Post on 20-Feb-2018
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
1/62
11
TEORIA DAS ESTRUTURASANLISE DE ESTRUTURAS
CINEMATICAMENTE INDETERMINADASPELO MTODO DOS DESLOCAMENTOS
Prof. lvaro Carmo Vaz
UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANECurso de Engenharia Civil
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
2/62
22
Mtodo das Foras
Sobreposio de sistemas isostticos
Estrutura-base
Sobreposio de sistemas deve sercinematicamente equivalente ao sistema dado
Equaes de compatibilidade permitem calcularas incgnitas hiperestticas
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
3/62
33
Mtodo das Foras
O mtodo das foras um desenvolvimentolgico a partir do conhecimento e resoluo desistemas isostticos
A base de partida do mtodo dosdeslocamentos no o sistema isosttico(sistema estaticamente determinado) mas osistema cinematicamente determinado osdeslocamentos de todos os ns so conhecidos
O mtodo dos deslocamentos o mtodo maisutilizado nos programas de computador declculo de estruturas reticuladas porque maisautomatizvel que o mtodo das foras
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
4/62
Resoluo de um sistema estaticamentedeterminado
44
Solicitao Condies
de equilbrio
Esforos
Relaes deelasticidade
Condies decompatibilidade
Deformaes
Deslocamentos
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
5/62
Deformaes independentes
um vector das deformaes independentes
Deformaes independentes parmetrosnecessrios e suficientes para caracterizar oestado de deformao de uma pea linearpertencente a uma estrutura plana que sedeforma no prprio plano 55
=
j
j
i
m
e
u
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
6/62
Esforos independentes
Xm vector de esforos independentes
Esforos independentes parmetros
necessrios e suficientes para caracterizar oestado de tenso numa pea linear pertencentea uma estrutura plana solicitada no prprioplano
66
=
j
j
i
m
N
M
M
X
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
7/62
77
+
=
j
j
i
j
j
i
j
j
i
eNM
M
EA
LEI
L
EI
LEI
L
EI
L
e
00
036
063
mmmm uXFu +=
Relaes de elasticidade de umabarra
Fm matriz de flexibilidade da barra
vector das deformaes independentes devido a cargas
de vo quando todos os esforos independentes so nulos
mu
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
8/62
88
Matriz de rigidez da barra
Matriz de rigidez K da barra relaciona osesforos independentes com as deformaesindependentes
Quando no h cargas de vo, u = F X;donde, X = F-1 u = K u
A matriz de rigidez duma barra a inversa darespectiva matriz de flexibilidade
Cada elemento Kijda matriz de rigidezrepresenta o esforo Xina barra causado peladeformao uj= 1 quando todos as restantesdeformaes independentes so nulas
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
9/62
99
Matriz de rigidez da barra
==
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
FK
00
042
024
1
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
10/62
1010
Matriz de rigidez da barra
Note-se que apenas foram considerados asdeformaes independentes no foramconsiderados os deslocamentoscorrespondentes ao movimento da barra comocorpo rgido translao da barra (2deslocamentos lineares) e rotao do eixo dabarra
Os deslocamentos da barra como corpo rgidono provocam esforos nas extremidades
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
11/62
1111
Exerccios
Verificar que K = F-1
Desenhe a deformada da barra para para cada umadas deformaes independentes uunitrias erestantes nulas, identificando os respectivos valores
dos esforos independentes X
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
12/62
1212
Alternativa ao Mtodo das Foras
possvel determinar os esforos edeformaes a partir do conhecimento dosdeslocamentos dos ns?
Em cada n h 3 deslocamentos e 3 esforos
correspondentes (sistemas planos): d1= y
d2= dx
d3= dz Cada elemento / barra ter ndeslocamentos a
considerar conforme as ligaes dos ns deextremidade
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
13/62
1313
Comparao entre o mtodo das forase o mtodo dos deslocamentos
Mtodo das Foras:sobreposio de sistemas isostticos (estaticamente
determinados),
compatibilidade de deslocamentos,clculo das foras hiperestticas
Mtodo dos Deslocamentos:sobreposio de sistemas cinematicamente
determinados,equilbrio de foras,
clculo dos deslocamentos nodais
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
14/62
Resoluo de um sistema
cinematicamente determinado1414
Movimentosda estrutura
Condiescinemticas
Deslocamentos
Condies decompatibilidade
Relaes deelasticidade
Deformaes
Esforos
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
15/62
Deformao de um prtico
1515
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
16/62
Deformao da barra AB
1616
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
17/62
1717
Barra com ns de extremidadergidos
Utiliza-se a conveno universal de sentidos
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
18/62
1818
Ateno aos sentidos / sinais
Com a conveno de sentidos da figuraanterior:
Mi= - X3
Mj= X6Nj= X4i= - 1
j= 2
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
19/62
1919
Matriz de rigidez da barra
Vamos designar os esforos independentes porX e as deformaes independentes por u
Vamos designar os 6 esforos nas
extremidades por Xee os 6 deslocamentos pord
Sem cargas de vo, ser X = K u, Xe= Ked
Ke
a matriz de rigidez da barra (6 x 6)
Vamos designar por T1a matriz (3 x 6) querelaciona d com u, e por T2(6 x 3) a querelaciona X com Xe
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
20/62
2020
Relaes entre deformaes edeslocamentos
L
dddj
25
6
= 14 ddej =L
dddi
253
+=
=
6
5
4
3
2
1
001001
11
001
0
01
011
0
d
d
dd
d
d
LL
LL
ej
j
i
Em forma matricial, pode escrever-se: u = T1d
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
21/62
2121
Relaes entre esforos nasextremidades e esforos independentes
A relao entre os 6 esforos nas extremidadese os esforos independentes tambm podeexprimir-se sob forma matricial: Xe= T2X
=
j
j
i
N
M
M
LL
LL
X
XX
X
X
X
010
011
100
001
011
100
6
5
4
3
2
1
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
22/62
2222
Matriz de rigidez da barra
Pode obter-se a matriz de rigidez da barra, Ke,que relaciona os 6 esforos com os 6deslocamentos dos ns: Xe= Ke d
Para isso, basta usar as relaes matriciaisanteriores
Xe= T2X
X = K u
u = T1d
Xe= T2K T1d Ke= T2K T1
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
23/62
2323
Exerccio
Obter a matriz de rigidez da barra (6x6)
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
24/62
2424
[ ] =
=
0000
460
260
260
460
1
001001
110010
01
011
0
00
042
024
010
011
100
001
011
100
22
22
L
EA
L
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
matriz
LL
LL
L
EA
LEI
LEI
L
EI
L
EI
LL
LL
Esta matriz d os 3 esforos independentes em funodos 6 deslocamentos dos ns
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
25/62
2525
[ ]matriz
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
L
EI
LEI
LEI
L
EA
3
042
066
00
024
066
00
22
22
=
Esta matriz d os 6 esforos nos ns em funo das 3 deformaes independentes
B d t id d
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
26/62
2626
Barra com ns de extremidadergidos matriz de rigidez
=
6
5
4
3
2
1
22
2323
22
2323
6
5
4
3
2
1
460
260
612
0
612
0
0000
260460
6120
6120
0000
d
d
d
dd
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EALEI
LEI
LEI
LEI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EA
X
X
X
XX
X
B d t id d
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
27/62
2727
Barra com ns de extremidadergidos matriz de rigidez
Matriz de rigidez simtrica Kij = Kji Krs o valor de Xrquando o deslocamento ds= 1 e
todos os restantes deslocamentos so nulos
Elementos da diagonal Kjj so sempre positivos
Se no houver cargas de vo, os esforos nasextremidades da barra ficam determinados a partir doconhecimento dos valores dos deslocamentos nos nsde extremidade
Se houver cargas de vo, preciso somar os esforosnas extremidades causados pelas cargas de voquando todos os deslocamentos dos ns deextremidade esto impedidos barra bi-encastrada
B bi t d d
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
28/62
2828
Barra bi-encastrada com cargas devo
Os esforos podem ser obtidos por diversasvias:
usando o mtodo das foras (sistema 3 vezeshiperesttico)
pela integrao da equao diferencial da linhaelstica com 4 condies de fronteira (no calcula os
esforos axiais) e o TTV para os esforos axiaisusar tabelas de Mi, Mje Njpara as solicitaes maishabituais e obter Ni, Ti, Tjpelas equaes de equilbrioesttico
mmmm XdKX +=mX
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
29/62
2929Ateno: conveno de sinais no a mesma para o momento do n iAteno: conveno de sinais no a mesma para o momento do n i
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
30/62
3030
Exemplo ilustrativo barra bi
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
31/62
3131
Exemplo ilustrativo barra bi-encastrada com apoio a meio
Sistema 4 x hipersttico (3 x para cargas verticais)
Sistema com 2 graus de indeterminao cinemtica (1grau para cargas verticais)
No exemplo, as cargas so verticais, s 1 grau deindeterminao cinematica incgnita a rotao don B = q1(deslocamento nodal)
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
32/62
3232
Resoluo
Sobreposio de 2 sistemas cinematicamentedeterminados: soluo particular e soluocomplementar
Soluo particular o sistema com q1= 0(deslocamento do n impedido) e cargas
Soluo complementar sistema sem cargas e comdeslocamento do n (neste caso, rotao) q1. Calcula-se multiplicando por q1o sistema com q1= 1
Clculo de q1 atravs de K q + = Q
K matriz de rigidez da estrutura, soluo complementarq vector de deslocamentos nodais vector de foras de fixao, soluo particular
Q vector das foras nodais aplicadas estrutura
Q
Q
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
33/62
3333
Soluo particular
A fora de fixao a soma dos momentos defixao nas extremidades das barras que
convergem no n = 7,5 kNmQ
Q
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
34/62
3434
Soluo para q1= 1
Neste caso, apenas uma fora nodal
q1= 1, K11= 0,67EI + 0,67EI = 1,33 EI
Equao do mtodo dos
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
35/62
3535
Equao do mtodo dosdeslocamentos
K q + = Q K = 1,33 EI
= 7,5 kNm
Q = 0
Donde q1= -5,625 / EI fcil calcular os momentos de extremidade por
sobreposio da soluo particular com a soluocomplementar. Por ex
MAB= 15 + 0,33 EI * (-5,625 / EI) = 13,125MBA= -15 + 0,67 EI * (-5,625 / EI) = -18,75MBC= 22,5 + 0,67 EI * (-5,625 / EI) = 18,75MCB= -22,5 + 0,33 EI * (-5,625 / EI) = -24,375
Q
Q
Coordenadas locais vs coordenadas
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
36/62
3636
Coordenadas locais vs coordenadasuniversais
Num mesmo n de uma estrutura podem ligar-se barras com diversas orientaes
Em cada n, as equaes de equilbrio tm deestar referidas a um nico sistema de eixos
Pode no ser possvel fazer coincidir esse nicosistema de eixos com o sistema de eixos decada barra (eixos locais)
Adopta-se um sistema universal de eixos paratoda a estrutura e transforma-se ascoordenadas locais em globais e vice-versa
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
37/62
3737
Transformao de eixos
Eixos locais a preto, eixos globais a vermelho
ngulo entre os eixos homlogos
f
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
38/62
3838
Transformao de eixos
Eixos locais so os de cada barra, eixos globaisso para a estrutura
Matriz de transformao de eixos L
d deslocamentos locais, g deslocamentosglobais
d = L g
=
3
2
1
3
2
1
100
0cossin
0sincos
gg
g
dd
d
fcil de verificar que L-1= LT
T f d i
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
39/62
3939
Transformao de eixos
Da mesma forma transformam-se forasreferidas a eixos globais para foras referidas aeixos locais
X foras locais, Q foras globais
X = L Q
T f d i
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
40/62
4040
Transformao de eixos
Podemos escrever uma equao similar em termos
dos eixos globais
Para isso, temos de ver como transformar X em Q eK em K
XdKX +=
QgKQ +=
T f d i
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
41/62
4141
Transformao de eixos
fcil de ver que Q = LTX = LT (K d + ) Q = LTK L g + LT
Ento ser K = LTK L e
Da mesma forma, g = LTd Muitas estruturas tm barras inclinadas: as
expresses acima facilitam o clculo automtico
com o mtodo dos deslocamentos
X
X
XLQ T=
Montagem da equao do Mtodo
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
42/62
4242
Montagem da equao do Mtododos Deslocamentos
Determine os graus de indeterminao cinemtica daestrutura
Seleccione e numere os deslocamentos nodais gdeacordo com um sistema de eixos globais
Discretize a estrutura e oriente e numeresequencialmente as barras que a compem
Identifique para cada barra os esforos locais Xedeslocamentos locais d
Resuma numa tabela as caractersticas geomtricas eelsticas que determinam o comportamento estruturalde cada barra
Montagem da equao do Mtodo
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
43/62
4343
Montagem da equao do Mtododos Deslocamentos
Obtenha para cada barra ma matriz de rigidez Kme asforas de fixao devido s cargas de vo
Obtenha a matriz L de transformao de eixos
Obtenha o vector das foras de fixao atravs de
Obtenha a matriz de rigidez da estrutura K atravs de
X
m
T
m
m XL
=m
mm
T
m LKLK
Q
Montagem da equao do Mtodo
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
44/62
4444
o tage da equao do tododos Deslocamentos
Defina o vector Q das foras nodais aplicadasResolva a equao vectorial K g + = Q para calcularos deslocamentos nodais g
Obtenha os deslocamentos locais atravs de d = L g
Calcule os esforos na estrutura atravs de
mmmmmmm XgLKXdKX +=+=
Q
Exerccio
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
45/62
Exerccio Calcule as reaces de apoio e trace os diagramas de
esforos utilizando o mtodo dos deslocamentos
45
Exerccio
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
46/62
Exerccio
46
Calcule as reaces de apoio e trace os diagramas deesforos utilizando o mtodo dos deslocamentos
Outros tipos de barras
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
47/62
4747
Outros tipos de barras
Para alm da barra com os dois ns deextremidade rgidos, interessa conhecer, asmatrizes de rigidez e as foras de fixao deoutros dois tipos de barras: Barra com uma extremidade rgida e a outra
articulada (rotao livre na extremidadearticulada, [K] = 5x5, X3ou X6=0)
Barra bi-articulada, apenas interessam os dois
deslocamentos axiais ([K] = 2x2,X2=X3=X5=X6=0)
Barra com extremidades rgida e
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
48/62
48
garticulada
A condio de que o momento na extremidadearticulada tem de ser nulo permite no considerar esseesforo
A rotao na extremidade articulada ser tal que omomento se anula
Pode-se calcular os valores de d6que faam X6= 0quando sucessivamente di= 1, i = 2, 3, 5; obtm-se -1,5/L, -0,5 e 1,5/L
Com esses valores de d6, fcil obter a nova matriz de
rigidez (5x5). Cada coluna correspondente a di= 1ser obtida somando os seus valores aos da (anterior)coluna 6 multiplicados pelos correspondentes valoresobtidos para d6
Exerccio
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
49/62
Exerccio
Determine:1. A matriz de rigidez (5 x 5) da barra com um n rgido e um
n articulado
2. Os esforos para uma carga uniformemente distribuda e
para uma carga concentrada a meio do vo
49
X
Barra com extremidades rgida e
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
50/62
5050
garticulada
Rotao livre na extremidade articulada, momento nulo
323
22
323
30
330
000
30
330
30330
000
L
EI
L
EI
L
EILEA
LEA
L
EI
L
EI
L
EILEI
LEI
LEI
L
EA
L
EA
Foras de fixao barra com
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
51/62
5151
extremidades rgida e articulada
Barra bi articulada
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
52/62
5252
Barra bi-articulada
o caso mais simples: Nas duas extremidades s h esforo axial
Rotaes nas extremidades no geramesforos axiais
Deslocamentos transversais d2e d5: comoso perpendiculares ao eixo da barra, ocomprimento no varia no geram esforoaxial
Deslocamentos axiais d1e d4originamesforos axiais
No h cargas de vo
Matriz de rigidez da barra bi-
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
53/62
5353
articulada
=
LEA
LEA
LEA
LEA
K
=
4
1
4
1
d
d
LEA
LEA
LEA
LEA
X
X
Barras incompressveis
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
54/62
5454
Barras incompressveis
Se se aceitar que as deformaes axiais dealgumas barras so desprezveis, o nmero degraus de indeterminao cinemtica reduz-se
Apenas afecta os deslocamentos nodaislineares, no as rotaes
N deslocamentos lineares independentes =max {(n deslocamentos lineares n barrasincompressveis), 0}
Note-se que, se duas barras incompressveisestiverem no mesmo alinhamento quando seencontram num n, contaro como apenas umabarra incompressvel
Barras incompressveis
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
55/62
5555
Barras incompressveis
A matriz de transformao Lrelaciona osdeslocamentos locais d com os deslocamentosglobais independentes g
necessrio analisar como que a estrutura se
deforma para cada deslocamento linearindependente
Equao do mtodo dos deslocamentosb i i
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
56/62
5656
barras incompressveis
Obtenha para cada barra m a matriz de rigidez Kme asforas de fixao devido s cargas de vo
Obtenha o vector das foras de fixao Q0atravs de
Obtenha a matriz de rigidez da estrutura K atravs de
Defina o vector Q das foras nodais aplicadas
Resolva a eq. vectorial K g + Q0= Q para calcular osdeslocamentos nodais g
Calcule os esforos na estrutura atravs de
X
m
T
m
m XL
=m
mm
T
m LKLK
mmmm XgLKX +=
Barras incompressveis
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
57/62
5757
Barras incompressveis
Os esforos axiais nas barras incompressveisno so funo das deformaes axiais (que seassumiram serem nulas) e so obtidos porequilbrio dos ns
Uma mesma estrutura pode ter barrascompressveis e incompressveis No clculo em computador, consideram-se
todas as barras como compressveis porque areduo do tempo de clculo desprezvel, emcomparao com o aumento da complexidadeda resoluo
Barras incompressveis exemplos
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
58/62
5858
Barras incompressveis exemplos
Exemplo 1: prtico rectangular
Barras incompressveis exemplos
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
59/62
59
Barras incompressveis exemplos
Exemplo 2: prtico com duas abas
59
Variaes de temperatura
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
60/62
6060
p
Variao linear de temperatura Barra compressvel: na soluo particular, a deformao
axial impedida, os esforos axiais nas extremidades so
Barra incompressvel: a deformao axial no impedida,
o seu valor L = t L, a considerar na soluo particular
(gi= 0)
tEALtLEAX ==
Variaes de temperatura
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
61/62
6161
p
Variao diferencial de temperatura Na soluo particular, rotaes das extremidades so
impedidas, momentos de fixao para barra com duas
extremidades rgidas dados por
Para barra com um n rgido e outro n articulado, o
momento na extremidade rgida dado por
h
tEIM
=
h
tEIM
=
2
3
Assentamento de apoio
7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos
62/62
6262
p
Barra compressvel considerar o assentamento nasoluo particular, calcular os esforos a partir da
deformada da barra
Barra incompressvel considerar o assentamentona soluo particular, calcular os esforos a partir
da deformada da estrutura
X
X