Matrizes especiais Matriz linha Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a...
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Matrizes especiais
Matriz linha
Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
Matriz coluna
matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1.
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Todos os Elementos são nulos
Matrizes especiais
Matriz Nula
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Igual número de Linhas e Colunas
Matriz Quadrada
Matrizes especiais
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Diagonal Secundáriai+j =n+1
1+4 = 4+12+3 = 4+13+2 = 4+14+1 = 4+1
Diagonal Principali=j
1=12=23=34=4
Diagonal Principal e Diagonal Secundária
Matriz Quadrada
Matrizes especiais
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Matriz em que a diagonal principal é composta apenas pelo número 1 e todos os outros elementos são compostos pelo número 0
Matriz Identidade
Matrizes especiais
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Matrizes especiais
A transposta de uma matriz é a matriz obtida pela troca das linhas pelas colunas da matriz original, de modo que a coluna j da matriz original passe a ser a linha j da matriz transposta e a linha i da matriz original passe a ser a coluna i da matriz transposta.
Matriz transposta
A= m x nAT= n x m
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Exemplos:
Matriz Transposta
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Matrizes especiais
Uma matriz é dita simétrica se ela for igual à sua transposta.
Matriz simétrica
Uma matriz A, simétrica, é necessariamente quadrada e aij = aji.
A =
AT =
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Matriz simétrica
Exemplos:
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Matrizes especiais
Uma matriz é dita anti-simétrica se ela for simétrica à sua transposta. A = - AT
Matriz anti-simétrica
Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são necessariamente nulos.
A = AT = - AT =
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Matriz anti-simétrica
Exemplos:
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Operações envolvendo Matrizes
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Igualdade de matrizes
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Soma de matrizes
O resultado da soma será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais.
Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se elas forem da mesma ordem.
Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente.
Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij + bij, para todo i e j.
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Subtração de matrizes
O resultado da subtração será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais.
Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se elas forem da mesma ordem.
Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente.
Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo i e j.
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Subtração de matrizes
Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.
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Basta multiplicar todos os elementos da matriz pela constante
Multiplicação de uma matriz por uma constante
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Subtração de matrizes
Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a primeira com o produto da segunda pelo escalar -1.
Então E - F = E + (-F). Por exemplo.
F multiplicada por -1
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Subtração de matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é m x p.
O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de linhas da matriz à esquerda for igual ao número de colunas da matriz à direita.
O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB.
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Produto de duas matrizes
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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1) Determine X e Y de modo que se tenha:
2) Determine X,Y,Z e t de modo que se tenha:
3) Calcule:3.1 C = A+B3.2 D = A-B
4) Dadas:
Calcule: 4.1) D = A+B 4.2) E = A+C 4.3) F = A+C4.4) G = A+B+C 4.5) H = A+B-C 4.6) I = A-B-C4.7) J = (A+B) +(C-B) 4.8) k = (A+C) +(B-C)
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5) Dadas:
Determine a matriz X tal que X+A = B-C
6) Determine a matriz X tal que:
7) Calcule:7.1 C = 4A7.2 D = (1/3) B7.3 E = ½ C + 2D
8)Calcule a, b,c para que:
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9) Calcule: (Exercício Resolvido)
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10) Calcule:
11) Calcule:
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12) Calcule:
13) Calcule: 14.1 AB14.2 (AB)C
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14) Resolva a Equação Matricial (Exercício Resolvido):
Solução:
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15) Calcule: a, b, c d
16) Calcule: x e y
17) Calcule: X
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18) Calcule A .Bt
19) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja simétrica
20) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja anti-simétrica