Post on 29-Nov-2018
Álgebra Linear
Matrizes
Matrizes
1
2
3
7654321
4
5
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
7 0 0 0 3 6
-10 76 6532 54 89
1
2
3
7654321
0
10
89
0 9
-1 65 32 12 0
0 276 4
4
5
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
7 0 0 0 3 6
-10 76 6532 54 89
1
2
3
7654321
0
10
89
0 9
-1 65 32 12 0
0 276 4
4
5
Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunasDiz-se que tem dimensão 57
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
7 0 0 0 3 6
-10 76 6532 54 89
1
2
3
7654321
0
10
89
0 9
-1 65 32 12 0
0 276 4
4
5
Para localizar um elemento temos que saber em que linha e coluna está.
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
7 0 0 0 3 6
-10 76 6532 54 89
1
2
3
7654321
0
10
89
0 9
-1 65 32 12 0
0 276 4
4
5
Este elemento está na linha 3 e coluna 5.Diz-se que está na posição (3,5)
1234
010103
106734
A
1234
010103
106734
A
A tem dimensão 34A tem dimensão 34
1234
010103
106734
A
13a13
1234
010103
106734
A
13 1a 13
1234
010103
106734
A
21a 21a
1234
010103
106734
A
321 a 321 a
Uma matriz A com m linhas e n colunasdiz-se que tem dimensão mne representa-se por e representa-se por
[aij] i =1,…,m; j=1,…,n
Matrizes especiais:
• Matrizes nulasOmn
Matriz com m linhas e n colunas e entradas todas nulastodas nulas
• O23=
000
000
Matrizes especiais:
• Matrizes quadradasAnn
Matriz com n linhas e n colunas
• A33=
365
435
874
Matrizes especiais:
• Matriz triangular superiorAnn
aij = 0 se i > j
• A33=
100
120
013
Matrizes especiais:
• Matriz triangular inferiorAnn
aij = 0 se i < j
• A33=
151
024
003
Matrizes especiais:
• Matriz diagonalAnn
aij = 0 se i j
• A33=
100
020
003
Matrizes especiais:
• Matrizes colunaAn1
Matriz com n linhas e 1 coluna
• A51=
2
0
1
5
4
Matrizes especiais:
• Matrizes linhaA1n
Matriz com 1 linha e n colunas
• A15= 53210
Matrizes especiais:
• Matrizes identidadeInn
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a 1.todas as entradas principais iguais a 1.
• I33=
100
010
001
Matrizes especiais:
• Matrizes escalaresAnn
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a .todas as entradas principais iguais a .
• A33=
4.300
04.30
004.3
Matriz simétrica de outra:
• A matriz B diz-se simétrica da matriz A se asentradas de B forem os simétricos dasentradas correspondentes de A.
• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)
A= B =
B = - A
560
142
203
560
142
203
Matriz transposta doutra:
• A matriz B diz-se transposta da matriz A se asentradas de B foram tais que bik = aki.
• Escreve-se B = AT
A= B = AT =
b12 = a21 = 2
252
141
21
54
21
Multiplicar uma matriz por um escalar:
• Todas as entradas da matriz são multiplicadaspelo mesmo valor .
• B= A• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)
A= B =3 A =
560
142
203
15180
3126
609
Somar matrizes
• Só se podem somar matrizes da mesmadimensão.
• C = A + B• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição
de A e de B
A= B =
A + B =
014
233
102
125
112
118
Multiplicar Matrizes CASO 1
• Multiplicar uma matriz linha por uma matrizcoluna
Só se podem multiplicar estas matrizes se tiverem o mesmonúmero de elementos.número de elementos.
C = A BA= B = 2101
5
1
4
0
Multiplicar Matrizes CASO 1
• Multiplicar uma matriz linha por uma matrizcolunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas deA for igual ao número de linhas de B.C = A BC = A B
A= B = 2101
5
1
4
0
Multiplicar Matrizes CASO 1
• Multiplicar uma matriz linha por uma matrizcolunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas deA for igual ao número de linhas de B.
C = A B 0C = A BA= B =
A B = [10 + 04 + (-1)(-1) + 25] = [11]
2101
5
1
4
0
Multiplicar Matrizes CASO 2
• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matrizcolunaFaz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matrizfor igual ao número de elementos da coluna.
C = A B
A= B =
5
1
4
0
1321
0201
Multiplicar Matrizes CASO 2
• Multiplicar uma matriz com n linhas por umamatriz colunaC = A B
0
A= B =
5
1
4
0
1321
0201
Multiplicar Matrizes CASO 2
• Multiplicar uma matriz com n linhas por umamatriz colunaC = A B
A= B =
4
0
0201
A= B =
C = =
5
1
1321
0201
51)1(34201
50)1(24001
10
2
Multiplicar Matrizes CASO GERAL
• Multiplicar uma matriz Anp
por uma matriz BpmC = A BC = A BCada coluna de C é o produto da matriz A pela coluna respectiva da matriz BEntão Cnm
4215
6226
2417
0213
2011
12
13
21
ABC
32 24 3424 34
4215
6226
2417
0213
2011
12
13
21
ABC
32 24 3424 34
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B
O produto de matrizes não é comutativo.
Pode ser possível efectuar AB e não ser possível efectuar BA.
Mesmo quando ambos os produtos são Mesmo quando ambos os produtos são possíveis o resultado não é em geral o mesmo.
Matriz Inversa:
• Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que AB = BA = I, então diz-se que A é invertível e escreve-se B = A-1 2121B = A-1
10
21
10
21BA
10
01
10
21
10
21
10
01
10
21
10
21
Propriedades das operações com matrizes
• A + B = B + A (comutativa)• (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)• A + O = A (elemento neutro)• A + (-A) = O (simétricos)• A + (-A) = O (simétricos)• (A + B) = A + B• ( + ) A = A + A• ( A )= ( ) A
Propriedades das operações com matrizes
• 1 A = A• O = O• (AT)T = A• ( A + B) T = AT + BT• ( A + B) T = AT + BT
• ( A) T = AT
• A (B + C) = AB + AC (distributiva)• (B + C) A = BA + CA• (AB)C = A(BC)
Propriedades das operações com matrizes
• (AB) = ( A)B = A( B)• ( A B) T = BT AT
• ( A) T = AT
• (A-1)-1 = A• (A-1)-1 = A• (AB) -1 = B-1 A-1
• (AT ) -1 = (A -1) T
• ( A) -1 = -1 A -1