Post on 22-Apr-2015
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.1)
33Distribuição e Densidade de Probabilidade
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.2)
variáveis aleatóriasvariáveis aleatórias
• São funções definidas sobre os elementos de um espaço amostral– ex: soma de dois dados, cotação do Dollar, precipitação diária de
chuva em uma cidade, limite de resistência de uma peça, etc• Podem ser
– discretas– contínuas
• Convenção:– variáveis aleatórias: X, Y, ... (letras maiúsculas)– valores possíveis das variáveis aleatórias: x, y, ... (minúsculas)
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.3)
variáveis aleatórias discretasvariáveis aleatórias discretas
• A função que atribui a probabilidade a cada valor possível de uma variável aleatória discreta é denominada distribuição de probabilidade
f(x) = P(X = x)• exemplo:
– dado honesto: f(x) = 1/6, para x=1, 2, 3, 4, 5 ou 6– como seria f(x) para a soma de dois dados?
• Propriedades:
0)( xf Xtodos
xf 1)(
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.4)
função distribuição (acumulada)função distribuição (acumulada)
• A função distribuição acumulada de uma variável aleatória X associa a cada valor possível de X a probabilidade deste valor ser menor ou igual a x. Denota-se F(x)
F(x) = P(X x)
• exemplo:
x
f(x)
1
0,50
2 3 4 5
0,25x
F(x)
1
1,00
2 3 4 5
0,50
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.5)
média e variância de uma distribuição média e variância de uma distribuição calculada a partir de sua distribuição de calculada a partir de sua distribuição de
probabilidadesprobabilidades
• Média (ou valor esperado)
• Variância
xtodos
xExfx )()(.
xtodos
xfx )(.)( 22
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.6)
– Assumem valores reais f(x) = função densidade de probabilidade
a b
x
f(x)
b
a
dxxfbXaP )()(0)( xXP
variáveis aleatórias contínuasvariáveis aleatórias contínuas
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.7)
variáveis aleatórias contínuasvariáveis aleatórias contínuas
– Propriedades:
a b
x
f(x)
)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP
xxf ,0)(
1)( dxxf
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.8)
função probabilidade acumuladafunção probabilidade acumulada– A função probabilidade acumulada de uma variável aleatória X associa
a cada valor possível de X a probabilidade deste valor ser menor ou igual a x. Denota-se F(x)
x
dfxXPxF )()()(
)()(
xfdx
xFd
)()()( aFbFbXaP
a bx
f(x)
a bx
F(x)1,00
F(b)
F(a)
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.9)
média e variância de uma VA contínuamédia e variância de uma VA contínua
• Média (ou valor esperado)
)()( xEdxxfx
2222 )()()( dxxfxdxxfx
• Variância
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.10)
Distribuição de probabilidade uniforme ou Distribuição de probabilidade uniforme ou retangularretangular
1 2 3 4 5 6
probabilidade
1/6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pro
ba
bil
ida
de
(1/6
)
Lançamento de um dado
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.11)
Distribuição de probabilidade triangularDistribuição de probabilidade triangular
1,51,0 2,52,0 3,53,0 4,54,0 5,55,0 6,0
probabilidade (1/36)
2
4
6
Média de dois dados
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.12)
Distribuição de probabilidade triangularDistribuição de probabilidade triangular
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 2 dados
Pro
ba
bil
ida
de
(1/3
6)
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.13)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pro
ba
bil
ida
de
(1/6
)Lançamento de um dadoLançamento de um dado
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.14)
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 2 d ado s
Pro
ba
bil
ida
de
(1
/36
)
Média de dois dadosMédia de dois dados
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.15)
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 3 d ado s
Pro
ba
bil
ida
de
(1
/21
6)
Média de três dadosMédia de três dados
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.16)
0
2 0
4 0
6 0
8 0
10 0
12 0
14 0
16 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 4 d ado s
Pro
ba
bil
ida
de
(1
/12
96
)Média de quatro dadosMédia de quatro dados
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.17)
0
50 0
100 0
150 0
200 0
250 0
300 0
350 0
400 0
450 0
500 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 6 d ado s
Pro
ba
bil
id
ad
e (
1/46
65
6)
Média de seis dadosMédia de seis dados
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.18)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 8 dados
Pro
ba
bil
ida
de
(1
/16
796
16
)Média de oito dadosMédia de oito dados
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.19)
Curva normalCurva normal
pontos de inflexão
assíntotaassíntota
média
desvio padrão
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.20)
distribuição normal (ou gaussiana)distribuição normal (ou gaussiana)
• Observada no século XVIII: “curva normal de erros”
xexfx
2
2
2
)(
2
1)(
- +
f(x) Ponto de inflexão
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.21)
distribuição normal (ou gaussiana)distribuição normal (ou gaussiana)
x
dexF
2
2
2
)(
2
1)(
Função probabilidade acumulada:
Não pode ser integrada de forma explícita.É calculada numericamente e tabelada.
Problema:
para cada valor de e seria necessária uma tabela diferente!
Solução: distribuição normal padronizada.
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.22)
= 2 = 0
= 1 = 0
= 2 = 3
3XY
2
3X
Z
X30
f(x)
30
f(y)
30
f(z)
variável distribuição
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.23)
distribuição normal padronizadadistribuição normal padronizada
• Mudança de variável para que = 0 e 2 = 1
X
Z
z
dezF
2/2
2
1)(
zezfz
2
2
2
1)(
F(z) é tabelado
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.24)
)(1)( zFzF
1 - F(z)
z
propriedade para uso da tabela:propriedade para uso da tabela:
F(-z)
F(-z) = ?
0-z
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.25)
exemplo:exemplo:
Calcule a probabilidade de um VA com distribuição normal com = 3 e = 2 apresentar valores entre 2 e 5.
= 2 = 3
30 2 5
50,02
322
z
)()( 25 zFzFP
00,12
355
z
)50,0(1)50,0( FF
0.53280.6915]-[1-0.8413)]50,0(1[)00,1( FFP
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.26)
distribuição uniformedistribuição uniforme
contráriocaso
xxf
,0
,,1
)(
ex: erro de arredondamento de um mostrador digital
2
22
12
1
f(x)
1
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.27)
distribuição triangulardistribuição triangular
efeito do arredondamento na diferença entre duas indicações digitais
f(x)
2
22
24
1
2
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.28)
valor esperadovalor esperado
• Definição: o valor esperado (ou esperança ou valor médio) de uma função de uma variável aleatória (VA) é dado por:
dxxfxgxgE )()()]([
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.29)
propriedades do valor esperadopropriedades do valor esperado
• caso particular: g(X) = X
xXE )(
22 )(])[( xx XVarXE
• caso particular 2: g(X) = (X - x)2
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.30)
bXEabaXE )()(
)()( 2 XVarabaXVar
• outros casos de interesse:
ba XbaX
222XbaX a
propriedades do valor esperadopropriedades do valor esperado
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.31)
propriedades do valor esperado e variânciapropriedades do valor esperado e variância
• Seja X1, X2, ... , Xk VA com média Xi
k
iXikk
kk
iaXEaXEaXEa
XaXaXaE
12211
2211
)(...)()(
)...(
• Exemplo:
3213213232 XXXXXX
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.32)
propriedades do valor esperado e variânciapropriedades do valor esperado e variância
• Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes e com variância 2Xi
k
ixiikk
kk
aXVaraXVaraXVara
XaXaXaVar
1
2222
221
21
2211
)(...)()(
)...(
• Exemplos:
222232 321321
94 XXXXXX
22
2121 XXXX 22
2121 XXXX
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.33)
propriedades do valor esperado e variânciapropriedades do valor esperado e variância
• Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes e com variância 2Xi
)(...)()(
)],...,,([2
2
2
21
2
1
21
kk
k
XVarX
gXVar
X
gXVar
X
g
XXXgVar
2
2
22
12
2
2
2/ 2121
1XXXX X
X
X
• Exemplo:
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.34)
propriedades do valor esperado e variânciapropriedades do valor esperado e variânciaSeja X1, X2, ... , Xk VA independentes, todas com média e var. 2
kk
kkk
kkkkX XEXEXEXE111
12
11
1
...
)(...)()()(
kkkkk XXX
k
XXXX 1
21
1121 ...
...
k
XVarXVarXVarXVar
kk
kkk
kkkkX
22212121
12
11
12
2222
222
...
)(...)()()(
kX
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.35)
covariânciacovariância
• Definição: covariância entre X1 e X2
21
2121
.).(
)])([(),cov(
21
2121
XX
XXXX
XXE
XXEXX
X1
X2
021XX
X1
X2
021XX
X1
X2
021XX
X2
021XX
X1
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.36)
correlaçãocorrelação• Quando dividida pelos respectivos desvios-padrão de cada variável, a covariância é
normalizada e recebe o nome de “Coeficiente de correlação”
21
21
21 .)().(
),cov(
21
21
XX
XXXX
XVarXVar
XX
1121
XX
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.37)
correlaçãocorrelação
• Se X1 e X2 são VA independentes, então X1X2 = X1X2 = 0
k
jjiji
jikk
kk
XXaaXVara
XVaraXVaraXaXaXaVar
2
2
2221
212211
),cov(2)(
...)()()...(
• Se X1, X2, ... , Xk são dependentes, então:
X1X2 = X1X2 = 0
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.38)
verificação de normalidadeverificação de normalidade
• Uma distribuição é normal?Escores normais: conjunto de “n” valores que dividem a distribuição
normal idealizada em “n+1”faixas com igual probabilidade e organizados em ordem crescente
exemplo: n=4
0,2 0,20,20,20,2
-0,84 -0,25 0,25 0,84
F(-0,84) = 0,20F(-0,25) = 0,40F(0,25) = 0,60F(0,84) = 0,80
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.39)
verificação de normalidadeverificação de normalidade
• Roteiro:1 - Calcule e a partir dos dados experimentais2 - Ordene os dados de forma crescente3 - Obtenha os escores normais sendo “n” o número de dados
experimentais4 - Plote o i-ésimo valor experimental versus o i-ésimo escore normal5 - Se o gráfico resultante se aproxima de uma reta esse indica que a
distribuição dos dados é próxima da normalNormalmente 15 n 20, embora seja comum n > 20, mas não se
recomenda n < 15
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.40)
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-1 -0.5 0 0.5 1
Escores normais
Va
lore
s d
a v
ari
áve
lP EN Val
0.2 -0.842 -150.4 -0.253 -50.6 0.253 60.8 0.842 16
-5, 16, 6, -15
-15, -5, 6, 16
valores
valores ordenados
Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.41)
verificação de normalidadeverificação de normalidade
• Exemplos:
distribuição normal distribuição uniforme
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3