertvel, Ue A so nicos. ( usual denotar A= [N[. Comparecom o Exerccio 19.)21. SejaN: E Eum operador no espao euclidianoE. Usando o clculofuncional, mostre queN um polinmio emNse, e somente se, Nfornormal. (Compare com o Exerccio 42 do Captulo 8.)22. D exemplos de operadores M, N:E E denidos no espao euclidianocomplexo E, comN normal, tais que os auto-espaos de M sejam invariantespor N e NM ,= MN.23. Mostreque, nadecomposiopolarT =PUdooperadorT : EE,temosPU=UPse, e somente se,Tfor normal. (Esse enunciado mereceinterpretao, uma vez que em geral no h unicidade de U. Se T for normal,ento Pcomuta com toda matriz unitria tal que T= PU. Reciprocamente,se Pcomuta com algum U tal que T= PU, ento T normal.)24. Seja Aumamatriz(real) anti-simtrica. Mostreque A2umamatrizsimtrica negativa semidenida. Conclua da que os autovalores no-nulosde uma matriz anti-simtrica so imaginrios puros.iiALinear2005/12/1913:25page225#241iiiiii10.6 Exerccios 22525. Sejam S, N:E E operadores no espao euclidiano E, sendo Nnormal.Mostre que NS= SN implica NS= SN.26. SejamM, N: EEoperadoresnormaisnoespaoeuclidianoE. SeMN=NM, mostre que MN=NM e MN=NM. Em particular,NM normal.27. SejamM, N: E Eoperadores normais denidos no espao euclidianocomplexoEe S : E Eumoperador arbitrrio. Mostreque, seNS= SM, ento NS= SM.28. SejamM, N: E E operadores normais denidos no espao euclidiano E.Suponha que MN seja normal. Mostre que N comuta com MM.29. SejamM, N: E E operadores normais denidos no espao euclidiano E.Suponha que MN seja normal. Mostre que NM normal.30. SejamS, T : E Edois operadores auto-adjuntos no espao euclidianoE.Mostre que ST=TS se, e somente se, existe um operador auto-adjuntoR : E E tal que S= p(R) e T= q(R).31. Mostre que uma matriz_cos sen sen cos _preserva sua forma ou transformada na matriz_cos() sen ()sen () cos()_quando submetida a uma matriz mudana de base ortogonal.32. D um exemplo mostrando que no h unicidade de U na decomposio polarde T: E E, se esse operador no for invertvel.33. SejamE, Fespaos euclidianos. Dois operadores linearesT : E EeS: FFso unitariamente equivalentes se existir uma aplicao linearunitria U:E Ftal que USU=T.Mostre que S, Tso unitariamenteequivalentes se, e somente se, existirem bases ortonormais B de E e c de Ftais TB= SC.iiALinear2005/12/1913:25page226#242iiiiii226 Teoria Espectral Euclidiana Cap. 1034. Com a notao do Exerccio 33, sejamSeToperadores normais. Mostreque os operadoresSeTso unitariamente equivalentes se, e somente se,tiverem o mesmo polinmio mnimo. Conclua que dois operadores normaissemelhantes so sempre unitariamente equivalentes.35. SejamA, B Mnn(R) matrizes unitariamente equivalentes. Mostre queA e B so ortogonalmente equivalentes, isto , existe uma matriz ortogonalP Mnn(R) tal que PAP= PtAP= B.36. ("Diagonalizao" simultnea de duas formas quadrticas). Emgeralno possvel encontrar uma mudana de varivel Qx=z que diagonalizesimultaneamenteasformasquadrticassimtricas q1(x)eq2(x). Dumexemploemqueessadiagonalizaoimpossvel. Poroutrolado, seq1for uma forma quadrtica hermitiana (simtrica) positiva denida eq2umaformaquadrticahermitiana(simtrica), entopossvel diagonaliz-lassimultaneamente. Mais precisamente, sejamH, Kmatrizes hermitianas,Hsendo positiva denida.Mostre que existe uma matriz Q tal que QHQ=Ie QKQ diagonal.iiALinear2005/12/1913:25page227#243iiiiii11Decomposies MatriciaisNeste Captulo estudaremos as decomposies matriciais de Cholesky, SchureQR. OsresultadosqueapresentaremossobastanteteisnalgebraLinearNumrica.11.1 A Decomposio de CholeskyComo vimos no Lema 10.9, um operador auto-adjunto positivo denido se, esomente se, todos os seus autovalores forem positivos.Lema 11.1Seja A uma matriz n n simtrica positiva denida. Ento cada umadas submatrizes principaisAr positiva denida(e, portanto,det Ar>0) para1 r n.Demonstrao: Seja x= (x1, . . . , xr) Rrum vetor no-nulo arbitrrio e denax = (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0) Rn. Comox, Arx) = x, Ax)e A positiva denida, o resultado segue-se da. PNote que o Lema 11.1 combinado com a Proposio A.4 garante que uma matrizpositiva denida Apossui decomposio LU, obtida mediante a sucessiva aplicaoda operao elementar do tipo (c) matriz A. Emparticular, Apossui uma fatoraoLDU, a matriz diagonal D= (dii) tendo seus elementos diagonais positivos. Mas,como a matriz A simtrica, temosLDU= A = At= UtDLt.227iiALinear2005/12/1913:25page228#244iiiiii228 Decomposies Matriciais Cap. 11Pela Proposio A.3 temosLt=U,de modo queA=LDLt. DenindoD1/2como a matrizD1/2=_____d11000d22 0......0 0 dnn_____.Mas, ento, A=LDLt=(LD1/2)(D1/2Lt) =L1L2, amatrizL1sendotriangular inferior e a matriz L2 sendo triangular superior. Como A = At, segue-seda que L2= Lt1, mostrando queA = LLt,chamada decomposio de Cholesky da matriz A.Assim, uma matriz n npositiva denida temduas decomposies: adecomposioA=LDUe a decomposio de CholeskyA=L1Lt1. J vimosqueL1=LD1/2, o que nos mostra como obter a decomposio de Cholesky damatriz A.O prximo resultado caracteriza as matrizes positivas denidas e apresenta umresumo dos resultados obtidos nesta seo:Proposio 11.2Seja A uma matriz simtrica n n. As seguintes armaes soequivalentes:(i) A positiva denida;(ii) As submatrizes principais A1, . . . , An tm determinante positivo;(iii) A matrizA tem uma decomposioLDU,com os elementos diagonais damatriz diagonal D todos positivos;(iv) AtemumadecomposiodeCholeskyA = LLt, sendoLumamatriztriangular inferior com elementos diagonais positivos.Demonstrao: J vimos as implicaes (i) (ii) (iii) (iv).Seja agora x Rnum vetor no-nulo arbitrrio e y=Ltx. Como a matriz Ltpossui inversa, y ,= 0. Assimx, Ax) = xt(LLtx) = (xtL)(Ltx) = yty= |y|2> 0.Isso mostra que (iv) (i). PiiALinear2005/12/1913:25page229#245iiiiii11.2 A Decomposio de Schur 22911.2 A Decomposio de SchurSeja A uma matriz n n no corpo C.Teorema 11.3 (Schur)Existe uma matriz unitria U tal que T= UAU triangular superior.Demonstrao: Faremosinduoemn, oresultadosendobvioparan =1.Suponhamosvlidoparaumamatrizk kqualquereconsideremosA, matriz(k + 1)(k+ 1). Sejaw1um autovetor unitrio associado ao autovalor1deA. O processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt assegura a existncia de umabase ortonormal w1, w2, . . . , wk+1 para Ck+1. A matriz R, cuja i-sima coluna o vetor wi, unitria. Consideremos ento RAR=(RA)R. A primeira colunadessa matriz RAw1. Mas RAw1=1Rw1=1e1, pois as linhas de R sodadas pelos vetores w1, . . . , wk+1. Assim, a matriz RAR tem a forma_____10... S0_____,em que S uma matriz k k. Pela hiptese de induo, existe uma matriz unitriaV1 tal que T1= V1 SV1 uma matriz triangular superior. Denimos entoV=_____1 000... V10_____.Claramente V unitria eV(RAR)V =_____1 000... V10__________10... S0__________1 000... V10_____=_____10... V1 SV10_____=_____10... T10_____= T,iiALinear2005/12/1913:25page230#246iiiiii230 Decomposies Matriciais Cap. 11uma matriz triangular superior. Denimos, ento, U= RV . A matriz U unitria,poisUU= (RV )(RV ) = VRRV= I.Isso completa a demonstrao. PAdemonstraoapresentadacontinuavlidaseAforumamatrizrealcujosautovaloresestonocorpoR. UmaprovaalternativadoTeoremadeSchur indicadanoExerccio2. Notequeoteoremapodetambmserformuladoparaaplicaes lineares ao invs de matrizes.Apresentamos, como conseqncia, mais uma prova dos Teoremas 10.2 e 10.4:Corolrio 11.4Se Afor uma matriz auto-adjunta, ento existe uma matriz unitriaU tal que UAU= D, sendo D uma matriz diagonal. Se A for uma matriz real, amatriz U ortogonal.Demonstrao: Seja Ahermitiana. De acordo como Teorema de Schur 11.3, existeuma matriz unitria U tal que UAU= T, sendo Tuma matriz triangular superior.MasT= (UAU)= UAU= UAU= T,de acordo com a Proposio 8.30. Isso mostra queT auto-adjunta e, portanto,uma matriz diagonal.SeA for real, todos os autovalores deA so reais e, portanto, tambm seusautovetores. Isso implica que a matriz U ortogonal. P11.3 A Decomposio QRO processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt pode ser interpretado comouma decomposio de uma matriz cujas colunas so linearmente independentes.Teorema 11.5 (A decomposio QR de uma base)Seja A uma matriz mn de posto n. EntoA = QR,em que Q uma matriz m n com colunas ortonormais e R uma matriz nntriangular superior com elementos diagonais positivos.iiALinear2005/12/1913:25page231#247iiiiii11.3 A Decomposio QR 231Demonstrao:Sejam v1, . . . , vn as colunas da matriz A. Como essa matriz temposto n, esses vetores so linearmente independentes emKm. Aplicando o processodeortogonalizaodeGram-Schmidt 8.14aessesvetores, obtemososvetoresortonormais q1, . . . , qn Km, dados porqk=1rkk_vk k1

i=1rikqi_, (k = 1, . . . , n)em que rik= vk, qi) para i = 1, . . . , k1 e rkk a norma do vetor vk

k1i=1rikqi.Mas isso quer dizer quev1= r11q1v2= r12q1 +r22q2......vn= r1nq1 + . . . + rnnqn.(11.1)DenindoQ como a matriz cujas colunas so os vetoresq1, . . . , qneR a matriztriangular superiorR =_____r11r12 r1n0 r21 r2n............0 0rnn_____= (r1 r2rn),temos que a j-sima coluna da matriz QR QRej= Qrj= r1jq1 + r2jq2 + . . . +rjjqj + 0qj+1 + . . . + 0qn= vj.Isso mostra que QR = A, completando a demonstrao. PExemplo 11.6Considere a matrizA =____1 1 10 1 11 1 11 0 1____.Vamos encontrar uma matriz ortogonal P tal que imP = imAe obter adecomposioQR da matrizA. Em seguida, vamos resolver o sistemaAx=bpara b = (0 0 0 1)t.iiALinear2005/12/1913:25page232#248iiiiii232 Decomposies Matriciais Cap. 11 claro que as colunas de A so linearmente independentes. (Por outro lado, oprprio processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt nos mostrar isso.) Se A fordada em termos de suas colunas (v1 v2 v3), aplicando o processo de Gram-Schmidta esses vetores obteremos os vetores q1, q2 e q3. Denotando Q = (q1 q2 q3), temosQ = (q1 q2 q3) =_____33151510100155105 3315151010 3321515105_____.ComooespaogeradopelascolunasdeAjustamenteoespaogeradopelascolunas de Q, a matriz ortogonal P justamente a matriz Q. A matriz R a matrizque muda da base v1, v2, v3 para a base q1, q2, q3 (justique!). Assim,R =__q1, v1) q1, v2) q1, v3)q2, v1) q2, v2) q2, v3)q3, v1) q3, v2) q3, v3)__=___3233301531550 0105___.Se Ax = b, ento QRx = b e, portanto, Rx = Qtb. Portanto, basta resolver___3233301531550 0105_____xyz__= Qtb =___3321515 105___.Obtemos imediatamente__xyz__=__011__.Oquepodeacontecerquandoascolunasv1, . . . , vndeAforemlinearmentedependentes? Nessecaso, aoortogonalizarmosascolunasdeA, obteremosumou mais vetores iguais a zero (veja o Exerccio 24 do Captulo 1). Desprezandoos vetores nulos obtidos, continuaremos a ter uma base ortonormal q1, . . . , qr paraimA, sendo r o posto da matriz A. A matriz Q = (q1, . . . , qr) uma isometria eposto A = posto Q.Umavezqueosvetoresvisatisfazemaequao(11.1)(masutilizandoapenasr vetoresq1, . . . , qrao invs dosn vetoresq1, . . . , qndaquela equao), obtemosiiALinear2005/12/1913:25page233#249iiiiii11.3 A Decomposio QR 233R=(rij) como sendo a matriz nr triangular superior dada por rij= ui, qj).Uma vez que Q uma isometria, temos |Ax|= |QRx|= |Rx|, de modo queker A = ker R. Assim, uma vez que A e R tm n colunas,posto R = n ker R = n ker A = r = posto A.Condensamos os nossos resultados no seguinte teorema:Teorema 11.7 (Decomposio QR)Seja A uma matriz real mn com posto r. Ento podemos escreverA = QR,sendoQ a matriznr de uma isometria satisfazendoimA=imQ eR umamatriz triangular superior n r de posto r.Exemplo 11.8 (O problema dos quadrados mnimos - 3a. parte) Seja A umamatriz realmn. Procuramos o vetor x tal queA x seja a melhor aproximaopossvelparaovetorb. Ovetor x, quemelhoraproximaovetorb, deveseraprojeo ortogonal de b no espao imA (justique!).Vamos resolver esseproblemausandoadecomposio QR. Procuramos,portanto, um vetor x tal queb (QR) x seja perpendicular imQ=imA. Ora,sabemos que (imQ)=ker Q. Assim, o vetor b (QR) x pertence ao ncleo deQ. Logo,Q(b QR x) = 0 R x = Qb.Uma vez que QR = A, o vetor QQb justamente a projeo ortogonal de b emimA.Consideremos um exemplo concreto: seja a matrizA =__1 0 10 1 21 1 3__= (v1 v2 v3).A terceira coluna deA igual a duas vezes a segunda coluna somada primeira.Se aplicarmos o processo de Gram-Schmidt s colunasv1, v2ev3, obteremos osvetores q1= ((1/2) 0 (1/2))te q2= ((1/6) (2/6) (1/6))t. Assim,Q =___12160261216___.iiALinear2005/12/1913:25page234#250iiiiii234 Decomposies Matriciais Cap. 11A matriz R = (rij) satisfaz rij= v1, qj). Portanto,R =_22124203666_.Para resolvermos o problema dos quadrados mnimos Ax = (1 1 1)t, basta resolver_22124203666___xyz__= Qtb =_223_,cuja soluo __xyz__=23__110__+ z__121__.O vetor (1 2 1)tpertence ao ncleo de A e o vetor (1 1 0)t a nica soluodo problema dos quadrados mnimos. 11.4 Exerccios1. Seja A uma matriz simtrica invertvel. Mostre que A2 uma matriz positivadenida.2. Sejam E um espao euclidiano e T: E E um operador cujo polinmiocaracterstico tem suas razes no corpoK. Dena W= , para algumautovetor v de Te considere E= W W. Ento:(a) T(W) W;(b) Mostre por induo o Teorema de Schur.3. Seja B uma base ortonormal de V . Suponhamos que a representao A = TBdo operador linear T: VVseja uma matriz triangular superior. MostrequeT normal se, e somente se, A for diagonal. Deduza da o Teorema10.13.4. Na decomposio de Schur,UAU=T, h unicidade da matriz triangularsuperior T?iiALinear2005/12/1913:25page235#251iiiiii11.4 Exerccios 2355. (Desigualdade de Schur)SejaA=(aij) Mnn(C)e1, . . . , nseusautovalores. Mostre quen

i=1[i[2n

i,j=1[aij[2e que a igualdade s se verica quando A for normal.6. Conclua, utilizandoadesigualdadedeSchur, queseM, NsomatrizesnormaiseMNnormal, entoNMnormal. (VejaoExerccio29doCaptulo 10.)iiALinear2005/12/1913:25page236#252iiiiiiAMatrizes Elementares e aDecomposio LUSejaA Mmn(K). Vamos mostrar como o escalonamento de uma matrizpode ser interpretado em termos de uma decomposio da matriz A.Uma matriz E elementar se puder ser obtida da matriz identidade mm pormeio da aplicao de uma operao elementar. O prximo resultado mostra que aaplicao de uma operao elementar sobre as linhas da matrizA equivalente multiplicao desse matriz por uma matriz elementar.Proposio A.1Sejaeumaoperaoelementarsobre(aslinhasde)amatrizA Mmn(K) e E a matriz elementar e(I), sendo I a matriz identidade mm.Ento e(A) = EA.Demonstrao: Ademonstraodeveserfeitaparatodosostiposdeoperaoelementar. Consideraremos apenas a aplicao de uma operao elementar(c): alinhajser substituda pela soma da linhajcom vezes a linhai. A matrizE,nesse caso, dada porE=_______1 0 . . . 0......0 . . . . . . 1 . . . 0......0 0 . . . 1_______ linha jcoluna j236iiALinear2005/12/1913:25page237#253iiiiii237EntoEA =_______1 0 . . . 0......0 . . . . . . 1 . . . 0......0 0 . . . 1______________a11a12. . . a1n......aj1aj2. . . ajn......am1am2. . . amn_______=_______a11a12. . . a1n......aj1 + ai1aj2 + ai2. . . ajn + ain......am1am2. . . amn_______,que justamente e(A). PConsideremos o processo de escalonamento de uma matrizA e suponhamosque E seja uma matriz elementar obtida por meio da operao elementar (b) ou (c). fcil vericar que tanto a matriz E como sua inversa (que existe!) so matrizestriangulares inferiores (veja o Exerccio 2).Tendo em vista a Proposio A.1, dada uma matrizA Mmn(K), obtemosumaformaescalonadadamatriz Aaomultiplic-lapor matrizes elementaresEkEk1. . . E2E1. Quer dizer,(EkEk1. . . E2E1)A = U,em que U= (uij) tem todos os seus elementos abaixo da diagonal uii iguais a zero.Suponhamos que, nesse processo de levar a matrizA a sua forma escalonada,a operao elementar (a) no tenha sido utilizada. Uma vez que a matrizEkEk1. . . E2E1tem inversa e sua inversa uma matriz triangular inferior (vejao Exerccio 3), obtemos queA = LUem que a matriz L triangular inferior e a matriz U= (uij) "triangular superior",signicandoqueuij= 0, sei > j. EssaadecomposioLUdamatrizA Mmn(K). (A decomposio A=LU, quando possvel, usualmente feitapara matrizes quadradas A. Nesse caso, a matriz U uma autntica matriz triangularsuperior.)iiALinear2005/12/1913:25page238#254iiiiii238 Matrizes Elementares e a Decomposio LU Cap. AObservao A.2Se, noescalonamentodeAMmn(K), noforutilizadaaoperao elementar (a), a decomposio LU pode ser atingida unicamente por meiodaoperaoelementar(c): nohnecessidadedetransformarem1oprimeiroelemento no-nulo de cada linha. Assim, suponhamos que por meio das matrizeselementares E1,...,Ek todos os elementos abaixo do piv de cada linha tenham sidoanulados at a coluna j 1, e que o piv da coluna j esteja na linha i, com i j.Se > i, para anularmos o elemento bj da matriz (bij) = Ek . . . E1A, substitumosa linha pela linha somada a (,j) vezes a linha i. A essa operao correspondea matriz elementarlinha i linha ____________1...1......,j 1...1____________.coluna jO valor de,jbj/bij, sebjebijforem os primeiros elementos no-nulos daslinhas ei, respectivamente, da matrizEk . . . E1A. Se multiplicarmos todas asmatrizes que anulam os elementos bj, com > i, obteremos a matrizQj=_________1...1i+1,j......i+r,j1_________.fcilvericarqueLj=Q1jexisteetemomesmoformatodamatrizdada.Decorre da que, na decomposio LU da matriz A, todos os elementos da diagonalprincipal da matriz L so iguais a 1. Seja A uma matriz mn. Suponhamos que no tenha sido utilizada a operaoelementar (a)noescalonamentodeAequetenhamoschegadoaexatamenteniiALinear2005/12/1913:25page239#255iiiiii239pivs. De acordo com a Observao A.2, isso implica que, na decomposioLUdamatrizA, oselementosdiagonaisdamatrizm mLsotodosiguaisa1,enquanto os elementos diagonais da matrizUso justamente os pivs. Podemosento escrever a matriz A numa forma mais simtrica: seU=___________u11u12 u1n0 u22 u2n............0 0unn0 00... ...0 00___________,com uii ,= 0, ento podemos decompor U= DU:DU=___________u1100 000 u22 0 00............ ...0 0 unn000 00 00... ...... ...0 00 00______________________1 u12/u11 u1n/u110 1u2n/u22.........0 010 00... ...0 00___________,em que D uma matriz mm e U uma matriz mn, com elementos "diagonais"iguais a 1. Temos, assim,A = LDU. usual escrever A = LDU, chamada decomposio LDU da matriz A.Proposio A.3SejaA uma matrizmn. SeA=LUeA=LU, comL, Lmatrizes m mtriangularesinferiorescomelementosdiagonaisiguaisa1eU, U matrizes triangulares superiores com elementos "diagonais" no-nulos, entoL = L e U= U. Em particular, a decomposio LDU de uma matriz nica.Demonstrao: Como a matriz L possui inversa, temos U=(L1L)U. A matrizquadrada L1L triangular inferior e tem elementos diagonais iguais a 1. Vamosmostrar que L1L=:R=(rij) a matriz identidade. Temos ri1=0 se i ,=1, oque pode ser comprovado multiplicando a linha i de R pela primeira coluna de U,iiALinear2005/12/1913:25page240#256iiiiii240 Matrizes Elementares e a Decomposio LU Cap. Apois RU uma matriz triangular inferior e u11 ,= 0. Da mesma forma, multiplicandoas linha de R pela segunda coluna de U, vericamos que ri2=0 se i ,=2 e assimsucessivamente. Logo R = I e U= U.SejaD=(dij) a matriz diagonalmm comdii=uii parai =1, . . . , n edjj=0 se j>n. fcil vericar que existe uma nica matriz triangular superiorU, mn, com elementos "diagonais" iguais a 1, tal que U= DU. Isso completaa prova. PO resultado anterior importante, pois estamos tratando da forma escalonadada matriz A Mmn(K), que no nica!Proposio A.4Seja Auma matriz mn tal que todas suas submatrizes principaisAr sejam invertveis. Ento A tem uma decomposio LU.Demonstrao: Como a11= A1, o elemento a11 o piv da primeira linha. Existeentoumamatrizinvertvel E, obtidaaoseaplicarsucessivamenteaoperaoelementar(c) de modo a anular todos os elementos deA abaixo do piv. Temosento queEA =_____a11a12 a1n0 b22 b2n......0 bm2 bmn_____.Claramente a submatriz principal de EA_a11a120 b22_resulta da submatriz principal de A_a11a12a21b22_mediante a aplicao de uma operao elementar do tipo (c). Em particular, aquelasubmatrizprincipaldeEAinvertvel, poisasubmatrizdeAinvertvel(porhiptese). Da decorre que b22 ,=0, mostrando que b22 um piv da segunda linhade EA. A prova agora segue-se da por induo. PSuponhamos agora que,ao levarmos a matrizA a sua forma escalonada sejanecessria a aplicao da operao elementar (a). Ento no possvel decomporiiALinear2005/12/1913:25page241#257iiiiiiA.1 Exerccios 241a matriz A na forma LU. Entretanto, podemos considerar as matrizes elementaresque fazem as transposies de linhas necessrias para o escalonamento da matrizA. Cada matriz dessas ortogonal. Consideremos a matrizP, produto de todasessas matrizes. (Amatriz Pumamatrizdepermutao, comoprodutodetransposies).Consideremos ento a matrizPA. Com essa permutao das linhas deA, possvel levar a matriz A a uma forma triangular superior por meio unicamente daoperao elementar (c). (Veja o Exerccio 6.) Assim, para a matriz PA vale:PA = LU.Como a matriz P ortogonal, temos entoA = PtLU.A.1 Exerccios1. Demonstre a Proposio A.1 com relao s operaes elementares (a) e (b).2. Mostrequetodamatrizelementarteminversa, equeessainversaumamatriz elementar. Mostre que uma matriz elementar surgida no processo deescalonamento da matriz A uma matriz triangular inferior.3. Mostre que o produto de matrizes triangulares inferiores (respectivamente,superiores) uma matriz triangular inferior (resp., superior).4. Justique o algoritmo usualmente utilizado para se obter a inversa de umamatriz.5. D um exemplo mostrando que possvel terA=LU=LU, comL, Lmatrizes triangulares inferiores com elementos diagonais todos iguais a1 eU, U matrizes triangulares superiores. (Compare com a Proposio A.3.)6. Considere uma matriz A que no tenha decomposio LU. Seja Po produtode todas as transposies necessrias para tornar possvel o escalonamento deA. Mostre que PA tem uma decomposio LU.iiALinear2005/12/1913:25page242#258iiiiiiBFunes de Matrizes:Comparando DeniesFunes de matrizes so usualmente denidas em duas situaes: ou a funof suave nos autovalores da matriz diagonalizvel A = P1DP (com D diagonal)e f(A) denida por P1f(D)P, sendo f(D) obtida ao se aplicar f em cada umadas entradas diagonais de D, ou a funo f analtica e f(A) denida por meiode uma expanso em srie de potncias def. Em ambos os casos, a funofeuclidiana com relao a m.Nosso objetivo neste Apndice mostrar que o mtodo do clculo funcionalcoincide com a denio usualmente empregada em livros tradicionais de lgebraLinear. Por razes de simplicidade, mostraremos primeiro que a deniono caso de uma matriz diagonalizvel (isto , f(A) = P1f(D)P, comodescritoanteriormente)coincidecomaDenio6.6. Contudo, essecasoestcompletamente englobado por aquele de uma matriz na forma de Jordan, que seraveriguado em seguida.Comeamospeloseguinteresultadoauxiliar, quemostracomoseaplicaoclculo funcional para uma matriz diagonal em blocos:Lema B.1Seja f uma funo euclidiana com relao matriz n n em blocosA =_____A1000 A2 0............0 0A_____.242iiALinear2005/12/1913:25page243#259iiiiii243Entof(A) =_____f(A1) 000 f(A2)0............0 0f(A)_____.Demonstrao: Seja r = a0 +a1z +a2z2+. . . +amzmo polinmio interpoladorprocurado. Claramente vale:f(A) = a0I + a1_____A1000 A2 0............0 0A_____+a2_____A21000 A22 0............0 0A2_____+ . . . +am_____Am1000 Am2 0............0 0Am_____=_____r(A1) 000 r(A2)0............0 0r(A)_____Assim, o resultado estar provado se tivermosf(Aj) = r(Aj).Para j = 1, . . . , , sejamme mjos polinmios mnimos de Ae Aj,respectivamente. Como m(A)=0, necessariamente cada bloco Aj anulado porm. Pelo Lema 5.14,temos quem um mltiplo demj. Como vimos antes daobservao 6.8, isso implica que f(Aj) = r(Aj). PConsideremos ento o caso de uma matriz diagonalizvel A. Seja, portanto,fuma funo denida nos autovalores da matrizA=P1DP(sendoD matrizdiagonal). A denio usual de f(A) P1f(D)P.De acordo com o Lema B.1, para calcularmosf(D) segundo a Denio 6.6,basta calcularmosfem cada um dosn blocos diagonaisD1=1, . . . , Dn=niiALinear2005/12/1913:25page244#260iiiiii244 Funes de Matrizes: Comparando Denies Cap. Bda matriz D. Como o polinmio mnimo do bloco Dj mj=z j, temos quef(Dj) = r(Dj) = f(j). Logof(D) = r(D) =_____f(1) 000 f(2)0............0 0f(n)_____.Mas entor(A) = r(P1DP) = P1r(D)P= P1f(D)P,mostrando que as duas denies coincidem.Consideremos agora o caso geral: escrevemos A=P1JPem que a matriz Jest na forma cannica de Jordan. usual denir f(A) = P1f(J)P. (Em algunstextos de lgebra Linear, apenas o caso de f(z) = ezt analisado.)RecordamosalgunsfatosbsicossobreaformacannicadeJordan. Comosabemos, uma matriznn complexa (ou uma que possuan autovalores nonecessariamente distintos no corpo K) est na forma cannica de Jordan se ela fordiagonal em blocosJ=_____J1000 J2 0............0 0Jk_____sendo que os blocos Ji possuem a formaJi=_______i1 000 i10...............0 0i10 00 i_______.Estamos denotando por i um dos autovalores da matriz A. Ao mesmo autovalori podem estar associados diferentes blocosJi. Sabemos que existe pelo menosum blocodi di, sendodia multiplicidadealgbrica do autovalori(isto , amultiplicidade de i como fator do polinmio caracterstico de A).Se Jfor uma matriz na forma cannica de Jordan, consideremos um bloco Jde tamanho kk, com k d, sendo d a multiplicidade algbrica do autovalor .iiALinear2005/12/1913:25page245#261iiiiii245Suponhamos inicialmente quek=d. Nesse caso, como(z )k o polinmiomnimo (e caracterstico) do bloco, a funo f(Ji) dada por um polinmio de grauno mximo igual a k 1, de acordo com a Denio 6.6:r(z) = ak1(z )k1+. . . + a1(z ) + a0.Os coecientesai so obtidos pela relaesf(i)() =r(i)(). A regra da cadeiagarante que r(i)() = ai. Assim,f(J) = f()I + f()(JI) + . . . +f(k1)()(k 1)!(JI)(k1)=________f()f()1!f()2!

f(k1)()(k1)!0 f()f()1! 0...............0 0f()f()1!0 00 f()________. (B.1)Comparando essa expresso, obtida por meio da Denio 6.6, com a deniode funo de matriz na forma de Jordan1vemos que elas coincidem.No caso de blocos kk, com 1 k < d, basta ento notarmos que o polinmioprocurado sempre dever ter grauk 1, pois o polinmio mnimo do bloco (quecoincide com o polinmio caracterstico) tem grauk. Assim, a expresso obtidacontinua vlida para qualquer bloco k k.ParapassarmosdosblocosparaamatriznaformacannicadeJordanbastaempregarmos o Lema B.1.1Em [32], o uxo eJtde uma matriz J na forma cannica de Jordan explicitamente calculado.Trocando-se a funo exp zt por uma funo f sucientemente suave, obtemos ento uma expressoidntica equao (B.1). Veja, a esse respeito, [29].iiALinear2005/12/1913:25page246#262iiiiiiCDecomposio PrimriaOobjetivodesteApndiceapresentar umademonstrao"tradicional"doTeorema da Decomposio Primria.Dizemosquedoispolinmiosp, q K[t] soprimosentresi, seonicopolinmio mnico que dividir tanto p quanto q for o polinmio 1.Lema C.1Sejamp, q K[t]. Sepeqforemprimosentresi, entoexistempolinmios a, b K[t] tais queap + bq= 1.Demonstrao: Seja 1 o conjunto de todos os polinmios da forma ap + bq, coma, b K[t]. Como 1 possui elemento no-nulo, existe em1 um polinmio no-nulode menor grau, que chamaremos d = ap + bq.Armamos qued divide tantop quantoq. De fato, sed no dividissep, porexemplo, teramos p=md + r, em que o grau de r menor do que o grau de d.Como p e d esto em 1,r=p md 1, o que contradiz a escolha de d. Logor = 0